上海市高二下学期数学期中试卷含答案
上海市高二第二学期期终考试数学卷（共3套,含答案）
上海市⾼⼆第⼆学期期终考试数学卷（共3套,含答案）上海市位育中学第⼆学期⾼⼆期终考试数学卷⼀、填空题（每题4分，共56分）1、设a <0，则a 的平⽅根是____________．2、若(x +1)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 10(x -1)10，则系数a 0=____________．3、在复平⾯内，复数11i +、11i-对应的点分别为A 、B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．4、正四⾯体ABCD 的棱AD 与⾯ABC 所成⾓的⼤⼩为____________．5、从2、4中选⼀个数字，从1、3、5中选两个数字，组成⽆重复数字的三位数，其中奇数的个数为____________．6、棱长为2的正⽅体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，则点D 1到直线AE 的距离是____________．7、五个数1,2,5,a ,b 的均值为3，⽅差为2，则这五个数的中位数是____________．8、湖⾯上漂着⼀个⼩球，湖⽔结冰后将球取出，冰⾯上留下了⼀个直径为12cm ，深2 cm 的空⽳，则该球的体积是____________cm 3． 9、2100被9除的余数为____________．10、在某次技能⼤赛中，有6位参赛者的成绩分别是70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x 位，其中恰有1位的成绩是72的概率是815，则x 等于____________． 11、P 是半径为1的球⾯上任意⼀点，PA 、PB 、PC 是两两互相垂直的三条弦，则PA 2+PB 2+PC 2=____________．12、对任意⼀个⾮零复数z ，定义集合{|,*}n z M w w z n ==∈N ．设α是⽅程10x x+=的⼀个根，若在M a 中任取两个数，则其和为零的概率P =____________．13、已知球O l 、O 2的半径分别为l 、r ，体积分别为V 1、V 2，表⾯积分别为S 1、S 2，当r ∈(1,+∞)时，2121V V S S --的取值范围是____________．14、已知关于x 的⽅程-2x 2+bx +c =0，若b 、c ∈{0,1,2,3,4}，记“该⽅程有实数根x 1、x 2且满⾜-1≤x 1≤x 2≤2”为事件A ，则事件A 发⽣的概率为____________．⼆、选择题（每题5分，共20分）15、若z ∈C ，下列命题中，正确的命题是( )A ．||111z zB ．0z z +=?z 是纯虚数C ．z 2=|z |2D ．20z ≥?z 是实数16．若l 、m 、n 为直线，α、β、γ为平⾯，则下列命题中为真命题的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD ．若α⊥β，l ?α，则l ⊥β17、“n =5”是“n (n ∈N*)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分⾮必要条件B ．必要⾮充分条件C ．充要条件D ．既⾮充分⼜⾮必要条件18、01122110C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n n n n n n ---++++L 等于( )A ．1122C +C n n n n -+B ．22(C )nn C ．2C nn D ．212C nn -三、解答题（本⼤题共五题，满分74分）19、（本题满分12分，第1⼩题6分，第2⼩题6分）(1) 复数z 的实部为8，|z |=10，求z 的值；(2) i 为虚数单位，1sin 2icos z θθ=+，2cos z θθ=+，若z 1=z 2，求θ的值．20、（本题满分14分，第1⼩题6分，第2⼩题8分）(1) 两个相交平⾯M 与N ，它们的交线为l ．在l 上有3点，除这3点外在平⾯M 、N 上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平⾯？(2) 某校以单循环制⽅法进⾏篮球⽐赛，其中有两个班级各⽐赛了3场后，不再参加⽐赛，这样⼀共进⾏了84场⽐赛，问：开始有多少班级参加⽐赛？21、（本题满分14分，第1⼩题5分，第2⼩题5分，第3⼩题4分）某校从参加⾼⼆年级期末考试的学⽣中抽出60名学⽣，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),…,[90,100]后画出如下部分．．频率分布直⽅图，观察图形的信息，回答下列问题：(1) 求出物理成绩低于50分的学⽣⼈数；(2) 估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）(3) 从物理成绩不及格的学⽣中选两⼈，求他们成绩⾄少有⼀个不低于50分的概率．22、（本题满分16分，第1⼩题5分，第2⼩题6分，第3⼩题5分）如图，在棱长为a的正⽅体ABCD－A 1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD1所在直线上．．．．．的动点．(1) 求 EB1F的取值范围；(2) 若N为⾯EB1F内的⼀点，且∠EBN=45?，∠FBN=60?，求∠B1BN的余弦值；(3) 若E、F分别是所在正⽅体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到⼀点M，使BM⊥平⾯EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．23、（本题满分18分，第1⼩题8分，第2⼩题5分，第3⼩题5分）(1) 已知⼆项式(x+2)n展开式中最⼤的⼆项式系数为252，求展开式中系数最⼤的项；(2) 记(x+2)n展开式中最⼤的⼆项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；(k=0,1,2,···,n)的单调性，并加以证明．(3) 给定不⼩于3的正整数n，试写出数列{C}kn位育中学第⼆学期⾼⼆期终考试数学答案⼀、填空题1、； 2、1024； 3、12； 4、； 5、24； 67、3； 8、40003π； 9、7； 10、2或4； 11、4； 12、13；13、1(,)2+∞；14、1625．⼆、选择题15、D16、B17、A18、C三、解答题19、（本题12分）解：(1) 设z =8+b i,(b ∈ R )，则由64+b 2=100，得b =±6，∴ z =8±6i ． 6分(2) 由z 1=z 2，得sin 2cos cos θθθθ==??，∴1sin 2tan θθ?=，2,()6k k πθπ=+∈Z12分20、（本题14分）解：(1) 这12个点中，除l 上的三点共线外，其余⽆三点共线，最多能确定1112112345454526030402132C C C C C C C +++=+++=个平⾯．6分(2) 设开始有n 个班参加⽐赛，1? 若这两个班级之间⽐赛过1场，则22584n C -+=，⽆解，8分2? 若这两个班级之间没有过⽐赛，则22684n C -+=，解得n =15．答：开始有15个班级参加⽐赛． 14分21、（本题满分14分）解：(1) 因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为： 11(0.01520.030.0250.005)100.1f =-?+++?=3分所以低于50分的⼈数为600.16?=（⼈）5分(2) 依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第⼀组），频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++?= 8分所以，抽样学⽣成绩的合格率是75%于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%10分 (3) “成绩低于50分”及“[50,60)”的⼈数分别是6,9，所以从成绩不及格的学⽣中选两⼈，他们成绩⾄少有⼀个不低于50分的概率为：26215617C P C =-=14分22、（本题满分16分）解：(1) 设,BE x BF y ==，则11B E B F EF ===所以21cos 1EB F ∠=< ，1EB F ∠的取值范围为(0,)2π5分(2) 解：设N 在1BE BF BB 、、三边上的投影分别是111E F G 、、，则由于45,60EBN FBN ∠=?∠=?111cos 45,cos 60.22BE BN BN BF BN BN ∴=?==?=g 2222111,BE BF BG BN ++=Q 112BG BN ∴=，即160B BN ∠=o ，它的余弦值为1211分(3) 解：设EF 与BD 的交点为G ．连接B 1G ，则由EF ⊥BD 以及EF ⊥B 1B ，知EF ⊥平⾯BB 1D 1D ，于是⾯B 1EF ⊥⾯BB 1D 1D ，在⾯BB 1D 1D 内过B 作BK ⊥B 1G 于K ，延长后交D 1D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平⾯B 1EF ．在平⾯BB 1D 1D 内，由△B 1BG ∽△BDM ，知B 1B BG ＝BD DM ，⼜B 1B ＝a ，BG ＝24a ，BD ＝2a ，∴DM ＝a2．这说明点M 在正⽅体的棱D 1D 上，且恰好为D 1D 的中点． 16分23、（本题满分18分）解：(1) ∵ 4599126C C ==，510252C =，561111462C C ==，由第(2)、(3)题的结论可知：n =10，3分设(x +2)10展开式中系数最⼤的项是101102r rr r T C x -+=?(r =0,1,2,…,10)，则由1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++?≥??≥??，（其中r =1,2,…,9），即1110!210!2!(10)!(1)!(11)!10!210!2!(10)!(1)!(9)!r r r r r r r r r r r r -+≥??--?-??≥-+?-?， 5分得223193r r ?≤≥??，（r =1,2,…,9），∴ r =7，7分展开式中系数最⼤的项是7373810215360T C x x =?=．8分(2) 若n 为奇数，则n +1为偶数，1122n n n nna C C-+==，1211n n n a C+++=，∴ 11122211n n n n n nn a CCCa +-+++==+>10分若n 为偶数，则n +1为奇数，2n n na C =，122111n n n n n a C C++++==，∴ 122211n n n n n nnn a CCC a -++==+>12分综上可知：数列{a n }单调递增．13分 (3) 数列{C }k n (k =0,1,2,···,n )离⾸末两端等距离的项相等，且距离越远值越⼤． 15分证明如下：1C C (12)(1)!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n n n k k n k k n k k n k +-=-=--+?--?-+-当12n k -<时，1C C k k n n +<，当12n k ->时，1C C k k n n +>，其中k =0,1,2,…,n -1．若n 为奇数，3101222C C C CCn n nnnn n --<<<<22C>C C n n n n nnn n ++->>L ，若n 为偶数，201222C C C CC n n nnnnn-<<<<C>C C n n n nnnn n +->>L ，18分上海市青浦区2017学年第⼆学期⾼⼆年级期终学业质量调研数学试卷（满分150，时间120分钟）考⽣注意：1.答卷前,考⽣务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚.2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案⽆效;在草稿纸、试题卷上答题⽆效.3. 本试卷共有21道试题,可以使⽤规定型号计算器.⼀、填空题(本⼤题满分54分)本⼤题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分.考⽣应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则⼀律得零分 1. 复数i z 43-=（i 是虚数单位）的虚部是【答案】4-2. 平⾯直⾓坐标系中点）（2,1到直线012=++y x 的距离为【答案】53. 62)12(xx +的展开式中的常数项是【答案】604. 已知正六棱柱的底⾯边长为2，侧棱为3，则该正六棱柱的体积为【答案】185. 已知球的半径为R ，B A 、为球⾯上两点，若B A 、之间的球⾯距离是3Rπ，则这两点间的距离等于【答案】R6. 如图，以长⽅体1111D C B A ABCD -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建⽴空间直⾓坐标系，若1→DB 的坐标为)2,3,4(，则1→AC 的坐标为【答案】)2,3,4(-7. 过点)1,3(的直线l 与圆4)2()2(:22=-+-y x C 相交于B A 、两点，当弦AB 的长取最⼩值时，直线l 的倾斜⾓等于【答案】4π 8. 抛物线x y 42=上⼀动点P 到点)2,0(A 的距离与P 到该抛物线准线距离之和的最⼩值为【答案】59. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的⼀个焦点到⼀条渐近线的距离等于焦距的41，则该双曲线的渐近线⽅程是【答案】x y 33±= 10. 平⾯上两组平⾏线互相垂直，⼀组由6条平⾏线组成，⼀组由5条平⾏线组成，则它们能围成的矩形个数是【答案】150 11. 设α和β是关于x 的⽅程022=++m x x 的两个虚数根，若O 、、βα在复平⾯对应的点构成直⾓三⾓形，那么实数=m 【答案】212. 已知曲线C 的⽅程为0),(=y x F ，集合}0),(|),{(==y x F y x T ，若对于任意的T y x ∈),(11，都存在T y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成⽴，则称曲线C 为∑曲线.下列⽅程所表⽰的曲线中,是∑曲线的有（写出所有∑曲线的序号）①1222=+y x ；②122=-y x ；③x y 22=；④1||||+=x y【答案】①③⼆. 选择题(本⼤题满分20分)本⼤题共有4题,每题有且只有⼀个正确答案,考⽣应在答题纸的相应编号上,将代表答案的⼩⽅格涂⿊,选对得5分,否则⼀律得零分. 13. “直线l 垂直于平⾯α内的⽆数条直线”是“α⊥l ”的⼀个（）【A 】充分不必要条件【B 】必要不充分条件【C 】充要条件【D 】既⾮充分也不必要条件【答案】B14. 曲线12:22=+-Γy xy x 的图像（）【A 】关于x 轴对称【B 】关于原点对称,但不关于直线x y =对称【C 】关于y 轴对称【D 】关于直线x y =对称，关于直线x y -=对称【答案】D15.下列命题中,正确的命题是【A 】若0,2121>-∈z z C z z 、，则21z z >4)-x 【B 】若R z ∈，则2||z z z =?-不成⽴【C 】0,,2121=?∈z z C z z ，则01=z 或02=z 【D 】0,222121=+∈z z C z z 、，则01=z 且02=z 【答案】C16.如图，正⽅体1111D C B A ABCD -，则下列四个命题：①点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与直线D A 1所成⾓的⼤⼩不变；②点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平⾯1ACD 所成⾓的⼤⼩不变；③点P 在直线1BC 上运动时，⼆⾯⾓C AD P --1的⼤⼩不变；④点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥PC D A 1-的体积不变. 其中的真命题是（）【A 】①③【B 】③④【C 】①②④【D 】①③④【答案】D三、解答题(本⼤题满分76分)本⼤题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个⼩题，第（1）⼩题满分7分，第（2）⼩题满分7分.已知复数i m i -==βα,-2，其中i 是虚数单位，R m ∈. （1）若||2||-<+αβα，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的⽅程)(0102R n nx x ∈=+-的⼀个根，求实数m 与n 的值.【答案】（1）)2,6(-；（2）6,36,3-=-===n m n m 或18.（本题满分14分）本题共有2个⼩题，第（1）⼩题满分6分，第（2）⼩题满分8分.如图所⽰圆锥中，CD AB 、为底⾯圆的两条直径，O CD AB =I ，且CD AB ⊥，2==AB SO ，P 为SB 的中点.求:（1）该圆锥的表⾯积；（2）异⾯直线SA 与PD 所成的⾓的⼤⼩（结果⽤反三⾓函数值表⽰）. 【答案】（1）π)15(+；)35arccos 32arcsin (552arctan 或或19.（本题满分14分）本题共有2个⼩题，第（1）⼩题满分7分，第（2）⼩题满分7分.已知四边形ABCD 是矩形，⊥PA 平⾯ABCD ，2,1===AD AB PA ，点N M 、在线段DC PB 、上（不为端点），且满⾜→→→→==NC DN MP BM λλ,，其中0>λ.（1）若1=λ，求直线MN 与平⾯ABCD 所成的⾓的⼤⼩；（2）是否存在λ，使MN 是DC PB ，的公垂线，即MN 同时垂直DC PB ，？说明理由.【答案】（1）)322arccos 31arcsin (42arctan 或或；（2）21=λ20.（本题满分16分）本题共有3个⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题6分.已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的左右顶点分别是)0,2(),0,2(B A -.点)21,3(在椭圆上，过该椭圆上任意⼀点P 作x PQ ⊥轴，垂⾜为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||PC QP =. （1）求椭圆Γ的⽅程；（2）求动点C 的轨迹E 的⽅程；（3）设直线AC （C 点不同B A 、）与直线2=x 交于R ，D 为线段RB 的中点，证明:直线CD 与曲线相切.【答案】（1）1422=+y x ；（2）422=+y x ；（3）证明如下【解析】21.（本题满分18分）本题共有3个⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题8分. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中，对于点),(00y x P 、直线0:=++c by ax l ，我们称2200ba c by ax +++=δ为点),(00y x P 到直线0:=++c by ax l 的⽅向距离.（1）设双曲线1422=-y x 上的任意⼀点),(y x P 到直线02:1=-y x l ，02:2=+y x l 的⽅向距离分别为21δδ、，求21δδ的值；（2）设点)0,()0,(t F t E 、-、到直线02sin 2cos :=-+ααy x l 的⽅向距离分别为21ηη、，试问是否存在实数t ，对任意的α都有121=ηη成⽴？说明理由；（3）已知直线0:=+-n y mx l 和椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，设椭圆E 的两个焦点21F F 、到直线l 的⽅向距离分别为21λλ、满⾜221b >λλ，且直线l 与x 轴的交点为A 、与y 轴的交点为B ，试问的长||AB 与b a +的⼤⼩.【答案】（1）54；（2）1±=t ；（3）b a AB +>|| 【解析】上海市七宝中学⾼⼆第⼆学期期末数学试卷⼀. 填空题 1. 将参数⽅程122x ty t =+??=-?（t R ∈，t 为参数）化为普通⽅程2. 已知椭圆22194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是3. 123101011111111111392733C C C C -+-+--+除以5的余数是 4. 如右图为某⼏何体的三视图，则其侧⾯积为 2cm5. 甲、⼄、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区⾄少有⼀名同学，则甲、⼄两⼈被分在同⼀个社区的概率是6. 在侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中，40AVB BVC CVA ?∠=∠=∠=，若过点A 的截⾯AEF ，交VB 于E ，交VC 于F ，则截⾯AEF 周长的最⼩值是7. 长⽅体1111ABCD A B C D -内接于球O ，且2AB BC ==，122AA =，则A 、B 两点之间的球⾯距离为8. 已知从装有1n +个球（其中n 个⽩球，1个⿊球）的⼝袋中取出m 个球，0m n <<，,m n ∈N ，共有1mn C +种取法，在这1m n C +种取法中，可以分成两类：⼀类是取出的m 个球全部为⽩球，另⼀类是取出1个⿊球和(1)m -个⽩球，共有01111m m nn C C C C -+种取法，即有等式11m m mn n n C C C -++=成⽴，试根据上述思想，化简下列式⼦：1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---++++= (1k m n ≤<≤，,,)k m n ∈N9. 已知平⾏六⾯体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ?∠=，60BAA DAA ?''∠=∠=，则AC '的长为10. 某⼏何体的⼀条棱长为7，在该⼏何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该⼏何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最⼤值为11. 数列{}n a 共有13项，10a =，134a =，且1||1k k a a +-=， 1,2,,12k =，满⾜这种条件不同的数列个数为12. 如图，在底⾯半径和⾼均为1的圆锥中，AB 、CD 是底⾯圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平⾯与圆锥侧⾯的交线是以E 为顶点的抛物线的⼀部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离为⼆. 选择题13. 若x 、y 满⾜约束条件2,22x y x y ≤≤??+≥?，则2z x y =+的取值范围是（）A. [2,6]B. [2,5]C. [3,6]D. [3,5] 14. 某中学⾼⼆年级的⼀个研究性学习⼩组拟完成下列两项调查：①从某社区430户⾼收⼊家庭，980户中等收⼊家庭，290户低收⼊家庭中任意选出170户调查社会购买⼒的某项指标；②从本年级12名体育特长⽣中随机选出5⼈调查其学习负担情况；则该研究性学习⼩组宜采⽤的抽样⽅法分别是（）A. ①⽤系统抽样，②⽤随机抽样B. ①⽤系统抽样，②⽤分层抽样C. ①⽤分层抽样，②⽤系统抽样D. ①⽤分层抽样，②⽤随机抽样15. 12名同学合影，站成前排4⼈后排8⼈，现摄影师要从后排8⼈中抽2⼈调整到前排，若其他⼈的相对顺序不变，则不同调整⽅法的总数是（）A. 2283C PB. 2686C PC. 2286C PD. 2285C P16. 如图，E 、F 分别为棱长为1的正⽅体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为⾯对⾓线AC 和棱1AA 上的动点，则下列关于四⾯体E FGH -的体积正确的是（）A. 该四⾯体体积有最⼤值，也有最⼩值B. 该四⾯体体积为定值C. 该四⾯体体积只有最⼩值D. 该四⾯体体积只有最⼤值三. 简答题17. 有8名学⽣排成⼀排，求分别满⾜下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果. （1）甲不在两端；（2）甲、⼄相邻；（3）甲、⼄、丙三⼈两两不得相邻；（4）甲不在排头，⼄不在排尾. 18. 在⼆项式3121(2)x x+的展开式中.（1）求该⼆项展开式中所有项的系数和的值；（2）求该⼆项展开式中含4x 项的系数；（3）求该⼆项展开式中系数最⼤的项.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==，90ACB ?∠=，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.（1）求异⾯直线PQ 与1B C 所成⾓的⼤⼩；（2）若直三棱柱111ABC A B C -的体积为12，求四棱锥1C BAPB -的体积.20. 如图，圆锥的轴截⾯为等腰Rt △SAB ，Q 为底⾯圆周上⼀点.（1）若QB 的中点为C ，OH ⊥SC ，求证：OH ⊥平⾯SBQ ；（2）如果60AOQ ?∠=，QB =（3）若⼆⾯⾓A SB Q --⼤⼩为arctan 3，求AOQ ∠.21.（1）集合12{|(,,,)n Q x x x x x ==，0i x =或1}，对于任意x Q ∈，定义1()ni i f x x ==∑，对任意{0,1,2,,}k n ∈，定义{|(),}k A x f x k x Q ==∈，记k a 为集合k A 的元素个数，求122n a a na +++的值；（2）在等差数列{}n a 和等⽐数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中，若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）已知当1||2x <时，有21124(2)12n x x x x =-+-+-++，根据此信息，若对任意1||2x <，都有20123(1)(12)nn x a a x a x a x x x =+++++-+，求10a 的值.参考答案⼀. 填空题1. 250x y +-=2.3. 34. 4π5. 166. 67. 23π 8. mn k C + 9. 10. 4 11. 495 12.⼆. 选择题13. A 14. D 15. C 16. D三. 解答题17.（1）77630240P ?=；（2）77210080P ?=；（3）535614400P P =；（4）876876230960P P P -+=；18.（1）123；（2）841227920C =；（3）339324121(2)()112640C x x x=；19.（1）2π；（2）14； 20.（1）略；（2）83π；（3）3π；21.（1）k k n a C =，11222n n a a na n -+++=?；（2）b 为正偶数；（3）455-；。
