视角在直角三角形中的应用(答案)
九年级数学下册精品课件《利用解直角三角形解实际中的视角问题》有答案
（下册）
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【幸遇•书屋】
你来，或者不来 我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至 盼你邂逅而遇
你想，或者不想 我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔 惜你别时依依
你忘，或者不忘 我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿 羡你悠然书气
人生若只如初见 任你方便时来 随你心性而去 却为何，有人
为一眼而愁肠百转 为一见而不远千里
2
晨起凭栏眺 但见云卷云舒
风月乍起 春寒已淡忘 如今秋凉甚好 几度眼迷离
感谢喧嚣 把你高高卷起 砸向这一处静逸 惊翻了我的万卷 和其中的一字一句 幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了 被你默诵过，懂了
被你翻开又合起 被你动了奶酪和心思
不舍你的过往 和过往的你
记挂你的现今 和现今的你
遐想你的将来 和将来的你 难ห้องสมุดไป่ตู้难了
相思可以这一世
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3
第1课时 视角问题与方向角问题
如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上，从点A处测得 楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°. 已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房BC的高度．(参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40，sin 38.5°≈0.62，cos 38.5°≈0.78，tan 38.5°≈0.80)
28．2. 2 应用举例
第1课时 视角问题与方向角问题
1．解直角三角形的应用——仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角是__仰角 __，视线在水平线下
方的角是__ 俯角__． 因为光是沿直线传播的，因此在视角问题中，过视线上的某个点作水平直线的垂线， 则得到直角三角形，由此，在视线问题中，常通过作垂线或平行线构造直角三角形， 为利用三角函数计算创造条件．
5.(苏州模拟)“奔跑吧，兄弟！”节目组预设计一个新的游戏：“奔跑” 路线需经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东 30°方向、在C地北偏西45°方向．C地在A地北偏东75°方向．且BD＝BC＝30 m．从A
地跑到D地的路程是( D )
A．30 3 m C．30 2 m B．20 5 m D．15 6 m
2．解直角三角形的应用——方向角 方向角一般是指以__观测者 __的位置为中心，将__ __方向作为起始方向旋转到 正北或正南 目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)××度，若正好为 45°，则表示为如：西南方向等． 方位角是一种具有特殊形式的角，具有角的一切特点，为此，解题时应首先把方位角
3
3．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE ＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列求旗杆CD长的正确式子是( C ) A．CD＝bsin 33°＋a B．CD＝bcos 33°＋a
2018-2019学年人教版九年级数学下册教案：7课题：与视角有关的解直角三角形的应用
-本节课的难点内容包括：
a.理解仰角和俯角的定义，并能正确区分在不同情境下的应用。
b.在实际问题中建立直角三角形模型，特别是当信息不完整或需要间接推导时。
c.熟练掌握三角函数的计算方法，包括在不同角度和边长关系下的转换。
d.解决问题时，选择合适的三角函数进行计算，避免计算错误。
-举例解释：难点在于，例如，当学生面对一个复杂的实际问题时，如从船上的观察点测量岸上某个目标的距离和高度，他们需要能够识别问题中的直角三角形，确定哪些信息是已知的，哪些需要通过计算得到。然后，选择正确的三角函数进行计算，如利用正弦函数计算高度，利用余弦函数计算水平距离。在这个过程中，学生可能会在确定角度和对应边长，以及在计算过程中单位转换等方面遇到困难。
