广义多元线性模型
线性统计模型知识点总结
线性统计模型知识点总结一、线性回归模型1. 线性回归模型的基本思想线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。
它的基本思想是假设自变量与因变量之间存在线性关系，通过对数据进行拟合和预测，以找到最佳拟合直线来描述这种关系。
2. 线性回归模型的假设线性回归模型有一些假设条件，包括：自变量与因变量之间存在线性关系、误差项服从正态分布、误差项的方差是常数、自变量之间不存在多重共线性等。
3. 线性回归模型的公式线性回归模型可以用如下的数学公式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y 是因变量，X是自变量，β是模型的系数，ε是误差项。
4. 线性回归模型的参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法来进行。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来寻找到最佳的模型系数。
5. 线性回归模型的模型评估线性回归模型的好坏可以通过很多指标来进行评价，如R-squared（R^2）、调整后的R-squared、残差标准差、F统计量等。
6. 线性回归模型的应用线性回归模型广泛应用于经济学、金融学、市场营销、社会科学等领域，用以解释变量之间的关系并进行预测。
二、一般线性模型（GLM）1. 一般线性模型的基本概念一般线性模型是一种用于探索因变量与自变量之间关系的统计模型。
它是线性回归模型的一种推广形式，可以处理更为复杂的数据情况。
2. 一般线性模型的模型构建一般线性模型与线性回归模型相似，只是在因变量和自变量之间的联系上，进行了更为灵活的变化。
除了线性模型，一般线性模型还可以包括对数线性模型、逻辑斯蒂回归模型等。
3. 一般线性模型的假设一般线性模型与线性回归模型一样，也有一些假设条件需要满足，如误差项的正态分布、误差项方差的齐性等。
4. 一般线性模型的模型评估一般线性模型的模型评估通常涉及到对应的似然函数、AIC、BIC、残差分析等指标。
5. 一般线性模型的应用一般线性模型可以应用于各种不同的领域，包括医学、生物学、社会科学等，用以研究因变量与自变量之间的关系。
广义线性模型
2 1/ 2 2
1
3 2
伽玛分布
1
ln
1
1
2
二项分布 ln p
ln1 e 1
1 p
Poisson 分布 ln
e
1
p
e 1 e
e
p1 p
负二项分布 ln
e
k
e
k2
何为“广义线性模型”？(续)
一个广义线性模型包括以下三个组成部分： （1）线性成分(linear component ) ：
SAS软件中的PROC GENMOD：
The GENMOD Procedure
The GENMOD procedure fits generalized linear models. The class of generalized linear models is an extension of traditional linear models that allows the mean of a population to depend on a linear predictor through a nonlinear link function and allows the response probability distribution to be any member of an exponential family of distributions. Many widely used statistical models are generalized linear models. These include classical linear models with normal errors, logistic and probit models for binary data, and log-linear models for multinomial data. Many other useful statistical models can be formulated as generalized linear models by the selection of an appropriate link function and response probability distribution.