上海高二下学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．已知直线经过点、，则直线的斜率为______． l ()3,2M -()4,9N l 【答案】1【分析】根据斜率公式计算可得.【详解】因为直线经过点、， l ()3,2M -()4,9N 所以.()92143l k -==--故答案为：12．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为____2212516x y +=P 3P 【答案】7【详解】试题分析：由椭圆定义知:,所以到另一焦点距离为7. 122PF PF a +=P 【解析】椭圆的定义.3．若椭圆的一个焦点为，则______．22142x y k +=+()0,2-k =【答案】6【分析】根据椭圆的性质计算可得.【详解】因为椭圆的一个焦点为，，22142x y k +=+()0,2-22a k =+24b =所以. 2=6k =故答案为：64．直线关于点对称的直线的一般式方程为______． 230x y -+=()3,2P 【答案】2110x y --=【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根230x y -+=()3,2P 据点到两条直线的距离相等可解出答案. ()3,2P 【详解】设对称直线为， 20x y C -+=根据点到两条直线的距离相等，()3,2P ，即，解得（舍）或.47C +=3C =11C =-所以对称直线的方程为. 2110x y --=故答案为：.2110x y --=5．已知圆和圆外切，则实数的值为______．221:60O x y x +-=222:80O x y y m +++=m 【答案】12【分析】把两圆化为标准方程，得到圆心坐标和半径，由两圆外切，圆心距等于半径之和，列方程解实数的值.m 【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径，221:60O x y x +-=()2239x y -+=()13,0O 13r =圆化为标准方程为，圆心，半径222:80O x y y m +++=()222:416O x y m ++=-()20,4O -2r =由两圆外切，有.1212O O r r =+3=12m =故答案为：126．设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则P 221169x y +=12,F F 12||.||12PF PF =12F PF ∠的大小_____. 【答案】60 【分析】，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得1PF m =2PF n =，解得，从而可得结果． 22122812282m n a mn m n mncos F PF+==⎧⎪=⎨⎪=+-∠⎩121cos 2F PF ∠=【详解】椭圆，221169x y +=可得，设，，28a =1PF m =2PF n =可得，2221228124282m n a mn c m n mncos F PF+==⎧⎪=⎨⎪==+-∠⎩化简可得：， 121cos 2F PF ∠=，故答案为．1260F PF ∴∠= 60 【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc+-=条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数30,45,60o o o 值，以便在解题中直接应用.7．若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾m 110l y -+=230l y -+=m 斜角为______． 【答案】或30︒90︒【分析】根据两平行线间的距离与2的比较可得直线和两平行线的夹角为60°，再根据倾斜角的m 关系求解即可．【详解】设直线与两平行线的交点分别为，过点作的垂线，垂足为，如图，m 12,l l ,C A A 1l B两平行线间的距离，则，又，1d ==1AB =2AC =所以直线与两平行线的夹角满足，则， m θ1sin 2θ=30θ=︒， 60︒所以直线的倾斜角为或． m 30︒90︒故答案为：或．30︒90︒8．已知集合，，若，则实数的取值范(){},A x y y x m ==+∣(){,B x y x ==∣A B ⋂≠∅m 围是______．【答案】4,⎡-⎣【分析】根据，将问题转化为直线与半圆. A B ⋂≠∅y x m =+x =【详解】，，则其轨迹为半圆， x =2216x y +=0x ≤因为，A B ⋂≠∅所以直线与半圆 y x m =+x =当直线，即，解得y x m =+0x y m -+=4m =如图所示，作出边界情况，由图象知：实数的取值范围是， m 4,⎡-⎣故答案为：.4,⎡-⎣9．由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______． 60x y ++=P ()()22:354C x y -++=【答案】2【分析】设过点的切线与圆相切于点，分析可知当与直线垂直时，取最P C E PC 60x y ++=PC 小值，再利用勾股定理可求得切线长的最小值.【详解】设过点的切线与圆相切于点，连接，则，P C E CE PE CE ⊥圆的圆心为，半径为C ()3,5C -2r =当与直线垂直时，取最小值，且最小值为PC 60x y ++=PC，即切线长的最小值为.2≥=2故答案为：.210．已知、是圆上的两个不同的动点，且，则()11,A x y ()22,B x y 229x y +=1221x y x y =的最大值为______． 121254x x y y +++【答案】15【分析】根据题意，写出圆的参数方程，然后将两点坐标表示成参数方程形式，并根据,A B 的关系，找到两个点参数形式的角度关系，然后带入求解的式子，利用三角函数的性质1221x y x y =即可求解最大值.【详解】由已知，圆的参数方程为：（为参数），229x y +=3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩θ因为、是圆上的两个不同的动点，()11,A x y ()22,B x y 229x y +=可令，；，，且，113cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩[)0,2πα∈223cos 3sin x y ββ=⎧⎨=⎩[)2π0,β∈βα>所以、，()3cos ,3sin A αα()3cos ,3sin B ββ由可得：， 1221x y x y =()9cos sin 9sin cos sin 0αβαββα=⇒-=又因为，所以，()0,2πβα-∈πβα-=所以121215cos 3cos 125sin 3sin 4x x y y αβαβ=++++++()()15cos 3cos π+12sin 3sin π+15cos 3cos 12sin 3sin αααααααα=+++=-+-，()349sin 12cos 15(sin cos )15sin 55αααααϕ=+=+=+其中，，34cos ,sin 55ϕϕ==所以，当时，取得最大值15. ()sin 1αϕ+=121254x x y y +++故答案为：15.11．已知、分別是椭圆的左、右焦点，是短轴的顶点，直线经过点1F 2F ()222:124x ya a Γ+=>A Γl 且与交于、两点，若垂直平分线段，则的周长是______．1F ΓB C l 2AF ABC A. 【分析】根据已知画出图形，利用中垂线的性质、椭圆的定义与性质以及两直线垂直进行计算求解.【详解】如图，因为垂直平分线段，所以，l 2AF 22,CA CF BA BF ==由椭圆定义可知，的周长为，ABC A 4a 由题可知，，，，所以，()0,2A ()1,0F c -()2,0F c ,12c M ⎛⎫⎪⎝⎭所以，, 110232MF k c c c -==+22020AF k c c-==--因为垂直平分线段，所以，解得， l 2AF 122213MF AF k k c c -⋅=⋅=-243c =因为，所以的周长为222a b c =+a =ABC A 4a =12．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则以下结22193x y +=F (0y m m =<<AB 论：①为定值；②的周长的取值范围是；③当为直角AF BF +ABF △()6,12m =ABF △三角形；④当时，______．（填序号） 1m =ABF △【答案】①②③④【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义判断①，由为定值以及的范围判F '||||AF BF +||AB 断②；求出、坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断③；求出A B ·0AF BF =ABF △、坐标，由面积公式得出的面积判断④.A B ABF △【详解】设椭圆的左焦点为，则 F '||||AF BF '=所以为定值，故①正确；||||||||6AF BF AF AF '+=+=的周长为，因为为定值6，ABF △||||||AB AF BF ++||||AF BF +所以的范围是，所以的周长的范围是，故②正确；AB (0,6)ABF △(6,12)将，解得，即，， y=22193y x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x =A ⎛ ⎝B又因为，∴F 20AF BF ⋅=+= 所以为直角三角形，故③正确；ABF △将与椭圆方程联立，解得，即，，1y =221193y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩x =(A B 所以④正确.112ABF S =⨯=A 故答案为：①②③④二、单选题13．下列各组直线中，互相垂直的一组是（ ） A ．与 B ．与 2350x y --=4650x y --=2350x y --=4650x y +-=C ．与 D ．与2350x y --=3250x y --=2350x y --=6450x y +-=【答案】D【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断. 1-【详解】对于A ：直线的斜率为，直线的斜率为， 2350x y --=234650x y --=23故两直线平行，故A 错误；对于B ：直线的斜率为，直线的斜率为，2350x y --=234650x y +-=23-斜率之积不为，即两直线不垂直，故B 错误；1-对于C ：直线的斜率为，直线的斜率为， 2350x y --=233250x y --=32斜率之积不为，即两直线不垂直，故C 错误；1-对于D ：直线的斜率为，直线的斜率为，2350x y --=236450x y +-=32-斜率之积为，即两直线垂直，故D 正确； 1-故选：D14．椭圆与椭圆的（ ） 221925x y +=()2219925x y m m m +=<--A ．长轴相等 B ．短轴相等C ．焦距相等D ．长轴、短轴、焦距均不相等 【答案】C【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长和焦距即可判断．【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为221925x y +=221259y x +=8=；椭圆即，因为，()2219925x y m m m +=<--221259y x m m +=--2590m m ->->则此椭圆的长轴长为，焦距为,8=故两个椭圆的焦距相等． 故选：C ．15．若直线与圆所截得的弦长为为（ ）．20x y --=()224x a y -+=aA ．B ．1或3C ．3或6D ．0或41-【答案】D【分析】根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理即可求解.【详解】解：圆的圆心坐标为，半径为2， ()224x a y -+=(,0)a 圆心到直线的距离为(,0)a 20x y --=d 又直线被圆所截的弦长为20x y --=()224x a y -+=故，解得或.=2(2)4a -=0a =4a =故选：D.16．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过左焦点作直线()222210x y a b a b +=>>351F 2F 1F 与椭圆在第一象限交点为P ，若为等腰三角形，则直线的斜率为12PF F △1PFA B C ．D【答案】A【分析】根据点在第一象限，得，根据离心率为得，再按照P 12||||PF PF >3553a c =和两种情况讨论，利用余弦定理和同角公式可求出直线的斜率. 112||||2PF F F c ==212||||2PF F F c ==1PF 【详解】因为点在第一象限，所以， P 12||||PF PF >因为，所以，35c e a ==53a c =当时，满足， 112||||2PF F F c ==24||223PF a c c =-=12||||PF PF >， 222112212112||||||cos 2||||PFF F PF PF F PFF F +-∠=⋅222216447989c c c c +-==所以，12sin PF F ∠=所以121212sin tan cos PF F PF F PF F ∠∠===∠所以直线 1PF当时，，不符合题意. 212||||2PF F F c ==1224||2||22||3PF a PF a c c PF =-=-=<综上所以直线. 1PF 故选：A【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了椭圆的定义，考查了余弦定理、同角公式，斜率的定义，属于中档题.三、解答题17．在中，顶点的坐标为，的平分线所在直线的方䅣为：，且边ABC A A ()3,3C ∠1l 210x y -+=上的中线所在直线的方程为：．AC 2l 560x y +-=(1)求点的坐标；C (2)求边所在直线的一般式方程． BC 【答案】(1) ()1,1--(2) 760x y -+=【详解】（1）设点的坐标为，C (),a b 由已知点在直线上，所以， (),a b 210x y -+=210a b -+=又线段的中点为， AC 33,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭点在直线上，所以， 33,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭560x y +-=3356022a b +++-=解得， 1,1a b =-=-所以点的坐标为；C ()1,1--（2）由已知点关于直线的对称点在直线上，()3,3A 210x y -+=(),D m n BC 所以，解得，，33210223213m n n m ++⎧⨯-+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩15m =-235n =所以点的坐标为，D 123,55⎛⎫- ⎪⎝⎭所以直线的斜率为， BC ()()23157115--=---所以直线的方程为，即.BC ()171y x +=+760x y -+=18．已知圆心在轴上的圆经过两点、． x C ()1,0A ()3,2B (1)求此圆的标准方程；(2)求过点且与此圆相切的直线的一般式方程． ()5,4P l 【答案】(1) ()2234x y -+=(2)或 50x -=3410x y -+=【分析】（1）设圆心的坐标为，根据求出的值，可得出圆的半径，由此可C (),0a AC BC =a C 得出圆的标准方程；C （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线l l l 的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出的l ()45y k x -=-l k 值，综合可得出直线的方程.l 【详解】（1）解：设圆心的坐标为，由可得，C (),0a AC BC =3a =则圆的半径为，C 12a -=所以，圆的标准方程为.C ()2234x y -+=（2）解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，l l 5x =圆心到直线的距离为，此时直线与圆相切，合乎题意；C l 352-=l C若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，l l ()45y k x -=-450kx y k -+-=，解得， 234k =此时，直线的方程为，即. l ()3454y x -=-3410x y -+=综上所述，直线的方程为或.l 50x -=3410x y-+=19．已知椭圆的离心率，焦距是． 22221(0)x y a b a b+=>>e =（1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于、的值． 2(0)y kx k =+≠C D k 【答案】（1）（2） 2213x y +=【详解】试题分析：（1）由离心率可求得的值，由焦距可得值，进而得到值，得到椭圆方c ac ,a b 程；（2）将直线与椭圆方程联系，整理得的值，利用弦长公式求解1212,x x x x +2AB x =-的值k 试题解析：（1），，又，所以，∴ 椭圆方程为． 2213x y +=（2）设，、，，将带入 1(C x 1)y 2(D x 2)y 2213x y +=整理得 所以有 ①22(12)36(13)0k k ∆=-+> 1221221213{913k x x k x x k +=-+⋅=+所以又代入上式，整理得即解得或即 经验证，，使①成立，故为所求．【解析】1．椭圆方程及性质；2．直线与椭圆相交的弦长问题20．已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不()1,0A -()10B ,(),P x y P倍后得到点，且满足．()Q x 1AQ BQ ⋅= (1)求动点所在曲线的轨迹方程；P C (2)过点作斜率为的直线，交（1）中的曲线于、两点，且满足：B l C M N （为坐标原点），试判断点是否在曲线上，并说明理由．0OM ON OH ++= O H C 【答案】(1) 2212x y +=(2)点在曲线上，理由见解析.H C【分析】（1）求出向量、的坐标，结合条件可得出动点的轨迹方程； AQ BQ 1AQ BQ ⋅= P （2）得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程l )1y x =-()11,M x y ()22,N x y l 联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出的坐标，再判断点是否在曲线上.H H C 【详解】（1）因为，、， ()Q x ()1,0A -()10B,所以 ，， ()AQx =+ ()BQ x =- 因为，所以， 1AQ BQ ⋅=()())2111x x -++=化简得，即， 2222x y +=2212x y +=因此，曲线的方程为； C 2212x y +=（2）又已知直线的方程为， l )1y x =-将直线的方程与椭圆的方程联立，得．l C )22121x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩22210x x --=方程的判别式，22210x x --=48120∆=+=>设点、，由韦达定理得，()11,M x y ()22,N x y 121x x =+，)))121212112y y x x x x ∴+=--=+-=，， 0OM ON OH ++= ()()1212,1,OH OM ON x x y y ⎛∴=-+=-++=- ⎝ 所以，点的坐标为，H 1,⎛- ⎝所以点的坐标满足曲线的方程，1,⎛- ⎝C 所以点在曲线上. 1,⎛- ⎝C21．已知椭圆的左．右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形22221(0)x y a b a b+=>>12,F F ,A B 的边长为 的正方形．12F AF B 2（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若,分别是椭圆长轴的左,右端点,动点满足,连结,交椭圆于点．证明: ,C D M MD CD ⊥CM P 的定值；OM OP ⋅ （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,试问轴上是否存在异于点,的定点,使得以为直径的圆恒过直线x C Q MP ,的交点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由．DP MQ Q 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ) 存在,使得以为直径的圆恒过直线,的22142x y +=(0,0)Q MP DP MQ 交点.【详解】试题分析：（I）由于四边形为正方形，所以，由此求得椭圆方程为222b c a ===.（II ）设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，求出点坐标，代入22142x y +=CM P OM OP ⋅ 可求得值为.（III ）设出点的坐标，利用圆的直径所对圆周角为直角的几何性质得到4Q ，结合（II ）将的坐标代入上式，可求得.0MQ DP ⋅= ,,,M Q D P ()0,0Q 试题解析：(Ⅰ)由题意得, 22b c ==b c ==2a =所以所求的椭圆方程为 22142x y += (Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ()20C -，()20D ，由题意可设,． ():2CM y k x =+()11,P x y 因为MD CD ⊥所以()2,4M k 由整理得: ()221{422x y y k x +==+()2222128840k x k x k +++-=因为 21284212k x k --=+所以， ()1124212k y k x k =+=+222244,1212k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以 ()22222412244=244121212k k k OM OP k k k k +-⋅⋅+⋅==+++ (Ⅲ)设,则．()0,0Q x 02x ≠-若以为直径的圆恒过,的交点,则,MP DP MQ MQ DP ⊥所以恒成立0MQ DP ⋅= 由(Ⅱ)可知,()02,4QM x k =- ． 22284,1212k k DP k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭所以． ()2022842401212k k MQ DP x k k k -⋅=-⋅+⋅=++ 即恒成立． 2028012k x k =+所以．00x =所以存在,使得以为直径的圆恒过直线,的交点．()0,0Q MP DP MQ。
上海市2023-2024学年高二下学期期中考试 数学(A卷)含答案
2023学年第二学期高二年级数学期中考试试卷（A ）（答案在最后）时间:120分钟满分:150分注:请将试题的解答全部写在答题纸的相应位置，写在试卷上无效.一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设随机变量X 服从二项分布19,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则[]D X =_________.2.8位选手参加射击比赛，最终的成绩(环数)分别为42,38,45,43,41,47,44,46，这组数据的第75百分位数是_________.参考表格:3.在一个22⨯列联表中，通过数据计算28.325χ=，则这两个变量间有关的可能性为________．参考表格：()20P x χ≥0.050.0250.0100.0010x 3.841 5.024 6.63510.8284.曲线()ln f x x x =+在1x =处的切线方程是________.5.某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有90%的可能性能做对，没思路的有25%的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.6.“守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的月销售额y （单位：百万元）与月份x 具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为 4.23ˆy x =+，则该国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的总销售额为______百万元.7.今天星期三，再过1天是星期四，那么再过20242天是星期_________.8.已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=________．（用数字作答）9.双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线()2222:10x yC a ba b-=>，，如图从C的一个焦点F射出的光线，经过P Q，两点反射后，分别经过点M和N.若12cos13PM PQ PM PQ PQN∠+=-=-，，则C的离心率为_________. 10.函数()11,03ln,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若方程()0f x ax-=恰有3个根，则实数a的取值范围为______.11.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房........此类推，用na表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数.设集合{}232025S a a a=，，，，集合B是集合S的非空子集，则B中所有元素之和为奇数的概率为________.12.现有6根绳子，共有12个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这6根绳子恰好能围成一个圈的概率为______.二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每远4分，第15-16题每题5分，满分18分)毎题有且只有一个正确选项.考生应在答題纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑.13.要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A.某城市居民3月份人均网上购物的次数B.某品牌新能源汽车最大续航里程C.检测一批灯泡的使用寿命D.调查一个班级学生每周的体育锻炼时间14.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（）A.123r r r >>B.231r r r >>C.132r r r >>D.321r r r >>15.江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布2(38,7)N ，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布2(44,2)N ，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（）参考数据：若2()~(,)P Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=A .若8:00出门，则开私家车不会迟到B.若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C.若8:06出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大D.若8:12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到16.n S 是数列{}n a 前n 项和，11243,41n n a a a n +==--，给出以下两个命题:命题211212:2n p a a a a a a n n +++=+ ；命题q :对任意正整数n ，不等式()ln 21n S n n >++恒成立.下列说法正确的是（）A.命题p q 、都是真命题B.命题p 为真命题，命题q 为假命题C.命题p 为假命题，命题q 为真命题D.命题p q 、都是假命题三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段1,DD BD 的中点．（1）求异面直线EF 与BC 所成的角；（2）求三棱锥11C B D F -的体积．18.已知函数2()6ln(1),f x ax x a =-+为常数.（1）若()y f x =在1x =处有极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点;（2）若()y f x =在[]23，上是增函数，求实数a 的取值范围.19.本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图.（1）若数据分布均匀，记随机变量X 为各区间中点所代表的身高，写出X 的分布列及期望.（2）现从身高在区间[)170,190的高中生中分层抽样抽取一个160人的样本.若身高在区间[)170,180中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[)180,190中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这160人身高的方差.20.已知椭圆()22:11x C y t t+=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线():0l y kx m m =+≠与椭圆C 交于M N 、两点(M 点在N 点的上方)，与y 轴交于点E .（1）当3t =时，点A 为椭圆C 上除顶点外任一点，求12AF F △的周长;（2）当4t =且直线l 过点()10D -，时，设EM DM EN DN λμ== ，，求证:λμ+为定值，并求出该值;（3）若椭圆C 的离心率为223，当k 为何值时，22OM ON +恒为定值;并求此时MON △面积的最大值.21.对于有穷数列()12,,,3m a a a m ≥ ，若存在等差数列{}n b ，使得11221m m m b a b a b a b +≤<≤<<≤< ，则称数列{}n a 是一个长为m 的“弱等差数列”.