2017-2018学年高中数学北师大版必修四习题：阶段质量检测(一)
2017-2018学年高中数学北师大版选修4-5阶段质量检测(一) 不等关系与基本不等式含解析
阶段质量检测（一）不等关系与基本不等式（时间:90分钟,满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜错误!"或“b＞错误!"的( ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．若a>b〉1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b）,R＝lg错误!，则( ）A．R<P<Q B．P〈Q<RC．Q〈P<R D．P<R〈Q3．不等式错误!的解集是( ）A．（0，2）B．（0，2.5)C．（0，错误!) D．（0,3)4．(江西高考)对任意x,y∈R，｜x－1｜＋|x｜＋｜y－1|＋｜y ＋1｜的最小值为( )A．1 B．2C．3 D．45．若a>0,b>0，则p＝(ab）错误!，q＝a b b a的大小关系是( ）A．p≥q B．p≤qC．p〉q D．p<q6．若二次函数f（x)＝4x2－2（p－2)x－2p2－p＋1在区间［－1,1］内至少有一个值c，使f(c）＞0，则实数p的取值范围是( ）A.错误!B.错误!C．(－1，0） D.错误!7．若不等式｜ax＋2|＜6的解集为（－1,2)，则实数a＝( ）A．8 B．2C．－4 D．－88．已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是错误!，且α＝a＋错误!，β＝b＋错误!,则α＋β的最小值是（）A．3 B．4C．5 D．69．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（)A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|B．a2＋错误!≥a＋错误!C．|a－b｜＋错误!≥2D.错误!－错误!≤错误!－错误!10．设x，y∈R,a＞1，b＞1，若a x＝b y＝2,a＋b＝4，则错误!＋错误!的最大值为（)A．4 B．3C．2 D．1二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）11．设a＝错误!－错误!，b＝错误!－错误!，c＝错误!－错误!,则a，b，c的大小顺序是________________．12．(上海高考)设常数a＞0.若9x＋错误!≥a＋1对一切正实数x 成立，则a的取值范围为________．13．不等式｜2｜x|－3｜＜|x|＋1的解集为____________．14．a〉0，b〉0,给出下列四个不等式：①a＋b＋1ab≥2错误!;②(a＋b）错误!≥4；③错误!≥a＋b；④a＋错误!≥－2.其中正确的不等式有________．（只填序号）三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．（本小题满分12分）（新课标全国卷Ⅱ)设函数f（x）＝错误!＋|x－a|（a〉0）．(1)证明:f(x)≥2;（2）若f(3)〈5，求a的取值范围．16．(本小题满分12分）设x>－1，求函数y＝错误!的最小值．17．（本小题满分12分)已知f（x)＝｜ax＋1｜（a∈R）,不等式f（x)≤3的解集为｛x｜－2≤x≤1}．(1)求a的值；（2)若错误!≤k恒成立,求k的取值范围．18．（本小题满分14分)(北京高考）给定数列a1，a2，…，a n。
2017-2018学年高中数学北师大版四习题：阶段质量检测(一)含答案
阶段质量检测(一）三角函数(时间:90分钟满分:120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．下列各角中与－错误!终边相同的是（)A．－错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!2．cos 330°＝（)A.错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!3．设α是第三象限角，且错误!＝－cos错误!，则错误!终边所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若函数f(x)＝sin ωx（ω〉0）在区间错误!上是增加的,在区间［错误!，π]上是减小的,则ω＝( ）2A．3 B．2C.错误!D.错误!5．函数y＝3sin错误!的一个单调递减区间为( ）A。
错误! B.错误!C。
错误!D。
错误!6．(全国高考）若函数f (x )＝sin 错误!,φ∈［0，2π］是偶函数，则φ＝（ ）A 。
π2 B.错误!C 。
错误!D 。
错误!7．（山东高考)函数y ＝2sin 错误!（0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为（ ）A ．2－错误!B ．0C ．－1D ．－1－38．方程｜x |＝cos x 在（－∞，＋∞）内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根9．已知函数图像的一部分如图，则函数的解析式是( )A ．y ＝sin 错误!B ．y ＝sin 错误!C ．y ＝cos 错误!D ．y ＝cos 错误!10．如果函数y ＝3cos （2x ＋φ）的图像关于点错误!中心对称，那么|φ｜的最小值为（ ）A.错误! B 。
错误! C 。
π3D 。
错误!二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）11．设扇形的半径长为4 cm,面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．12．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若p(4,y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－错误!，则y＝________．13．已知f(x)＝A sin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值为错误!，则正数ω＝________．14．函数y＝log错误!错误!的定义域是________．三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本小题满分12分)已知f（α)＝错误!。
2017-2018学年高一数学北师大版必修4学业分层测评：第
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图2-3-3，已知AM 是△ABC 的边BC 上的中线，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →等于( )图2-3-3A ．12(a －b ) B ．－12(a －b ) C ．12(a ＋b )D ．－12(a ＋b )【解析】 ∵M 是BC 的中点，∴AM→＝12(a ＋b )．【答案】 C2．点C 在线段AB 上，且AC→＝35AB →，则AC →等于( )A ．23BC →B ．32BC → C ．－23BC →D ．－32BC →【解析】 ∵AC→＝35AB →，∴BC →＝－25AB →，∴AC →＝－32BC →.【答案】 D3．已知O 是直线AB 外一点，C ，D 是线段AB 的三等分点，且AC ＝CD ＝DB ，如果OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，则OD →＝( )A ．e 1＋2e 2B ．2e 1＋e 2C ．23e 1＋13e 2D ．13e 1＋23e 2【解析】 ∵AB →＝OB →－OA →＝3(e 2－e 1)，∴AD →＝23AB →＝2(e 2－e 1)，∴OD →＝OA →＋AD →＝3e 1＋2(e 2－e 1)＝e 1＋2e 2. 【答案】 A4．如图2-3-4，设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )图2-3-4A ．P A →＋PB →＝0B ．PB→＋PC →＝0C ．PC →＋P A →＝0D ．P A →＋PB→＋PC →＝0 【解析】 法一：∵BC →＋BA →＝2BP →，∴(BC→－BP →)＋(BA →－BP →)＝0， 即PC →＋P A →＝0.法二：∵BC→＋BA →＝2BP →， ∴点P 为AC 的中点， ∴P A →＋PC →＝0. 【答案】 C5．如图2-3-5所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 等分AB ，已知AB →＝a ，AC→＝b ，则AD →等于( )图2-3-5A ．a －12b B ．12a －b C ．a ＋12bD ．12a ＋b【解析】 连接OC ，OD ，CD ，则△OAC 与△OCD 为全等的等边三角形，所以四边形OACD 为平行四边形，所以AD →＝AO→＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .故选D. 【答案】 D 二、填空题6．化简112[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]的结果是 ． 【解析】 原式＝112(4a ＋16b －16a ＋8b ) ＝112(－12a ＋24b ) ＝2b －a ． 