二次函数动点问题_(2)

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是多少？ 1、如图，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A,它的对称轴 x=2 与 x 轴 交于点 C，直线 y=-2x-1 经过抛物线上一点 B(-2,m)，且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 D、E. （1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB=CE ；② D 是 BE 的中点； （3）若 P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 P,使得 PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 分析 (1)由点 B(-2,m)在直线上,可求得的值及 （1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式； （2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值； （3） G 抛物线上的动点， x 轴上是否存在点 F， A、 F、 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？ 点 在 使 C、 G 如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 解： （1）令 y=0，解得或（1 分） ∴A（-1，0）B（3，0）（1 分） ； 将 C 点的横坐标 x=2 代入得 y=-3，∴C（2，-3） 分） （1 ∴直线 AC 的函数解析式是 y=-x-1 （2）设 P 点的横坐标为 x（-1≤x≤2） （注：x 的范围不写不扣分） 则 P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1）（1 分） ， E（ 分） （1 ∵P 点在 E 点的上方，PE=（2 分） ∴当时，PE 的最大值=（1 分） （3）存在 4 个这样的点 F，分别是 （结论“存在”给 1 分，4 个做对 1 个给 1 分，过程酌情给分） 5 如图 13，已知抛物线的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D． 点 M 从 O 点 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 B 运动，过 M 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 P，交 BC 于 Q． （1）求点 B 和点 C 的坐标； （2）设当点 M 运动了 x（秒）时，四边形 OBPC 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围． y P （3）在线段 BC 上是否存在点 Q，使得△DBQ
解:（1）P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间＝（3+5+3）÷1＝11（秒） （2）当 t＝5 时，P 点从 A 点运动到 BC 上， 此时 OA=10,AB+BP=5，∴BP=2 过点 P 作 PE⊥AD 于点 E，则 PE=AB=3,AE=BP=2
∴OD=OA+AE=10+2=12∴点 P 的坐标为（12，3） ． 分三种情况： ．当 0＜t≤3 时，点 P 在 AB 上运动，此时 OA=2t,AP=t∴s=×2t×t= t ．当 3＜t≤8 时，点 P 在 AB 上运动，此时 OA=2t∴s=×2t×3=3 t ．当 8＜t＜11 时，点 P 在 CD 上运动，此时 OA=2t,AB+BC+CP= t ∴DP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- t∴s=×2t×(11- t)=- t+11 t
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解答：解： （1）在 y=-3 4 x2+3 中，令 y=0， ∴-3 4 x2+3=0， ∴x1=2，x2=-2， ∴A（-2，0） ，B（2，0） ， 又点 B 在 y=-3 4 x+b 上 ∴0=-3 2 +b，b=3 2 ， ∴BC 的解析式为 y=-3 4 x+3 2 ． 由 y=-3 4 x2+3 y=-3 4 x+3 2 ， 得 x1=-1 y1=9 4 ， x2=2 y2=0 ． ∴C（-1，9 4 ） ，B（2，0） ， ∴AB=4，CD=9 4 ， ∴S△ABC=1 2 ×4×9 4 =9 2 ． （2） 过点 N 作 NP⊥MB 于点 P ∵EO⊥MB， ∴NP∥EO， ∴△BNP∽△BEO， ∴BN BE =NP EO ， 由直线 y=-3 4 x+3 2 可得：E（0，3 2 ） ∴在△BEO 中，BO=2，EO=3 2 ，则 BE=5 2 ∴2t 5 2 =NP 3 2 ， ∴NP=6 5 t， ∴S=1 2 ×6 5 t×（4-t） =-3 5 t2+12 5 t =-3 5 （t-2）2+12 5 ， （0＜t＜4） ∵此抛物线开口向下， ∴当 t=2 时，S 最大=12 5 ， ∴当点 M 运动 2 秒时，△MNB 的面积达到最大，最大为 12 5 ．点评：此题主要考查了二次函数图象与应用相结合的 综合题以及三角形面积的计算方法和相似三角形的判定与性质，利用两函数联立得出 B，C 坐标是解题关键 3、 如图 10， 平行四边形 ABCD 中， AB＝5， BC＝10， 边上的高 AM=4， 为 BC 边上的一个动点 BC E （不与 B、 重合） 过 C ． E 作直线 AB 的垂线，垂足为 F． FE 与 DC 的延长线相交于点 G，连结 DE，DF． ． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG． （2） 当点 E 在线段 BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设 BE＝x，△DEF 的面积为 y，请你求出 y 和 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何值时,y 有最大值，最大值