（1）证明:数列124，，是“弱等差数列”;（2）设函数()sin f x x x =，()f x 在()0,2024内的全部极值点按从小到大的顺序排列为12,,,m a a a ，证明：12,,,m a a a 是“弱等差数列”;（3）证明:存在长为2024的“弱等差数列”{}n a ，且{}n a 是等比数列.2023学年第二学期高二年级数学期中考试试卷（A ）时间:120分钟满分:150分注:请将试题的解答全部写在答题纸的相应位置，写在试卷上无效.一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设随机变量X 服从二项分布19,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则[]D X =_________.【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算得解.【详解】依题意，11[]9(1)233D X =⨯⨯-=.故答案为：22.8位选手参加射击比赛，最终的成绩(环数)分别为42,38,45,43,41,47,44,46，这组数据的第75百分位数是_________.参考表格:【答案】45.5【解析】【分析】先排序，再由875%6⨯=，可取第6和第7个数之和的一半即可得解.【详解】先排序可得38,41,42,43,44,45,46,47，由875%6⨯=，所以第75百分位数是454645.52+=.故答案为：45.53.在一个22⨯列联表中，通过数据计算28.325χ=，则这两个变量间有关的可能性为________．参考表格：()20P x χ≥0.050.0250.0100.0010x 3.841 5.024 6.63510.828【答案】99%##0.99【解析】【分析】根据独立性检验的知识确定正确答案.【详解】由于28.325 6.635χ=>，所以两个变量之间有关系的可能性为99%.故答案为：99%4.曲线()ln f x x x =+在1x =处的切线方程是________.【答案】21y x =-【解析】【分析】求出函数的导函数，把1x =代入即可得到切线的斜率，然后根据(1,1)和斜率写出切线的方程即可.【详解】解：由函数ln y x x =+知1'1y x=+，把1x =代入'y 得到切线的斜率112k =+=则切线方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-.故答案为：21y x =-【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题．5.某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有90%的可能性能做对，没思路的有25%的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.【答案】5980【解析】【分析】根据全概率公式求解即可.【详解】设事件A 表示“考生答对”，设事件B 表示“考生选到有思路的题”则小明从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：3159()()()()(0.90.254480P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣.故答案为：5980.6.“守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的月销售额y （单位：百万元）与月份x 具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为 4.23ˆyx =+，则该国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的总销售额为______百万元.【答案】225【解析】【分析】根据样本中心点()x y 在回归直线上的性质，先计算出x ，代入回归方程求得y ，再用y 代表月平均销售额，即可算得总销售额.【详解】依题意，89101112105x ++++==，因样本中心点()x y 在回归直线上，代入得：4.210345y =⨯+=，所以该国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的总销售额为545225⨯=百万元.故答案为：225.7.今天星期三，再过1天是星期四，那么再过20242天是星期_________.【答案】天(或日)【解析】【分析】首先由67432642026474724284(71)⨯+==⨯=+，再利用二项展开式即可得解.【详解】由()()6742024674326740674167367467467467422484714C 7C 7C ⨯+==⨯=+=⋅+⋅++ ()067416736736746746744C 7C 7C 74=⋅+⋅+⋅+ ，所以20242除7余4，所以再过20242天是星期天.故答案为：天（或日）.8.已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=________．（用数字作答）【答案】15【解析】【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.9.双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线()2222:10x y C a b a b-=>，，如图从C 的一个焦点F 射出的光线，经过P Q ，两点反射后，分别经过点M 和N .若12cos 13PM PQ PM PQ PQN ∠+=-=- ，，则C 的离心率为_________.【答案】3【解析】【分析】作出MP ,QN 的反向延长线交于双曲线的左焦点1F ,由已知可得PM PQ ⊥ ，112cos 13PQF ∠=，设1||13||12,F Q t PQ t ==，可得||2,23,PF t a t ==由勾股定理可求得1||,F F =进而可求C 的离心率.【详解】由双曲线的光学性质可知MP ,QN 的反向延长线交于双曲线的左焦点1F ,如图所示：由||||PM PQ PM PQ +=- ,两边平方可得222222PM PM PQ PQ PM PM PQ PQ ++=-+ ,所以0PM PQ = ，所以PM PQ ⊥ ，所以190∠=︒F PF ，又12cos 13PQN ∠=-，所以112cos 13PQF ∠=，设1||13||12,F Q t PQ t ==，则1||5PF t =，设||FQ m =，则||12FP t m =-，根据双曲线定义，可得11||||||||2PF PF QF QF a -=-=，所以5(12)132t t m t m a --=-=，解得10m t =，所以||2,23,PF t a t ==在1Rt F PF 中，222211||||||29,F F PF PF t =+=所以1||,F F =所以C的离心率为3c e a ==.故答案为：3.10.函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若方程()0f x ax -=恰有3个根，则实数a 的取值范围为______.【答案】11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】画出()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩的图象,再分析()y f x =与直线y ax =的交点个数即可.【详解】画出函数()f x 的图象,如图所示：由题意可知0a >，先求y ax =与ln y x =相切时的情况，由图可得此时ln y x =,1y x'=设切点为()00,ln x x ,则0001ln a x x ax ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得0e x =,1e a =，此时直线e x y =，此时直线e x y =与()y f x =只有两个公共点，所以1e a <，又斜率11e 3>，又当13a =时13y x =与11,(0)3y x x =+≤平行，13y x =与()y f x =有三个公共点，而当13a <，直线y ax =与()y f x =有四个交点，故11,3e a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.一只蜜蜂从蜂房A 出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如:从蜂房A 只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房........此类推，用n a 表示蜜蜂爬到n 号蜂房的方法数.设集合{}232025S a a a = ，，，，集合B 是集合S 的非空子集，则B 中所有元素之和为奇数的概率为________.【答案】20232024221-【解析】【分析】根据题意，得到数列{}n a 满足12n n n a a a --=+，求得在{}232025S a a a = ，，，偶数项共有675项，奇数项为1349项，得到S 中有202421-的非空子集，以及B 中所有元素之和为奇数的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意知，该蜜蜂爬到1号蜂房的路线数为1，第2号蜂房的路线数为2，第3号蜂房的路线数为3，第4号蜂房的路线数为5，第5号蜂房的路线数为8， ，则第n 号蜂房的路线数为12(3,N )n n n a a a n n *--=+≥∈，所以54575686713,21,34,a a a a a a a a a =+==+==+= ，即数列{}n a 为1,2,3,5,8,13,21,34, ，其中25811,,,,a a a a 为偶数，所以在{}232025S a a a = ，，，偶数项共有675项，奇数项为1349项，又由{}232025S a a a = ，，，，可得S 中有202421-的非空子集，若B 中元素之和为奇数，则B 中的奇数共有奇数个，偶数可以随意，所以满足条件的B 的个数为：01267513134867513482023675675675675134913491349(C C C C )(C C C )222+++++++=⋅= ，所以B 中所有元素之和为奇数的概率为20232024221P =-.故答案为：20232024221-.12.现有6根绳子，共有12个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这6根绳子恰好能围成一个圈的概率为______.【答案】256693【解析】【分析】直接根据圆排列及古典概型计算.【详解】依题意，环排列有：11111108642C C C C C 3840⋅⋅⋅⋅=种,总的连接方式有：22222121086466C C C C C 66452815610395A 720⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯==种，所以恰好能围成一个圈的概率为384025610395693P ==.故答案为：256693.二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每远4分，第15-16题每题5分，满分18分)毎题有且只有一个正确选项.考生应在答題纸的相应位置，将正确选项用2B 铅笔涂黑.13.要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A.某城市居民3月份人均网上购物的次数B.某品牌新能源汽车最大续航里程C.检测一批灯泡的使用寿命D.调查一个班级学生每周的体育锻炼时间【答案】D 【解析】【分析】结合普查和抽查的适用条件即可求解.【详解】A ，B 选项中要调查的总体数量和工作量都较大，适合采用抽查；C 选项的检测具有毁损性，适合抽查；D 选项要调查的总体数量较小，工作量较小，适合采用普查，故选：D.14.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（）A.123r r r >>B.231r r r >>C.132r r r >>D.321r r r >>【答案】C 【解析】【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案.【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关，故10r >；第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，故23,0r r <，且23r r >，故230r r <<，综合可得231r r r <<，即132r r r >>，故选：C15.江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布2(38,7)N ，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布2(44,2)N ，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（）参考数据：若2()~(,)P Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=A.若8:00出门，则开私家车不会迟到B.若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C.若8:06出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大D.若8:12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由(59)0.0013P Z ≥=即可判断；对于BC ，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D ，计算(38)0.0013P Z ≤=即可判断【详解】对于A ，当满足1(1759)10.9974(59)0.001322P Z P Z -<≤-≥===时，江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A 错误；对于B ，若8:02出门，①江先生开私家车，当满足1(2452)(52)(2452)0.97722P Z P Z P Z -<<≤=+<<=时，此时江先生开私家车不会迟到；②江先生乘坐地铁，当满足()()().1P 40Z 48P Z 48P 40Z 48097722-<<≤=+<<=时，此时江先生乘坐地铁不会迟到；此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B 错误；对于C ，若8:06出门，①江先生开私家车，当满足1(3145)(48)(45)(3145)0.84132P Z P Z P Z P Z -<<≤>≤=+<<=时，此时江先生开私家车不会迟到；②江先生乘坐地铁，当满足().1P Z 44052≤==时，此时江先生乘坐地铁不会迟到；此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C 错误；对于D ，若8:12出门，江先生乘坐地铁上班，当满足()().1P 38Z 50P Z 38000132-<<≤==时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分别分析得江先生使用不同交通工具在路上所花时间，结合正态分布的对称性求得其对应的概率，从而得解.16.n S 是数列{}n a 前n 项和，11243,41n n a a a n +==--，给出以下两个命题:命题211212:2n p a a a a a a n n +++=+ ；命题q :对任意正整数n ，不等式()ln 21n S n n >++恒成立.下列说法正确的是（）A.命题p q 、都是真命题B.命题p 为真命题，命题q 为假命题C.命题p 为假命题，命题q 为真命题D.命题p q 、都是假命题【答案】A 【解析】【分析】由题意可求出12n a a a 的表达式，利用等差数列的求和公式可判断命题p ；证明出当01x <≤时，ln 1≤-x x ，可得出212ln2121n n n +≤--，再结合放缩法可判断命题q .【详解】因为()()11244223,4121212121n n n n a a a a a n n n n n +⎛⎫==-=-=-- ⎪--+-+⎝⎭，所以()12221121n n a a n n +-=-+--，所以，数列221n a n ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为常数列，则122121n a a n -=-=-，所以22112121n n a n n +=+=--；所以123521211321n n a a a n n +=⨯⨯⨯=+- ，令21n b n =+，则12n n b b +-=，所以数列{}n b 为首项为3，公差为2的等差数列，因此()()2112123213572122n n n a a a a a a n n n +++++=+++++=+ ，即命题p 正确；设()1ln x x x ϕ=--，其中01x <≤，则()111xx x xϕ'-=-=，当01x <<时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，则()()10x ϕϕ≥=，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，等号成立，所以21212ln1212121n n n n n ++<-=---，即2235212ln ln ln 3211321n n S n n n n +⎛⎫=++++>++++ ⎪--⎝⎭ ，则()3521ln ln 211321n n S n n n n +⎛⎫=+⨯⨯⨯=++ ⎪-⎝⎭，所以命题q 正确.故选：A.三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段1,DD BD 的中点．（1）求异面直线EF 与BC 所成的角；（2）求三棱锥11C B D F -的体积．【答案】（1）arccos 3.（2）43.【解析】【分析】（1）分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF 与BC 所成的角．（2）先求出11C B D S ，再由向量法求出点F 到平面11D B C 的距离，由此根据1111C B D F F B D C V V --=即可求出三棱锥11C B D F -的体积．【小问1详解】以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，∵在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段1,DD BD 的中点，∴(0,0,1),(1,1,0),(2,2,0),(0,2,0)E F B C ，∴(1,1,1),(2,0,0)EF BC =-=-，设异面直线EF 与BC 所成的角为π,(0]2θθ∈，，则|||2|3cos cos ,|3||||32|EF BC EF BC EF BC θ⋅=〈〉==⋅⨯，∴异面直线EF 与BC 所成的角为3arccos 3．【小问2详解】∵在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11112B D B C D C ===,∴111322222322B DC S ⨯== ∵112,2,2),0,0,2),(0,2,0),(1,1,0)((B D C F ，∴1111(2,20),(0,22),(1,1,2)D B D D C F ==-=-，，，设平面11D B C 的法向量(,,)n x y z =，则1110n D B n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴220220x y y z +=⎧⎨-=⎩，令1x =，则可取(1,1,1)n =--r ，∴点F 到平面11D B C 的距离1||33||3n D F d n ⋅== ，∴三棱锥11C B D F -的体积11111111234233333C BD F F B D C B D C V V S d --==⨯=⨯⨯= .18.已知函数2()6ln(1),f x ax x a =-+为常数.（1）若()y f x =在1x =处有极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点;（2）若()y f x =在[]23，上是增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）32a =；1x =是()y f x =的极小值点（2）实数a 的取值范围为)1,2∞⎡+⎢⎣【解析】【分析】（1）先根据函数在1x =处有极值求出a 的值，将a 值代入原函数求导进行判断函数在1x =左右的导函数正负号即可得到结果；（2）()y f x =在[]23，上是增函数，转化成()0f x '≥在[]23x ∈，恒成立，进而分离参数转化成23a x x≥+在[]23x ∈，恒成立进行求解即可得到结果.【小问1详解】()f x 的定义域为[)1,∞-+，则6()21f x ax x-'=+；由题意，()y f x =在1x =处有极值，即()01f '=，即230a -=；∴32a =；∴63(2)(1)()311x x f x x x x+-=-'=++，∴当1x >时，()0f x '>，()f x 为增函数；当11x -<<时，()0f x '<，()f x 为减函数；∴1x =是()y f x =的极小值点.【小问2详解】∵()y f x =在[]23，上是增函数，∴()0f x '≥在[]23x ∈，恒成立，即有6201ax x-≥+，23a x x ∴≥+在[]23x ∈，恒成立，只需求2max3a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭；[]23x ∈ ，，[]22116,1224x x x ⎛⎫∴+=+-∈ ⎪⎝⎭，2311,42x x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦；12a ∴≥，∴a 的取值范围为)1,2∞⎡+⎢⎣.19.本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图.（1）若数据分布均匀，记随机变量X 为各区间中点所代表的身高，写出X 的分布列及期望.（2）现从身高在区间[)170,190的高中生中分层抽样抽取一个160人的样本.若身高在区间[)170,180中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[)180,190中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这160人身高的方差.【答案】（1）分布列见详解，期望为171.7（2）27.25【解析】【分析】（1）依据分布列和期望的定义即可求得X 的分布列及期望；（2）依据方差的定义去求这160人的方差.【小问1详解】由(0.0270.0250.0220.010.001)101x +++++⨯=，解得0.015x =，所以X 的分布列为：X155165175185195205P0.220.270.250.150.10.01()0.221550.271650.251750.151850.11950.01205171.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由于身高在区间[)170,180，[)180,190的人数之比为5:3，所以分层抽样抽取160人，区间[)170,180，[)180,190内抽取的人数分别为100人与60人.在区间[)170,180中抽取的100个样本的均值为176，方差为10，即176x =，2110s =，在区间[)180,190中抽取的60个样本的均值为184，方差为16，即184y =，2216s =，所以这160人身高的均值为10017660184179160z ⨯+⨯==，从而这160人身高的方差为2s 22221210060()()160100s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦221006010(176179)16(184179)27.25160160⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，因此这160人身高的方差为27.25.20.已知椭圆()22:11x C y t t+=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线():0l y kx m m =+≠与椭圆C 交于M N 、两点(M 点在N 点的上方)，与y 轴交于点E .（1）当3t =时，点A 为椭圆C 上除顶点外任一点，求12AF F △的周长;（2）当4t =且直线l 过点()10D -，时，设EM DM EN DN λμ==，，求证:λμ+为定值，并求出该值;（3）若椭圆C 的离心率为223，当k 为何值时，22OM ON +恒为定值;并求此时MON △面积的最大值.【答案】（1）（2）83（3）32【解析】【分析】（1）根据椭圆定义求解三角形周长；（2）联立:(0)l y kx m m =+≠与22:19x C y +=，得到两根之和两根之积，由,EM DM EN DN λμ== 得到121211x x x x λμ+=+++，结合两根之和，两根之积求出答案；（3）先由离心率得到椭圆方程，联立直线方程，得到两根之和，两根之积，表达出()()()2222222919121691k m k OM ON k -+++=+⨯+，结合22||||OM ON +为定值得到13k =±，并求出此时MN ，和点O 到直线l 的距离d ，利用基本不等式得到32MON S ≤.【小问1详解】当3t =时，椭圆方程为22:13x C y +=，故a =c =，由椭圆定义可得，12AF F △的周长为22a c +=；【小问2详解】4t =时，椭圆方程为22:14x C y +=，故联立:(0)l y kx m m =+≠与22:14x C y +=可得，()222418440k x kmx m +++-=设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k --+==++，因为直线l 过点()10D -，，所以0k m =-+，即k m =，所以22121222844,4141k k x x x x k k --+==++因为()10D -，，设()0,E E y ，所以()11,E x EM y y =- ，()111,D x M y =+ ，()22,E x EN y y =- ，()221,x DN y =+ ，又因为,EM DM EN DN λμ== ，所以()()11221,1x x x x λμ=+=+，所以111x x λ=+，221x x μ=+，所以121212*********x x x x x x x x x x λμ+++=+=-+++++222222841844413224218231k k k k k k +=--=+--+++=++，所以λμ+为定值83.【小问3详解】由题意得3=，解得9t =，椭圆方程2219x y +=，联立2299y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消元得()2229118990k x kmx m +++-=，当()()2222Δ324369110k m k m =-+->，即22910k m -+>时，设()()1122,,,M x y N x y ，则1221891km x x k -+=+，21229991m x x k -⋅=+，又因为M 、N 在椭圆上，则121219y x =-，222219y x =-，则22222212121199x x OM ON x x +=+-++-()()2221112222228899x x x x x x ⎡⎤=++=+-⋅⎣+⎦()()()()()2222222222299191912162169191k m m k k m k k k ⎡⎤-++-++⎢⎥=+=+⨯⎢⎥++⎣⎦当22OM ON +为定值时，即与2m 无关，故2910k -=，得13k =±，此时219MN k ===+又点O 到直线l的距离d ==所以12MON S d MN =⨯⨯=△()222333322222m m +-==≤⋅=，当且仅当m =1m =±时，等号成立，因为2291k m ∆=-+，经检验，此时Δ0>成立，所以MON △面积的最大值为32.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21.对于有穷数列()12,,,3m a a a m ≥ ，若存在等差数列{}n b ，使得11221m m m b a b a b a b +≤<≤<<≤< ，则称数列{}n a 是一个长为m 的“弱等差数列”.（1）证明:数列124，，是“弱等差数列”;（2）设函数()sin f x x x =，()f x 在()0,2024内的全部极值点按从小到大的顺序排列为12,,,m a a a ，证明：12,,,m a a a 是“弱等差数列”;（3）证明:存在长为2024的“弱等差数列”{}n a ，且{}n a 是等比数列.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）找到一个符合条件的数列{}n b 即可证明；（2）令()0f x '=得到极值点符合的等式关系，即为y x =-和tan y x =图象交点的横坐标，再结合二者图象的特点找到交点的位置，确定数列{}n b 即可证明；（3）先构造一个等比数列{}n a ，其通项公式为()()1202411,2,,2024n n n a k k n --=+= ，证明存在一个正整数k ，使其为长为2024的“弱等差数列”即可.【小问1详解】存在数列21125,,3,366是等差数列，且211251234366<<<<<<，所以数列124，，是“弱等差数列”.【小问2详解】()sin cos f x x x x +'=，令()0f x '=得tan x x -=，所以极值点即为y x =-和tan y x =图象交点的横坐标，由y x =-和tan y x =在()0,∞+内的图象可知，在每个周期都有一个交点，所以令12n n b -=π，则1n n n b a b +<<，所以12,,,m a a a 是“弱等差数列”.【小问3详解】构造正整数等比数列{}n a ，()()1202411,2,,2024n n n a k k n --=+= ，其中k 是待定正整数，下面证明：存在正整数k ，使得等比数列{}n a 是长为2024的“弱等差数列”.取20242024202320231,1,b a b a =-=-若存在这样的正整数k 使得()()()()2202220232023202220211232023202420251111b k b k k b k k b k k b k b ≤<≤+<≤+<<≤+<≤+< 成立，所以()()()2023202220222024202320242023111d b b a a k k k k =-=-=+-+=+，由()()1202411,2,,2024n n n a k k n --=+= ，得()()()()112022202412024202311111n n n n n n n n a a k k k k k k k d ------+-=+-+=+<+=，于是()()()202420232024120242024n n n n a a a a a a b n d b -=+-++->--= ()12023n ≤≤，又因为2024202420241b a a =-<，所以当1,2,,2024n = 时，<n n b a ，而()()()1211211n n n n a a a a a a b n d b -+=+-++-<+-= ，所以1122202420242025b a b a b a b ≤<≤<<≤< ，最后说明存在正整数k 使得12a b <，由()()()()()202320222022122024202211211320241m b b d k m k k k k -=-=+---+=++-->，上式对于充分大的k 成立，即总存在满足条件的正整数k .所以，存在长为2024的“弱等差数列”{}n a ，且{}n a 是等比数列.【点睛】思路点睛：新定义题目解题策略：（1）依据新定义取特殊值证明其成立；（2）如果有多个条件，先假设符合其中一个条件，再证明其余的条件也符合.。