【答案】 2b －a7．如图2-3-6在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO→，则λ＝ . 【导学号：66470046】图2-3-6【解析】 如图所示，AB→＋AD →＝AC →.又O 为中点，所以AC →＝2AO →，λ＝2.【答案】 28．已知在△ABC 中，点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC→＝mAM →成立，则m 的值为 ． 【解析】 ∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心．如图，AD→＝32AM →，而AB →＋AC →＝2AD →，故AB →＋AC →＝2×32AM →＝3AM →，∴m ＝3.【答案】 3 三、解答题9．设a ，b 是不共线的两个向量，已知AB →＝2a ＋k b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．【解】 ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →共线，则必存在实数λ，使AB→＝λBD →，而BD →＝BC →＋CD →＝(a ＋b )＋(a －2b )＝2a －b ， ∴2a ＋k b ＝λ(2a －b )＝2λa －λb ， 于是⎩⎨⎧ 2＝2λ，k ＝－λ⇒⎩⎨⎧λ＝1，k ＝－1，∴k ＝－1. 10．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →(λ∈R ，λ≠1，λ≠0).【导学号：69992020】(1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的范围． 【解】 (1)证明：因为OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，所以OM→＝λOB →＋OA →－λOA →， OM→－OA →＝λOB →－λOA →， 即AM→＝λAB →， 又λ∈R ，λ≠1，λ≠0且AM→，AB →有公共点A ，所以A ，B ，M 三点共线．(2)由(1)知AM →＝λAB →，若点B 在线段AM 上，则AM →，AB →同向且|AM |→>|AB |→|(如图所示)．所以λ>1.[能力提升]1．已知平行四边形的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，且满足BE→＝EC →，则AE →＝( ) A ．b －3a B ．－32a ＋12b C ．12a ＋32b D.12a －12b【解析】 如图所示，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以OC →＝－OA →＝－a ，所以BC →＝OC →－OB →＝－a －b ，因为BE →＝EC →，所以BE →＝12BC →＝－12(a ＋b )．又因为AB→＝OB →－OA →＝b －a ，所以AE →＝AB →＋BE →＝b －a －12(a ＋b ) ＝－32a ＋12b . 【答案】 B2．已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0【解析】 (1)当e 1∥e 2时，a ＝e 1＋λe 2，不妨设e 1＝μe 2，μ∈R ，所以a ＝(λ＋μ)e 2，b ＝2μe 2，故a 与b 共线．(2)当e 1与e 2不共线时，设a ＝μb ，μ∈R ， 则e 1＋λe 2＝2μe 1，即(1－2μ)e 1＋λe 2＝0， 所以⎩⎨⎧1－2μ＝0，λ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝0，所以a 与b 共线的条件是λ＝0.综上知a 与b 共线的条件是e 1∥e 2或λ＝0.【答案】 D3．如图2-3-7，设P 为△ABC 内一点，且AP→＝14AB →＋15AC →，BM →＝34BA →，CN →＝45CA →，则△PMB 的面积与△ABC 的面积之比等于 .【导学号：66470047】图2-3-7【解析】 由题可知，AM→＝14AB →，AN →＝15AC →，则AP →＝AM →＋AN →，由平行四边形法则，可知NP →∥AB →，所以S △PMB S △ABC ＝|AN →||AC →|·|BM →||BA →|＝15×34＝320.【答案】 3204．已知点G 是△ABC 的重心． 求证：GA →＋GB →＋GC →＝0.【证明】 取边BC 的中点D (图略)，GA →＝－2GD →，又GB→＋GC →＝2GD →， 则GA→＋GB →＋GC → ＝－2GD →＋2GD → ＝0.。
2017-2018学年高一数学北师大版必修4模块综合测评 含解析 精品
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点A (sin 2 016°，cos 2 016°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 注意到2 016°＝360°×5＋(180°＋36°)，因此2 016°角的终边在第三象限，sin2 016°<0，cos2 016°<0，所以点A 位于第三象限．【答案】 C2．已知扇形的圆心角为23π弧度，半径为2，则扇形的面积是( ) A ．83π B ．43 C ．2πD ．43π【解析】 由S 扇形＝12|α|R 2，可得S 扇形＝12×23π×22＝43π. 【答案】 D3．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α 的值等于( ) A ．125 B ．－125 C ．512D ．－512【解析】 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.【答案】 D4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1【解析】 将等式sin α－cos α＝2两边平方， 得到2sin αcos α＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即 sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝0， 得(sin α＋cos α)2＝0， 所以sin α＋cos α＝0. 又sin α－cos α＝2， 故tan α＝sin αcos α＝－1. 【答案】 A5．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，若|a ·b |＝|a |·|b |，求tan x 的值( )【导学号：66470078】A ．1B ．－1C ． 3D ．22【解析】 由|a ·b |＝|a ||b |，得a ∥b ， ∴sin 2x ＝2sin 2x ， 即2sin x cos x ＝2sin 2x ， ∴cos x ＝sin x ， ∴tan x ＝1. 【答案】 A6．设A 是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，则A 2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】 ∵A 为第三象限角，∴2k π＋π<A <2k π＋32π，k ∈Z ， ∴k π＋π2<A 2<k π＋34π，k ∈Z ， ∴A2为第二象限角或第四象限角． 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2， ∴sin A 2<0，故A2为第四象限角． 【答案】 D7．在△ABC 中，AB→＝a ，AC →＝b ，且BD →＝12DC →，则AD →＝( )A ．43a －13bB ．23a ＋13bC ．13a －43bD ．13a ＋23b【解析】 因为BD→＝12DC →，所以AD→－AB →＝12(AC →－AD →)， 即32AD →＝AB →＋12AC →，亦即AD→＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b . 【答案】 B8．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4【解析】 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4， 因为0<φ<π，所以φ＝π4. 【答案】 A9．设O ，A ，B ，M 为平面上四点，OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈(0,1)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线【解析】 因为OM→＝λOA →＋(1－λ)OB →， 所以OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)， 即BM →＝λBA →. 又0<λ<1，所以点M 在线段AB 上． 【答案】 A10．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m >－3C ．m <3D ．m >1【解析】 f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m <2恒成立，即m >2sin B －1恒成立．