广义线性模型_三_陈希孺
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广义线性模型课件
（三）条件Logistic回归分析的基本原理
1.概述 条件Logistic回归是经典Logistic回归的重要拓展方法 之一，它主要用于分层数据（strata data）的影响因素 分析，通过分层来控制可能的混杂因素对结局变量的影 响。分层变量可以包括一个变量或者几个变量 。
2.条件 Logistic模型 令yk为第k层的因变量，yk=1或0；xk1，xk2…xki… xkm为 第k层的m个自变量。第k层的模型为：
推荐书籍：
Hosmer, David W . (2000). Applied logistic regression . John Wiley, New York.
（一）Logistic回归分析的任务
影响因素分析 logistic回归常用于疾病的危险因素分析，logistic回归 分析可以提供一个重要的指标：OR。
（2）令病例的生存时间比对照短 （3）在设置生存状态变量（status）时，令病例组为完全 数据，对照组为删失数据
以下实例摘自Hosme and Lemeshow（2000）. Applied Logistic Regression: Second Edition.
John Wiley & Sons Inc.
Logistic回归
因变量
协变量(自变量)
注：此处将X1、X3看作为连续变量。
OR的95%置信区间
对模型的检验
模型拟合良好
经统计学检验，模型2=13.951，P=0.003，Logistic回 归模型有显著性。
拟合分类表
符合率为 70.0%
回归系数 标准误 Wald值
P值
OR
OR置信区间
g(x)是对P的变换，称为logit变换：
《广义线模型》课件
资等。
生物统计学
用于分析生物数据和遗 传数据，如基因表达、
疾病风险等。
市场营销
用于预测消费者行为和 市场趋势，如消费者购 买决策、市场细分等。
社会科学
用于研究社会现象和人 类行为，如人口统计、
犯罪率等。
广义线模型的优缺点
灵活性强
能够适应各种类型的数据和问题 。
数学基础扎实
具有坚实的统计学和线性代数基 础。
VS
详细描述
非线性广义线模型通过引入非线性项，如 平方、立方等，来描述因变量和自变量之 间的复杂关系。这种模型在许多领域都有 应用，例如经济学、生物学和医学等。
广义岭回归模型
总结词
广义岭回归模型是广义线模型的另一种扩展形式，它通过引入岭回归方法来处理共线性 问题。
详细描述
在统计学中，共线性是指自变量之间存在高度相关性的现象。广义岭回归模型通过引入 岭回归方法，即对系数施加约束，来减少共线性的影响，提高模型的稳定性和预测精度
所应用。
THANKS
感谢观看
模型选择
模型选择是指在多个可能的模型中选 择一个最优模型的过程。模型选择通 常基于模型的复杂度、预测精度、解 释性等因素进行评估。
03
广义线模型的基本形式
线性回归模型
线性回归模型是最基础的广义线模型 ，用于预测一个因变量与一个或多个 自变量之间的关系。
线性回归模型假设因变量和自变量之 间存在线性关系，即因变量的变化可 以用自变量的线性组合来描述。
医学数据分析
总结词
广义线模型在医学数据分析中具有重要价值，能够帮助研究人员更好地理解和解释医学数据。
详细描述
广义线模型可以用于分析医学影像数据、疾病发病率数据等，从而揭示疾病的发生和发展规律。此外，该模型还 可以用于药物疗效分析，为新药研发和临床试验提供支持。
生物统计学
用于分析生物数据和遗 传数据，如基因表达、
疾病风险等。
市场营销
用于预测消费者行为和 市场趋势，如消费者购 买决策、市场细分等。
社会科学
用于研究社会现象和人 类行为，如人口统计、
犯罪率等。
广义线模型的优缺点
灵活性强
能够适应各种类型的数据和问题 。
数学基础扎实
具有坚实的统计学和线性代数基 础。
VS
详细描述
