山西省临汾市曲沃中学2015-2016学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

2015-2016学年某某省某某市曲沃中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（）A．∀x∈R，x2≤0B．∃x∈R，x2＞0C．∃x∈R，x2＜0D．∃x∈R，x2≤02．下列说法正确的是（）A．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”D．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题3．命题：“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣14．“x＞3”是“x2＞9”的．（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值X围是（）A．3＜m＜4B．C．D．6．椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．7．在圆锥曲线中，我们把过焦点最短的弦称为通径，那么抛物线y2=2px的通径为4，则P=（）A．1B．4C．2D．88．若函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象可能（）A．B．C．D．9．曲线y=在点（﹣1，1）处的切线方程为（）A．y=2x+3B．y=2x+1C．y=﹣2x﹣1D．y=﹣2x10．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．ln2C．D．e11．若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B．C．D．（2，2）12．已知曲线左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）A．3B．1C．2D．4二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．命题：“若a≥b，则2a≥2b”的逆否命题为．14．经过点P（4，﹣2）的抛物线的标准方程是．15．椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为．16．若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．命题：已知a、b为实数，若x2+ax+b≤0有非空解集，则a2﹣4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．18．已知，q：1﹣m≤x≤1+m，若非P是非q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．19．已知双曲线经过M（1，1），N（﹣2，5）两点，求双曲线的标准方程．20．已知函数f（x）=x3+x﹣16，求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程．21．已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）有极大值1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P（，），过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线x=m（m＞a）交于M点，若直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求m的值．2015-2016学年某某省某某市曲沃中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（）A．∀x∈R，x2≤0B．∃x∈R，x2＞0C．∃x∈R，x2＜0D．∃x∈R，x2≤0【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：∃x∈R，x2≤0．故选D．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．2．下列说法正确的是（）A．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”D．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题【考点】四种命题．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据复合命题判断A，根据结合的包含关系判断B，根据命题的否定判断C，根据不等式的性质判断D，从而得到答案．【解答】解：命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有1个为真命题，故A 错误；已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故B错误；命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”，故C正确；命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是假命题，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查集合的包含关系，考查不等式的性质以及集合的包含关系，是一道基础题．3．命题：“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1【考点】四种命题．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．【解答】解：∵“x2＜1”的否定为“x2≥1”．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．∴命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是：“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．故选：A．【点评】本题考查四种命题的相互转化，解题时要认真审题，注意．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．4．“x＞3”是“x2＞9”的．（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法，进行判断即可．【解答】解：由x2＞9得x＞3或x＜﹣3，则“x＞3”是“x2＞9”的充分不必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．5．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值X围是（）A．3＜m＜4B．C．D．【考点】椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】进而根据焦点在y轴推断出4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，求得m的X 围．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．6．椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题．【分析】把椭圆的方程化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2求出c的值，利用离心率公式e=，把a与c的值代入即可求出值．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，则c==，所以椭圆的离心率e==．故选A【点评】此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道综合题．7．在圆锥曲线中，我们把过焦点最短的弦称为通径，那么抛物线y2=2px的通径为4，则P=（）A．1B．4C．2D．8【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用么抛物线y2=2px的通径为4，即可得出结论．【解答】解：由题意，2p=4，∴p=2．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单的性质，考查抛物线的弦长，是一个圆锥曲线的基础题．8．若函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象可能（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】数形结合；转化思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】根据函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性即可．【解答】解：由y=f′（x）可得y=f′（x）有两个零点，x1，x2，且0＜x1＜x2，当x＜x1，或x＞x2时，f′（x）＜0，即函数为减函数，当x1＜x＜x2，时，f′（x）＞0，函数为增函数，即当x=x1，函数取得极小值，当x=x2，函数取得极大值，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的判断，结合函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．9．曲线y=在点（﹣1，1）处的切线方程为（）A．y=2x+3B．y=2x+1C．y=﹣2x﹣1D．y=﹣2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．【解答】解：y′==∴y′|x=﹣1=2而切点的坐标为（﹣1，1）∴曲线y=在点（﹣1，1）处的切线方程为y=2x+3．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．10．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．