∵0<B <π，∴0<sin B ≤1， ∴－1<2sin B －1≤1，故m >1. 【答案】 D11．在△ABC 中(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( ) A ． 等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．直角三角形【解析】 由已知得：(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，∴AC 2→－AB 2→＝0，∴|AC →|＝|AB→|，即AC ＝AB ，△ABC 为等腰三角形． 【答案】 B12．在平面上，AB →1⊥AB →2，|OB 1→|＝|OB →2|＝1，AP →＝AB →1＋AB →2.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2【解析】 ∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →)＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0， ∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＝－OA 2→.∵AP →＝AB 1→＋AB 2→ ∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →. ∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1， ∴OP 2→＝1＋1＋OA 2→＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OB 2→·OA →) ＝2＋OA2→＋2(－OA 2→)＝2－OA 2→. ∵|OP→|<12，∴0≤|OP →|2<14， ∴0≤2－OA2→<14，∴74<OA 2→≤2，即|OA →|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一段如图1所示，它的解析式是 ．图1【解析】 由图像可知A ＝23， T ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12－⎝⎛⎭⎪⎫－712π＝π， ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴y ＝23sin (2x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，23，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝1，∴φ＝23π，∴y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋23π.【答案】 y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋23π14．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是 .【导学号：66470079】【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＝23π，∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3.【答案】315．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝ . 【解析】 y ＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ， 设15＝cos α，25＝sin α， 则y ＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)． ∵x ∈R ∴x －α∈R ，∴y max ＝ 5. 又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值， ∴f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.【答案】 －25516．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°，如图2，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是 ．图2【解析】 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 设∠AOC ＝α，则OC→＝(cos α，sin α)．∵OC→＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°， ∴30°≤α＋30°≤150°.∴当α＝60°时，x ＋y 有最大值2. 【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2cos ωx (ω＞0)，且函数y ＝f (x )的图像的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )的单调递减区间．【解】 (1)∵f (x )的周期T ＝π， 故2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝2cos 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)将y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，得到y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图像，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减， 因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A (1,2)，B (－3,4)．(1)求向量AB→的坐标及|AB →|；(2)求向量OA→与OB →的夹角的余弦值．【解】 (1)因为A (1,2)，B (－3,4)，所以AB →＝OB →－OA →＝(－3,4)－(1,2)＝(－4,2)， 所以|AB→|＝－42＋22＝2 5. (2)设OA→与OB →的夹角为θ. 因为OA →·OB →＝5，|OA →|＝5，|OB →|＝5， 所以cos θ＝OA →·OB →|OA→||OB →|＝55×5＝55.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值.【导学号：69992043】【解】 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0， 解得tan α＝－43或tan α＝12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，tan α<0，∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α2＝sinα2cos α2＝－12，sin 2α2＋cos 2α2＝1，∴sin α2＝55，cos α2＝－255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图像如图3所示．图3(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间． 【解】 (1)由题设图像知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图像上， 所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图像上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6 －2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 21．(本小题满分12分)如图4，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限，求OB 2的最大值．图4【解】 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ， AH ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ， 所以B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 由0<θ<π2，知π3<2θ＋π3<4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3. 22．已知f (x )＝x 12＋(1－x )12.(1)求证：1≤f (x )≤2；(2)确定f (x )的单调区间．【解】 令x ＝sin 2θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 (1)证明：①由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2知，θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，故值域为[1，2]，即1≤f (x )≤ 2.(2)由正弦函数的单调性可知，当θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )单调递增；当θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，f (x )单调递减．。