非线性广义线模型通过引入非线性项，如 平方、立方等，来描述因变量和自变量之 间的复杂关系。这种模型在许多领域都有 应用，例如经济学、生物学和医学等。
广义岭回归模型
总结词
广义岭回归模型是广义线模型的另一种扩展形式，它通过引入岭回归方法来处理共线性 问题。
详细描述
在统计学中，共线性是指自变量之间存在高度相关性的现象。广义岭回归模型通过引入 岭回归方法，即对系数施加约束，来减少共线性的影响，提高模型的稳定性和预测精度
所应用。
THANKS
感谢观看
模型选择
模型选择是指在多个可能的模型中选 择一个最优模型的过程。模型选择通 常基于模型的复杂度、预测精度、解 释性等因素进行评估。
03
广义线模型的基本形式
线性回归模型
线性回归模型是最基础的广义线模型 ，用于预测一个因变量与一个或多个 自变量之间的关系。
线性回归模型假设因变量和自变量之 间存在线性关系，即因变量的变化可 以用自变量的线性组合来描述。
医学数据分析
总结词
广义线模型在医学数据分析中具有重要价值，能够帮助研究人员更好地理解和解释医学数据。
详细描述
广义线模型可以用于分析医学影像数据、疾病发病率数据等，从而揭示疾病的发生和发展规律。此外，该模型还 可以用于药物疗效分析，为新药研发和临床试验提供支持。
浅谈线性、非线性和广义线性回归模型
浅谈线性、⾮线性和⼴义线性回归模型⼀、理论 1.1 多重共线性 所谓多重共线性（Multicollinearity）是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确相关关系或⾼度相关关系⽽使模型估计失真或难以估计准确。
⼀般来说，由于经济数据的限制使得模型设计不当，导致设计矩阵中解释变量间存在普遍的相关关系。
完全共线性的情况并不多见，⼀般出现的是在⼀定程度上的共线性，即近似共线性。
1.2 T检验 T检验，亦称student t检验（Student's t test），主要⽤于样本含量较⼩（例如n<30），总体标准差σ未知的正态分布资料。
t检验是⽤t分布理论来推论差异发⽣的概率，从⽽⽐较两个平均数的差异是否显著。
举⼀个例⼦，⽐如，你要检验两独⽴样本均数差异是否能推论⾄总体，⽽⾏的t检验。
两样本(如某班男⽣和⼥⽣)某变量(如⾝⾼)的均数并不相同，但这差别是否能推论⾄总体，代表总体的情况也是存在著差异呢？会不会总体中男⼥⽣根本没有差别，只不过是你那麼巧抽到这2样本的数值不同？⼆、回归模型 2.1 线性回归模型 适⽤于⾃变量X和因变量Y为线性关系，具体来说，画出散点图可以⽤⼀条直线来近似拟合。
随机误差服从多元⾼斯分布。
模型有⼏个基本假设：⾃变量之间⽆多重共线性；随机误差随从0均值，同⽅差的正态分布；随机误差项之间⽆相关关系。
参数使⽤最⼩⼆乘法进⾏估计。
假设检验有两个，⼀个是参数的检验，使⽤t检验；另⼀个是整个模型的检验，使⽤F检验，在构造F统计量时，需要把模型的平⽅和进⾏分解，会使⽤到⽅差分析。
2.2 线性混合模型 我的理解为在线性模型中加⼊随机效应项。
2.3 ⼴义线性模型 ⼴义线性模型，是为了克服线性回归模型的缺点出现的，是线性回归模型的推⼴。
⾸先⾃变量可以是离散的，也可以是连续的。
离散的可以是0-1变量，也可以是多种取值的变量。
与线性回归模型相⽐较，有以下推⼴： （1）随机误差项不⼀定服从正态分布，可以服从⼆项、泊松、负⼆项、正态、伽马、逆⾼斯等分布，这些分布被统称为指数分布族。
第3章-广义线性模型
年收入 （万元）
是否有车
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.
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2. 正态线性回归模型
• 只要取联结函数为 m (i) i x iT (i 1 , ,n ),则正
态线性回归模型满足广义线性模型的定义.
• 类似的,容易验证,二项分布和泊松分布都属 于指数分布族.
• 下面介绍实际中应用广泛的两种广义线性
模型:Logistic模型和对数线性模型.