ln2C．D．e【考点】导数的运算；函数的零点．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】由题意求导f′（x）=lnx+1，从而得lnx0+1=2；从而解得．【解答】解：∵f′（x）=lnx+1；故f′（x0）=2可化为lnx0+1=2；故x0=e；故选D．【点评】本题考查了导数的求法及应用，属于基础题．11．若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B．C．D．（2，2）【考点】抛物线的定义．【专题】计算题．【分析】求出焦点坐标和准线方程，把|MF|+|MA|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值，把y=2代入抛物线y2=2x 解得x值，即得M的坐标．【解答】解：由题意得F（，0），准线方程为x=﹣，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3﹣（﹣）=．把y=2代入抛物线y2=2x 得x=2，故点M的坐标是（2，2），故选D．【点评】本题考查抛物线的定义和性质得应用，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想．12．已知曲线左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）A．3B．1C．2D．4【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用ON是△MF1F2的中位线，ON=MF1，再由双曲线的定义求出MF1，进而得到ON的值．【解答】解：∵曲线左、右焦点分别为F1、F2，左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，连接MF1，ON是△MF1F2的中位线，∴ON∥MF1，ON=MF1，∵由双曲线的定义知，MF2﹣MF1=2×5，∴MF1=8．ON=4，故答案选D．【点评】本题考查双曲线的定义和性质．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．命题：“若a≥b，则2a≥2b”的逆否命题为若2a＜2b，则a＜b ．【考点】四种命题．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：命题：“若a≥b，则2a≥2b”的逆否命题为：若2a＜2b，则a＜b，故答案为：若2a＜2b，则a＜b【点评】本题主要考查四种命题的关系，根据逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础．14．经过点P（4，﹣2）的抛物线的标准方程是y2=x或x2=﹣8y ．【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题．【分析】先设处抛物线的标准方程，把点P坐标代入，即可求得p，则抛物线方程可得．【解答】解：设抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p＞0），∵抛物线过点（4，﹣2）∴2p×4=4或2p×（﹣2）=16∴2p=1或﹣8∴抛物线的标准方程为y2=x或x2=﹣8y故答案为：y2=x或x2=﹣8y．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．15．椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为20 ．【考点】椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a，由此能够求出△PQF2的周长．【解答】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a．∴△PQF2的周长=20．，故答案为20．【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．16．若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=﹣1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．【解答】解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．命题：已知a、b为实数，若x2+ax+b≤0有非空解集，则a2﹣4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．【考点】复合命题的真假．【分析】原命题中，a、b为实数是前提，条件是x2+ax+b≤0有非空解集（即不等式有解），结论是a2﹣4b≥0，由四种命题的关系可得出其他三种命题．【解答】解：逆命题：已知a、b为实数，若a2﹣4b≥0，则x2+ax+b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空解集，则a2﹣4b＜0．逆否命题：已知a、b为实数，若a2﹣4b＜0，则x2+ax+b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．【点评】本题以复合命题的真假为载体考查二次方程的解的问题．熟练掌握四种命题的定义，复合命题的真值表，特称命题的否定的方法是解答本题的关键．18．已知，q：1﹣m≤x≤1+m，若非P是非q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；逻辑联结词“非”．【专题】计算题．【分析】由题意得p：﹣2≤x≤10，．由此可知实数m的取值X围是{m|m≥9}．【解答】解：由题意得p：﹣2≤x≤10．∵非p是非q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，∴p⇒q，q推不出p，∴p不属于q∴∴m≥9；∴实数m的取值X围是{m|m≥9}．【点评】本题考查不等式的基本性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．19．已知双曲线经过M（1，1），N（﹣2，5）两点，求双曲线的标准方程．【考点】双曲线的简单性质．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线的焦点不知在哪个轴上时，设双曲线方程为mx2﹣ny2=1（mn＞0），结合点M，N在双曲线上，可得关于m与n的方程组，求出m与n的值即可得到答案．【解答】解：设所求双曲线方程为mx2﹣ny2=1（mn＞0），∵M（1，1），N（﹣2，5）两点在双曲线上，∴，解得：，∴双曲线方程是：x2﹣y2=1．【点评】本题主要考查用待定系数法求双曲线的标准方程的方法，解题的关键将所求双曲线设成mx2﹣ny2=1（mn＞0），属于基础题．20．已知函数f（x）=x3+x﹣16，求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程．【解答】解：函数f（x）=x3+x﹣16的导数为f′（x）=3x2+1，即有f（x）在点（2，﹣6）处的切线斜率为k=3×4+1=13，则曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程为y+6=13（x﹣2），即为13x﹣y﹣32=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键．21．已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）有极大值1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导，由题意可知，从而求a，b的值；（Ⅱ）代入a，b的值，求极值处的极值及端点值，从而求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2，∴f′（x）=3ax2+2bx，由题意可知，解得a=﹣2，b=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=﹣2x3+3x2，∴f′（x）=﹣6ax2+6x=﹣6x（x﹣1），令f′（x）=﹣6ax2+6x=﹣6x（x﹣1）=0可解得，x=0或x=1；∵f（﹣）=1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=﹣4；故函数f（x）在区间上的最大值是1，最小值为﹣4．【点评】本题考查了导数的综合应用及闭区间上的最值，属于中档题．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P（，），过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线x=m（m＞a）交于M点，若直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求m的值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；分析法；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a=2，b=1，即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由F（，0），设直线AB的方程为y=k（x﹣），代入椭圆方程，运用韦达定理，以及等差数列的中项性质，和直线的斜率公式，计算化简即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，a==2，可得c=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）由F（，0），设直线AB的方程为y=k（x﹣），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2﹣8k2x+12k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，设M（m，k（m﹣）），由直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，可得2=+=+即为2k﹣=2k﹣，代入韦达定理，可得=。