上海市高二数学下学期期中试卷含答案(共5套)
上海市华师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（40分）1.向量AB 对应复数32i -+，则向量BA 所对应的复数为____________.2.复数()()()22456z m m m m i m R =--+--∈，如果z 是纯虚数，那么m =______. 3.平面α的斜线与α所成的角为30︒，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为__________.4.在长方体1111ABCD A B C D -z 中，如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所围成的角为,,αβγ,那么222cos cos cos αβγ++=_________.5.已知35z i -=，则2z +的最大值为_________.6.异面直线a 与b 所成的角为50︒，P 为空间一点，则过P 点且与,a b 所成的角都是50︒的直线有_________条.7.圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是________.8.已知集合{}23,n A z z i i i i n N *==++++∈，{}1212,,B z z z z z A z A ==⋅∈∈，则集合B 中的元素共有________个. 9.设12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________. 10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在正方体的表面上与点A的所有点形成一条曲线，则曲线的长度为_________.二、选择题（4×4=16）11.下列命题中，错误的是（A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行（B ）与同一个平面所成的叫相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行12.下列命题中，错误的是（ ）（A ）圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形（B ）圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个（C ）圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个（D ）当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13.已知复数2121211,z z z z z z -=--满足，则有（ ）（A ）1021<<z z 且 （B ）1121<<z z 或（C ）1121==z z 且 （D ）1121==z z 或14.如图，正四面体ABCD 的顶点C B A ,,分别在两两垂直的三条射线Oz Oy Ox ,,上，则在下列命题中，错误的是（ ）（A ）ABC O -是正三棱锥（B ）直线ACD OB 平面||（C ）直线OB AD 与所成的角是045（D ）二面角A OB D --为045三、解答题（8+10+12+14）15.已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a R ∈，若121z z z -<，求实数a 的取值范围.16.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1,2PA AB BC ===,E 为PD 的中点.（1）求直线CE 与平面ABCD 所成角的大小；（2）求二面角E AC D --的大小, （结果用反三角函数值表示）17.如图，在正三棱锥A BCD -中，AB =点A 到底面BCD 的距离为1，E 为棱BC 的中点.（1）求异面直线AE 与CD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥A BCD -的表面积.18.已知z 是实系数一元二次方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位()Re ,Im z P z z .（1）若(),b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C :()2211x y -+=上； （2）给定圆()()222:,,0C x m y r m r R r -+=∈>，则存在唯一的线段S 满足：①若z P 在圆C 上，则(),b c 在线段S 上；②若(),b c 是线段S 上一点（非端点），则z P 在圆C 上，写出线段S 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）.上海市高二下学期期中数学卷一. 填空题1. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为2. 已知向量2(3,2,3)a x =+，(4,2,)b x x =-，若a b ⊥，则实数x 的值是3. 球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm4. 一条直线a 上的3个点A 、B 、C 到平面M 的距离都为1，这条直线和平面的关系是5. 正四面体侧面与底面所成二面角的余值6. 圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为7. 如图是三角形ABC 的直观图，ABC ∆平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8. 把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A 、B 两点间的球面距离 （结果用反三角表示）9. 下列命题（1）n 条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a 、b 不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a ∥b ；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是10. 由曲线22x y =、22x y =-、2x =、2x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满足224x y +≤、22(1)1x y +-≥、22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式11. 如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则x 、y 、z 的值分别为12. 如图，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线1AC 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 的范围分别是 、 （用集合表示）二. 选择题13. 已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l （ ）A. 与m 、n 都相交B. 与m 、n 至少一条相交C. 与m 、n 都不相交D. 至多与m 、n 中的一条相交14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 83π B. 3π C. 103π D. 6π 15. 连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于、M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：① 弦AB 、CD 可能相交于点M ；② 弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN的最大值为5；④MN 的最小值为1；其中真命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）A B C D三. 简答题17. 直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =E 、F 分别是BC 、1AA 的中点，求：（1）EF 与底面所成角的大小；（2）异面直线EF 和1A B 所成角的大小；18. 图1是某储蓄罐的平面展开图，其中90GCD EDC F ∠=∠=∠=︒，且AD CD DE CG ===，FG FE =，若将五边形CDEFG 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱；（1）图2为面ABCD 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为31250V cm =，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度，接缝及投币口的面积忽略不计）19. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，18AA =；（1）求异面直线1B C 与11A C 所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E 是线段1DD 上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题；20. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60ABC ∠=︒，PA AC a ==，PB PD ==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =；（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在棱PB 上是否存在一点F ，使三棱锥F ABC -是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；21. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心1O 且平行于母线AB 的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p 的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C 作垂直且于母线AB 的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a 的椭 圆，求椭圆的面积（椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=）；参考答案一. 填空题 1. 2π 2. 2或3- 3. 323π 4. 平行 5. 13 6. 4π 7. 直角三角形 8. 5arccos8R 9.（4） 10. 12V V =11. 16x =，13y z == 12. ， 二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）4π；（2）6π. 18.（1）略；（2）691.19.（1）10；（2）略. 20.（1）略；（2）6π.21.（1）3π；（2）212p π；（3上海市高二（下）期中数学试卷一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．2．已知向量，，若，则实数x的值是．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O1且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆的面积S=πab）．上海市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】推导出AD⊥平面ABB1A1，从而AD⊥A1B，由此能示出异面直线A1B与AD所成的角大小．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，∴AD⊥A1B，∴异面直线A1B与AD所成的角大小为．故答案为：．2．已知向量，，若，则实数x的值是4或﹣1．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】根据向量垂直，数量积为0，得到关于x 的方程解之即可．【解答】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x=0整理得到x2+3x﹣4=0，解得x=4或﹣1．故答案为：4或﹣1．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先根据球的表面积公式求出球的半径，然后根据球的体积公式求出体积即可．【解答】解：∵球的表面积为16πcm2，∴S=4πR2=16π，即R=2∴V==×8=故答案为：4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是平行．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】假设直线a与平面α相交，则必有两点在平面同一侧，得出线面平行的矛盾．【解答】解：假设直线a与平面α相交，则A，B，C三点中必有两个点在平面α同一侧，不妨设为A，B，过A，B分别作平面α的垂线，垂足为M，N，则AM∥BN，AM=BN，∴四边形AMNB是平行四边形，∴AB∥MN，又MN⊂α，AB⊄α，∴AB∥α，这与假设直线a与平面α相交矛盾，故假设错误，于是直线a与平面α平行．故答案为：平行．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，利用余弦定理求解【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，∴正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故答案为：．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入侧面积公式计算即可．【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π×1×2=4π．故答案为：4π．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是直角三角形（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法，∠x′O′y′=135°，直接判断△ABC的直观图是直角三角形．【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图；故答案为：直角三角形．8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离R•arccos（结果用反三角表示）【考点】HV：反三角函数的运用．【分析】设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R，且△AO1B为等边三角形，即AB=R；△AOB中，由余弦定理求得∠AOB的值，利用弧长共公式求得A、B两点间的球面距离．【解答】解：设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R•cos30°=R，根据A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，可得∠AO1B=60°，∴△AO1B为等边三角形，即AB=r=R．△AOB中，由余弦定理可得AB2=R2=R2+R2﹣2R2•cos∠AOB，求得cos∠AOB=，∴∠AOB=arccos，∴A、B两点间的球面距离=R•∠AOB=R•arccos，故答案为：R•arccos．9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是（4）．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】由空间中直线与平面的位置关系结合线面角逐一判断（1）、（2）、（3）错误；画图分类证明（4）正确．【解答】解：对于（1），当n条斜线段与平面所成角不等时，斜线段长相等，它们在平面内的射影长不相等，故（1）错误；对于（2），直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b或a 与b异面，故（2）错误；对于（3），与同一平面所成的角相等的两条直线位置关系有平行、相交或异面，故（3）错误；对于（4），当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成角为0°角，平面内所有直线与该直线所成角都大于等于0°；当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°，平面内所有直线与该直线所成角都等于90°；当直线为平面的斜线OA时，如图，过A作AB⊥α，垂足为B，则直线与平面所成角为∠AOB=θ，若平面内直线l与OB平行（或是OB），l与OA所成角为θ；若l与OB不平行，平移直线l过O，过B作BC⊥l=C，连接AC，l与OA所成角为∠AOC，∵sinθ=，sin∠AOC=，而AC＞AB，∴sin∠AOC＞sin∠θ，有∠AOC＞∠θ，故（4）正确．综上，正确命题的序号是（4）．故答案为：（4）．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式V1=V2．【考点】6M：用定积分求简单几何体的体积．【分析】根据题意，设截面与原点距离为|y|，分别求出s1与s2，进而由祖暅原理可得答案．【解答】解：设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1=π（22﹣2|y|）S2=π（4﹣y2）﹣π[1﹣（|y|﹣1）2]=π（22﹣2|y|），∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，即V1=V2．故答案为：V1=V2．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为，，．【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义．【分析】根据=，=，=，=，=，代入计算即可得出．【解答】解：∵=，=，=，=，=，∴=+．∴，．故答案为：，，．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是[，] 、{3} （用集合表示）【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可得出截面周长为定值，再根据对称性和基本不等式得出面积的最值．【解答】解：连结A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B设平面α与平面ABB1A1的交线为EF，则AC1⊥EF，∴EF∥A1B，同理可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设=λ，则=B1E=λ，∴=1﹣λ，∴EF+DE=λ+（1﹣λ）=，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长l为定值3．∴当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，最大面积为=，当截面为正三角形时，截面面积最小，最小面积为=．故答案为：，．二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由异面直线的定义和画法知，异面直线必须满足既不平行又不相交，即l与m，n中至少一条相交；当l与m，n都不相交时有m∥n．【解答】解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；若l与m，n都不相交时，又因m⊂α，l⊂α，所以l∥m，同理l∥n，则m∥n．故选B．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】L*：球面距离及相关计算．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选C．16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．【考点】J3：轨迹方程；LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】先确定轨迹是2个平面的交线，PC的中垂面α和正方形ABCD的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的2个固定点．【解答】解：∵MP=MC，∴M在PC的中垂面α上，点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线，∵ABCD为正方形，侧面PAD为等边三角形，∴PD=CD，取PC的中点N，有DN⊥PC，取AB中点H，可证CH=HP，∴HN⊥PC，∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是HD．故答案选B．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）由已知可得FA⊥平面ABC，可得∠FEA即为FE与底面所成角，由等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点可求AE，在Rt△AEF中求解即可（Ⅱ）由E，F都为中点，考虑取AB的中点G，则可得FG∥BA1，从而有∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）分别求解FE，EG，FG，从而可求【解答】解：（Ⅰ）连接FE，由已知可得FA⊥平面ABC∴∠FEA即为FE与底面所成角∵等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点∴AE=∵△AEF中AF=，AE=∴∠AEF=45°即FE与底面所成角45°（Ⅱ）取AB的中点G，连接FG，EG则可得FG∥BA1所以∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）由（Ⅰ）可得FE=2，为FG=，EG=1所以可得∠GFE=30°异面直线EF和A1B所成角的大小为30°18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）根据储蓄罐的平面展开图，直接画出储蓄罐的直观图即可．（2）设AD=a，求出五边形CDEFG的面积，利用几何体的体积，求出a，然后求出几何体的表面积．【解答】解：（1）该储蓄罐的直观图如右图所示．（2）若设AD=a，则五边形CDEFG的面积为，得容积，解得a=10，其展开图的面积，因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L3：棱锥的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接AC、AB1，易知∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角，在△B1CA中利用余弦定理解之即可即可求出异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（2）本小题是开放题，第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值，根据三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高可得结论．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增，根据三随着DE增大而增大可得结论．棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC【解答】解：（1）如图，连接AC、AB1，由，知A1ACC1是平行四边形，则，所以∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角．﹣﹣﹣﹣﹣在△B1CA中，，，则，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）若学生能提出一些质量较高的问题，则相应给，有解答的再给．而提出一些没有多大价值的问题则不给分．若提出的问题为以下两种情况，可以相应给分．第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣问题解答：如图，因为DD1∥平面B1BCC1，所以D1D上任意一点到平面B1BCC1的距离相等，因此三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而，所以三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题为求三棱锥E﹣B1BC的体积，则根据上述解答相应给分．2）若在侧面B1BCC1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在侧面A1ABB1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣为定值，问题解答：因为，知S△ADC随着DE增大而增大，又因为DE∈（0，8），则三棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC﹣﹣﹣﹣即三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题是求三棱锥E﹣ADC的体积范围，也可相应给分．=8，而，DE∈（0，8），﹣﹣﹣﹣解答：因为S△ADC则．﹣﹣﹣﹣．2）若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在底面A1B1C1D1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似（单调递减），可相应给分．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LW ：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知求解三角形可得PA ⊥AB 、PA ⊥AD ．再由线面垂直的判定得PA ⊥平面ABCD ；（2）直接利用反证法证明在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥；（3）作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，可得∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，然后求解直角三角形得EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小．【解答】（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴AB=AD=AC=a ．在△PAB 中，由PA=AB=a ，知PA 2+AB 2=2a 2=PB 2，则PA ⊥AB ． 同理PA ⊥AD ．又AB ∩AD=A ，∴PA ⊥平面ABCD ；（2）解：在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 事实上，假设在棱PB 上存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 过F 作底面ABC 的垂线，垂直为O ，则O 为△ABC 的中心， 在平面PAB 内，过F 作FM ∥PA ，交AB 于M ，则FM ⊥平面PAB ，这样，过平面ABC 外一点F ，有两条直线FO ，FM 与平面ABC 垂直，错误． 故假设不成立，即在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥．（3）解：作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，∴∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，大小为θ． ∵PE ：ED=2：1，∴a ，AG=a ，a ．从而，即．。