2.提升学生运用数学知识，特别是锐角三角函数，解决实际问题的能力，培养其数学应用意识。
3.增强学生的数据分析能力，使其能够从实际问题中提取信息，建立数学模型，进行有效计算和推理。
4.培养学生的逻辑思维和推理能力，通过解决视角问题，提高其逻辑推理和论证能力。
5.激发学生的创新思维，鼓励其探索多种解题方法，培养其独立思考和问题解决的能力。
2018-2019学年人教版九年级数学下册教案：7课题：与视角有关的解直角三角形的应用
一、教学内容
2018-2019学年人教版九年级数学下册教案：7课题：与视角有关的解直角三角形的应用
本节课我们将深入学习以下内容：
1.利用解直角三角形的方法，解决实际生活中的视角问题。
2.掌握仰角与俯角的定义，以及它们在实际问题中的应用。
案例分析环节，我尝试通过具体的例子让学生看到数学知识在实际生活中的应用，这一点似乎收到了不错的效果。然而，我也发现学生在将理论知识应用到具体案例中时，还是存在一定的困难。这告诉我，在讲解重点难点时，需要通过更多的实际例子和练习来加强学生对概念的理解和运用。
中考数学 精讲篇 压轴题重难点突破五 与方位角、视角有关的解直角三角形
的方向上，该轮船又从 A 处向正东方向行驶 20 nmile 到达 B 处，测的灯
塔 C 在北偏西 60°的方向上，则轮船在 B 处时与灯塔 C 之间的距离(即
BC 的长)为
( D)
A．40 3nmile B．(20 3＋10 ) nmile
C．40 nmile D．(10 3＋10 ) nmile
3．(2021·黄冈)如图，建筑物 BC 上有一高为 8 m 的旗杆 AB，从 D 处观 测旗杆顶部 A 的仰角为 53°，观测旗杆底部 B 的仰角为 45°， 则建筑物 BC 的高约为__2_4._2m(结果保留小数点后一位，参考 数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)．
重难点突破五 与方向角、 视角有关的解直角三角形
(宁夏：2021T15，2018T15，2015T16)
(2021·乐山)如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳 佳在点 C 处测得石碑顶点 A 的仰角为 30°，她朝石碑前行 5 米到达点 D 处，又测得石碑顶点 A 的仰角为 60°，那么石碑的高度 AB 的长＝ 5 2 3 米．(结果保留根号)
【思路点拨】设石碑的高度 AB 的长为 x 米，Rt△ABC 和 Rt△ABD 中，分 别用含 x 的代数式表示 BC 和 BD，用 CD＝5 列方程，即可解得 x，得到答 案．
( 2021·南通)如图，一艘轮船位于灯塔 P 的南偏东 60°方向，距离 灯塔 50 海里的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达 位于灯塔 P 的北偏东 45°方向上的 B 处，此时 B 处与灯塔 P 的距离为 25 6 海里．(结果保留根号)
【思路点拨】过点 P 作 PC⊥AB，在 Rt△APC 中，由锐角三角函数定义求 出 PC 的长，再在 Rt△BPC 中，由锐角三角函数定义求出 PB 的长即可． 【提分关键】 详见第四章第六节“考点梳理特训”
锐角三角函数的简单应用(1)视角在解直角三角形中的应用
C北
30
60
A
B 60km
问题2：如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海 里处有暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西 向东航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度 的方向, 继续行偏东45度方向. 问客轮不改变 方向继续前进有无触礁的危险?
.
A
B
C
2.如图（2），B为一建筑物的最高点，它与地面的接触 点为C，从地面A点用测角仪测得B点的仰角为
，仪器高AD＝b，若AC＝ a
，则建筑物CB的高用代数式表示为
.
3.某学校的教学楼和行政大楼相对而立，如图（3）所示： 两楼之间的距离AC=10m，某学生在教学大楼底A处测得 行政大楼顶B处的仰角为 45
，随后他又到行政大楼C处测得教学楼顶D处的仰角为
，那么教学楼比行政大楼高
m.
60
•如图（4），河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的 •仰角为 30
，向塔前进15m到达D，在D处测得A的仰角为 45
，求铁塔AB的高.