2017-2018学年高中数学阶段质量检测(一)坐标系北师大版选修4-4
阶段质量检测（一）坐标系（时间：90分钟，满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中只 有一个是正确的）1.在极坐标中有如下三个结论：①点 P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线 C 的极n ____坐标方程；②tan 0 = 1与0== （ p 》0）表示同一条曲线；③ p = 3与p =— 3表示同一一 4条曲线.在这三个结论中正确的是 （ ）A.l'c n 3 n c. 8, 4, -4A. ①③ B .① C. ②③D.③2. 原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点 （—5,— 5 3）的极坐标是（A. / 4n \B. 10, V 2n 、C. —10，- 丁(2n ) ° 10, T3. 已知点P 的柱坐标为 i ；'2,亍,1 ,则它的直角坐标为（）A. C. (.2,1,1)B .D. (1,1,1)(1,0,1)4. p = 2cos 0 — 2sin 0表示的曲线是A. 直线 B .C. 射线D. 半圆5.2曲线 p + 2 p (3cos 0 — 2sin 0 ） = 0的对称中心的直角坐标是 （A. (3,2) B . (2,3)C.(-3,2)6. 设点P 的直角坐标为 D. （ — 3, — 2）（4,4,4 2），则它的球坐标为（C. p cos 0 = 4D. p cos 0=—47.在极坐标系中，与圆p = 4sin 0相切的一条直线方程为（）A. p sin 0 = 2B. p cos 0 = 2C. p cos 0 = 4D. p cos 0=— 4则d 的最大值为（A. 5 C. 4则曲线C 与C 2交点的极坐标为13. ______________________________________________________________ 在极坐标系中，点 ?，青 到直线p sin J —青=1的距离是 ___________________________________ .14. 在极坐标系中，曲线C : p （ 2cos 0 + sin 0 ） = 1 与曲线 G ： p= a （a >0）的一个交点在极轴上，则 a= ____________ .三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）15. （本小题满分12分）（广东高考改编）在极坐标系中，曲线 C 和C 2的方程分别为2p sin 0 = cos 0和p sin 0 = 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，求曲线C 和C 2的交点的直角坐标.&在极坐标系中, =4cos 0 + 4sin 0的圆心坐标是5n才9.在极坐标系中, 设圆 p = 3上的点到直线 p (cos 0 + 3sin 0 ) = 2 的距离为d ,B . D.10.在极坐标系中，过点 A (6 , n )作圆 p =— 4cos 0的切线，则切线长为（A. 2 B .C. 2 3二、填空题（本大题共4小题，每小题 D..2_15 5分，共20分.把答案填在题中横线上）11.已知曲线C i, C 2的极坐标方程分别为 p cos 0 = 3,p =p >0,0< 0 <2 ，12. 若曲线的极坐标方程为 p = tan 01cosr ，则该曲线的直角坐标方程为7tA.，4B.7tC.，4D.C. p cos 0 = 4D. p cos 0=— 4形的位置关系是什么?16.（本小题满分12分）极坐标方程p =— cos 0 与 p cos1表示的两个图17.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设椭圆的长轴长为10，中心为（3,0），—个焦点在直角坐标原点.（1）求椭圆的直角坐标方程，并化为极坐标方程；18. （本小题满分14分）如图所示，点P 为直线x + y = 1上的动点， 点，求正方形 OPQ 的顶点R Q 轨迹的极坐标方程，并化成直角坐标方程.答案1•选D 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，n曲线上一点的所有坐标不一定适合方程，故①是错误的；tan 0 = 1不仅表示B =丁这条射5 n线，还表示0 = 丁这条射线，故②亦不对； p = 3与p =- 3差别仅在于方向不同，但都4 表示一个半径为3的圆，故③正确.2. 选 B 设点（一5,- 5 3）的极坐标为（p , 0 ），则 tan 0 =_—5_3= . 3, x<0,=最小正角 0 = ~3, p = ,— ；.：+— 5 ;3= 10.3. 选B 设点P 的直角坐标为（x , y , z ）. 贝U 有 x = r cos 0 = 2cos 肓=1,y = r sin 0 = 2sin -4 = 1, z = 1.•••点P 的直角坐标为（1,1,1）.⑵ 当椭圆过直角坐标原点的弦长为640时，求弦所在直线的直角坐标方程.24. 选B 两边同乘以 p 得：p = 2 p cos 0 — 2 p sin 0 .2 2 2把 p = x + y , x =p cos 0 , y = p sin 0 代入得：2 2x + y — 2x + 2y = 0,表示圆.5.选C 原方程可化为：x 2+ y 2 + 6x — 4y = 0.22即：(x + 3) + (y — 2) = 13. •••它的对称中心为(一3,2). 6. 选A 设点P 的球坐标为(r , 0 , 0 ), 则 r = 42 + 42+] 2 2= 8, tan 0 =三=4= 1.n又T X >0,「・0 = _・4 ■/ 4 2 = 8cos nT 0< 0 W n ,•• 0 =才.••点 P 的球坐标为|8, 4, "4.7.选B 如图，O C 的极坐标方程为 p = 4sin 0 , CQL Ox OA 为直径，| OA = 4, p sin 0 = 2表示直线 y = 2, p cos 0 = 4表示直线 x = 4, p cos 0 = — 4表示直线 x =— 4,均不 与圆相切，只有B 符合.&选A 将原方程化成直角坐标方程，得 (x — 2)2+ (y — 2)2= 8,圆心坐标为(2,2),化 成极坐标为\2 2, n .9. 选C 极坐标方程p = 3转化成直角坐标方程为x 2+ y 2= 9,所以圆心为(0,0),半径(]),••cos为3, p (cos 0 + 3sin 0 ) = 2转化成直角坐标方程为x+ 3y= 2.则圆心到直线x+〔3y,亠|0 + 0 —2| 2=2 的距离d'= - =；= 1.\1 + 寸32•••圆上的点到直线的最大距离为d'+ 3= 1 + 3 = 4.2 210. 选C 圆p =—4cos 0 化为(x + 2) + y = 4,点(6 , n )化为(一6,0),所以切线长=,42- 22=12 = 2 3.p cos 0 = 3,11 •解析：由cp = 4cos 0 ,2得 4cos 0 = 3.1 ••• 2(1 + cos2 0 ) = 3, cos 2 0 =n又 0W2 0 < n ,• 0 =—.故 p = 2\J 3,答案：2 3，十” 「 1 si n 0 + 212. 解析：由 p = tan 0 • eg 0 =曲 0，得 P cos 0 = sin 0 ,2 2 2• p cos 0 = p sin 0 ,化为直角坐标方程为 x = y .答案：x 2= y13. 解析：点2, -6化为直角坐标为（3, 1）,直线方程可化为-2- p sin 0 —£ p cos 0l— J3X 1+ 2|=1，即x — 3y + 2= 0,由点到直线的距离公式得d = 2：2= 1.1 + s答案：114. 解析：曲线C 的直角坐标方程为 J 2x + y = 1,曲线C 2的直角坐标方程为 x 2 + y 2= a 2, C 与x 轴的交点坐标为 肖,0，，此点也在曲线 Q 上，代入解得a =乎. 答案：-215.解：由 ・2p sin 0 = cos 0 ?2 . 2p sin 0 = p2cos 0 ? y = x ,y 2=x ,x = 1, 又由 p sin 0 = 1? y = 1,联立?y = 1y = 1.故曲线C 和 C 2交点的直角坐标为（1,1）.16.解：p =—cos 0可变为 2p =— p cos0 ,化为普通方程为x + y =— 2x ,即（x +1）2+ y 2 = 1,它表示圆，圆心为（一1,0），半径为1.•曲线C 与C 2的交点的极坐标为将p cos 0 +_n = 1化为普通方程为 x — 3y — 2= 0.| 一 1 一 21 3•••圆心(一1,0)到直线的距离为 ----- =-> 1,V1 + 3 2•••直线与圆相离.17.