广义线性模型及其在数据分析中的应用
摘要广义线性模型是一类现如今十分重要的数学模型，它是经典线性模型的推广，在当今社会有着广泛的应运。
在医学、生物以及经济等数据的统计和分析上有着很深的意义。
它可适用于离散的数据和连续的数据，尤其是前者，像属性数据、计数数据等等。
广义线性模型包括了许多模型，其中有方差分析模型、线性回归、交替响应的对数和概率单位模型、计数的多项响应模型、对数线性模型以及生存数据的一些常用模型等等。
本论文前两章讨论了广义线性模型的研究现状以及广义线性模型的基本理论。
第三章通过医学、生物和经济三个方面的实例来研究广义线性模型在日常生活中的广泛应用。
医学方面讨论了新药试验过程中广义线性模型对于新药的有效性研究提供了一种最为合适且快捷的方案。
生物方面通过浙江省一个水稻区域试验来说明广义线性模型在非平衡数据的处理上较与经典线性回归模型有着很显著的优越性。
经济方面则通过车辆保险费率厘定的实例来说明广义线性模型处理数据的简便与快捷。
三个方向的研究与探讨都说明了广义线性模型在现今社会生活中有着无法替代的存在感，在各个领域都有着极其广泛的应用。
关键词：广义线性模型；数据分析；timi分级；极大似然估计AbstractThe generalized linear model is a kind of mathematical model which is very important nowadays. It is the popularization of the classical linear model. It is widely used in today's society. In the medical, biological and economic data and statistical analysis and has a deep meaning. It can be applied to discrete data and continuous data, especially the former, like attribute data, count data and so on. The generalized linear model includes a number of models, including variance analysis models, linear regression, logarithm of alternating responses and probability unit models, counting multiple response models, logarithmic linear models, and some common models of survival data. The first two chapters of this paper discuss the general situation of generalized linear model and the basic theory of generalized linear model. The third chapter studies the broad application of generalized linear model in daily life through medical, biological and economic aspects. In this paper, the generalized linear model of the new drug trial is discussed in the medical field, which provides a most suitable and quick solution for the effectiveness of the new drug. The biological aspect shows that the generalized linear model has a significant superiority with the classical linear regression model in the treatment of non - equilibrium data through a rice regional experiment in Zhejiang Province. Economic aspects of the vehicle through the insurance rate to determine the examples to illustrate the generalized linear model of data processing is simple and fast. The study and discussion of the three directions show that the generalized linear model has an irreplaceable sense of existence in today's social life and has a wide range of applications in various fields.Key words: Generalized linear model; data analysis; timi classification; maximum likelihood estimation目录摘要 (I)Abstract (II)目录.................................................................................................................... I II 第一章绪论.. (1)1.1课题研究目的与意义 (1)1.2国内外研究现状 (1)第二章广义线性模型的研究 (3)2.1两种线性模型 (3)2.2常见的广义线性模型 (3)2.3广义线性模型的优点 (4)2.4广义线性模型的两种参数估计方法 (4)2.4.1极大似然估计 (4)2.4.2两参数估计 (9)第三章广义线性模型在数据分析中的应用 (11)3.1 广义线性模型在timi分级影响因素分析中的应用 (11)3.2 广义线性模型在水稻区域试验中的应用 (13)3.2.1实例 (15)3.2.2分析与结果比较 (16)3.2.3分析与展望 (17)3.3 广义线性模型在汽车保险定价中的应用 (17)3.4 广义线性模型在保险赔款预估中的应用 (19)第四章总结 (24)参考文献 (25)致谢 (26)第一章绪论1.1课题研究目的与意义广义线性模型是从线性模型演变过来的，但是它比经典的线性模型适应性更强，在处理很多数据分析问题中表现出很多优点。
多元广义估计方程(gee)
多元广义估计方程(gee)摘要：1.多元广义估计方程(gee) 的概述2.多元广义估计方程(gee) 的基本原理3.多元广义估计方程(gee) 的应用实例4.多元广义估计方程(gee) 的优缺点分析正文：一、多元广义估计方程(gee) 的概述多元广义估计方程(gee, Generalized Estimating Equations) 是一种用于解决多元回归模型中数据之间相关性问题的统计方法。
这种方法主要通过引入随机效应，将各个观测值之间的相关性纳入模型中，从而得到更加准确和可靠的参数估计结果。
与传统的多元线性回归模型相比，多元广义估计方程具有更强的稳健性和适应性，因此在实际应用中具有广泛的应用价值。
二、多元广义估计方程(gee) 的基本原理多元广义估计方程的基本思想是在观测值之间引入一个或多个随机效应，用以表示各个观测值之间的相关性。
具体来说，设观测数据为(y_1, y_2,...,y_n)，对应的参数为(β_1, β_2,..., β_p)，随机效应为(u_1, u_2,..., u_n)，则多元广义估计方程可以表示为：y_i = x_i"β + u_i, i=1,2,...,n其中，x_i"表示第i 个观测值的设计矩阵，β表示参数向量，u_i 表示第i 个观测值对应的随机效应。
在多元广义估计方程中，随机效应u_i 是独立且服从相同的分布，通常假设其服从正态分布。
三、多元广义估计方程(gee) 的应用实例多元广义估计方程广泛应用于社会科学、生物统计学、医学研究等领域。
以下是一个简单的应用实例：假设我们想要研究某种疾病的治疗效果，观测到了一组患者的体重、年龄、性别、治疗方案等信息，以及治疗后的病情改善情况。
在这个例子中，患者的体重、年龄、性别等因素可能对病情改善产生影响，而这些因素之间可能存在相关性。
采用多元广义估计方程，我们可以同时考虑这些因素之间的相关性，从而得到更加准确的治疗效果估计。
第3章-广义线性模型
年收入 （万元）
是否有车
年收入 （万元）
是否有车
年收入 （万元）
是否有车
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2. 正态线性回归模型
• 只要取联结函数为 m (i) i x iT (i 1 , ,n ),则正
态线性回归模型满足广义线性模型的定义.