例1．如图，甲、乙两高楼的水平距离BD为90米， 从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角
30
45
，在B地测得C地的仰角为 60
，已知C地比A地高200米，则电缆BC至少为多少米？
（精确到 米） 0.1
问题1：A、B两镇相距60km，小山C在A镇的 北偏东60°方向，在B镇的北偏西30°方向．经 探测，发现小山C周围20km的圆形区域内储有 大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房 修路．现计划修筑连接A、B两镇的一条笔直的 公路，试分析这条公路是否会经过该区域？
应用举例（1） ——视角在解直角三角形中的应用
仰角、俯角的概念
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方 的角叫做俯角．
用直角三角形解实际中的视角问题-沪科版九年级数学上册教案
用直角三角形解实际中的视角问题-沪科版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解什么是视角；2.掌握计算视角大小的方法；3.能够用直角三角形解决实际中的视角问题。
二、教学重点1.视角的概念和计算方法；2.直角三角形在计算视角问题中的应用。
三、教学难点1.针对不同的实际问题，确定应用直角三角形的方法；2.举一反三，将视角的概念和方法应用到更多的实际问题中。
四、教学过程及课时安排第一课时：认识视角1. 教材内容分析本课时重点介绍什么是视角，如何计算视角大小，以及视角的应用。
2. 教师引导教师可以引导学生观察周围的事物，借助板书或幻灯片展示一张图片，问学生：“你们能看到图片中的哪些部分？”让学生描述出自己所看到的景象。
之后再问学生：“你们看到的这个景象，是从哪个角度观察的？”让学生思考视角的概念。
3. 操练演示给学生举一个例子：“小明从窗户往外看，他能看到窗外的一片花园，视角大概是多少度？”教师引导学生思考计算视角大小的方法，并进行演示。
4. 拓展应用教师可以借助教材中的案例，引导学生思考更多实际问题的视角计算方法，如计算观察天空中的飞鸟的视角等。
第二课时：直角三角形1. 教材内容分析本课时重点介绍直角三角形的性质和公式，以及在计算视角问题中的应用。
2. 教师引导教师可以通过实物模型或幻灯片展示一组直角三角形，让学生发现并描述其性质和公式，并引导学生思考如何应用直角三角形解决视角问题。
3. 操练演示给学生举一个例子：“小明从某个位置往下看，能看到三角形ABC，角A为直角，AB=3cm，BC=4cm，求小明的视角大小。
”教师引导学生利用三角函数计算出角B的值，再利用小学的角度概念计算出小明的视角大小。
4. 拓展应用教师可以借助教材中的案例，引导学生思考更多应用直角三角形解决视角问题的实际例子，如计算大楼高度等。
五、教学评价及作业布置评价方式教师可以通过口头提问、小组讨论、课堂练习等方式来检查学生的掌握情况。
中考解直角三角形的实际应用
解直角三角形的实际应用一、知识要点1．仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图（1）．2．坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l =，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan h i l α==．坡度越大，坡面就越陡．如图（2）．3．方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图（3）．二、例题讲解例1.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB ）是1.7米，看旗杆顶部E 的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD ）是0.7米，看旗杆顶部E 的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B 、D、F 在同一直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF ．（结果保留根号） （2）求旗杆EF 的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）图(3)北图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线迁移练习1.数学活动课上老师让学生以小组为单位测量学校旗杆AB的高度，如图所示，“希望小组”在教学楼一楼地面D处测得旗杆顶部仰角为60°，在教学楼三楼地面C处测得旗杆顶部仰角为30°，已知旗杆底部于教学楼一楼地面在同一水平线上，每层楼高为3米，求旗杆AB高度．例2.某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.6米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为16米（C，A，D在同一条直线上）．（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离；（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）迁移练习2.如图，某数学兴趣小组为了测量学校旗杆AB的高度，他们在旗杆对面的实验楼的顶部C处测得旗杆顶端A的仰角为46°，测得旗杆底端B的俯角为32°，同时测量了旗杆底端与实验楼的地面距离BD长为9.5米．求旗杆AB的高．（结果精确到0.1米）．【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62，sin46°=0.72，cos46°=0.69，tan46°=1.04】例3.金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）迁移练习3.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）例4.如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）迁移练习4.