《解直角三角形及其应用》 word版 公开课一等奖教案1
《28.2解直角三角形及其应用》教案
一、教学内容
本节课选自八年级下册《28.2解直角三角形及其应用》章节。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握解直角三角形的方法，包括正弦、余弦和正切的定义及运用。
2.了解解直角三角形在实际问题中的应用，例如测量物体的高度、距离等。
具体内容包括：
（1）回顾锐角三角函数的定义，学习正弦、余弦、正切的概念。
2.加强对难点内容的讲解和练习，帮助学生克服理解上的困难。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的团队协作和沟通能力。
4.提高学生的实践操作能力，让他们在动手实践中加深对知识的理解。
在接下来的教学中，我会根据今天的反思，不断调整和优化教学方法，以期提高学生们的学习效果。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-难点三：在解决实际问题时，学生可能不知道如何选择合适的三角函数进行计算。教师应通过典型例题，教授学生分析问题、选择合适三角函数的方法，并强调在实际应用中灵活运用三角函数的重要性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《28.2解直角三角形及其应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量旗杆高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解直角三角形的奥秘。
人教初中数学 《解直角三角形及其应用》教案 (公开课获奖)1
解直角三角形及其应用课题28.2解直角三角形及其应用1 授课时间课型新授二次修改意见课时1 授课人科目数学主备教学目标知识与技能使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感态度价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯教材分析重难点重点：直角三角形的解法难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用教学设想教法三主互位导学法学法小组合作教具三角板，多媒体课堂设计一、目标展示⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、预习检测1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系abAbaAcbAcaA====cot;tan;cos;sinbaBabBcaBcbB====cot;tan;cos;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cottancossin(2)三边之间关系(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．a2 +b2 =c2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．三、质疑探究例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=2，a=6，解这个三角形．例2在Rt△ABC中，∠B =35o，b=20，解这个三角形．四、精讲点拨已知一边一角，如何解直角三角形？五、当堂检测1、Rt△ABC中，若sinA=45，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．2、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．3、在△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则cos A的值是（）A．35B．45C．916.2525D六、作业布置教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 1板 书 设 计28.2解直角三角形及其应用1边角之间关系 例1. 三边之间关系 例2 锐角之间关系 教学反思2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形． [师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．A BICABI作一条直线L ，在L 上取点A ，在L 外取点B ，作出点B 关于直线L 的对称点C ，连接AB 、BC 、CA ，则可得到一个等腰三角形． [生乙]在甲同学的做法中，A 点可以取直线L 上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形． ……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． （演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系． [生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴． [生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． [师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． [师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）． （投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕． （演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到 ∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAD CA BD CABDCA B答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高． 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．ED CAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质．结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长． 解：设三角形的底边长为x cm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得 2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.E DC A B PD CAB2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
解直角三角形应用市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
解直角三角形应用教案一、教案背景介绍直角三角形是初中数学中非常重要的一个概念，掌握直角三角形的性质和应用，不仅可以帮助学生更好地理解几何知识，还可以为学习高中数学和物理打下坚实的基础。
本教案旨在通过引导学生进行实际问题的解决，探索直角三角形的应用。
二、教学目标1. 了解直角三角形的定义和性质；2. 掌握直角三角形中的三边关系、三角函数和勾股定理的应用；3. 能够解决实际问题中涉及直角三角形的计算和推理。
三、教学内容1. 直角三角形的概念和性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