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2. 模型的参数估计和检验
• 采用R软件中的广义线性模型过程glm( )可以完成 回归系数的估计,以及模型回归系数的显著性检验. 程序如下：
广义线性模型
广义线性模型
1．概述
广义线性模型是传统的线性模型的延伸，它是总体均值通过一个非线性连接函数依赖于线性预测值，有许多广泛应用的统计模型都属于广义线性模型，其中包括正态误差的经典性模型，二元数据的对数和概率单位模型以及多项数据的对数线性模型，还有其它许多有用的统计模型，如果选择合适的连接函数和响应概率分布，也可以表示为广义线性模型。
2．线性模型
线性模型也称经典线性模型或一般线性模型，其模型的形式为：
其中， 是因变量的第i次观测， 是自变量，它是一个列向量，表示第i次观测数据。未知系数向量 可机变量。
模型的几个基本假设：
因变量是连续随机变量
自变量相互独立
每一个数值型自变量与因变量呈线性关系
连接函数：
参数估计
一般线性模型：参数估计采用极大似然法和最小二乘法
广义线性模型：参数估计采用极大似然法和加权最小二乘
4.因变量常见分布及其常用的连接函数
广义线性模型建立
通过对数据选定因变量和自变量，以及选择合适的连接函数和响应概率分布，既可以建立一个广义线性模型。例如：
一般线性模型
因变量：连续变量
分布：正态分布
连接函数：
Logistic回归模型
因变量：（0，1）
分布：二项分布
连接函数：
Poisson回归模型
因变量：计数和个数
分布：Poisson分布
一般线性模型中，自变量的线性预测值 就是因变量的估计值 ，而广义线性模型中，自变量的线性预测值 是因变量的函数估计值 。
广义线性模型包括一下组成部分：
线性部分正好是一般线性模型所定义的：
连接函数( link function)：
连接函数为一单调可微（连续且充分光滑）的函数。连接函数起了关联“Y的估计值 ”与“自变量的线性预测值 ”的作用。在经典的线性模型中，“Y的估计值”与“自变量的线性预测”是一回事。
1．概述
广义线性模型是传统的线性模型的延伸，它是总体均值通过一个非线性连接函数依赖于线性预测值，有许多广泛应用的统计模型都属于广义线性模型，其中包括正态误差的经典性模型，二元数据的对数和概率单位模型以及多项数据的对数线性模型，还有其它许多有用的统计模型，如果选择合适的连接函数和响应概率分布，也可以表示为广义线性模型。
2．线性模型
线性模型也称经典线性模型或一般线性模型，其模型的形式为：
其中， 是因变量的第i次观测， 是自变量，它是一个列向量，表示第i次观测数据。未知系数向量 可机变量。
模型的几个基本假设：
因变量是连续随机变量
自变量相互独立
每一个数值型自变量与因变量呈线性关系
连接函数：
参数估计
一般线性模型：参数估计采用极大似然法和最小二乘法
广义线性模型：参数估计采用极大似然法和加权最小二乘
4.因变量常见分布及其常用的连接函数
广义线性模型建立
通过对数据选定因变量和自变量，以及选择合适的连接函数和响应概率分布，既可以建立一个广义线性模型。例如：
一般线性模型
因变量：连续变量
分布：正态分布
连接函数：
Logistic回归模型
因变量：（0，1）
分布：二项分布
连接函数：
Poisson回归模型
因变量：计数和个数
分布：Poisson分布
一般线性模型中，自变量的线性预测值 就是因变量的估计值 ，而广义线性模型中，自变量的线性预测值 是因变量的函数估计值 。
广义线性模型包括一下组成部分：
线性部分正好是一般线性模型所定义的：
连接函数( link function)：
连接函数为一单调可微（连续且充分光滑）的函数。连接函数起了关联“Y的估计值 ”与“自变量的线性预测值 ”的作用。在经典的线性模型中，“Y的估计值”与“自变量的线性预测”是一回事。
广义线性模型ppt课件
模型拟合良好
经统计学检验，模型2=13.951，P=0.003，Logistic回
归模型有显著性。 精品课件
拟合分类表
符合率为 70.0%
精品课件
回归系数 标准误 Wald值 P值 OR OR置信区间
根据模型，病情严重程度与治疗方法对患者的治愈情况有影响；其
中病情严重组相对于不严重组，OR＝0.203，95%置信区间为(0.038，
Generalized Linear Models 广义线性模型
北大医学部流行病与卫生统计学系 Tel：
精品课件
广义线性模型的定义
该模型假定：
1. Y1,…Yn是n个服从指数分布族的独立样本 i=E（Yi | X1,X2,…,Xk），i＝1，…，n； 2. i是k个解释变量的线性组合 i=0+1Xi1+…+ kXik 3.存在一个连接函数（Link function）g，使得i 与i
精品课件