如图，某河大堤上有一颗大树ED，小明在A处测得树顶E的仰角为45°，然后沿坡度为1：2的斜坡AC攀行20米，在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°，已知ED⊥CD，并且CD与水平地面AB平行，求大树ED的高度．（精确到1米）（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°=0.24，tan76°≈4.01，=2.236）例5.中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i＝1∶2.4的斜坡上．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前的一座雕像C的俯角为76°(雕像的高度忽略不计)，远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°.已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，问此时轮船E距离海岸线D的距离ED的长为(参考数据：tan76°≈4.0，tan27°≈0.5，sin76°≈0.97，sin27°≈0.45)()A. 262B. 212C. 244D. 276迁移练习5.气魄雄伟的大礼堂座落在渝中区学田湾，它是一座仿古民族建筑．“五一”期间，小明和妈妈到重庆大礼堂参观游玩．参观结束后，穿过人民广场到达A处，回望礼堂，更显气势雄伟，金碧辉煌．此时，在A点观察到礼堂顶端的仰角为31，沿着坡度为1:3的斜坡AB 走一段距离到达B点，观察到礼堂顶端的仰角是22，测得点B与地面的高度9BC=米，则大礼堂的高度DE为（）米．（精确到1米．参考数据：2tan225≈，3tan315≈）A．56 B．59 C．62 D．65跟踪训练1.一艘货轮以20海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行1小时后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向，那么此时货轮与灯塔B的距离为（）海里（结果不取近似值）2.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A．25B．25C．50 D．253.今年北京市大规模加固中小学校舍，房山某中学教学楼的后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡度i=：1，为防止山体滑坡，保障学生安全，学校决定不仅加固教学楼，还对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米？（结果保留根号）4.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1:2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）A. 29.1米B. 31.9米C. 45.9米D. 95.9米5.某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N 的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．(1)求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)；(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH 的坡度i＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)6.如图，斜坡AB长130米，坡度i=1：2.4，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（1）若修建的斜坡BE的坡角为30°，求平台DE的长．（结果保留根号）．（2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M 的仰角为26.5°，他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向维续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为53°，此时小明距大楼底端Q处30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度．（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33°）7.如图，一幢居民楼OC临近山坡AP，山坡AP的坡度为i=1：，小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60°，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45°，点O，A，B在同一直线上，求该居民楼的高度．（结果保留整数，≈1.73）。
【教案】 视角在解直角三角形中的应用
23.2.2 视角在解直角三角形中的应用教学目标【知识与技能】使学生掌握仰角、俯角的概念,并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题.【过程与方法】让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途.【情感、态度与价值】使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.重点难点【重点】将实际问题转化为解直角三角形问题.【难点】将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.教学过程一、创设情境,导入新知教师多媒体课件出示:南浦大桥建桥时为世界第三大斜拉桥,桥全长8346米,6车道,主塔高154米,塔柱中间,由两根高8米、宽7米的上下拱梁牢牢地连接着,呈“H”型.南浦大桥于1991年12月1日建成通车.南浦大桥横卧在黄浦江上,它使上海人圆了“一桥飞架黄浦江”的梦想.问题:南浦大桥主塔高154米,最高的一根钢索与桥面的夹角为30°,问最高的钢索有多长?追问:第二根钢索与桥面的夹角为35°,如何求第二根钢索的长呢?教师带领学生看题目.二、共同探究师:请同学们思考这个问题.