直角三角形的另外两个角必定是锐角，其两边相互垂直。
根据勾股定理可得直角三角形中的三边关系：直角边的平方等于斜边的平方减去另外一个直角边的平方。
在本节课中，引导学生通过观察直角三角形的特点，总结直角三角形的性质和特点。
2. 三边关系和三角函数的应用直角三角形中最基本且最重要的应用就是三边关系和三角函数的应用。
根据三角函数的定义，可以得到正弦、余弦和正切的计算公式。
通过实际问题的引导，学生可以运用三边关系和三角函数的关系进行计算。
3. 勾股定理的应用勾股定理是直角三角形中最为常用的定理之一。
在实际问题中，可以利用勾股定理计算直角三角形的边长或者判断一个三角形是否为直角三角形。
通过举一些实际问题的例子，帮助学生掌握勾股定理的应用。
四、教学过程1. 导入部分：通过展示一些生活中直角三角形的应用图例，引发学生对直角三角形的认知和兴趣。
2. 知识讲解：介绍直角三角形的定义、性质和三边关系。
讲解正弦、余弦和正切的概念和计算公式，以及勾股定理的应用。
3. 案例讲解：通过选取一些实际问题，引导学生运用直角三角形的知识解决问题。
例如，计算高楼与测量角度、棱镜的使用和房子的投影等。
4. 案例训练：分组训练，每组学生根据给定的实际问题进行解题训练。
教师巡视指导，解答学生疑惑，鼓励学生讨论和思考。
5. 拓展应用：提供更加复杂的实际问题，让学生进行更深入的探究和解决。
人教版九年级数学下册28.2《解直角三角形及其应用》优秀教学案例
作为一名特级教师，我注重在教学过程中，将知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三者有机结合，努力提高学生的综合素质，使他们在学习过程中获得全面的成长。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设与直角三角形相关的情境，激发学生的学习兴趣。例如，通过展示房屋测量、道路设计等实际场景，引导学生认识到直角三角形在生活中的应用。
人教版九年级数学下册28.2《解直角三角形及其应用》优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版九年级数学下册第28章第2节《解直角三角形及其应用》，是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行学习的。通过本节课的学习，使学生能运用锐角三角函数解决一些简单的实际问题，从而培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。同时，也为以后学习三角函数的知识打下基础。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解直角三角形的定义和性质，掌握解直角三角形的方法。
2.学会运用锐角三角函数解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3.了解解直角三角形的应用领域，感受数学在生活中的重要性。
（二）过程与方法
1.通过情境导入、自主探究、合作交流等环节，培养学生独立思考、合作学习的能力。
2.要求学生在作业中运用所学知识解决实际问题，培养学生的应用能力。
3.鼓励学生进行自我评价，让学生认识到自己的优点和不足，激发学生的学习动力。
五、案例亮点
1.情境导入的真实性：本节课通过展示直角三角形在实际生活中的应用场景，如房屋测量、道路设计等，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高了学生的学习兴趣和积极性。
3.在学生解答问题过程中，给予适当的提示和指导，帮学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点和见解。
解直角三角形及其应用教案(教学设计)
解直角三角形及其应用【教学目标】知识与技能：1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
3．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。
过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。
【教学难点】1．重点：直角三角形的解法。
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
【教学准备】多媒体课件【教学过程】一、复习旧知、引入新课引入：我们一起来解决关于比萨斜塔问题。
二、探索新知、分类应用活动一：理解直角三角形的元素提问：在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
活动二：直角三角形的边角关系直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）边角之间关系sin ;cos ;tan a b a A A A c c b ===。
（2）三边之间关系222a b =c +。
（3）锐角之间关系∠A+∠B=90°。
活动三：解直角三角形例1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，，解这个三角形。
例2：在Rt △ABC 中，∠B=35°，b=20，解这个三角形。
三、总结消化、积累经验1．理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系。
2．解决有关问题。
四、跟踪训练、巩固提升1．在下列直角三角形中不能求解的是（ ）。
《解直角三角形》 word版 公开课一等奖教案
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因为下次再搜索到我的机会不多哦！解直角三角形教学目标：理解解直角三角形的概念和条件重点：解直角三角形难点：解直角三角形的基本类型及解法28.2.1 解直角三角形理解解直角三角形的概念和条件(1)解直角三角形在直角三角形中,由元素求出元素的过程,就是解直角三角形.(2)解直角三角形的条件在直角三角形中除直角外的五个元素中,已知其中个元素(至少有一个是),就能求出其余的个未知元素,即“知二求三”.重点一:解直角三角形解直角三角形的基本类型及解法Rt△ABC中,∠C=90°已知条件解法(选择的边角关系)斜边和一直角边c,a 由sin A=,求∠A;∠B=90°-∠A; b=两直角边a,b由tan A=,求∠A;∠B=90°-∠A; c=斜边和一锐角c,∠A ∠B=90°-∠A;a=c·sin A;b=c·cos A一直角边和一锐角a,∠A ∠B=90°-∠A;b=; c=1.(2013兰州)△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是( )(A)csin A=a (B)bcos B=c (C)atan A=b (D)ctan B=b2.(2013安顺)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则△ABC的面积为.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,请分别根据下列条件解直角三角形.(1)a=6,b=2;(2)c=4,∠A=60°.重点二:利用特殊角解非直角三角形非直角三角形可通过作三角形的高,构造直角三角形求解.在选择关系式时要尽量利用原始数据,直接求解,防止累积误差.4.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,tan B=,AC=2,则AB的长是( )(A)3+(B)2+2(C)5 (D)5. (2013曲靖)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,则CD= .6.等腰三角形的三边长分别为1、1、,那么它的底角为.7.