5.模型拟合的优良性指标 （1）拟合分类表（Classification Table） 根据Logistic回归模型，对样本重新判别分类，总符合率越 接近100%，则模型拟合越好。Logistic回归用于判别分类很 粗劣，尤其在很多情况下对于小样本的分类效果差 。 （2）Hosmer-Lemeshow 拟合优度统计量 当检验的P值大于0.1时，则说明模型对样本的拟合是可以接 受的。
影响因素分析 logistic回归常用于疾病的危险因素分析，logistic回
归分析可以提供一个重要的指标：OR。
精品课件
（二）经典Logistic回归分析的基本原理
1.变量特点
因变量：二分类变量，若令因变量为y，则常用y＝1表示 “发病”，y＝0表示“不发病”（在病例对照研究中，
经统计学检验，模型2=13.951，P=0.003，Logistic回
归模型有显著性。 精品课件
拟合分类表
符合率为 70.0%
精品课件
回归系数 标准误 Wald值 P值 OR OR置信区间
根据模型，病情严重程度与治疗方法对患者的治愈情况有影响；其
中病情严重组相对于不严重组，OR＝0.203，95%置信区间为(0.038，
Generalized Linear Models 广义线性模型
北大医学部流行病与卫生统计学系 Tel：
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广义线性模型的定义
该模型假定：
1. Y1,…Yn是n个服从指数分布族的独立样本 i=E（Yi | X1,X2,…,Xk），i＝1，…，n； 2. i是k个解释变量的线性组合 i=0+1Xi1+…+ kXik 3.存在一个连接函数（Link function）g，使得i 与i
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5.模型拟合的优良性指标 （1）拟合分类表（Classification Table） 根据Logistic回归模型，对样本重新判别分类，总符合率越 接近100%，则模型拟合越好。Logistic回归用于判别分类很 粗劣，尤其在很多情况下对于小样本的分类效果差 。 （2）Hosmer-Lemeshow 拟合优度统计量 当检验的P值大于0.1时，则说明模型对样本的拟合是可以接 受的。
影响因素分析 logistic回归常用于疾病的危险因素分析，logistic回
归分析可以提供一个重要的指标：OR。
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（二）经典Logistic回归分析的基本原理
1.变量特点
因变量：二分类变量，若令因变量为y，则常用y＝1表示 “发病”，y＝0表示“不发病”（在病例对照研究中，
广义线性模型_九_陈希孺
文章编号:1002—1566(2004)01—0077—04广义线性模型(九)陈希孺(中国科学院研究生院,北京100039)摘要:本讲座是广义线性模型这个题目的一个比较系统的介绍。
主要分3部分:建模、统计分析与模型选择和诊断。
写作时依据的主要参考资料是L .F ahrmeir 等人的《M ultivariate Statistical M od -eling Based o n Generalized Linear M odels 》。
关键词:广义线性模型;建模;统计分析;模型选择和诊断中图分类号:O212文献标识码:AGeneralized Linear ModelsCHEN Xi -ru(Graduate school of Chinese academia of science ,Beijing 100039,China )A bstract :This set of articles gives an introduction to generalized linear models .T hey can be divided into three parts ;M odel building ,statistical inference and M odel diagnostics .The presentation is mainly based on L .Fahrmeir et al .《M ultivariate Statistical M odeling Based on G eneralized Linear M odels 》.Key words :g eneralized linear models ;model building ;statistical inference ;model diagnostics3.2 模型选择(一)从若干个备选模型中选取一个模型选择包含以下一些方面·因变量Y 分布的选择;·联系函数的选择;·自变量的选择;·z (x )的选择。