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C
成为以 BQ 为一腰的等腰三角形？若存在， ．． ．．． ．
Q
求出点 Q 的坐标，若不存在，说明理由．
A O D M B
x
图 13 解： （1）把 x =0 代入得点 C 的坐标为 C（0，2） 把 y =0 代入得点 B 的坐标为 B（3，0） （2）连结 OP，设点 P 的坐标为 P（x，y） =+= = = ∵ 点 M 运动到 B 点上停止，∴∴（） （3）存在． BC== ① 若 BQ = DQ∵ BQ = DQ，BD = 2
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∴ BM = 1 ∴OM = 31 = 2 ∴ 1、如图，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A,它的对称轴 x=2 与 x 轴 交于点 C，直线 y=-2x-1 经过抛物线上一点 B(-2,m)，且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 D、E. （1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB=CE ；② D 是 BE 的中点； （3）若 P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 P,使得 PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 分析 (1)由点 B(-2,m)在直线上,可求得的值及 ∴是底边的中线 ∴∴ ∴∴点的坐标为（1，0） ②若，此时与重合∴∴∴ ∴点的坐标为（2，0）
二次函数的动点问题
1、如图，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A,它的对称轴 x=2 与 x 轴 交于点 C，直线 y=-2x-1 经过抛物线上一点 B(-2,m)，且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 D、E. （1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB=CE ；② D 是 BE 的中点； （3）若 P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 P,使得 PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 分析 (1)由点 B(-2,m)在直线上,可求得的值及 点 B 的坐标,进而求得抛物线的解析式; (2)通过分别求得 CB 和 CE 的长来说明 CB=CE, 过点 B 作 BG∥x 轴，与 y 轴交于 F、直线 x=2 交于 G，过点 E 作 EH∥x 轴，交 y 轴于 H，由△ DFB≌△DHE,证得 D 是 BE 的中点； (3)若存在点 P 使得 PB=PE,则点 P 必在线段 BE 的中垂线 CD 上, 动点 P 又在抛物线上,通过解直线 CD 和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组,其解即为所求点的坐标. 解（1）∵ 点 B(-2,m) 在直线上， ∴ m=-2× (-2)-1=3. ∴ B(-2,3)
∵ 抛物线经过原点 O 和点 A，对称轴为 x=2， ∴ 点 A 的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为 y=a(x-0)(x-4). 将点 B(-2,3)代入上式，得 3=a(-2-0)(-2-4)，∴ . ∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. （2）①直线 y=-2x-1 与 y 轴、直线 x=2 的交点坐标分别为 D(0,-1) E(2,-5). 过点 B 作 BG∥x 轴，与 y 轴交于 F、直线 x=2 交于 G，则点 G 坐标为(2,3) BG⊥直线 x=2，BG=4.在 Rt△ BGC 中，BC=. ∵ CE=5，∴ CB=CE=5. ②过点 E 作 EH∥x 轴，交 y 轴于 H，则点 H 的坐标为 H(0,-5). 又点 F、D 的坐标为 F(0,3)、D(0,-1)， ∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90° . ∴ △ DFB≌△DHE （SAS） ，∴ BD=DE. 即 D 是 BE 的中点. (3)由于 PB=PE，∴ 点 P 必在线段 BE 的中垂线 CD 上， 又点 P 在抛物线上, ∴ 符合条件的点 P 应是直线 CD 与该抛物线的交点. 设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b. 将点 D(0,-1) C(2,0) 代入， 得. 解得 . ∴ 直线 CD 对应的函数关系式为 y=x-1. 解方程组 得 ∴ 符合条件的点 P 的坐标为(，)或(，). 2、已知：如图 14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点． （1）写出直线的解析式． （2）求的面积． （3）若点在线段上以每秒 1 个单位长度的速度从向运动（不与重合） ，同时，点在射线上以每秒 2 个单位长度的速度 从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，矩形 ABCD 的边 AD 在 x 轴上，点 A 在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每 秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向作匀速运动．同时点 P 从 A 点出发以每秒 1 个单位长度沿 A－B－C－D 的 路线作匀速运动．当 P 点运动到 D 点时停止运动，矩形 ABCD 也随之停止运动． （1）求 P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间； （2）设 P 点运动时间为 t（秒） 。 当 t＝5 时，求出点 P 的坐标； 若⊿OAP 的面积为 s，试求出 s 与 t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量 t 的取值范围） ．