如图所示,在△ABC中,∠A=60°,∠B=45°,AB=8,求△ABC的面积(结果可保留根号).A层(基础)1.在下面的条件中,不能解直角三角形的是( )(A)已知两锐角(B)已知两条边(C)已知一边和一锐角(D)已知三条边2. 如图所示,在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,则△ABC的面积是( )(A)(B)12 (C)14 (D)213. 如图所示,正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为( )(A)2 (B)2 (C)(D)34.若等腰三角形ABC的底边BC上的高为4,sin B=,则△ABC的周长为( )(A)24(B)16+4 (C)8+8 (D)16+85.在△ABC中,AB=4,AC=,∠B=60°,则BC的长为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)1或36.如图,已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC= .7. 如图所示,在高为2米,∠ABC为30°的楼梯上铺地毯,地毯的长度至少应有米.8. (2013陕西)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且BD平分AC.若BD=8,AC=6,∠BOC=120°,则四边形ABCD的面积为.(结果保留根号)9. 如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形,若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号).教学反思：本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。
《解直角三角形及其应用》word教案 (公开课获奖)2022沪科版 (4)
第4课时 解直角三角形的应用教学目标1．了解横断面图、坡度、坡角和有关角度的问题，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．2．能够把实际问题转化为解直角三角形问题，从而把实际问题转化为数学问题来解决． 3．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．教学重难点理解坡度的有关术语，解决有关坡度的实际问题． 教学过程导入新课长江三峡水利枢纽，是当今世界上最大的水利枢纽工程．放眼世界，从大海深处到茫茫太空，人类征服自然、改造自然的壮举中有许多规模宏大技术高超的工程杰作．三峡工程在工程规模、科学技术和综合利用效益等许多方面都堪为世界级工程的前列．它不仅将为我国带来巨大的经济效益，还将为世界水利水电技术和有关科技的发展作出有益的贡献．这节我们将学习水库大坝的有关问题．推进新课一、合作探究【问题1】 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i′＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1 m)．通过前面的学习，学生已了解了坡度与坡角的概念，也基本了解了解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．引导学生分析例题，图中ABCD 是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC 和Rt△CFD，AD ＝AE ＋EF ＋FD ，AE ，DF 可在△ABE 和△CDF 中通过坡度求出，EF ＝BC ＝6 m ，从而求出AD ．以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生的运算能力．解：作BE⊥AD，CF⊥AD， 在Rt△ABE 和Rt△CDF 中， BE AE ＝13，CF FD ＝12.5， ∴AE＝3BE ＝3×23＝69(m)， FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝13≈0.333 3，查表得α≈18°26′.AB ＝BE÷sin α＝72.7(m)． 答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5 m ，斜坡AB 的长约为72.7 m .在求AB 时，也可由BE AE ＝13及勾股定理得出BE∶AB＝1∶10，∴AB＝2310≈72.7(m)．【问题2】 利用上面的方法，你能解决下面的问题吗？一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽．(精确到0.1米)给学生充分的时间，以便让学生思考，写出解答过程．让一名学生上台板演． 二、巩固提高利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图中阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶0.5，渠道底面宽BC 为1米，求：(1)横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；(2)修一条长为100米的渠道要挖去的土方数． 分析：(1)引导学生将实际问题转化为数学问题．(2)要求等腰梯形ABCD 的面积，首先要求出AD ，如何利用条件求AD? (3)土方数=等腰梯形ABCD 的面积×100.解：(1)∵渠道内坡度为1∶0.5，渠深BE 为0.6米， ∴AE=0.5×0.6=0.3(米)． ∵等腰梯形ABCD ， ∴FD=AE=0.3(米)．∴AD=2×0.3+1=1.6(米)． ∴等腰梯形ABCD 的面积为12×(1.6+1)×0.6=0.78(米2)． (2)总土方数=截面积×渠长=0.78×100=78(米3)．答：横断面ABCD 面积为0.78平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为78立方米．三、达标训练1．一段河坝的断面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD ．(单位：米，结果保留根号)2．如图所示，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处．这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？(精确到0.01海里)分析：因为△APB 不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形：△ACP 与△PCB．PC 是东西走向的一条直线，AB 是南北走向的一条直线，所以AB 与PC 是相互垂直的，即∠ACP 与∠BCP 均为直角．再通过65°角与∠APC 互余的关系求∠APC；通过34°角与∠BPC 互余的关系求∠BPC．3．一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°.从斜坡的起点至屋门的最短的水平距离该是多少？(精确到0.1米)本课小结1．在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．2．利用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤：(1)审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．(2)将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成的直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中．