广义线性模型(一)
广义线性模型(一)
陈希孺 数理统计与管理 21 卷 5 期 2002
年9 月
简介
广义线性模型是常见的正态线性模型的直 接推广
适用于连续数据和离散数据,特别是后者,如 属性数据,计数数据
在实用上,尤其是生物,医学和经济、社会数 据的统计分析上,有重要的意义
起源
Fisher 在1919 年曾用过它。 Logistic 模型,在20 世纪四五十年代曾由
(1 , x1 , x 2)′, (1 , x1 , x2 , x21, x22, x 1 x2) 等。
3. Y 的分布属于指数型,正态是其一特例。这 里考虑的Y 为一维,故属于一维指数型。其 形式为:
c ( y) exp (θy - b (θ) ) dμ( y) ,θ ∈Θ (参数空间)
θ为参数,称为自然参数。b (θ) 为θ的已知函 数。μ为一测度(不一定是概率测度) ,常见的 有两种可能:
起着重要的作用。它称为自然联系函数,这时 有z′β= g (μ) = g ( b (θ) ) =θ
因此,指数型分布(1. 1) 中的自然参数,就是z′β。 这一重要关系式是“自然联系函数”这一名称 的由来。
其形式比在其他联系函数下来得简单,其最 重要的优点是:它使广义线性模型下统计推 断的大样本理论更易处理。当然,在一个实 际问题中选择联系函数,主要应依据问题本
身的情况。
probit模型 log-log模型
这个差距中有一部分是由于“位置”与“刻度”
的差异而来, 并非真实的有实际意义的差距。
第一部分 建模
§1. 1 一维广义线性回归 (一) 定义
设有因变量Y ,自变量x 。Y 为一维, x 一般为
多维
通常的线性回归
E( Y) =μ= z′( x)β(线性,线性指对β,非X) , z ( x)
陈希孺 数理统计与管理 21 卷 5 期 2002
年9 月
简介
广义线性模型是常见的正态线性模型的直 接推广
适用于连续数据和离散数据,特别是后者,如 属性数据,计数数据
在实用上,尤其是生物,医学和经济、社会数 据的统计分析上,有重要的意义
起源
Fisher 在1919 年曾用过它。 Logistic 模型,在20 世纪四五十年代曾由
(1 , x1 , x 2)′, (1 , x1 , x2 , x21, x22, x 1 x2) 等。
3. Y 的分布属于指数型,正态是其一特例。这 里考虑的Y 为一维,故属于一维指数型。其 形式为:
c ( y) exp (θy - b (θ) ) dμ( y) ,θ ∈Θ (参数空间)
θ为参数,称为自然参数。b (θ) 为θ的已知函 数。μ为一测度(不一定是概率测度) ,常见的 有两种可能:
起着重要的作用。它称为自然联系函数,这时 有z′β= g (μ) = g ( b (θ) ) =θ
因此,指数型分布(1. 1) 中的自然参数,就是z′β。 这一重要关系式是“自然联系函数”这一名称 的由来。
其形式比在其他联系函数下来得简单,其最 重要的优点是:它使广义线性模型下统计推 断的大样本理论更易处理。当然,在一个实 际问题中选择联系函数,主要应依据问题本
身的情况。
probit模型 log-log模型
这个差距中有一部分是由于“位置”与“刻度”
的差异而来, 并非真实的有实际意义的差距。
第一部分 建模
§1. 1 一维广义线性回归 (一) 定义
设有因变量Y ,自变量x 。Y 为一维, x 一般为
多维
通常的线性回归
E( Y) =μ= z′( x)β(线性,线性指对β,非X) , z ( x)
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( 1. 73)
( 1. 74)
( 1. 75)
与 r 无关 。 若( x 1 -x 2) ′ β >0 , 则( 1. 75) 右边 >1 , 因此在 x 1 之下 Y 取小值的概率 。 大于 在 x 2 之下 Y 取小值的概率 。 我们称 Y x 1 随机的小于 Y x 2 。 反之 , 若( x 1 - x2 ) ′ β< 0 ,则 Y x 1 随机的大于 Y x 2 。 当( x 1 -x 2 ) ′ β =0 时 , 有 P( Y ≤ r |x 1)= P ( Y ≤ r |x 2) , r =, 1 , 2 … 因此在 x 1 和 x 2 之下样品的表现( 指其分布 , 不是特定一个样本的表现) 完全一样 。 2. 分组 Con 模型 。 F 为极小值分布 : F( t) = 1 -ex p( -e′ ) ,有
年龄 吸烟史 从不吸 以前吸 现在吸 结果( 人数) 正常 边缘 不正常 577 192 682 27 20 46 4 15 47 7 3 11 0 7 27
〈40