上海市好学校高二下学期期中数学试题(解析版)
一、填空题 1．若，是第二象限角，则______． 1sin 3α=αcos α=【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为，是第二象限角， 1sin 3α=α所以cos α==故答案为：2．已知向量，若∥，则______. (2,1,3),(4,2,)a b x =-=-a b x =【答案】-6【分析】利用向量平行列方程，即可求解.【详解】因为向量，且∥，(2,1,3),(4,2,)a b x =-=-a b 所以=，ab λ 所以，解得：. 42213x -==-6x =-故答案为：-6.3．若复数 (是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为____ ()()12z ai i =+-i a 【答案】-2【分析】将整理为，根据纯虚数的定义得到方程组，求解得到结果.z ()()221a a i ++-【详解】()()222221z i ai ai a a i =-+-=++-是纯虚数z 20210a a +=⎧∴⎨-≠⎩2a ⇒=-本题正确结果：2-【点睛】本题考查纯虚数的定义，属于基础题.4．计算_____________．123ii +∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑【答案】2【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.【详解】.122322313+∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭-∑ii 故答案为：2.5．已知，则______． ()cos 2f x x =()f x '=【答案】2sin 2x -【分析】根据简单复合函数的求导法则计算可得.【详解】因为，则.()cos 2f x x =()()'sin 222sin 2f x x x x =-⋅=-'故答案为：2sin 2x -6．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石．验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为______石．（精确到整数） 【答案】169【分析】根据给定条件，利用分层抽样的意义列式计算作答. 【详解】设这批米内夹谷约为x 石，依题意，，解得， 281534254x =169x ≈所以这批米内夹谷约为169石. 故答案为：169 7．已知，则______． 1()x f x x+=0(2)(2)lim h f h f h →+-=【答案】/.14-0.25-【分析】先求出，然后代入中求解即可.(2)(2)f h f +-0(2)(2)lim h f h f h→+-【详解】因为， 11()1x f x x x+==+所以， 1111(2)(2)1122222(2)h f h f h h h -⎛⎫+-=+-+=-= ⎪+++⎝⎭所以，000(2)(2)lim lim l 112(2)2(2)4im h h h hf h f h h h h →→→+--++==-=-故答案为：.14-8．若双曲线(，)的渐近线方程为，则双曲线的离心率______．22221x y a b-=0a >0b >32y x =±e =【分析】由题知，再根据离心率公式求解即可. 32b a =【详解】解：双曲线(，)的渐近线方程为，22221x y a b-=0a >0b >32b y x x a =±=±所以，双曲线的焦点在轴上，且x 32b a =所以，双曲线的离心率e ==9．如图，在棱长为1的正方体中，点A 到平面距离是______．1111ABCD A B C D -1A DB【分析】利用等体积法求得到平面的距离.A 1A BD【详解】 11A B BD A D ===1A BD A 设到平面的距离为，根据，A 1A BD d 11A ABD A A BD V V --=则，211111113232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯解得d10．函数的导函数的图像如图所示，以下结论正确的序号是______．()y f x =()y f x '=（1）是函数的极值点； 3-()y f x =（2）是函数的极小值点1-()y f x =（3）在区间上严格增； ()y f x =()3,1-（4）在处切线的斜率大于零； ()y f x =0x =【答案】（1）（3）（4）；【分析】利用导函数与原函数的关系一一判定即可.【详解】由图象可得时，，且时，时，即是函3x =-()30f '-=3x <-()0f x '<3x >-()0f x ¢>3-数的极小值点，（1）正确；()y f x =而时，，但与时，，∴不是函数的极值点，=1x -()10f '-=1x <-1x >-()0f x ¢>1-()y f x =（2）不正确；由图象可知上，∴在区间上严格增，（3）正确；()3,1-()0f x ¢>()y f x =()3,1-处，所以该处切线的斜率大于零，（4）正确；0x =()0f x ¢>故答案为：（1）（3）（4）；11．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则O F 2212x y +=P 的取值范围为_______． 22||||OP PF +【答案】2,5⎡+⎣【分析】设，则，由两点距离公式即可得所求取值的函数，进而(),P x y ()2212x y x ⎡=-∈⎣讨论范围即可.【详解】由题意得，，，设，则， ()0,0O ()1,0F -(),P x y ()2212x y x ⎡=-∈⎣则. ()()()2222222222|1121122,||2|5x x y x y x x OP PF x ⎛⎫⎡=++++=+++-=++∈+ +⎪⎣⎝⎭故答案为：2,5⎡+⎣12．已知数列为严格递增数列，且对任意，都有且．若对任意{}n a ,1n n ∈≥N n a ∈N 1n a ≥3n a a n =恒成立，则________． ,1n n ∈≥N 20211999a a -=【答案】66【分析】根据恒成立和严格递增可得，然后利用递推求出，的值，3n a a n =12a =3n a a n =729a 1458a 不难发现在此两项之间的所有项为连续正整数，于是可得，，然后可解.12922021a a a =12701999a a a =【详解】因为，且数列为严格递增数列，13a a ={}n a 所以或，若，则（矛盾），故11a =12a =11a =113a a a ==12a =由可得：，，，，，3n a a n =123a a a ==236a a a ==369a a a ==6918a a a ==91827a a a ==，，，，，182754a a a ==275481a a a ==5481162a a a ==81162243a a a ==162243486a a a ==243486729a a a ==，，，4867291458a a a ==72914582187a a a ==因为，，，且数列为严格递增数列，7291458a =14582187a =218714581458729729-=-={}n a ，n a ∈N 所以，，12922021a =12701999a =所以， 129220213876a a a ==127019993810a a a ==所以 199920213876381066a a a -=-=故答案为：66二、单选题13．在空间中，“直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”的 m ⊥αm αA ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】A【详解】若“直线 平面”则“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”，正确；反之，若“直m ⊥αm α线与平面内无穷多条直线都垂直 ”则“直线 平面”是错误的，故直线 平面”是“直m αm ⊥αm ⊥α线与平面内无穷多条直线都垂直 ”的充分非必要条件. m α故选A.14．用数学归纳法证明等式“”，当时，等式左边应在()()()12321121n n n +++⋅⋅⋅++=++1n k =+的基础上加上（ ）n k =A ．B ．21k +23k +C ． D ．()()2223k k +++()()()212223k k k +++++【答案】C【分析】由数学归纳法可知时，左端为，到时，左端n k =123(21)k +++⋯++1n k =+，从而可得答案．123(23)k +++⋯++【详解】解：用数学归纳法证明等式时， 123(21)(1)(21)n n n +++⋯++=++当左边所得的项是；1n =123++假设时，命题成立，左端为；n k =123(21)k +++⋯++则当时，左端为，1n k =+123(21)(22)[2(1)1]k k k +++⋯+++++++当时，等式左边应在的基础上加上．∴1n k =+n k =(22)(23)k k +++故选：C.15．已知，，设直线，其中，给出下列结论： R α∈()ππ2k k α≠+∈Z :tan l y x m α=+0m ≠①直线的法向量与向量垂直； l ()cos ,sin a αα=②若，则直线与直线的夹角为； π04α<<l y x =π4α-③直线与直线平行；上述结论正确的个数是（ ） l ()sin cos 0x y n n m αα-+=≠A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个【答案】B【分析】对①，写出方向向量，由向量共线与坐标的关系即可判断；对②，由斜率及倾斜角的关系求得两直线倾斜角，即可求得夹角；对③，两直线平行需进一步判断是否存在重合.【详解】对于①，直线的方向向量是，则， l ()1,tan n α=n c s ta os in ααα⨯=所以向量与向量共线， ()1,tan n α= ()cos ,sin a αα=故直线的法向量与向量垂直，即①正确； l ()cos ,sin a αα=对于②，当时，直线的斜率是，倾斜角是， π04α<<l tan αα直线的斜率是，㑔斜角是，两直线的夹角为，故②正确；y x =1π4π4α-对于③，直线的斜率是，在轴上的截距是， l tan k α=y m 直线的斜率是，且在轴上的截距是， sin cos 0x y n αα-+=tan k α=y cos nα当时，两直线重合，不平行，故③错误； cos nm α=综上，是真命题的序号是①②； 故选：B. 16．已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；||||:143x x y y C +=-x C②若 为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（ ） ()()111222,,,P x y P x y C 12120y y x x -<-A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题【答案】A【分析】化简曲线方程，画出图像判断①，利用函数单调减判断② 【详解】曲线, ||||:143x x y y C +=-当当 当画出图像如图，易知①220,0,1;34y x x y ><-=220,0,1;43x y x y <>-=220,0,1;43x y x y <<+=正确；易知函数为减函数，则人任意两点斜率，②正确 12120y y k x x -=<-故选：A三、解答题17．已知数列的前n 项和．{}n a 2n S n =(1)求证：数列是等差数列； {}n a (2)令，求的表达式． 12231111n n n T a a a a a a +=++⋅⋅⋅+n T 【答案】(1)证明见解析 (2) 21n nT n =+【分析】（1）根据求出数列的通项，再根据等差数列的定义即可得证；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a （2）利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由，2n S n =当时，，1n =111a S ==当时，， 2n ≥()221121n n n a S S n n n -=-=--=-当时，上式也成立， 1n =所以，21n a n =-又， ()121212n n a a n n +-=+--=所以数列是等差数列；{}n a （2），()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+则 12231111n n n T a a a a a a +=++⋅⋅⋅+. 11111111112335212122121n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭18．已知函数，常数．()e 1xf x mx =--0m >(1)若函数的图像在点处的切线方程为，求实数的值； ()y f x =()()0,0f 0y =m (2)求函数的单调区间和极值，说明理由； ()y f x =【答案】(1)1(2)单调递减区间为，单调递增区间为，，无极大值. (,ln )m -∞(ln ,)m +∞()ln 1f x m m m =--极小值【分析】（1）求出函数的导函数，依题意由，即可求出的值； ()00f '=m （2）求出函数的导函数，再求出函数的单调区间与极值即可.【详解】（1）因为，所以，，则，()e 1x f x mx =--()00f =()e xf x m '=-()01f m '=-因为函数的图像在点处的切线方程为， ()y f x =()()0,0f 0y =所以，解得.()010f m '=-=1m =（2）函数的定义域为，，()e 1x f x mx =--R ()e x f x m '=-又，在上单调递增，由，解得， 0m >()e x f x m '=-R ()0f x '=ln x m =当时，，当时，，ln x m <()0f x '<ln x m >()0f x '>即函数在上单调递减，在上单调递增，()f x (,ln )m -∞(ln ,)m +∞所以在取得极小值，即，无极大值， ()f x ln x m =()()ln ln 1f x f m m m m ==--极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，()f x (,ln )m -∞(ln ,)m +∞，无极大值.()ln 1f x m m m =--极小值19．某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童．此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，还为公司获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为5000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为20万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．(1)求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益； (2)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？ 【答案】(1)8745，1686元 (2)37天【分析】（1）根据等比数列的性质求出结果；（2）对活动天数进行讨论，列出不等式求出的范围即可.x x 【详解】（1）设第天的捐步人数为，则且，x ()f x ()()()15000115%,1303030x x f x f x -⎧+≤≤⎪=⎨>⎪⎩，()f x N *∈∴第5天的捐步人数为．()()455000115%8745f =⋅+≈由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为5000，公比为1.15， ∴前5天的捐步总收益为元.()51 1.150.0516861150.1050-⨯≈-（2）设活动第天后公司捐步总收益可以回收并有盈余， x 若，则，130x ≤≤()1 1.150.052000001 1.015500x -⨯>-解得（舍）．1.15log 9134x >≈若，则，30x >()()30291 1.1550001.1505300.052000001 1.1[]500x -+⋅>⋅-⋅-解得36.38x >∴活动开始后第37天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余.20．已知，点满足，记点的轨迹为.斜率为的直线过点，12(2,0),(2,0)F F -P 122PF PF -=P Γk l 2F 且与轨迹相交于两点. Γ,A B （1）求轨迹的方程； Γ（2）求斜率的取值范围；k （3）在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存x M l 2F M A M B ⊥在，求出定点；如果不存在，请说明理由.M 【答案】（1）；（2）；（3）存在，.221(0)3y x x -=>(,)-∞⋃+∞()1,0M -【分析】（1）根据双曲线的定义即可求得方程； （2）联立直线与双曲线方程，转化成方程有解问题；（3）假设存在点，联立直线和双曲线整理成二次方程，根据结合韦达定理求解. M 0MA MB ⋅=【详解】（1）因为，点满足， 12(2,0),(2,0)F F -P 12122P F F PF F -=<所以点的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，P 12(2,0),(2,0)F F -设其方程，则22221,(0)x y x a b -=>2,1,c a b ===所以轨迹的方程：；Γ221,(0)3y x x -=>（2）斜率为的直线过点，直线方程为，代入， k l 2F ()2y k x =-2213y x -=，即有两个不等正根，()22230443x k x x -+--=()222234430k x k x k -+--=12,x x ， ()()2422212221223016434300343043k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆=---->⎪⎪⎪⎨+=->⎪-⎪--⎪=>⎪-⎩由得，当时，22034k k ->-23k >23k >224303k k -->-且()()4221643430k k k ∆=---->即不等式组的解：23k >所以；(),k ∈-∞+∞（3）假设存在，设点，使， ()()()1122,0,,,,M m A x y B x y M A M B ⊥由（2）：斜率为的直线过点，直线方程为，代入， k l 2F ()2y k x =-2213y x -=，即有两个不等正根，()22230443x k x x -+--=()222234430k x k x k -+--=12,x x ， ()()2422212221223164343034433k k k k kx x k k x x k ⎧>⎪∆=---->⎪⎪⎪⎨+=-⎪-⎪--⎪=⎪-⎩，所以，M A M B ⊥()()11220,,,0MA MB x m y x m y ⋅=-⋅-=()()12120x m x m y y --+=()()()()1212220x m x m k x k x --+--=()()()222212121240kx x k m x x m k +-++++=()()22222222443124033k k k k m m k k k ⎛⎫--+⋅-+-++= ⎪--⎝⎭4242222244738314240k k k k m m k m k k ---+++-+-=，对恒成立，()22245330k m m m -+++-=23k >所以，解得，即，22450330m m m ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩1m =-()1,0M -当直线斜率不存在时，直线方程，此时，l 2x =()()2,3,2,3A B -，仍然满足，()()3,33,30MA MB ⋅=⋅-=M A M B ⊥所以这样的点存在，.()1,0M -【点睛】此题考查求双曲线方程，注意考虑图象限制范围，通过直线与双曲线位置关系求参数范围，结合韦达定理解决相关定点问题.21．设常数．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l ：x=t ，曲线：2t >Γ，与x 轴交于点A 、与交于点B ．P 、Q 分别是曲线与线段AB 上的动()280,0y x x t y =≤≤≥l ΓΓ点．（1）用t 表示点B 到点F 距离；（2）设，，线段OQ 的中点在直线FP 上，求的面积；3t =||2FQ =AQP △（3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在上？若存在，求点P 的坐Γ标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2；（3）存在，． 2BFt =+23P ⎛ ⎝【分析】（1）方法一：设出点坐标，根据两点间距离公式求解出的值， B BF 方法二：根据抛物线的定义，即可求得的值；BF （2）根据抛物线的性质，求得点坐标，即可求得的中点坐标，即可求得直线的方程，代Q OQ PF 入抛物线方程，即可求得点坐标，则的面积可求；P AQP △（3）设坐标，根据求得直线的方程和点坐标，再根据求得,P E 1PF FQ k k ⋅=-QF Q FP FQ FE +=E点坐标，则根据可求得点坐标. 22200048()8(6)48y y y +=+P 【详解】解：（1）方法一：由题意可知：设，则，∴(,B t ||2BF t ==+；||2BF t =+法二：由题意设，由抛物线的性质可知：，∴； (,B t ||22pBF t t =+=+||2BF t =+（2），，，，则， (2,0)F ||2FQ =3t =()3,0A ||1FA =∴∴，设的中点，||AQQ OQ D ∴，方程：， 3(2DPFk ==PF 2)y x =-联立，整理得：，解得：，（舍去）， 22)8y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩2320120x x -+=23x =6x =∴的面积； AQP △117223A P S AQ x x =⋅⋅-==（3）存在，设，，则且，∴， 200(,)8y P y 2(,)8m E m 00220081628PF y yk y y ==--PF FQ ⊥200168FQ y k y -=直线方程为，∴，， QF 20016(2)8y y x y -=-22000016483(82)84Q y y y y y --=-=200483(8,)4y Q y -又因为四边形为矩形，所以，则， FPEQ FP FQ FE += 2200048(6,84y y E y ++∴，解得：，即， 22200048(8(6)48y y y +=+20165y=25P ⎛ ⎝∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．FP FQ FPEQ EΓ2(5P 【点睛】关键点点睛：解答本题第三问的关键在于利用矩形的两个特点去分析问题：（1）FPEQ ，由此可知，利用坐标完成计算；（2）平行四边形法则，由此可知向量关PF FQ ⊥1PF FQ k k ⋅=-系式.FP FQ FE +=。
上海市高二下学期期中数学试题(解析版)