(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形．1．解直角三角形的依据在Rt△ABC 中，∠C＝90°，其边角关系如下：(1)三边关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)． (2)三角关系：∠A＋∠B＝∠C＝90°.(3)边角关系：tan A ＝a b ，sin A ＝a c ，cos A ＝b c.2．常见解直角三角形的类型及解法(1)已知斜边和一个锐角(如c ，∠A)解直角三角形：∠B＝90°－∠A，a ＝c ·sin A，b ＝c ·cos A．(2)已知一条直角边和一个锐角(如a ，∠A)解直角三角形：∠B＝90°－∠A，c ＝asin A，b ＝a tan A. (3)已知两直角边(a ，b )解直角三角形：c ＝a 2＋b 2，tan A ＝a b，∠B＝90°－∠A． (4)已知斜边和一直角边(如a ，c )解直角三角形：b ＝c 2－a 2，sin A ＝a c，∠B＝90°－∠A．3．用三角函数表示的三角形面积公式如图，∵S △ABC=12AB ·CD=12c ·CD ，又∵sin A=CD b， ∴CD=b ·sin A ．∴S△ABC＝12c·CD＝12c·b·sin A＝12bc·sin A．由此可得三角形面积公式为S△ABC＝12bc·sin A，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．4．利用“解直角三角形”解决实际问题的步骤(1)审题，通过图形(如果题目没有图形，要画出图形)，弄清已知和未知．(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题．(3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形，其中找出有关的直角三角形是关键．注意正确理解有关角的含义：(1)坡角；(2)仰角、俯角；(3)方位角；(4)方向角．5．解直角三角形常作的几种辅助线解直角三角形解决问题时，有时没有直接能解的三角形，这时需要添加辅助线，构造直角三角形，现介绍几种常用的方法．(1)梯形作高法若梯形的内角中有特殊角时，一般过较短的底作梯形的高，可构造出含特殊角的直角三角形．【例1】如图，塔AB和楼CD的水平距离为80 m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高．分析：在直角梯形ABDC中，有特殊角∠BAC，过较短底CD的端点C作梯形的高CE，可构造出含特殊角的Rt△AEC．解Rt△ABD和Rt△AEC，得AB，AE，从而获得塔高AB和楼高CD．解：作CE⊥AB于E，已知∠ACE=45°，∠ADB=60°，BD=CE=80 m.分别解Rt△ABD和Rt△AEC，得AB=803m，AE=80 m.∴CD＝BE＝AB－AE＝80(3－1) m.故塔高为80 3 m，楼高为80(3－1) m.(2)延长四边形不相邻的两边使之相交法有一对角均为直角，或相邻的两角互余的四边形中有特殊角时，可延长不相邻的两边使之相交，构造含特殊角的直角三角形．【例2】如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝1，∠BAD＝30°，∠A BC＝60°，四边形ABCD的面积为53，求AD的长．分析：显然四边形ABCD中有特殊角∠DAB和∠CB A，且它们互余，延长AD，BC相交于E，可得Rt△AEB．解：延长AD，BC相交于E，则∠E=180°-(30°+60°)=90°.在Rt △AEB 中，sin 30°=BE AB ，cos 30°=AEAB， 可得BE=4，AE=43.S 四边形ABCD =S △ABE －S △CED =12×4×43－12×3DE =53. ∴DE=23，AD=AE －DE=23.奥赛链接1．高州大酒店要把一楼至三楼的楼梯表面铺上地毯．若每转(每层楼的楼梯分两转，楼梯转台不计)楼梯高度为2 m ，坡角为30°(如图所示)，求至少共要地毯长多少米？解：在Rt△ABC 中，BC ＝2，∠A＝30°，∴AC＝2ta n 30°＝233.∴AC＋BC ＝233＋2，即每转楼梯要地毯⎝⎛⎭⎪⎫233＋2 m . 从一楼到三楼共要地毯4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833＋8 m.2．我市为了引长坡水库的水到城区作生活用水，要铺设引水管线．如图，已知MN 为引水工程某段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向有一村庄A ，以A 为圆心，500 m 为半径的圆形区域为村民居住的范围．取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB ＝400 m ，通过计算回答：如果不改变方向，引水路线是否穿过该村庄？解：如图，过A 作AD⊥MN 于D ．∵∠1＝30°，∠AMC＝60°， ∴∠AMD＝30°.又∵∠2＝∠1＝30°，∴∠ABD＝75°－30°＝45°. 在Rt△ABD 中，BD ＝AD ．在Rt△AMD 中，设AD 为x ，则AM ＝2x .∴(400＋x )2＋x 2＝(2x )2，解得x 1＝200(1＋3)，x 2＝200(1－3)(不合题意，舍去)． ∵x ＝200(1＋3)＞500，∴引水路线不会穿过村庄．有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
《解直角三角形及其应用》word版 公开课一等奖教案 (1)
当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。
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我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。
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因为下次再搜索到我的机会不多哦！解直角三角形及其应用第1课时 解直角三角形教学目标1．理解直角三角形中边与边之间的关系，角与角之间的关系和边与角之间的关系．2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余，以及锐角三角函数解直角三角形．3．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．教学重难点直角三角形的解法；三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程导入新课1972年比萨发生地震，这座高54.5 m 的斜塔大幅度摇摆22分之多，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m 增加至5.2 m ，而且还以每年倾斜1 cm 的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．用倾斜多少角度来描述比萨斜塔的倾斜程度．学习了三角函数的有关知识，现在能解决这个问题了吗？推进新课一、新知探究【问题1】 (1)在三角形中共有几个元素？(2)Rt△ABC 中，∠C＝90°，a ，b ，c ，∠A，∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ 探究：师生共同思考，在解直角三角形的过程中，要用到哪些已学过的知识？总结：如图所示，解直角三角形时一般要用到下面的某些知识：(1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；(3)边角之间的关系：sin A ＝∠A的对边斜边＝a c ，sin B ＝∠B的对边斜边＝b c ；cos A ＝∠A的邻边斜边＝b c ，cos B ＝∠B的邻边斜边＝a c； tan A ＝∠A的对边∠A的邻边＝a b ，tan B ＝∠B的对边∠B的邻边＝b a. 