• 类似的,容易验证,二项分布和泊松分布都属 于指数分布族.
• 下面介绍实际中应用广泛的两种广义线性
模型:Logistic模型和对数线性模型.
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2. 模型的参数估计和检验
• 采用R软件中的广义线性模型过程glm( )可以完成 回归系数的估计,以及模型回归系数的显著性检验. 程序如下：
调节变量对应的计量模型
调节变量对应的计量模型
调节变量在计量经济学中通常指的是一个或多个影响自变量和因变量关系的变量。
当一个变量影响自变量和因变量之间的关系强度或方向时，我们称它为调节变量。
调节变量的计量模型可以根据具体情况选择不同的模型，以下是一些常见的计量模型：
1.线性回归模型：线性回归模型是最常用的计量模型之一，它用
于描述因变量与一个或多个自变量之间的线性关系。
当自变量和因变量之间的关系为线性时，可以使用线性回归模型来估计自变量的系数和截距项。
2.逻辑回归模型：逻辑回归模型是一种用于二元分类问题的计量
模型，它基于逻辑函数来描述自变量和因变量之间的关系。
当因变量的取值只有两种可能性（例如，是或否）时，可以使用逻辑回归模型来预测因变量的概率。
3.多元回归模型：多元回归模型用于描述因变量与多个自变量之
间的关系。
它可以用来研究多个自变量对因变量的独立影响以及它们之间的交互作用。
4.广义线性模型：广义线性模型是一种灵活的计量模型，它可以
用于描述因变量与自变量之间的非线性关系。
它通过引入链接
函数来连接自变量和因变量之间的关系，使得模型的预测更加准确。
5.混合效应模型：混合效应模型是一种同时考虑固定效应和随机
效应的计量模型。
当研究设计中包含个体间差异时，可以使用混合效应模型来估计固定效应和随机效应的参数。
调节变量的计量模型应根据研究目的和研究数据的特征进行选择。
在选择计量模型时，需要考虑模型的适用性、解释性和预测性。
广义logit模型
广义logit模型广义logit模型随着现代统计学的发展，广义logit模型在各个学科领域越来越受到关注，尤其是在数据分析和生物医学等领域中得到了广泛应用。
本文将从定义和优点、应用范围、模型参数和特性等方面进行详细介绍。
一、定义和优点广义logit模型，是一种关于二元或多元分类问题的统计模型，可以通过广义线性模型（GLM）方法求解。
与传统的logit模型相比，广义logit模型更为灵活，可以在一些数据分析和生物医学领域中得到更好的拟合效果。
广义logit模型不仅可以用于二元分类问题，也可以用于多元分类问题，另外可以使用不同的函数形式来描述判别函数与自变量之间的关系。
二、应用范围广义logit模型可以应用于各种领域的分类问题，尤其在生物医学领域具有广泛的应用。
例如，在癌症患者的药物反应预测和疾病诊断等方面有着重要的作用。
此外，广义logit模型还可以应用于金融、工程、社会科学和市场研究等领域，以及推荐系统和个性化广告等数据驱动的业务中。
三、模型参数和特性广义logit模型的参数由自变量、因变量和连续概率假设函数（link function）的形式构成。
其中，自变量是研究对象的特征，因变量是分类标签，而连续概率假设函数提供了判别函数与自变量之间的关系，决定了模型的形式和性质。
广义logit模型的特性包括可解释性、可重复性和可扩展性。
可解释性指的是模型中的参数具有直观的意义，可以帮助解释和理解研究对象的分类行为；可重复性指的是在不同样本中模型的参数具有一定的稳定性和可重复性。
可扩展性是指广义logit模型可以容易地扩展到批量处理和大规模数据分析等场景中。
总之，广义logit模型在数据分析和生物医学等领域中具有广泛的应用前景，其灵活性和可扩展性能够满足大规模数据分析和分类问题的需求。
多元广义估计方程(gee)