徐汇中学2022学年第二学期高二年级数学期中2023.4一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 设，若直线l 经过点､，则直线l 的斜率是___________. a ∈R (,2)A a (1,3)B a +【答案】1 【解析】【分析】利用直线的斜率公式求解.【详解】解：因为直线l 经过点､， (,2)A a (1,3)B a +所以直线l 的斜率是，3211k a a-==+-故答案为：12. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______.2212x y m m+=-m 【答案】 ()()0,11,2U 【解析】【分析】由题意可得，解不等式组可得答案0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩【详解】因为方程表示椭圆，2212x y m m+=-所以，得且.0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩02m <<1m ≠所以实数的取值范围是， m ()()0,11,2U 故答案为：()()0,11,2U 3. 若直线l 经过点，且与圆相切，则直线l 的方程是___________. (1,3)2210x y +=【答案】 3100x y +-=【解析】【分析】分析可得点在圆上，故直接根据过圆心与切点的直线与直线l 垂直即可求得直(1,3)2210x y +=线l 的斜率，进而求得方程【详解】因为，故点在圆上，又圆心到的斜率为， 221310+=(1,3)2210x y +=()0,0()1,330310-=-故直线l 的斜率，故直线l 的方程是，化简可得 13k =-()1313y x -=--3100x y +-=故答案为：3100x y +-=4. 设m 为实数，若方程表示圆，则m 的取值范围为______． 22240x y x y m ++-+=【答案】 (),5-∞【解析】【分析】将方程配成圆的标准方程形式，根据圆的标准方程即可求解. 【详解】方程，即 22240x y x y m ++-+=22(1)(2)5x y m ++-=-，若它表示圆，则，即 50m -> 5.m <故答案为：.(),5-∞5. 平行直线之间的距离为__________．0x =390y +-=【答案】【解析】【分析】直接由平行线的距离公式求解即可.即为， 390y +-=0x-=则平行直线.0x +=390y +-=故答案为：6. 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l 为______． ()5,2A 【答案】或 250x y -=70x y +-=【解析】【分析】根据给定条件，利用直线l 过原点和不过原点分类，结合直线方程的截距式求解作答. 【详解】依题意，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，方程为，即l l 25y x =250x y -=；当直线不过原点时，设直线的方程为，于是，解得，方程为， l l 1x y a a +=521a a+=7a =70x y +-=所以直线的方程为或. l 250x y -=70x y +-=故答案为：或 250x y -=70x y +-=7. 双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为______．22:1824x y C -=()2224x y -+=【答案】2 【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，再利用几何法求出弦长作答.C【详解】双曲线，22:1824x y C -=0y ±=圆的圆心为，半径，点到渐近线的距离，()2224x y -+=(2,0)2r =(2,0)d ==所以所求弦长为. 2==故答案为：28. 已知双曲线，、是其两个焦点，点M 在双曲线上，若，则22149x y -=1F 2F 1260F MF ∠=︒12F MF △的面积为______．【答案】 【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算作12||||MF MF ⋅答.【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，有，22149x y -=2a =c =124|||||2|MF MF a -==在中，由余弦定理得，12F MF △22212121212||||||2||||cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠即有，21212122|)|||)2||c |(||(1o |s 60F F MF MF MF MF =-+-因此，解得，2212)((12||2||14MF MF +-=126||||3MF MF ⋅=所以的面积为. 12F MF△12121sin 602F MF S MF MF =⋅= 故答案为：9. 已知在中，其中的平分线所在的直线方程为，则点坐ABC ()()1,4,6,3,B C BAC ∠10x y -+=A 标为__________. 【答案】 ()0,1【解析】【分析】求出关于直线的对称点，可得的直线方程，联立解出即可得出的坐B 10x y -+=B 'CB 'A 标．【详解】关于直线的对称点；(1,4)B 10x y -+=(),B a b ' ， 141022411a b b a ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩⇒32a b =⎧⎨=⎩，，()3,2B ∴'(6,3)C 的直线方程为，CB ∴'330x y -+=则由角平分线以及对称可知一定在直线上， (),B a b 'AC 联立，解得，，33010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩01x y =⎧⎨=⎩(0,1)A ∴故答案为：()0,110. 已知直线和双曲线，若l 与C 的右支交于不同的两点，则t 的取值范围是:2l y tx =+22:8C x y -=______． 【答案】(1)-【解析】【分析】联立直线与双曲线的方程，利用判别式及韦达定理求解作答.l C 【详解】由消去y 得：，由于l 与C 的右支交于不同的两点， 2228y tx x y =+⎧⎨-=⎩22(1)4120t x tx -++=则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等，l C 于是，解得， 2222Δ1648(1)04011201t t t t t ⎧⎪=-->⎪⎪->⎨-⎪⎪>⎪-⎩1t <<-所以t 的取值范围是.(1)-故答案为：(1)-11. 已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则2212160x y x y +--=()3,4AC BD 四边形的面积为______． ABCD 【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出过定点的圆的最长、最短弦长，再求出四边形面积作答. 【详解】依题意，圆的圆心，半径，()()2268100x y -+-=()6,8M 10r =点与圆心的距离，()3,4Q ()6,8M 510QM ==<则点在圆内，过点及圆心的直线与圆相交，得最长弦长， ()3,4Q ()3,4Q 220AC r ==当时，最短，过的最短的弦长QM BD ⊥BD ()3,4Q BD ==所以四边形的面积ABCD 112022ABCD S AC BD =⋅=⨯=故答案为：12. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定xOy 点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线C 上12(,0),(,0)-F a F a 2(0)a a >C ()00,P x y 一点.下列说法中正确的有________ .①双纽线关于原点中心对称； ②；③双纽线上C O 022a ay -≤≤C满足的点有两个； ④..12PF PF =P ||PO【答案】①②④ 【解析】【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于(,)x y --(,)x y ②，根据三角形的等面积法分析判断，对于③，由题意得，从而可得点在轴上，进行可12PF PF =P y 判断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断.【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于xOy 12(,0),(,0)-F a F a 的点的轨迹称为双纽线，2(0)a a >C，2a =用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确， (,)x y --(,)x y C O 对于②，根据三角形的等面积法可知， 1212011sin 222PF PF F PF a y ∠=⨯⨯即，所以，所以②正确， 012sin 22a a y F PF =∠≤022a ay -≤≤对于③，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即， C P 12PF PF =P y 0x =，得，所以这样的点只有一个，所以③错误，2a =0y =P 对于④，因为，121()2PO PF PF =+所以， ()()2222211221*********cos 44PO PF PF PF PF PF PF PF F PF PF =+⋅+=+⋅∠+ 由余弦定理得，22211212242cos a PF PF PF F PF PF =-⋅∠+ 所以，22222121212cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+⋅∠=+∠≤所以的，所以④正确， ||PO 故答案为：①②④二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）13. 方程表示焦距为λ的值为（ ）222143x y λλ+=--A. 1 B. -4或1C. -2或-4或1D. -2或1【答案】A 【解析】【分析】分类讨论和分别小于0时的情况，即可得到实数λ的值 24λ-3λ-【详解】解：由题意在双曲线中，焦距即222143x y λλ+=--2c =c =当即时， 24030λλ⎧-<⎨->⎩22λ-<<c ===解得：（舍）或2λ=-1λ=当即时，24030λλ⎧->⎨-<⎩3λ>c ===解得：（舍）或（舍） 4λ=-3λ=综上， 1λ=故选：A.14. 若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k 的取值范围是:3(1)l y k x -=-:C y =（ ） A. B. C. D. 4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭43,32⎛⎤⎥⎝⎦40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭43,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可【详解】直线过定点 ，:3(1)l y k x -=-(1,3)曲线为以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示:C y =(0,0)y 当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 . l (1,0)-l 03k k =-+-32k =当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离l C (0,0):3(1)l y k x -=- ，解得1d 43k =结合图像可知，当 时，直线 和曲线 恰有两个交点 4332k <≤l C 故选：B15. 当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为A 2214x y +=A ()2022,0B AB P （ ） A.B.()2220221164x y -+=()2220221164x y ++=C.D.()22101114x y -+=()22101141x y -+=【答案】D 【解析】【分析】设，，结合中点坐标公式，利用点坐标表示出点坐标，代入椭圆方程中()00,A x y (),P x y P A即可求得点轨迹方程.P 【详解】设，，()00,A x y (),P x y 为中点，，则，即， P AB 00202222x x y y +⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩00220222x x y y =-⎧⎨=⎩()22022,2A x y -又在椭圆上，，即，A 2214x y +=()2222022414x y -∴+=()22101141x y -+=点轨迹方程为：.P ∴()22101141x y -+=故选：D.16. 数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小r 4r 圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任点形成的轨迹即为星形线.如图，已知，起始位置时大圆与1r =小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论： A A x A C ①曲线上任意两点间距离的最大值为8； C ②曲线的周长大于曲线的周长； :4D x y +=C ③曲线与圆有且仅有4个公共点. C 224x y+=其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分析曲线经过的特殊点，据此分析3个结论，即可得答案． C 【详解】根据题意,大圆周长是小圆周长的4倍，故当大圆转动周时，小圆转动了一周，根据对称性，14故可知曲线经过，，，， 且这些点是曲线距离原点最远的点， C (4,0)A (0,4)B (4,0)C -4(0,)D -C 对于①，曲线上，或之间的距离最大，且，即任曲线上任意两点间距离的最C AC BD ||||8AC BD ==C 大值为8，正确；对于②曲线，图形为图中的正方形，必有的周长小于曲线的周长； :||||4D x y +=D C 对于③，曲线与圆有且仅有4个公共点，即四点，正确；C 224x y +=ABCD正确的是①③， 故选：C三、解答题（本大题共有5题，满分48分）17. 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：. 2(1)10x a y a +-+-=（1） 当l 1//l 2时，求实数a 的值； （2） 当l 1⊥l 2时，求实数a 的值. 【答案】（1）-1；（2）. 23【解析】【分析】（1）根据两直线平行的位置关系建立关系式求解参数即可； （2）根据两直线垂直的位置关系建立关系式求解参数即可. 【详解】解：由题意得：（1）(方法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：，l 2： 32a y x =--()111y x a a=-+-时， 解得a ＝-112l l //()12131aa a ⎧-=⎪-⎨⎪-≠-+⎩综上可知，当a ＝-1时，l 1//l 2 (方法2)∵l 1//l 2∴⇔解得a ＝－1 2(1)120(1)160a a a a --⨯=⎧⎨--⨯≠⎩2220(1)6a a a a ⎧--=⎨-≠⎩故当a ＝－1时，l 1//l 2.（2）(方法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：，l 2：由，得 32a y x =--1(1)1y x a a =-+-1121a a⎛⎫-⋅=- ⎪-⎝⎭23a =(方法2)∵l 1⊥l 2，∴a ＋2(a －1)＝0，解得 23a =18. 在平面直角坐标系内，已知点P 及线段l ，Q 是线段l 上的任意一点，线段长度的最小值称为“点PQ P 到线段l 的距离”，记为．(),d P l （1）设点，线段，求；()2,0P ():02l y x x =≤≤(),d P l （2）设l 是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积． (){},1D P d P l =≤【答案】（1（2）4π+【解析】【分析】（1）根据“点P 到线段l 的距离”的定义结合两点的距离公式即可得出答案；（2）设线段的端点分别为A ，B ，以直线为x 轴，的中点为原点建立直角坐标系，则l AB AB ()1,0A -，,则集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，从()10B ,(){},1D P d P l =≤而可求解.【小问1详解】可设，(),,02Q a a a ≤≤则， PQ ==当时，， 1a =min PQ =所以(,)d P l =【小问2详解】设线段的端点分别为A ，B ，以直线为x 轴，的中点为原点建立直角坐标系，l AB AB 则，，点集D 由如下曲线围成：()1,0A -()10B ,，，，，1:1l y =()1x ≤2:1l y =-()1x ≤，，，， ()221:11C x y ++=()1x ≤-()222:11C x y -+=()1x ≥∴集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，(){},1D P d P l =≤∴其面积为. 22π4πS =+=+19. 已知双曲线C 的方程为．2222x y -=（1）直线截双曲线C 所得的弦长为，求实数m 的值；y x m =+（2）过点作直线交双曲线C 于P 、Q 两点，求线段的中点M 的轨迹方程．()2,1-PQ 【答案】（1）1m =±（2）22240x y x y ---=【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式即可求出值；m （2）设,，利用点差法结合中点公式即可得到，化简()()1122,,,,(,)P x y Q x y M x y ()2,1A -212x y y x +=-即可.【小问1详解】联立,得， 2222y x m x y =+⎧⎨-=⎩22220x mx m ---=直线被双曲线截得的弦长为,y x m =+C 224480m m ∴∆=++>设直线与双曲线交于,()()1122,,,Ax y B xy 则,212122,2x x m x x m ==--+由弦长公式得,=解得.1m =±【小问2详解】设,，则 ()()1122,,,,(,)P x y Q x y M x y ()2,1A -，12122,2x x x y y y +=+=，2222112222,22x y x y ∴-=-=上式作差得，()()1212420x x x y y y ---=当直线的斜率不存在时，根据双曲线对称性知，PQ ()2,0M 当直线的斜率存在时，但时，此时直线为直线，根据双曲线对称性知， PQ 120y y +=PQ OA ()0,0M 当直线的斜率存在时，且时，， PQ 120y y +≠12122PQ y y x k x x y-==-，，化简得，其中， 12AM y k x +=- 212x y y x +∴=-22240x y x y ---=2,0x y ≠≠而点，适合上述方程，()2,0()0,0则线段的中点的轨迹方程是. PQ M 22240x y x y ---=20. 已知圆M 方程为，直线的方程为，点在直线上，过P 作圆M 的切()2221x y +-=l 20x y -=P l 线、，切点为A 、B ．PA PB （1）若P 点坐标为，求)(0,0APB ∠（2）经过A 、P 、M 三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．M 【答案】（1）60APB ∠=o （2）是， 42,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用特殊角的三角函数和对称性即可得到答案；（2）设，计算出中点坐标，写出圆的方程，整理，利用方程恒成立得到方程组，解出即()2,P m m MP 可.【小问1详解】因为点坐标为，所以，P ()0,02MP =又因为，所以,故.1MA MB ==30MPA MPA ︒∠=∠=60APB ∠=o 【小问2详解】设的中点，因为为圆的切线， ()2,,P m m MP ,12m Q m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭PA M 所以经过三点的圆是以为圆心，为半径的圆，A P M 、、Q MQ 故其方程为 ()22221122m m x m y m ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得， ()222220x y y m x y +--+-=由，解得（舍）或 2220220x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩02x y =⎧⎨=⎩4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以经过三点的圆经过异于点的定点. A P M 、、M 42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭21. 已知椭圆E ：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线()222210x y a b a b+=>>l ：与椭圆E 相切于点T ．3y x =-+（1）求椭圆E 的离心率；（2）求椭圆E 的标准方程及点T 的坐标；（3）设O 为坐标原点，直线l ＇平行于直线OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，那么是否存在常数λ，使得？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理2PTPA PB λ=⋅由．【答案】（1（2）， 22163x y +=()2,1T （3） 45【解析】【分析】（1）由题意可得，由离心率的公式求解即可.a =（2）利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去得关于的方程有两个相等的实数根，解出y xb 的值，从而得到椭圆的方程；E （3）设直线的方程为，由方程组，解出点的坐标，求出，l '1(0)2y x m m =+≠123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，，P 2PT 把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，即可得出l '1212,x x x x +PA PB ⋅12,x x 答案.【小问1详解】椭圆E ：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，()222210x ya b a b+=>>所以，. a =b a =c e a ===所以椭圆E. 【小问2详解】 由（1）知，，则椭圆E 的方程为. a =222212x y b b+=由方程组 得.①2222123x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩22312(182)0x x b -+-=方程①的判别式为，由，得， 2=24(3)b ∆-=0∆2=3b 此时方程①的解为，=2x 所以椭圆E 的方程为. 22163x y +=点T 坐标为（2,1）.【小问3详解】由已知可设直线的方程为， l '1(0)2y x m m =+≠由方程组 可得 123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，，22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以P 点坐标为（），. 222,133m m -+2289PT m =设点A ，B 的坐标分别为.1122,,()()A x y B x y ，由方程组 可得.② 2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，2234(412)0x mx m ++-=方程②的判别式为，由，解得. 2=16(92)m ∆->0∆m <<由②得. 212124412=,33m m x xx x -+-=所以， 123m PA x ==-同理， 223m PB x =-所以 12522(2)(2)433m m PA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m m x x x x =---++ 225224412(2)(243333m m m m -=----+. 2109m =故存在常数，使得. 4=5λ2PT PA PB λ=⋅。
上海市高二第二学期期终考试数学卷(共3套,含答案)
上海市位育中学第二学期高二期终考试数学卷一、填空题（每题4分，共56分）1、设a <0，则a 的平方根是____________．2、若(x +1)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 10(x -1)10，则系数a 0=____________．3、在复平面内，复数11i +、11i-对应的点分别为A 、B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．4、正四面体ABCD 的棱AD 与面ABC 所成角的大小为____________．5、从2、4中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为____________．6、棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点， 则点D 1到直线AE 的距离是____________．7、五个数1,2,5,a ,b 的均值为3，方差为2，则这五个数的中位数是____________．8、湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm ，深2 cm 的空穴，则该球的体积是____________cm 3． 9、2100被9除的余数为____________．10、在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x 位，其中恰有1位的成绩是72的概率是815，则x 等于____________． 11、P 是半径为1的球面上任意一点，PA 、PB 、PC 是两两互相垂直的三条弦，则PA 2+PB 2+PC 2=____________．12、对任意一个非零复数z ，定义集合{|,*}n z M w w z n ==∈N ．设α是方程10x x+=的一个根，若在M a 中任取两个数，则其和为零的概率P =____________．13、已知球O l 、O 2的半径分别为l 、r ，体积分别为V 1、V 2，表面积分别为S 1、S 2，当r ∈(1,+∞)时，2121V V S S --的取值范围是____________．14、已知关于x 的方程-2x 2+bx +c =0，若b 、c ∈{0,1,2,3,4}，记“该方程有实数根x 1、x 2且满足-1≤x 1≤x 2≤2”为事件A ，则事件A 发生的概率为____________．二、选择题（每题5分，共20分）15、若z ∈C ，下列命题中，正确的命题是( )A ．||111z z <⇔-<<B ．0z z +=⇔z 是纯虚数C ．z 2=|z |2D ．20z ≥⇔z 是实数16．若l 、m 、n 为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β17、“n =5”是“n (n ∈N*)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件18、01122110C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n n n n n n ---++++L 等于( )A ．1122C +C n n n n -+B ．22(C )nn C ．2C nn D ．212C nn -三、解答题（本大题共五题，满分74分）19、（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）(1) 复数z 的实部为8，|z |=10，求z 的值；(2) i 为虚数单位，1sin 2icos z θθ=+，2cos z θθ=+，若z 1=z 2，求θ 的值．20、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）(1) 两个相交平面M 与N ，它们的交线为l ．在l 上有3点，除这3点外在平面M 、N 上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平面？(2) 某校以单循环制方法进行篮球比赛，其中有两个班级各比赛了3场后，不再参加比赛，这样一共进行了84场比赛，问：开始有多少班级参加比赛？21、（本题满分14分，第1小题5分，第2小题5分，第3小题4分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),…,[90,100]后画出如下部分．．频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1) 求出物理成绩低于50分的学生人数；(2) 估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）(3) 从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．22、（本题满分16分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A 1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD1所在直线上．．．．．的动点．(1) 求 EB1F的取值范围；(2) 若N为面EB1F内的一点，且∠EBN=45︒，∠FBN=60︒，求∠B1BN的余弦值；(3) 若E、F分别是所在正方体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．23、（本题满分18分，第1小题8分，第2小题5分，第3小题5分）(1) 已知二项式(x+2)n展开式中最大的二项式系数为252，求展开式中系数最大的项；(2) 记(x+2)n展开式中最大的二项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；(k=0,1,2,···,n)的单调性，并加以证明．(3) 给定不小于3的正整数n，试写出数列{C}kn位育中学第二学期高二期终考试数学答案一、填空题1、； 2、1024； 3、12； 4、； 5、24； 67、3； 8、40003π； 9、7； 10、2或4； 11、4； 12、13；13、1(,)2+∞；14、1625． 