解：（1）由已知，得 a = 5, c = 3，故 b = a —c = 4, n 22亠=1 1616+ n ），则有 p1= 5— 3cos 0，16p 2= 5 + 3cos 0 .640 16 由于 P 1 + P 2= 640，所以 5—cos所以所求直线的直角坐标方程为y = . 3x 或y =— 3x .18 .解：以Ox 为极轴建立极坐标系，则直线x + y = 1的极坐标方程为 p (cos0 ) = 1.设点 R p 0, 0 0) , Q p 1, 0 1) , R ( p 2, 0 2),'p 1= . 2p 0,由题意n0 1= 0 0± —.所以椭圆的直角坐标方程为 x — 25由于 x = p cos 0 , y = p sinp cos 0 —22+0，代入上式，得25p sin 216 匚=1, 即 25 p 2 = （16 + 3 p cos0 ）2 ,即 卩 5 所以椭圆的极坐标方程为 = 16p= 5— 3cos (2)设过直角坐标原点的弦的倾斜角为0，弦的两端点分别为 P ( p 1,0 ) , P 2( p 2,640 0+ 5 + 3cos 0 = 640，则 161 25— 9cos2 0 4 2 1=91?cos 0 = 4? cos 1=± 2? 0 =n ■或2n=〒0 + sin110P 2=P 0,e 2=e o 土手由①得P o (cos e o + sin e o ) = 1,•••点Q 的轨迹方程为 1|cos化简得点R 的轨迹方程为P 2(sin e 2— cos e 2) = 1 或 p 2(cos e2—sin e 2) = 1.化为直角坐标方程为： x — y + 1 = o 或x — y — 1 = o.e o =7t化简得P 1sin e 1 = 1或 P 1cos e 1= 1.化为直角坐标方程为 y = 1或x = 1.P o =由②得| e o=P 2,n e 2?~2,代入 p o (cos e o + sin e o ) = 1 得2cos e 2?nn + sine 1?-4 +sin。
2017-2018学年高一数学北师大版必修4学业分层测评：第
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称【解析】 由于T ＝2πω＝π，∴ω＝2， 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝0，∴该函数的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，故选A ．【答案】 A2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．23 D.32【解析】 由题意知，函数在x ＝π3处取得最大值1，所以1＝sin ωπ3，所以ω＝32.【答案】 D3．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移π8个单位，所得图像所对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．即奇又偶函数C ．奇函数D ．偶函数【解析】 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移π8个单位后，得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋π4＝sin 2x ，为奇函数，故选C ． 【答案】 C4．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A ．13B ．1C ．53 D ．2【解析】 函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度得到函数f (x )＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(其中ω>0)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得0＝sin ωπ2，故得ω的最小值是2.【答案】 D5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图像如图1-8-5.则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝( )图1-8-5A ． 3B ．0C ．2＋ 3D ．3－2【解析】 由题图知，该函数周期T ＝6， ∴ω＝2πT ＝π3，又A ＝2.∵(3,0)相当于“五点法”作图的第三个点， ∴π3×3＋φ＝π，∴φ＝0， 即f (x )＝2sin π3x .根据对称性知，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016) ＝336[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)] ＝0. 【答案】 B 二、填空题6．设函数y ＝1－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中－π2≤x ≤0，当x ＝ 时，函数的最大值为4.【解析】 由－π2≤x ≤0知－2π3≤2x ＋π3≤π3， 当2x ＋π3＝－π2，即x ＝－5π12时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3取最小值－1，故y ＝1－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3取最大值4.【答案】 －5π127．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值是 ，最小值是 ．【解析】 ∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤56π. ∵当x ＋π3＝－π6，即x ＝－π2时，f (x )min ＝－22， 当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f (x )max ＝ 2. 【答案】2 －228．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是 ．(填序号)【导学号：66470032】⎝⎭6②y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π6对称． 【解析】 因为4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以①正确，易得②不正确，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是对称中心，③正确④不正确． 【答案】 ①③ 三、解答题 9.图1-8-6已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2一个周期的图像如图1-8-6所示，(1)求函数f (x )的最小正周期T 及最大值、最小值； (2)求函数f (x )的表达式、单调递增区间．【解】 (1)由题图知，函数f (x )的最小正周期为T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，函数的最大值为1，最小值为－1.(2)T ＝2πω，则ω＝2，又x ＝－π6时，y ＝0，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，而－π2<φ<π2，则φ＝π3，⎝⎭3由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，求f (x )的单调递增区间.【导学号：69992011】【解】 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，故sin (π＋φ)>sin φ，得sin φ<0， 又f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即sin (π3＋φ)＝±1， π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， φ＝π6＋k π，k ∈Z . 又sin φ<0，取φ＝－5π6， 故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6.令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得：π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z .[能力提升]1．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98πB ．1972πC ．1992π D ．100π【解析】 由题意至少出现50次最大值，即至少需用4914个周期，所以4914·T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【答案】 B2．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3图像上距离原点最近的与x 轴的交点是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0【解析】 令4x ＋2π3＝k π，k ∈Z ， 则x ＝－π6＋k π4(k ∈Z )． 