解直角三角形及其应用

解直角三角形及其应用
1． 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图J 25－2①所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图J 25－2②所示的位置，其示意图如图J 25－2③所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF ∥BC ，∠AEF ＝143°，AB ＝AE ＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)( )
图J 25－2
图J 25－3
2．如图J 25－4，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB.已知观测点C 到旗杆的距离CE ＝8 m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB＝45°，那么旗杆AB 的高度是( )
图J 25－4
A ．(8 2＋8 3)m
B ．(8＋8 3)m
C ．(8 2＋
8 33)m D ．(8＋8 3
3
)m 3．如图J 25－5所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡角是30°，堤高BC ＝5 m ，则坡面AB 的长度是( )
图J 25－5
A ．10 m
B ．10 3 m
C ．15 m
D ．5 3 m
4．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度(测角仪高度忽略不计)．他们的操作方法如下：如图J 25－6，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°.请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少米(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)．
图J 25－6
5．如图J 25－7，某小区在规划改造期间，欲拆除小区广场边的一根电线杆AB ，已知距电线杆AB 水平距离14米处是观景台，即BD ＝14米，该观景台的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，观景台的高CF 为2米，在坡顶C 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，D ，E 之间是宽2米的人行道．如果以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区
域．请你通过计算说明在拆除电线杆AB 1.41，3≈1.73)．
图J 25－7
6． 已知：如图J 25－8，在△ABC 中，AC ＝b ，BC ＝a ，锐角∠A＝α，∠B ＝β. (1)求AB 的长； (2)求证：
a
sin α＝b sin β.
图J 25－8
7.如图J 25－1，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°.若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为( )
图J 25－1
A ．a
B ．2a
C .32a
D .52
α
一、选择题
1．如图J25－9是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( )
图J25－9
A．4 3米B．6 5米
C．12 5米D．24米
2．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图J25－10，通过直升机的镜头C观测水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度为( )
图J25－10
A．300米B．1502米
C．900米D．(300 3＋300)米
二、填空题
3．如图J25－11，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼BC的高度为________m.
图J25－11
4．如图J25－12，线段AB和射线AC交于点A，∠A＝30°，AB＝20.点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD＝________．
图J25－12
5．如图J25－13，为解决停车难的问题，在一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位(2≈1.4)．
图J25－13
三、解答题
6．小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图J25－14，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿着CB方向向大树行进10米到达点D，测得树AB顶端A
的仰角为45°，又测得树AB的倾斜角∠1＝75°.
(1)求AD的长；
(2)求树长AB.
图J25－14
7．如图J25－15，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东方向400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？(3取1.732，结果精确到1米)
图J25－15
参考答案
1．A 2.D 3.A
4．解：(1)在Rt △ADB 中，∵∠ADB ＝90°，∠B ＝45°， ∴∠BAD ＝90°—∠B ＝45°， ∴∠BAD ＝∠B，∴AD ＝DB. 设AD ＝x 米．
在Rt △ADC 中，∵tan ∠ACD ＝AD
DC ，∠ACD ＝58°，
∴DC ＝
x
tan 58°
米．
∵DB ＝DC ＋CB ＝AD ，CB ＝90米， ∴
x
tan 58°
＋90＝x.
将tan 58°≈1.60代入方程， 解得x≈240.
答：最高塔的高度AD 约为240米．
5．解：由题意可知，∠CGB ＝∠B＝∠CFD＝90°. 在Rt △CDF 中，∵tan ∠CDF ＝CF
DF ＝2，CF ＝2米．
∴DF ＝1米，BG ＝2米．
∵BD ＝14米，∴BF ＝GC ＝15米． 在Rt △AGC 中，由tan 30°＝33
， 得AG ＝15×
3
3
＝5 3(米)， ∴AB ＝5 3＋2≈10.65(米)． ∵BE ＝BD －ED ＝12米， ∴AB<BE ，
∴人行道不在危险区域内．
6．解：(1)AB ＝b cos α＋a cos β.
(2)证明：过点C 作CD⊥AB 于点D.由b sin α＝CD ＝a sin β可得b sin α＝a sin β，从而a
sin α＝b sin β
. 7.B
1．B [解析] 在Rt △ABC 中，∵i ＝BC AC ＝1
2，AC ＝12米，
∴BC ＝6米．根据勾股定理得AB ＝AC 2
＋BC 2
＝6 5米．故选B . 2．D
3．160 3
4．AD ＝10(答案不唯一)
5．17 [解析] 如图，BC ＝2.2×sin 45°＝2.2×
2
2
≈1.54(米)，
CE＝5×sin45°＝5×
2
2
≈3.5(米)，
BE＝BC＋CE≈5.04米，
EF＝2.2÷sin45°＝2.2÷
2
2
≈3.14(米)，
(56－5.04)÷3.14＋1＝50.96÷3.14＋1≈16＋1＝17(个)．
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．
6．解：(1)如图，过点A作AH⊥CB于点H，设AH＝x米，则CH＝3x米，DH＝x米．∵CH―DH＝CD，
∴3x―x＝10，∴x＝5(3＋1)．
∵∠ADH＝45°，∴AD＝2x＝5 6＋5 2(米)．
(2)如图，过点B作BM⊥AD于点M.
∵∠1＝75°，∠ADB＝45°，∴∠DAB＝30°.
设MB＝m米，则AB＝2m米，AM＝3m米，DM＝m米．
∵AD＝AM＋DM，∴5 6＋5 2＝3m＋m，
∴m＝5 2，∴AB＝2m＝10 2(米)．
7．解：由题意，可得∠PAC＝30°，∠PBC＝60°.
∴∠APB＝∠PBC－∠PAC＝30°，
∴∠PAC＝∠APB，
∴PB＝AB＝400米．
在Rt△PBC中，∵∠PCB＝90°，∠PBC＝60°，PB＝400米，
∴PC＝PB·sin∠PBC＝400×
3
2
＝200 3≈346.4≈346(米)．
答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米．。