调查某大学心理系即将毕业的学生对照工作前景的预 从不吸 164 期反应分 3 种 : 1. 不预期能找到合适工作 。 2 . 不清楚 。 3 . 40 -59 以前吸 145 预期毕业后可立即找到工作 。 数据 : 现在吸 245 的变量 U 及门限 -∞=θ 0 <θ 1 <… <θ k -1 <θ k =∞, 而定 Y = r , 当且仅当 θ r1 <U ≤θ r , r =1, …, k
53 ( 1. 79)
( 1. 80)
( 1. 80) 与( 1. 77) 完全一致 。 因此 , 把 Y 的数据转化为 Y , 按模型 2 分析 , 得( 1. 77) 中θ r 、β
图三 看出在小值处 , 模型 1 、2 接近 , 而在大值处则模型 1 、3 接近 。 图中的虚线显示因 -x ′ β而 产生的分布位移 , 这种位移影响到取各序值概率的大小 。 积累线性模型的联系函数
1
( π ( 1) + … +π ( r) ) , r = 1 , …, q
( 1.在前面讨论过的模型中 , 联系函数有挑选余地 。 在此处则不然 : 满足( 1. 83) 的 g 由模 型定了下来( 即( 1. 85) ) , 并无选择余地 。 因此 , 它可能是也可能不是自然联系函数 , 但模型中 的分布 F 有挑选余地 , 故似可挑选之 , 使由( 1. 85) 决定的 g 是自然联系函数 。 我们来看看是 否有可能 。 如将多项分布的概率密度写出 , 记 Y = ( Y( ′ ( 回忆 Y ( 是哑变量) ,有 1), …, Y ( q) 1 ), …, Y ( q)
( 四) 状态有序的情况 在旅行交通工具的例中 , 火车 、 汽车 、 轮船 、 飞机等状态 , 可以认为是 “ 无序” 的 。 一则因为 对其优劣次序的看法因人而异 , 二则即使同一个人 , 在不同情况下的排序也不同 。 在有些问题 中 , 目标状态有公认的优劣次序 , 如病情分 1 、 2、 3 期 , 产品品质分 1 、 2、 3 和等外等等级 , 都是公 认的由好到不好的次序 。 注意 : 即使在这种场合 , 其序号( 1 , 2 , …) 也无数量意义 。 例 1. 7 呼吸测验 : 目标 Y 分 3 状态 : 正常 、 边缘 、 不正 常 。 自变量 2 个 : 年龄 , 分〈40 和 40 -59 两级 , 吸烟史 : 分 “ 从不吸烟” 、 “以前级” 、 “ 现在吸” 3 级 , 数据 : 例 1. 8 找工作前景的调查
Generalized linear models
CHEN Xi-ru
( G raduate School of Chinese Academia of Science , Beijing 100039 , China ) Abstract : T his set of articles gives an introduction to generalized linear models . They can be divided into three parts : M odel building , Sta tistical inference and M odel diagno stics . T he presentation is mainly based on L . Fahrmeir et al . 《 M ultivariate Statistical M odeling Based on G eneralized Linear M odels》 . Key words : g eneralized linear models ; model building ; sta tistical inference ; model diagnostics
DO I : 10 . 13860 / j. cnki . slt j . 2003 . 01 . 012
广义线性模型( 三)
文章编号 : 1002 — 1566( 2003) 01 — 0051 —07
51
广义线性模型( 三)
陈希孺
( 中国科学 院研究生院 , 北京 100039) 摘 要 : 本讲座是广义线性模型这个题目的一个 比较系统的介绍 。 主要分 3 部 分 : 建模 、统计 分析 与模型选择 和 诊断 。 写 作 时依 据 的 主 要参 考 资 料 是 L . Fahrmeir 等 人的 《 M ultivariate Statistical M odeling Based on G eneralized Linear M odels》 。 关键词 : 广义线性模型 ; 建模 ; 统计分析 ; 模型选择和诊断 中图分类号 : O212 文献标识码 : A
θ r +x′ β
( 1. 78)
模型 2 和 3 在统计分析方法的角度看是等价的 , 事实上 , 若命 Y = ( k +1) -Y , 则由( 1.