这是一个实际问题,我们将它转换为数学模型后是不是很简单了?你能求出最高的钢索长度吗?生:能.教师找一生回答.量:你能求出第二根钢索的长吗?生:能,与最长的一根钢索长的求法一样.教师多媒体课件出示:操场上有一根旗杆,老师让小明去测量旗杆的高度,小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了.师:请同学们思考这个问题,想想他是如何计算的.学生思考,讨论.师:如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素,你能不能算出?生:能.师:很好!现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量,需要求的是什么量?生:已知了一个直角梯形的一条底边,一条腰长,并且容易算出它的一个内角,求它的另一底.师:对,那你知道小明是怎么算的吗?学生思考,交流.生:先把各个顶点用字母标出,然后作辅助线,构造直角三角形.教师找一生板演,并让他解释自己的思路.三、继续探究,层层推进1.讲解.师:在实际生活中,解直角三角形有着广泛的应用,例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形.教师在黑板上作图.师:当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;在水平线以下的角叫做俯角.注意:(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;(2)仰角和俯角都是锐角.师:我们自己测量角时用什么工具啊?生:量角器.量:测量仰角、俯角也有专门的工具,是测角仪.2.练习新知.教师多媒体课件出示:(1)如图,∠∠90°∥,从A看D的仰角是 ;从B看D的俯角是 ;从A 看B的角是 ;从D看B的是 ;从B看A的角是 .师:你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗?生:能.教师找一生回答,然后集体订正得到:从A看D的仰角是∠2,从B看D的俯角是∠,从A看B的仰角是∠,从D看B的仰角是∠3,从B看A的俯角是∠1.教师多媒体课件出示:(2)如图,线段、分别表示甲、乙两幢楼的高⊥⊥,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°.已知甲楼的高24米,求乙楼的高.学生看题思考.师:这道题也需要我们把它转化为解直角三角形来解决,但现在还没有直角三角形呢,你怎样求?生:因为⊥⊥,所以过A作∥,即有⊥,得到△和△,确定仰角和俯角.已知24米,可知24米,可求出,进而求出.教师作图.师:然后怎样做呢?老师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.解:在△中,∠90°∠α=30°.∵α,∴8α=8×30°=8×=8(米).∴24+8=32(米).四、例题讲解【例1】如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8 m的E处,测得树顶的仰角∠52°.已知测角器的架高1.6 m,问树高为多少米?(精确到0.1 m)解:在△中,∠52°8 m.由∠,得·∠8×52°=8×1.2799≈10.2(m).由16 m得10.2+1.6=11.8(m).答:树高为11.8 m.【例2】解决本章引言所提问题.如图,某校九年级学生要测量当地电视塔的高度,因为不能直接到达塔底B处,他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C、D两处地面上,用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得为50 m,已知测角器高为1 m,问电视塔的高度为多少米?(精确到1 m)解:设1m.在△1B1中,由∠1B1=45°,得C1B11 .在△1B1中,由∠1B1=30°,得∠1B1 ,即 =.解方程,得25(+1)≈68.B≈68+1=69(m).∴11答:电视塔的高度为69m.五、巩固提高师:同学们,刚才的讲解你们都听明白了吗?还有什么不懂的地方可以在下课后问我,现在让我们一起来解决几个关于直角三角形应用的问题.老师多媒体课件出示题目:1.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500 m处,那么水塔所在的位置到公路的距离长是( )A.250 mB.250 mC. mD.250 m【答案】A2.王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树的顶端C的俯角为60°,已知水平距离10 m,楼高24 m,则树的高度为( )A.(24-)mB.(24-10)mC.(24-5)mD.9 m【答案】B3.升国旗时,某同学站在距离旗杆底部24米处行注目礼,当国旗升到主旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为30°.若该同学的双眼距离地面1.5米,则旗杆的高度大约为 .(精确到0.1米)【答案】15.4米4.如图,某飞机在空中A处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为α,若测得飞机与目标B之间的距离大约为2400米,且α=0.52,求飞机的飞行高度.【答案】1248米5.如图,为测量某塔的高度,在距离该塔底部20米的C处目测塔的顶端A,仰角为60°.已知目高为1.5米,求该塔的高度.(≈1.7)【答案】35.5米六、课堂小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思多媒体课件简洁生动,通过图片形象地向学生展示出所提出的问题,吸引学生的注意,使学生解决问题的同时,吸收了数学中的转化思想、建模思想、方程思想,即把现实问题通过建立数学模型转化成数学问题,并运用构建方程的思想达到数与形的结合.解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一,使学生对所学知识有了更好的巩固,同时让学生体会到数学与实际的联系.例题设置具有一定坡度,由浅入深,步步深入.。
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视角在直角三角形中的应用