当k ＝0时，x ＝－π6； 当k ＝1时，x ＝π12. 所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0为所求．【答案】 A3．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为 ．【解析】 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3， ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 【答案】 π4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图像与P 点最近的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．【解】 (1)∵图像最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝5sin(2x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝1，∴23π＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .令k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(3)∵5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )， ∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．。
2017-2018学年高一数学北师大版必修4学业分层测评：第
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图像是( )【解析】 当x ＝π2时y ＝0，当x ＝0时y ＝1， 当x ＝2π时y ＝1，结合正弦函数的图像知B 正确． 【答案】 B2．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，b 在函数y ＝2sin x ＋1的图像上，则b 等于( )A ．22B ．2C ．2D ．3【解析】 由题意知b ＝2sin π4＋1＝2. 【答案】 C3．若函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2与y ＝1围成一个平面图形，则这个封闭的图形面积是( )A ．2B ．4C ．2πD ．4π【解析】 如图，由对称性知，所围成平面图形的面积是长为5π2－π2＝2π，宽为1的矩形的面积，∴S ＝2π，故选C ．【答案】 C4．函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π【解析】 如图所示，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，所以y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.【答案】 B5．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°【解析】 cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的． 又0<11°<12°<80°，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 【答案】 C 二、填空题6．y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值是－12，则a ＝ ，b ＝ .【导学号：66470016】【解析】 若b >0，由－1≤sin x ≤1知 ⎩⎪⎨⎪⎧α＋b ＝32，α－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.若b <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.【答案】12±1 7．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1，x ∈R ，若f (a )＝2，则f (－a )的值为 ． 【解析】 f (a )＝a 3＋sin a ＋1＝2，所以a 3＋sin a ＝1， f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1 ＝－(a 3＋sin a )＋1 ＝－1＋1＝0. 【答案】 08．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝32有 个交点.【导学号：69992007】【解析】 在同一坐标系中作出函数y ＝1＋sin x ，y ＝32的图像，如图所示．在x ∈[0,2π]内共有两个交点．【答案】 两 三、解答题9．判断方程x ＋sin x ＝0的解的个数． 【解】 设f (x )＝－x ，g (x )＝sin x .在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图像．由图知f (x )和g (x )的图像仅有一个交点，即方程x ＋sin x ＝0仅有一个根． 10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出这个函数的图像；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间． 【解】 (1)y ＝12sin x ＋12|sin x | ＝⎩⎨⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋k ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k k ∈Z其图像如图所示．(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π. (3)由图像知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．[能力提升]1．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－21π5<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4C ．sin 3>sin 2D ．sin 7π5>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5【解析】 由于0<π10<π8<π2，而y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，∴sin π10<sin π8，∴－sin π10>－sin π8， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，故选A ．【答案】 A2．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12B ．12C ．－32 D.32 【解析】 ∵f (x )的周期是π， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. 又f (x )是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 【答案】 D3．f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝ .【导学号：66470017】【解析】 因为0≤x ≤π3， 所以0≤ωx ≤π3ω<π3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增加的． 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＝2，所以π3ω＝π4，所以ω＝34. 【答案】 344．已知－π6≤x ≤3π4，f (x )＝sin 2x ＋2sin x ＋2，求f (x )的最大值和最小值，并求出相应的x 值．【解】令t＝sin x，则由－π6≤x≤34π知，－12≤t≤1，∴f(x)＝g(t)＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，当t＝1时，f(x)max＝5，此时，sin x＝1，x＝π2；当t＝－12时，f(x)min＝54，此时，sin x＝－12，x＝－π6.。
2017-2018学年高一数学北师大版必修4学业分层测评：第