广义线性模型( 三) log( -log P ( Y > k +1 - r |x ) )=-θ β r - x′ 令 θ 1. 79) 成为 j =-θ k +1 -j , β =-β , ( log( -log P ( Y > k +1 - r |x ) )= θ β , r = 1 , 2 , … k+ 1-r + x′ 即 log ( -log P ( Y > r |x ) )= θ β r + x′ 的估计 θ r 、β , 则模型( 1. 78) 中的 θ r 和 β 的估计分别为 -θ k +1 -r 和 β。 这 3 个分布的图形如图三所示 。
+x′ β r P( Y > r | x )= 1 -F ( θ β)= exp( - eθ ) r + x′
( 1. 76) ( 1. 77)
因此 log ( -log P ( Y > r |x ) )= θ β r + x′ 3 . 极大值分布模型 F 为极大值分布 : F( t) = exp( -e -t ) ,有 P( Y ≤ r |x )= exp( -e ) -log ( -log P ( Y ≤ r | x) )= θ β r + x′ 78) 知
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年龄 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29 30 31 34
中文核心期刊 数理统计与管理 22 卷 1期 2003 年 1 月
反映 1 2 3 1 2 0 5 18 2 6 19 2 1 6 3 2 7 3 1 7 5 0 0 3 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 1 0
大多数有序模型是按下述机制产生 : 有一个( 或几个 , 此处只考虑一个的情形) 明显或潜在 ( 1. 70)
此处 Y 记样品的序值( 勿与前面的 Y = ( Y( ) ′ 混淆) 。 而 U 则是从该样品测 1), …, Y ( q) 得的值 。 例如 , 学生的考试成绩分不及格( 1) , 中( 2) , 良( 3) , 优( 4) 4 个等级 , U 为其考试分数 。
把( 1. 83) 与( 1. 72) 对照 , 注意到 P( Y ≤ r |x )= π ( 1) +… + π ( r ), r = 1 , …, q 立即得到( 注) gr ( π )= F 由 F(-1) ( π )= θ ( x) β , r = 1 , …, q ( 1) + … +π ( r) r + z′ ( 0) 解出 π, 以得到 g 的反函数 h : π θ ( x) β) , r = 1 , …, q ( 1) +… + π ( r) = F ( r +z ′ ( 0) 依次令 r = 1 , 2 , … , 得( 注意到 θ 1 =-∞, ( 1. 87) 中 π ( r) 公式对 r =1 也对) π θ ( x) β) ( 1) = F ( 1 + z′ ( 0 ) π θ ( x) β)+F ( θ ( x) β) , r = 2 , …, q , ( r) = F ( r + z′ ( 0) r1 +z ′ ( 0)
P( Y ≤ r |x )= P ( U ≤θ e ≤θ β)= F ( θ β) r |x )= P ( r + x′ r + x′ 对 F 不同的选择 , 得出不同的模型 : 1. Logist ic 分布模型 : F( t )= et /( 1 +et ) P ( Y ≤ r |x )= 有 P( Y ≤ r |x ) P( Y ≤ r | x) θ r +x′ β log P ( r + x′ β , log P ( Y > r |x ) = θ Y > r | x) = e 由( 1. 74) 推出 : 对两组不同的 x 值 x 1 和 x 2 , 有 P( Y ≤ r |x 1) P( Y ≤ r |x 2) ÷ = exp( x 1 - x2 ) ′ β) P( Y > r |x 1) P( Y > r |x 2) ex p( θ β) r + x′ 1 +exp( θ β) r + x′