多元广义估计方程(gee)一、多元广义估计方程(GEE)的概述多元广义估计方程（Generalized Estimating Equations，简称GEE）是一种用于解决多元回归模型中数据之间相关性问题的统计方法。
这种方法主要通过引入一个称为“线性变换”的步骤，将具有相关性的数据转化为独立数据，从而实现对多个变量的独立估计。
这种方法在生物统计学、社会科学等领域有广泛应用。
二、GEE的数学原理GEE方法的数学原理主要包括以下几个步骤：1.初始化：设定初始参数，如均值向量、协方差矩阵等。
2.线性变换：通过一个设计矩阵，将原始数据转换为新的线性组合，使得新数据中的协方差矩阵变为对角矩阵。
3.独立回归：对新数据进行多元线性回归，得到新的回归系数。
4.逆变换：通过设计矩阵的逆矩阵，将新回归系数还原为原始数据的回归系数。
通过以上步骤，GEE方法可以有效地估计具有相关性的多元回归模型。
三、GEE 的应用领域GEE 方法在许多领域都有广泛应用，主要包括：1.生物统计学：在生物统计学中，研究者经常需要对具有相关性的生物指标进行分析。
GEE 方法可以帮助研究者有效地估计这些相关性。
2.社会科学：在社会科学中，研究者经常需要对多个变量进行回归分析。
由于数据之间的相关性，传统的回归方法可能无法准确估计。
GEE方法可以帮助研究者解决这个问题。
3.金融学：在金融学中，研究者需要对多个金融指标进行分析。
由于金融数据之间的相关性，GEE方法可以提供更准确的估计。
四、GEE的优缺点GEE方法的优点包括：1.可以有效地解决多元回归模型中的数据相关性问题。
2.可以处理不同分布的回归模型。
3.可以进行大样本分析。
GEE方法的缺点包括：1.计算复杂度较高，需要大量的计算资源。
2.对初始参数的设定敏感，不同的设定可能导致不同的估计结果。
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流行病学分析是为了确定危险因素与结果变量之间是否有联系，危 险因素对结果变量的作用大小（即效应）。
表1 效应的估计和结果变量与危险因素的类型
0.28 ( 0.01, 0.55) 0.044
X4 3.32 ( 0.37, 6.27) 0.028
2.30 ( -0.59, 5.19) 0.119
X5 5.22 ( 2.91, 7.53) <0.001 注：β（95% CI ） p 值
4.81 ( 2.60, 7.02) <0.001
广义多元线性回归方程的构建
结果变量（Y） 危险因素（X）
效应测量
统计检验
连续性, 如收缩压 连续性, 如收缩压 分类型, 如是否高血压 分类型, 如是否高血压
分类型, 如是否吸烟 连续性, 如体重指数 分类型, 如是否吸烟 连续性, 如体重指数
吸烟者与不吸烟者收缩压的差（β） H0:β=0 及其标准误 BMI每增加一个单位SBP增加多少 H0:β=0 （β）及其标准误 吸烟者与不吸烟者高血压发生率比 H0:OR=1 （OR）及其95% 可信区间 BMI每增加一个单位高血压发生率比 H0:OR=1 （OR）及其95% 可信区间
广义多元线性回归方程的构建
广义多元线性回归方程的构建
【结果解读】 这是输出结果（只列出了SBP部分，DBP部分略），看表头：Y是结
果变量，X是危险因素，C是可能要调整的变量。按照前面的讲解，先看 C与Y关系的P值。接着看在基本模型中引进C，X的回归系数的变化。如 这里基本模型是：SBP=体重指数+年龄，在这个模型中，体重指数的回 归系数是0.615，引进是否吸烟后，变成了0.609，变化了0.9%。再看在 完整模型中剔除C，这里完整模型是SBP=体重指数+年龄+是否吸烟+文化 程度+被动吸烟+职业+是否饮酒，在这个模型中体重指数的回归系数是 0.710，剔除“是否吸烟”后，变成了0.721，变化了1.5%。依此类推。 最后软件建议要调整EDU（文化程度）与OCCU（职业）。