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若cot α＝m ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝( )A ．mB ．－mC ．1mD ．－1m 【解析】 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α＝m . 【答案】 A2．函数y ＝2 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈ZC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z【解析】 由2x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋3π8，k ∈Z .【答案】 B3．下列不等式正确的是( ) A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5C ．1tan 4 <1tan 3 D.1tan 281°<1tan 665°【解析】 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5，而－π2<－2π5<－π4<π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增加的，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.【答案】 B4．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．[－1,1]【解析】 sin x ∈[－1,1]，又－π2<－1<1<π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增加的，所以y min ＝tan(－1)＝－tan 1，y max ＝tan 1.【答案】 C5．直线y ＝a (常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )A ．πB ．2πC ．π|ω|D ．与a 值有关【解析】 两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期，因而距离为 π|ω|. 【答案】 C 二、填空题 6．函数y ＝3－tan x 的定义域为 ，值域为 .【导学号：66470024】【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧3－tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2＋k π<x ≤π3＋k π，k ∈Z，值域为{y |y ≥0}． 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2＋k π<x ≤π3＋k π，k ∈Z{y |y ≥0} 7．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则φ等于 ．【解析】 由已知，可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝0，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，∴φ＋π6＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π6(k ∈Z )．【答案】 －π6＋k π(k ∈Z ) 8．化简：tan (α＋π)tan (α＋3π)tan (α－π)tan (－α－π)＝ .【解析】 原式＝tan α·tan αtan α·(－tan α)＝－1.【答案】 －1 三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．【解】 (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， ∴sin α＝y |OP |＝－351＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos αsin α＝1cos α.由余弦函数的定义，得cos α＝45，故所求式子的值为54.10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.【导学号：69992009】(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 【解】 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1，3]．∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43； 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x ＝－tan θ. ∴y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3. 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2. [能力提升]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b【解析】 b ＝cos 55°＝sin 35°，又a ＝sin 33°，0°<33°<35°<90°， 且y ＝sin x 在[0,90°]是增加的，所以sin 33°<sin 35°，即b >a ．tan 35°＝sin 35°cos 35°，又cos 35°∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，所以tan 35°>sin 35°，故c >b >A ． 【答案】 C2．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32 【解析】 由于tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2 ＝－cos α－sin α＝cos αsin α，所以f (α)＝sin α·cos α·cos αsin α－cos α ＝－cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π－π3＝－cos π3＝－12.【答案】 B3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－5，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝ .【导学号：66470025】【解析】 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝5.【答案】 54．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图像与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，求f (x )的解析式．【解】 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2， ∴ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，∴2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝k π或π2＋k π(k ∈Z )． 即φ＝k π＋π4或φ＝k π＋3π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π2， ∴φ＝π4，故f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.。
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阶段质量检测(一) 三 角 函 数(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列各角中与－π3终边相同的是( )A ．－5π3 B.2π3C.4π3 D.5π32．cos 330°＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－323．设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增加的，在区间[π3，π2]上是减小的，则ω＝( )A ．3B ．2 C.32 D.235．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的一个单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，7π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π46．(全国高考)若函数f (x )＝sin x ＋φ3，φ∈[0，2π]是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3 C.3π2 D.5π37．(山东高考)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 38．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根9．已知函数图像的一部分如图，则函数的解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 10．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．设扇形的半径长为4 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 12．