二、选择题15、D16、B17、A18、C三、解答题19、（本题12分）解：(1) 设z =8+b i,(b ∈ R )，则由64+b 2=100，得b =±6，∴ z =8±6i ． 6分(2) 由z 1=z 2，得sin 2cos cos θθθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴1sin 2tan θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，2,()6k k πθπ=+∈Z12分20、（本题14分）解：(1) 这12个点中，除l 上的三点共线外，其余无三点共线，最多能确定1112112345454526030402132C C C C C C C +++=+++=个平面．6分(2) 设开始有n 个班参加比赛，1︒ 若这两个班级之间比赛过1场，则22584n C -+=，无解，8分2︒ 若这两个班级之间没有过比赛，则22684n C -+=，解得n =15．答：开始有15个班级参加比赛． 14分21、（本题满分14分）解：(1) 因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为： 11(0.01520.030.0250.005)100.1f =-⨯+++⨯=3分 所以低于50分的人数为600.16⨯=（人）5分(2) 依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组）， 频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯= 8分所以，抽样学生成绩的合格率是75%于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%10分 (3) “成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9，所以从成绩不及格的学生中选两人， 他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：26215617C P C =-=14分22、（本题满分16分） 解：(1) 设,BE x BF y ==，则11B E B F EF ===所以21cos 1EB F ∠=< ，1EB F ∠的取值范围为(0,)2π5分(2) 解：设N 在1BE BF BB 、、三边上的投影分别是111E F G 、、，则由于45,60EBN FBN ∠=︒∠=︒111cos 45,cos 60.22BE BN BN BF BN BN ∴=︒==︒=g 2222111,BE BF BG BN ++=Q 112BG BN ∴=，即160B BN ∠=o ，它的余弦值为1211分(3) 解：设EF 与BD 的交点为G ．连接B 1G ，则由EF ⊥BD 以及EF ⊥B 1B ，知EF ⊥平面BB 1D 1D ，于是面B 1EF ⊥面BB 1D 1D ，在面BB 1D 1D 内过B 作BK ⊥B 1G 于K ，延长后交D 1D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平面B 1EF ．在平面BB 1D 1D 内，由△B 1BG ∽△BDM ，知B 1B BG ＝BD DM ，又B 1B ＝a ，BG ＝24a ，BD ＝2a ，∴DM ＝a2． 这说明点M 在正方体的棱D 1D 上，且恰好为D 1D 的中点． 16分23、（本题满分18分）解：(1) ∵ 4599126C C ==，510252C =，561111462C C ==，由第(2)、(3)题的结论可知：n =10，3分设(x +2)10展开式中系数最大的项是101102r rr r T C x -+=⋅(r =0,1,2,…,10)，则由1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，（其中r =1,2,…,9），即1110!210!2!(10)!(1)!(11)!10!210!2!(10)!(1)!(9)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅⋅≥⎪⋅--⋅-⎪⎨⋅⋅⎪≥⎪⋅-+⋅-⎩， 5分得223193r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，（r =1,2,…,9），∴ r =7，7分展开式中系数最大的项是7373810215360T C x x =⋅=．8分(2) 若n 为奇数，则n +1为偶数，1122n n n nna C C-+==，1211n n n a C+++=，∴ 11122211n n n n n nnn a CCCa +-+++==+>10分若n 为偶数，则n +1为奇数，2n n na C =，122111n n n n n a C C++++==，∴ 122211n n n n n nnn a CCC a -++==+>12分 综上可知：数列{a n }单调递增．13分 (3) 数列{C }k n (k =0,1,2,···,n )离首末两端等距离的项相等，且距离越远值越大． 15分证明如下：1!!!C C (12)(1)!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n n n k k n k k n k k n k +-=-=--+⋅--⋅-+-当12n k -<时，1C C k k n n +<，当12n k ->时，1C C k k n n +>，其中k =0,1,2,…,n -1． 若n 为奇数，3101222C C C CCn n nnnn n --<<<<<L ，13122C>C>C C n n n n nnn n ++->>L ，若n 为偶数，201222C C C CC n n nnnnn-<<<<<L ，2122C >C>C C n n n nnnn n +->>L ，18分上海市青浦区2017学年第二学期高二年级期终学业质量调研数学试卷（满分150，时间120分钟）考生注意：1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚.2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题 卷上答题无效.3. 本试卷共有21道试题,可以使用规定型号计算器.一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分.考生应在答 题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分 1. 复数i z 43-=（i 是虚数单位）的虚部是 【答案】4-2. 平面直角坐标系中点）（2,1到直线012=++y x 的距离为 【答案】53. 62)12(xx +的展开式中的常数项是 【答案】604. 已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱为3，则该正六棱柱的体积为 【答案】185. 已知球的半径为R ，B A 、为球面上两点，若B A 、之间的球面距离是3Rπ，则这两点间的距离等于【答案】R6. 如图，以长方体1111D C B A ABCD -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1→DB 的坐标为)2,3,4(，则1→AC 的坐标为【答案】)2,3,4(-7. 过点)1,3(的直线l 与圆4)2()2(:22=-+-y x C 相交于B A 、两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l 的倾斜角等于 【答案】4π 8. 抛物线x y 42=上一动点P 到点)2,0(A 的距离与P 到该抛物线准线距离之和的最小值为 【答案】59. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的41，则该双曲线的渐近线方程是 【答案】x y 33±= 10. 平面上两组平行线互相垂直，一组由6条平行线组成，一组由5条平行线组成，则它们能围成的矩形个数是 【答案】15011. 设α和β是关于x 的方程022=++m x x 的两个虚数根，若O 、、βα在复平面对应的点构成直角三角形，那么实数=m 【答案】212. 已知曲线C 的方程为0),(=y x F ，集合}0),(|),{(==y x F y x T ，若对于任意的T y x ∈),(11，都存在T y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成立，则称曲线C 为∑曲线.下列方程所表示的曲线中,是∑曲线的有（写出所有∑曲线的序号）①1222=+y x ；②122=-y x ；③x y 22=；④1||||+=x y【答案】①③二. 选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 13. “直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“α⊥l ”的一个（） 【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件【D 】既非充分也不必要条件 【答案】B14. 曲线12:22=+-Γy xy x 的图像（） 【A 】关于x 轴对称【B 】关于原点对称,但不关于直线x y =对称 【C 】关于y 轴对称【D 】关于直线x y =对称，关于直线x y -=对称 【答案】D15.下列命题中,正确的命题是【A 】若0,2121>-∈z z C z z 、，则21z z >4)-x 【B 】若R z ∈，则2||z z z =⋅-不成立 【C 】0,,2121=⋅∈z z C z z ，则01=z 或02=z 【D 】0,222121=+∈z z C z z 、，则01=z 且02=z 【答案】C16.如图，正方体1111D C B A ABCD -，则下列四个命题：①点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与直线D A 1所成角的大小不变； ②点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③点P 在直线1BC 上运动时，二面角C AD P --1的大小不变； ④点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥PC D A 1-的体积不变. 其中的真命题是（） 【A 】①③ 【B 】③④ 【C 】①②④ 【D 】①③④【答案】D三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.已知复数i m i -==βα,-2，其中i 是虚数单位，R m ∈. （1）若||2||-<+αβα，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程)(0102R n nx x ∈=+-的一个根，求实数m 与n 的值.【答案】（1）)2,6(-；（2）6,36,3-=-===n m n m 或18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.如图所示圆锥中，CD AB 、为底面圆的两条直径，O CD AB =I ，且CD AB ⊥，2==AB SO ，P 为SB 的中点.求:（1）该圆锥的表面积；（2）异面直线SA 与PD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）. 【答案】（1）π)15(+；)35arccos 32arcsin (552arctan 或或19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.已知四边形ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，2,1===AD AB PA ，点N M 、在线段DC PB 、上（不为端点），且满足→→→→==NC DN MP BM λλ,，其中0>λ.（1）若1=λ，求直线MN 与平面ABCD 所成的角的大小；（2）是否存在λ，使MN 是DC PB ，的公垂线，即MN 同时垂直DC PB ，？说明理由.【答案】 （1）)322arccos 31arcsin (42arctan 或或；（2）21=λ20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的左右顶点分别是)0,2(),0,2(B A -.点)21,3(在椭圆上，过该椭圆上任意一点P 作x PQ ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||PC QP =. （1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同B A 、）与直线2=x 交于R ，D 为线段RB 的中点，证明:直线CD 与曲线相切.【答案】（1）1422=+y x ；（2）422=+y x ；（3）证明如下 【解析】21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点),(00y x P 、直线0:=++c by ax l ，我们称2200ba c by ax +++=δ为点),(00y x P 到直线0:=++c by ax l 的方向距离.（1）设双曲线1422=-y x 上的任意一点),(y x P 到直线02:1=-y x l ，02:2=+y x l 的方向距离分别为21δδ、，求21δδ的值；（2）设点)0,()0,(t F t E 、-、到直线02sin 2cos :=-+ααy x l 的方向距离分别为21ηη、，试问是否存在实数t ，对任意的α都有121=ηη成立？说明理由；（3）已知直线0:=+-n y mx l 和椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，设椭圆E 的两个焦点21F F 、到直线l 的方向距离分别为21λλ、满足221b >λλ，且直线l 与x 轴的交点为A 、与y 轴的交点为B ，试问的长||AB 与b a +的大小.【答案】（1）54；（2）1±=t ；（3）b a AB +>|| 【解析】上海市七宝中学高二第二学期期末数学试卷一. 填空题 1. 将参数方程122x ty t =+⎧⎨=-⎩（t R ∈，t 为参数）化为普通方程2. 已知椭圆22194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是3. 123101011111111111392733C C C C -+-+-⋅⋅⋅-+除以5的余数是 4. 如右图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm5. 甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是6. 在侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中，40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=，若过点A 的截面AEF ，交VB 于E ，交VC 于F ，则截面AEF 周长的最小值是7. 长方体1111ABCD A B C D -内接于球O ，且2AB BC ==，122AA =，则A 、B 两点之间的球面距离为8. 已知从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球，0m n <<，,m n ∈N ，共有1mn C +种取法，在这1m n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，另一类是取出1个黑球和(1)m -个白球，共有01111m m nn C C C C -+种取法，即有等 式11m m mn n n C C C -++=成立，试根据上述思想，化简下列式子：1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---+++⋅⋅⋅+= (1k m n ≤<≤，,,)k m n ∈N9. 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ︒∠=，60BAA DAA ︒''∠=∠=，则AC '的长为10. 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段， 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大 值为11. 数列{}n a 共有13项，10a =，134a =，且1||1k k a a +-=， 1,2,,12k =⋅⋅⋅，满足这种条 件不同的数列个数为12. 如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底 面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知 过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线 的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离为二. 选择题13. 若x 、y 满足约束条件2,22x y x y ≤≤⎧⎨+≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A. [2,6]B. [2,5]C. [3,6]D. [3,5] 14. 某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：① 从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；② 从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况； 则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是（ ）A. ①用系统抽样，②用随机抽样B. ①用系统抽样，②用分层抽样C. ①用分层抽样，②用系统抽样D. ①用分层抽样，②用随机抽样15. 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A. 2283C PB. 2686C PC. 2286C PD. 2285C P16. 如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC 和棱1AA 上的动点，则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是（ ）A. 该四面体体积有最大值，也有最小值B. 该四面体体积为定值C. 该四面体体积只有最小值D. 该四面体体积只有最大值三. 简答题17. 有8名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果. （1）甲不在两端； （2）甲、乙相邻；（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻； （4）甲不在排头，乙不在排尾. 18. 在二项式3121(2)x x+的展开式中.（1）求该二项展开式中所有项的系数和的值； （2）求该二项展开式中含4x 项的系数； （3）求该二项展开式中系数最大的项.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==，90ACB ︒∠=，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.（1）求异面直线PQ 与1B C 所成角的大小； （2）若直三棱柱111ABC A B C -的体积为12， 求四棱锥1C BAPB -的体积.20. 如图，圆锥的轴截面为等腰Rt △SAB ，Q 为底面圆周上一点.（1）若QB 的中点为C ，OH ⊥SC ，求证：OH ⊥平面SBQ ；（2）如果60AOQ ︒∠=，QB =（3）若二面角A SB Q --大小为arctan 3，求AOQ ∠.21.（1）集合12{|(,,,)n Q x x x x x ==⋅⋅⋅，0i x =或1}，对于任意x Q ∈，定义1()ni i f x x ==∑，对任意{0,1,2,,}k n ∈⋅⋅⋅，定义{|(),}k A x f x k x Q ==∈，记k a 为集合k A 的元素个数，求122n a a na ++⋅⋅⋅+的值；（2）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，是否存在正整数b ， 使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中，若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由； （3）已知当1||2x <时，有21124(2)12n x x x x =-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+，根据此信息，若对任 意1||2x <，都有20123(1)(12)nn x a a x a x a x x x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-+，求10a 的值.参考答案一. 填空题1. 250x y +-=2.3. 34. 4π5. 166. 67. 23π 8. mn k C + 9. 10. 4 11. 495 12.二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. D三. 解答题17.（1）77630240P ⋅=；（2）77210080P ⋅=； （3）535614400P P =；（4）876876230960P P P -+=；18.（1）123；（2）841227920C =；（3）339324121(2)()112640C x x x=；19.（1）2π；（2）14； 20.（1）略；（2）83π；（3）3π；21.（1）k k n a C =，11222n n a a na n -++⋅⋅⋅+=⋅；（2）b 为正偶数；（3）455-；。
上海市高二数学下学期期中试卷含答案(共3套)
上海市华师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（40分）1.向量AB 对应复数32i -+，则向量BA 所对应的复数为____________.2.复数()()()22456z m m m m i m R =--+--∈，如果z 是纯虚数，那么m =______. 3.平面α的斜线与α所成的角为30︒，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为__________.4.在长方体1111ABCD A B C D -z 中，如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所围成的角为,,αβγ,那么222cos cos cos αβγ++=_________.5.已知35z i -=，则2z +的最大值为_________.6.异面直线a 与b 所成的角为50︒，P 为空间一点，则过P 点且与,a b 所成的角都是50︒的直线有_________条.7.圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是________.8.已知集合{}23,n A z z i i i i n N *==++++∈，{}1212,,B z z z z z A z A ==⋅∈∈，则集合B 中的元素共有________个. 9.设12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________. 10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在正方体的表面上与点A的所有点形成一条曲线，则曲线的长度为_________.二、选择题（4×4=16）11.下列命题中，错误的是（A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行（B ）与同一个平面所成的叫相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行12.下列命题中，错误的是（ ）（A ）圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形（B ）圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个（C ）圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个（D ）当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13.已知复数2121211,z z z z z z -=--满足，则有（ ）（A ）1021<<z z 且 （B ）1121<<z z 或（C ）1121==z z 且 （D ）1121==z z 或14.如图，正四面体ABCD 的顶点C B A ,,分别在两两垂直的三条射线Oz Oy Ox ,,上，则在下列命题中，错误的是（ ）（A ）ABC O -是正三棱锥（B ）直线ACD OB 平面||（C ）直线OB AD 与所成的角是045（D ）二面角A OB D --为045三、解答题（8+10+12+14）15.已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a R ∈，若121z z z -<，求实数a 的取值范围.16.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1,2PA AB BC ===,E 为PD 的中点.（1）求直线CE 与平面ABCD 所成角的大小；（2）求二面角E AC D --的大小, （结果用反三角函数值表示）17.如图，在正三棱锥A BCD -中，AB =点A 到底面BCD 的距离为1，E 为棱BC 的中点.（1）求异面直线AE 与CD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥A BCD -的表面积.18.已知z 是实系数一元二次方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位()Re ,Im z P z z .（1）若(),b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C :()2211x y -+=上； （2）给定圆()()222:,,0C x m y r m r R r -+=∈>，则存在唯一的线段S 满足：①若z P 在圆C 上，则(),b c 在线段S 上；②若(),b c 是线段S 上一点（非端点），则z P 在圆C 上，写出线段S 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）.上海市高二下学期期中数学卷一. 填空题1. 在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为 2. 已知向量2(3,2,3)a x =+，(4,2,)b x x =-，若a b ⊥，则实数x 的值是3. 球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm4. 一条直线a 上的3个点A 、B 、C 到平面M 的距离都为1，这条直线和平面的关系是5. 正四面体侧面与底面所成二面角的余值6. 圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为7. 如图是三角形ABC 的直观图，ABC ∆平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8. 把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A 、B 两点间的球面距离 （结果用反三角表示）9. 下列命题（1）n 条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a 、b 不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a ∥b ；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是10. 由曲线22x y =、22x y =-、2x =、2x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满足224x y +≤、22(1)1x y +-≥、22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式11. 如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则x 、y 、z 的值分别为12. 