【问题2】 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．在直角三角形中要求这5个元素，其中至少要知道几个元素？这几个元素可以都是角吗？学生探究、思考．教师引导共同总结．结论：在直角三角形中要求这5个元素，至少要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素．这种由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．二、巩固提高【例1】 在△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，a ＝6，解这个三角形．解：∵tan A=632BC AC ==，∴∠A=60°，∠B=90°－∠A=90°－60°=30°，AB=2AC=22.【例2】 在△ABC 中，∠C 为直角，c ＝287.4，∠B＝42°6′，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如果不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．【例3】 求比萨斜塔修复前的倾斜角(∠A)．看1972年的情形：设塔顶中心点为B ，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点C(如图)．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝5.2 m ，AB ＝54.5 m ，sin A ＝BC AB ＝5.254.5≈0.095 4. 所以∠A≈5°28′.(斜塔2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角可类似地求出，由学生独立完成)三、达标训练1．已知Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A ＝32，求cos B 及tan B 的值． 2．在Rt△A BC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，b ＝20，解这个直角三角形．(精确到0.1)3．已知Rt△ABC 中，∠C＝90°，b ＝25，∠A 的平分线AD ＝4315，解这个直角三角形．解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了针对各种条件的练习，使学生熟练解直角三角形，并培养学生的运算能力．本课小结1．解直角三角形就是已知直角三角形的三条边、三个角中的2个元素(其中有一个必须是边)，求其他元素的过程．2．解直角三角形常用的知识有：勾股定理，正弦、余弦、正切，两个锐角和为90°. 注意：解直角三角形要结合图形．3．解直角三角形计算上比较烦琐，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．本课教学反思本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写。
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我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。
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解直角三角形及其应用
课题 28.2解直角三角形及其应用1
授课时间 课型 新授
二次修改意见
课时
1
授课人
科目
数学
主备
教学目标
知识与技能
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
情感态度价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯
教材分析 重难点
重点：直角三角形的解法 难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用
教学设想
教法 三主互位导学法 学法 小组合作 教具
三角板，多媒体
本课教学反思
英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。
写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。
因此 , 写作教案具有重要地位。
然而 , 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。
这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。
在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。
此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。
在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。
再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。
在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。
课堂设计
一、目标展示
⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、预习检测
1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系
a b A b a A c b A c a A ====
cot ;tan ;cos ;sin b a
B a b B c a B c b B =
===cot ;tan ;cos ;sin
如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边
；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=
∠∠=∠=∠=
cot tan cos sin
(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
a 2 +
b 2 =
c 2
(勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 三、质疑探究
例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形．
例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o
，b=20，解这个三角形． 四、精讲点拨
已知一边一角，如何解直角三角形？ 五、当堂检测
1、Rt △ABC 中，若sinA=
4
5
，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 2、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
3、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=3
5
，则cos A 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916
.2525
D
六、作业布置
板 书 设 计
28.2解直角三角形及其应用1
边角之间关系 例1. 三边之间关系 例2 锐角之间关系 教学反思。