1．(5分)如图，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为_2400．
,第1题图),第2题图) 2．(5分)如图所示，小华同学在距离某建筑物6m的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_3.5．(精确到0.1m)(sin35°≈0.57，sin52°≈0.79，cos35°≈0.82，cos52°≈0.62)
3．(5分)(2014·百色)从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是(A)
A．(6＋63)米B．(6＋33)米C．(6＋23)米D．12米
4．(5分)如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点A处测得塔顶B处的仰角α＝60°，在塔底C处测得A点俯角β＝45°，已知塔高60米，则山高CD等于(A)
A．30(1＋3)米B．30(3－1)米C．30米D．(303＋1)米
5．(5分)如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别是30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点的距离是(D) A．200米B．2003米C．2203米D．100(3＋1)米
,第5题图),第6题图)
6．(5分)(2013·绵阳)如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为(A)
A．20米B．103米C．153米D．56米
7．(10分)(2014·内江)“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船与飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体(该物体为静止)．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F 点的正上方点C时(点A，B，C在同一直线上)，竖直高度CF约为多少米？(结果保留整数，参考数值：3≈1.7)
解：∵在Rt△CBF中，∠CBF＝45°，∴tan45°＝CF
BC＝1，∴BC＝CF，设CF的长为x
米，则AC＝800＋x，在Rt△ACF中，CF
AC＝tan∠CAF＝tan30°＝
3
3，∴
x
800＋x
＝
3
3，解得
x＝4003＋400≈1080(米)，所以竖直高度CF约为1080米．
一、选择题(共10分)
8．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C，B在同一条直线上，已知AC＝32米，CD＝16米，则荷塘宽BD为(取3≈1.73，结果保留整数)(D)
A．36米B．37米C．38米D．39米
,第8题图),第9题图)
二、填空题(共10分)
9．(2013·十堰)如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行.25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为_750根2_米．
三、解答题(共40分)
10．(12分)(2014·河南)在中俄“海上联合－2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．(结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7)
解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD＝30°，∠BCD＝68°，设AD＝x，则BD＝BA＋AD＝1 000＋x，在Rt△
ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝x tan30°＝3x ，在Rt △BCD 中，BD ＝CD·tan68°，∴1 000＋x ＝3x·tan68°，解得：x ＝ 1 0003·tan68°－1＝10001.7×
2.5－1－1≈308米，∴潜艇C 离开海平面的下潜深度为308米
11．(13分)(2014·黔东南州)黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B 点测得旗杆顶端E 点的仰角为45°，小军站在点D 测得旗杆顶端E 点的仰角为30°，已知小明和小军相距(BD)6米，小明的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF 的长．(结果精确到0.1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
解：过点A 作AM ⊥EF 于M ，过点C 作CN ⊥EF 于N ，∴MN ＝0.25 m ，∵∠EAM ＝45°，∴AM ＝ME ，设AM ＝ME ＝x m ，则CN ＝(x ＋6)m ，EN ＝(x －0.25)m ，∵∠ECN ＝30°，∴tan
∠ECN ＝EN CN ＝x －0.25x ＋6
＝33，解得：x≈8.8，则EF ＝EM ＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(m)．答：旗杆的高EF 为10.3 m
【综合运用】
12．(15分)(2014·钦州)如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED ＝60°，在离电线杆6米的B 处安置高为1.5米的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．
解：过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H ，由题意可知四边形ABDH 为矩形，∠CAH ＝30°，
∴AB ＝DH ＝1.5，BD ＝AH ＝6，在Rt △ACH 中，tan ∠CAH ＝CH AH
，∴CH ＝AH·tan ∠CAH ＝6tan30°＝6×33
＝23(米)，∵DH ＝1.5，∴CD ＝23＋1.5，在Rt △CDE 中，∵∠CED ＝60°，sin ∠CED ＝CD CE ，∴CE ＝CD sin60°＝23＋1.53
2
＝(4＋3)≈5.7(米)，答：拉线CE 的长约为5.7米。