如图，1111ABCD A BC D -是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线1AC 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 的范围分别是 、 （用集合表示）二. 选择题13. 已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l （ ）A. 与m 、n 都相交B. 与m 、n 至少一条相交C. 与m 、n 都不相交D. 至多与m 、n 中的一条相交14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 83π B. 3π C. 103π D. 6π 15. 连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：① 弦AB 、CD 可能相交于点M ；② 弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN的最大值为5；④MN 的最小值为1；其中真命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）A B C D三. 简答题17. 直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =E 、F 分别是BC 、1AA 的中点，求：（1）EF 与底面所成角的大小；（2）异面直线EF 和1A B 所成角的大小；18. 图1是某储蓄罐的平面展开图，其中90GCD EDC F ∠=∠=∠=︒，且AD CD DE CG ===，FG FE =，若将五边形CDEFG 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱；（1）图2为面ABCD 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为31250V cm =，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度，接缝及投币口的面积忽略不计）19. 如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，4AB =，18AA =； （1）求异面直线1B C 与11AC 所成角的大小；（用反三角函数形式表示） （2）若E 是线段1DD 上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题；20. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60ABC ∠=︒，PA AC a ==，PB PD ==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =；（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在棱PB 上是否存在一点F ，使三棱锥F ABC -是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；21. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心1O 且平行于母线AB 的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p 的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C 作垂直且于母线AB 的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a 的椭 圆，求椭圆的面积（椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=）；参考答案一. 填空题 1. 2π 2. 2或3- 3. 323π 4. 平行 5. 136. 4π7. 直角三角形8. 5arccos 8R 9.（4） 10. 12V V =11. 16x =，13y z == 12. ，二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）4π；（2）6π. 18.（1）略；（2）691.19.（1）（2）略. 20.（1）略；（2）6π.21.（1）3π；（2）212p π；（3上海市高二（下）期中数学试卷一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．2．已知向量，，若，则实数x的值是．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O1且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆的面积S=πab）．上海市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】推导出AD⊥平面ABB1A1，从而AD⊥A1B，由此能示出异面直线A1B与AD所成的角大小．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，∴AD⊥A1B，∴异面直线A1B与AD所成的角大小为．故答案为：．2．已知向量，，若，则实数x的值是4或﹣1．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】根据向量垂直，数量积为0，得到关于x 的方程解之即可．【解答】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x=0整理得到x2+3x﹣4=0，解得x=4或﹣1．故答案为：4或﹣1．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先根据球的表面积公式求出球的半径，然后根据球的体积公式求出体积即可．【解答】解：∵球的表面积为16πcm2，∴S=4πR2=16π，即R=2∴V==×8=故答案为：4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是平行．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】假设直线a与平面α相交，则必有两点在平面同一侧，得出线面平行的矛盾．【解答】解：假设直线a与平面α相交，则A，B，C三点中必有两个点在平面α同一侧，不妨设为A，B，过A，B分别作平面α的垂线，垂足为M，N，则AM∥BN，AM=BN，∴四边形AMNB是平行四边形，∴AB∥MN，又MN⊂α，AB⊄α，∴AB∥α，这与假设直线a与平面α相交矛盾，故假设错误，于是直线a与平面α平行．故答案为：平行．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，利用余弦定理求解【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，∴正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故答案为：．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入侧面积公式计算即可．【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π×1×2=4π．故答案为：4π．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是直角三角形（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法，∠x′O′y′=135°，直接判断△ABC的直观图是直角三角形．【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图；故答案为：直角三角形．8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离R•arccos（结果用反三角表示）【考点】HV：反三角函数的运用．【分析】设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R，且△AO1B为等边三角形，即AB=R；△AOB中，由余弦定理求得∠AOB的值，利用弧长共公式求得A、B两点间的球面距离．【解答】解：设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R•cos30°=R，根据A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，可得∠AO1B=60°，∴△AO1B为等边三角形，即AB=r=R．△AOB中，由余弦定理可得AB2=R2=R2+R2﹣2R2•cos∠AOB，求得cos∠AOB=，∴∠AOB=arccos，∴A、B两点间的球面距离=R•∠AOB=R•arccos，故答案为：R•arccos．9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是（4）．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】由空间中直线与平面的位置关系结合线面角逐一判断（1）、（2）、（3）错误；画图分类证明（4）正确．【解答】解：对于（1），当n条斜线段与平面所成角不等时，斜线段长相等，它们在平面内的射影长不相等，故（1）错误；对于（2），直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b或a 与b异面，故（2）错误；对于（3），与同一平面所成的角相等的两条直线位置关系有平行、相交或异面，故（3）错误；对于（4），当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成角为0°角，平面内所有直线与该直线所成角都大于等于0°；当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°，平面内所有直线与该直线所成角都等于90°；当直线为平面的斜线OA时，如图，过A作AB⊥α，垂足为B，则直线与平面所成角为∠AOB=θ，若平面内直线l与OB平行（或是OB），l与OA所成角为θ；若l与OB不平行，平移直线l过O，过B作BC⊥l=C，连接AC，l与OA所成角为∠AOC，∵sinθ=，sin∠AOC=，而AC＞AB，∴sin∠AOC＞sin∠θ，有∠AOC＞∠θ，故（4）正确．综上，正确命题的序号是（4）．故答案为：（4）．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式V1=V2．【考点】6M：用定积分求简单几何体的体积．【分析】根据题意，设截面与原点距离为|y|，分别求出s1与s2，进而由祖暅原理可得答案．【解答】解：设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1=π（22﹣2|y|）S2=π（4﹣y2）﹣π[1﹣（|y|﹣1）2]=π（22﹣2|y|），∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，即V1=V2．故答案为：V1=V2．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为，，．【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义．【分析】根据=，=，=，=，=，代入计算即可得出．【解答】解：∵=，=，=，=，=，∴=+．∴，．故答案为：，，．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是[，] 、{3} （用集合表示）【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可得出截面周长为定值，再根据对称性和基本不等式得出面积的最值．【解答】解：连结A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B设平面α与平面ABB1A1的交线为EF，则AC1⊥EF，∴EF∥A1B，同理可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设=λ，则=B1E=λ，∴=1﹣λ，∴EF+DE=λ+（1﹣λ）=，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长l为定值3．∴当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，最大面积为=，当截面为正三角形时，截面面积最小，最小面积为=．故答案为：，．二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由异面直线的定义和画法知，异面直线必须满足既不平行又不相交，即l与m，n中至少一条相交；当l与m，n都不相交时有m∥n．【解答】解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；若l与m，n都不相交时，又因m⊂α，l⊂α，所以l∥m，同理l∥n，则m∥n．故选B．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】L*：球面距离及相关计算．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选C．16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．【考点】J3：轨迹方程；LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】先确定轨迹是2个平面的交线，PC的中垂面α和正方形ABCD的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的2个固定点．【解答】解：∵MP=MC，∴M在PC的中垂面α上，点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线，∵ABCD为正方形，侧面PAD为等边三角形，∴PD=CD，取PC的中点N，有DN⊥PC，取AB中点H，可证CH=HP，∴HN⊥PC，∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是HD．故答案选B．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）由已知可得FA⊥平面ABC，可得∠FEA即为FE与底面所成角，由等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点可求AE，在Rt△AEF中求解即可（Ⅱ）由E，F都为中点，考虑取AB的中点G，则可得FG∥BA1，从而有∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）分别求解FE，EG，FG，从而可求【解答】解：（Ⅰ）连接FE，由已知可得FA⊥平面ABC∴∠FEA即为FE与底面所成角∵等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点∴AE=∵△AEF中AF=，AE=∴∠AEF=45°即FE与底面所成角45°（Ⅱ）取AB的中点G，连接FG，EG则可得FG∥BA1所以∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）由（Ⅰ）可得FE=2，为FG=，EG=1所以可得∠GFE=30°异面直线EF和A1B所成角的大小为30°18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）根据储蓄罐的平面展开图，直接画出储蓄罐的直观图即可．（2）设AD=a，求出五边形CDEFG的面积，利用几何体的体积，求出a，然后求出几何体的表面积．【解答】解：（1）该储蓄罐的直观图如右图所示．（2）若设AD=a，则五边形CDEFG的面积为，得容积，解得a=10，其展开图的面积，因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L3：棱锥的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接AC、AB1，易知∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角，在△B1CA中利用余弦定理解之即可即可求出异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（2）本小题是开放题，第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值，根据三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高可得结论．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增，根据三随着DE增大而增大可得结论．棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC【解答】解：（1）如图，连接AC、AB1，由，知A1ACC1是平行四边形，则，所以∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角．﹣﹣﹣﹣﹣在△B1CA中，，，则，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）若学生能提出一些质量较高的问题，则相应给，有解答的再给．而提出一些没有多大价值的问题则不给分．若提出的问题为以下两种情况，可以相应给分．第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣问题解答：如图，因为DD1∥平面B1BCC1，所以D1D上任意一点到平面B1BCC1的距离相等，因此三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而，所以三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题为求三棱锥E﹣B1BC的体积，则根据上述解答相应给分．2）若在侧面B1BCC1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在侧面A1ABB1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣为定值，问题解答：因为，知S△ADC随着DE增大而增大，又因为DE∈（0，8），则三棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC﹣﹣﹣﹣即三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题是求三棱锥E﹣ADC的体积范围，也可相应给分．=8，而，DE∈（0，8），﹣﹣﹣﹣解答：因为S△ADC则．﹣﹣﹣﹣．2）若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在底面A1B1C1D1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似（单调递减），可相应给分．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LW ：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知求解三角形可得PA ⊥AB 、PA ⊥AD ．再由线面垂直的判定得PA ⊥平面ABCD ；（2）直接利用反证法证明在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥；（3）作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，可得∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，然后求解直角三角形得EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小．【解答】（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴AB=AD=AC=a ．在△PAB 中，由PA=AB=a ，知PA 2+AB 2=2a 2=PB 2，则PA ⊥AB ． 同理PA ⊥AD ．又AB ∩AD=A ，∴PA ⊥平面ABCD ；（2）解：在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 事实上，假设在棱PB 上存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 过F 作底面ABC 的垂线，垂直为O ，则O 为△ABC 的中心， 在平面PAB 内，过F 作FM ∥PA ，交AB 于M ，则FM ⊥平面PAB ，这样，过平面ABC 外一点F ，有两条直线FO ，FM 与平面ABC 垂直，错误． 故假设不成立，即在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥．（3）解：作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，∴∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，大小为θ． ∵PE ：ED=2：1，∴a ，AG=a ，a ．从而，即．。
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上海市高二下学期期中数学卷
一. 填空题
1. 在正方体
1111ABCD A BC D 中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为2. 已知向量2(3,2,3)a x ，(4,2,)b
x x ，若a b ，则实数x 的值是3. 球的表面积为216cm ，则球的体积为
3cm 4. 一条直线a 上的3个点A 、B 、C 到平面M 的距离都为1，这条直线和平面的关系是
5. 正四面体侧面与底面所成二面角的余值
6. 圆柱的轴截面是正方形，且面积为
4，则圆柱的侧面积为7. 如图是三角形ABC 的直观图，ABC 平面图形是
（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）
8. 把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A 、
B 两点间的球面距离（结果用反三角表示）
9. 下列命题（1）
n 条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a 、b 不在平面内，它们在平面内的射影是两条平行直线，则a ∥b ；
（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是
，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于；其中正确的命题题号是
10. 由曲线
22x y 、22x y 、2x 、2x 围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满足224x y 、22(1)1x y 、22(1)1x y 的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式
11. 如图，空间四边形
OABC 中，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG
xOA yOB zOC ，则x 、y 、z 的值分别为12. 如图，1111ABCD A BC D 是棱长为1的正方体，任作平面与对角线1AC 垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为
S ，周长为l 的范围分别是
、（用集合表示）
二. 选择题
13. 已知m 、n 为异面直线，m 平面，n 平面，l ，则l （）
A. 与m 、n 都相交
B. 与m 、n 至少一条相交
C. 与m 、n 都不相交
D. 至多与m 、n 中的一条相交
14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. 8
3 B. 3 C. 10
3 D. 6
15. 连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于
27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列
四个命题：① 弦AB 、CD 可能相交于点M ；② 弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN
的最大值为5；④MN 的最小值为1；其中真命题的个数为（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
16. 四棱锥P ABCD 底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD 底面ABCD ，点M
在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（）
A B C D
三. 简答题
17. 直三棱柱111ABC A B C 的底面为等腰直角三角形，90BAC ，2AB AC ，
122AA ，E 、F 分别是BC 、1AA 的中点，求：
（1）EF 与底面所成角的大小；
（2）异面直线EF 和1A B 所成角的大小；
18. 图1是某储蓄罐的平面展开图，其中90GCD EDC F ，且AD CD DE CG ，FG FE ，若将五边形CDEFG 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱；
（1）图2为面ABCD 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；
（2）已知该储蓄罐的容积为31250V cm ，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度，接缝及投币口的面积忽略不计）
19. 如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D 中，4AB ，18AA ；
（1）求异面直线1BC 与11AC 所成角的大小；（用反三角函数形式表示）
（2）若E 是线段1DD 上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：
三棱锥需以点E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题；
20. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD中，60
ABC，PA AC a，2
PB PD a，点E在PD上，且:2:1
PE ED；
（1）证明：PA平面ABCD；
（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F ABC是正三棱锥？证明你的结论；
（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；
21. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；
（1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）过底面中心1
O且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点
到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；
（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭
圆，求椭圆的面积（椭圆
22
22
1
x y
a b
的面积S ab）；
参考答案一. 填空题
1.
2 2. 2或
3 3.
32
3
4. 平行
5.
1
3
6. 4
7. 直角三角形 8.
5
arccos
8
R 9.（4） 10.
12
V V
11.
1
6
x，
1
3
y z 12.
333
[,]
24
，{32}
二. 选择题
13. B 14. B 15. C 16. B
三. 解答题
17.（1）
4；（2）
6
.
18.（1）略；（2）691.
19.（1）
10
arccos
10
；（2）略.
20.（1）略；（2）
6
.
21.（1）
3；（2）2
12p；（3）
2
6
3
a
.。