X4 2.30 ( -0.59, 5.19) 0.119 2.28 ( -0.60, 5.17) 0.122
X5 4.81 ( 2.60, 7.02) <0.001 4.93 ( 2.80, 7.06) <0.001 4.77 ( 2.65, 6.90) <0.001 注：β（95% CI ） p 值
广义多元线性回归方程的构建
【独立作用】
广义多元线性模型的第一大用途是在危险因素研究中，得出独立作 用。什么是独立作用？为什么要评价独立作用呢？
如研究肥胖与高血压关系，比较论文中可能的几种结论： 1. 胖子与瘦子相比，收缩压有显著差别（P<0.005）。
这个结论是用t检验比较两组均数得出的。这有没有说清楚呢？没有。 2. 体重指数与收缩压，非常显著相关（P<0.0001）。
【实例】
多元回归分析，目的是看危险因素（X）对结果变量（Y）作用中， 有没有其它因素的作用在内，有没有把其它因素的功劳，记到了X的头
上（即有没有不完全混杂）。调整的目的是，把其它因素的作用剥离出 去，正确评价X对Y的作用大小。看下表中的例子：结局变量是Y2 1. 先对Y2 与X1、X2、X3、X4、X5的关系逐个做单因素分析。除X1
3. 接着看表3，X1不显著，把X1从模型中剔出，得出方程二：X2 的回 归系数还是没变化；X3 也没变；X4、X5变化很小。
4. 鉴于X4不显著，再把X4从模型中剔出，得方程三：X2回归系数还 是没变，X3 的回归系数从0.28升到0.36，变化很大，X5有一点变化。
【解读】
（1）不论调整什么，X2的回归系数都没变化，这是为什么呢？ •是因为X2 与X1、X3、X4、X5都没有关系。
（4）最后选哪个方程放在文章中呢？ •如果分析的目的，是确定X3对Y2的作用，就应该选方程二，因为 方程二中的回归系数，更确切地表达了X3对Y2的作用。而不能因 为X4 的p值不显著，就不调整X4，因为p值受样本量的影响。
广义多元线性回归方程的构建
【构建步骤和标准】 在分析X对Y的作用时，是否要调整 “C” 呢？
【软件操作】 例如，要分析易侕统计软件自带的练习数据“dome”，研究体重指数 对SBP、DBP的独立作用大小，操作见下图：
•选择“数据分析”—“协变量检查与筛选” •给 出 研 究 假 设 中 的 结 果 变 量 Y ， 这 里 如 SBP 、 DBP ， 可 以 同 时 做 多 个 Y （分别建模） •危险因素X变量，如体重指数 •作者认为年龄是固定要调整的变量，放在固定要调整的变量处。 •其它变量如是否吸烟、文化程度、被动吸烟、职业、是否饮酒是否需 要调整呢？放在要检查与筛选的变量处 •点击查看结果
图1 按吸烟情况分组身高的箱图
按性别分开：男性身高比女性 高；男性里，吸烟者与不吸烟 者身高没有多大差异；女性里， 吸烟者与不吸烟者身高也没有 多大差异。
•不吸烟者219个女性，57个男 性，即不吸烟者主要是女性； •吸 烟 者 中 139 个 男 性 ， 只 有 7 个女性，即吸烟者主要是男性。
不吸烟 吸烟 不吸烟 吸烟
数据分析基础
广义多元线性回归方程的构建
广义多元线性回归方程的构建 【文献回顾】
这是一篇2014年发表在新英格兰医学杂志（影响因子55.8分）的 论文[1]，研究妊娠期是否能用抗抑郁药，结果表明妊娠初期使用抗抑 郁药不显著增加新生儿心脏畸形。（CONCLUSIONS The results of this large, population-based cohort study suggested no substantial increase in the risk of cardiac malformations attributable to antidepressant use during the first trimester. ）