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若p (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．13．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________．14．函数y ＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2的定义域是________． 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （π－α）tan （－α－π）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法作出y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6闭区间上的简图；(3)说明f (x )的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到？17. (本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像如图，试依图指出： (1)f (x )的最小正周期；(2)f (x )的单调递增区间和递减区间； (3)图像的对称轴方程与对称中心．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ－π6)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，ω>0. (1)若函数y ＝f (x )图像的两相邻对称轴间的距离为π2，且它的图像过(0，1)点，求函数y ＝f (x )的表达式；(2)将(1)中的函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数y ＝g (x )的单调递增区间；(3)若f (x )的图像在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋1100(a ∈R )上至少出现一个最高点或最低点，求正整数ω的最小值．答案1．解析：选D ∵2π－π3＝5π3，∴－π3与角5π3的终边相同．2．解析：选C cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°) ＝cos 30°＝32. 3．解析：选B ∵α是第三象限角， ∴2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，∴k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，∴α2是第二象限或第四象限角． 又∵|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2＜0，∴α2是第二象限角． 4．解析：选C 由题意知，函数在x ＝π3处取得最大值1，所以1＝sin ωπ3，ω＝32.5．解析：选B y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，检验各选项知，只有B 项中的区间是单调递减区间．6．解析：选C 若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1， 即sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．只有C 项符合．7．解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.8．解析：选C 构造两个函数y ＝|x |和y ＝cos x ，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察图像知有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．9. 解析：选D 由图像知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π.∴ω＝2，排除选项A 、C.∵图像过⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1代入选项B ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π6＝0≠1，故B 错误． 10．解析：选A ∵函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)中心对称，∴2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．φ＝k π＋13π6(k ∈Z )，由此易得|φ|min ＝π6.11．解析：由S ＝12αr 2，得α＝2S r 2＝12.答案：1212．解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，故y <0，由sin θ＝y16＋y2＝－255得y ＝－8. 答案：－813．解析：由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，知周期T ＝4π3＝2πω，ω＝32.答案：3214．解析：要使函数有意义，必须有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2>0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4>－22. 设z ＝2x ＋π4，则sin z >－22.由图知，－π4＋2k π<z <5π4＋2k π(k ∈Z )，即－π4＋2k π<2x ＋π4<5π4＋2k π(k ∈Z )，解得－π4＋k π<x <π2＋k π(k ∈Z )．答案：(－π4＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )15．解：(1)原式＝－cos αsin α（－tan α）－tan αsin α＝－cos α.(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝sin(π2＋α)＝cos α， ∴cos α＝15.故f (α)＝－15.16．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， －32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴所求值域为[－3，2]． (2)①列表：(3)法一：可由y ＝sin x 的图像先向左平移π3个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．法二：可由y ＝sin x 的图像先将图像上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图像向左平移π6个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．17．解：(1)由图像知f (x )的最小正周期为2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4－π4＝3π.(2)∵半个周期是3π2，π4－3π2＝－5π4，由图像可知，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋3k π，π4＋3k π(k ∈Z )，f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋3k π，7π4＋3k π(k ∈Z )．(3)f (x )的图像的对称轴方程是x ＝π4＋3k π2(k ∈Z )，对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋3k π2，0(k ∈Z )．18．解：(1)由题意得2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π6.又因为y ＝f (x )的图像过点(0，1)， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝12.又∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)将f (x )的图像向右平移π6个单位长度后， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像， 再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图像．即g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6. 令2k π－π2≤12x －π6≤2k π＋π2，则4k π－2π3≤x ≤4k π＋4π3，(k ∈Z )，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3(k ∈Z )．(3)若f (x )的图像在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋1100(a ∈R )上至少出现一个最高点或最低点，则πω< ，即ω>100π，又ω为正整数，∴ωmin ＝315.。