（2）X5的回归系数有变化，但不大，是为什么？ •是因为X5与其它X有相关，但关系不强。
（3）调整X4 与不调整X4，X3 的回归系数变化很大，这是为什么呢？ •是因为X3 与X4 关系较大，不调整X4，X4 的作用就加到X3身上 去了；调整了X4 ，就是把X4 的作用从X3中剥离出来，这时看到 X3 的回归系数就变小了。
文章统计学方法部分开篇写到：
统计学方法里写到的独立作用的风险（absolute risk）是什么？是 如何通过回归分析（Logistic-regression analysis）得出的？为什么要这 样做？是怎么用软件实现的？
上述问题，将在本篇中讲解。
广义多元线性回归方程的构建
【概念】
这里指的多元线性模型，是广义线性模型，应变量（Y）的分布类 型可以是：正态分布（gaussian）、两分类分布（binomial）、泊松分布、 负二项分布等，不同的分布类型对应不同的联系函数f(Y)。
这是用相关分析做的。这有没有说清楚呢？也没有。 3. 体重指数每增加1kg，收缩压增加0.01 mmHg，P<0.00001。
这是用回归方程做出来的。统计上非常显著。它也告诉我们，每降 低体重1公斤，能降低血压0.01 mmHg，这个0.01就没有临床意义了，因 为控制体重能导致的降压幅度太小。另外这个0.01里面有没有其它因素 的作用在内呢？不知道。
表3 结局变量Y2和各危险因素的多因素分析
方程一
方程二
方程三
X1 0.11 ( -0.42, 0.65) 0.679
X2 0.47 ( 0.36, 0.58) <0.001 0.47 ( 0.36, 0.57) <0.001 0.47 ( 0.36, 0.58) <0.001
X3 0.28 ( 0.01, 0.55) 0.044 0.28 ( 0.01, 0.55) 0.046 0.36 ( 0.11, 0.61) 0.005
4. 在控制了其它因素的作用下，体重指数每增加1kg，收缩压增加 1mmHg，95%可信区间0.7-1.3mmHg。
根据可信区间知统计上显著。而且每降低体重1公斤，能降低血压 1mmHg，有临床应用价值。这个结果是用多元回归方程做出来的，控制 了其它因素的作用，得出的回归系数1mmHg是体重指数对收缩压的独立 作用。可以想象当临床上遇到一个高血压并肥胖的病人，根据这个结果 就可以告诉他仅降低体重这一项就能降低血压多少，如果病人又吸烟又 饮酒，可根据相应的文献告诉他，如果戒烟又能降低血压多少，戒酒又 能降多少，这就是临床价值的体现。
表2 结局变量Y2和各危险因素的单因素和多因素分析
单因素分析
多因素分析（方程一）
X1 0.30 (-0.28, 0.87) 0.311
0.11 ( -0.42, 0.65) 0.679
X2 0.47 ( 0.36, 0.59) <0.001
0.47 ( 0.36, 0.58) <0.001
X3 0.41 ( 0.13, 0.68) 0.004
外，其它4个X与Y2均有显著性关系。 2. 再作多元回归模型，把5个X同时放入模型中，结果X1 还是不显著，
X2、X3、X5仍然显著，X4变得不显著了。 这里注意每个回归系数的变化：
•X2没变化； •X3变化较大，从0.41变成0.28； •X4变化也较大，从3.32变成2.30； •X5有一点变化，但不很大。 问题是：X3的回归系数为什么会变化很大呢？
1
先看“C”与Y有没有联系，用单 因素分析，看“C”的P值。
Y = β0 + β1 C
2 再看调整“C”与不调整“C”，X
对Y的作用是否有变化。先运行 基本模型，记录β1 ，再在该模 型中加入“C”，看β1变化多大？