2012年高考数学30道压轴题

n
an 1
2
.
an 的通项公式.
tSn 对于任意的 n N * 恒成立，求实数 t 的最大值.
PM =0， 15.( 12 分)已知点 H （－3， 0） ， 点 P 在 y 轴上， 点 Q 在 x 轴的正半轴上， 点 M 在直线 PQ 上， 且满足 HP ·
PM =－
3 MQ ， 2
① ②若 求
an 的通项公式；
3 2 1 2
Sn . an 的前 n 项和为 S n ，求 lim n
，BC＝ ．椭圆 C 以 A、B 为焦点且经过
22、直角梯形 ABCD 中∠DAB＝90° ，AD∥BC，AB＝2，AD＝ 点 D． （1）建立适当坐标系，求椭圆 C 的方程； （2） 若点 E 满足 EC

1 问是否存在不平行 AB 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、 N 两点且 | ME || NE | ， AB ， 2
若存在，求出直线 l 与 AB 夹角的范围，若不存在，说明理由．
23、 ．设函数
f ( x)
1 , 4 2
x
（1）求证：对一切 x R, （2）记 a n 式及前 n 项和.
9 12.知函数 f(x)＝log3(x2－2mx＋2m2＋ 2 )的定义域为 R m －3 (1)求实数 m 的取值集合 M； (2)求证：对 m∈M 所确定的所有函数 f(x)中，其函数值最小的一个是 2，并求使函数值等于 2 的 m 的值和 x 的值.
13.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为 , ( (1). 求 f( )和f ( ) 的值。 （2） 。证明：f(x)在[ , ] 上是增函数。 （3） 。对任意正数 x1、x2,求证：
18．已知函数
1 f ( x) 对任意实数 p、q 都满足 f ( p q) f ( p) f (q), 且f (1) . 3
（1）当 n N 时，求
f (n) 的表达式；
n 3 (n N ), 求证： ak ; 4 k 1 n
（2）设 an
nf (n)
A(0, 2 ) 为圆心，1 为半
y x 对称．
y m x 1 与双曲线 C 的左支交于 A，B 两点，另一直线 l 经过 M（-2，0）及 AB 的中
y 轴上的截距 b 的取值范围；
（Ⅲ）若 Q 是双曲线 C 上的任一点， F1 F2 为双曲线 C 的左，右两个焦点，从 F1 引 F1QF2 的平分 线的垂线，垂足为 N，试求点 N 的轨迹方程．
（1）求椭圆的方程及离心率； （2）若 OP OQ 0 ，求直线 PQ 的方程； （3）设

，过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M ，证明 AP AQ（ 1 ）
FM FQ. (14 分)
8．已知数列{an}满足 a1
3a(a 0), an1
2 an a2 a a , 设bn n 2an an a
（1）求数列{bn}的通项公式； （2）设数列{bn}的前项和为 Sn，试比较 Sn 与
7 8
的大小，并证明你的结论.
9．已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 （Ⅰ）求双曲线 C 的方程； （Ⅱ）设直线 点，求直线 l 在



（I） 求点 （x，y）的轨迹 C 的方程； （II） 若直线 L：y=kx+m(m 0)与曲线 C 交于 A、B 两点，D（0，–1） ，且有 取值范围． |AD|=|BD|，试求 m 的
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2012 年高考数学 30 道压轴题
1．椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 2 2 ，相应于焦点 F (c, 0) （ c
0 ）的准线 l 与 x 轴相交于点 A ，
OF 2 FA ，过点 A 的直线与椭圆相交于 P 、 Q 两点。
（1）求数列 {an } 的通项 an ； （2）若 0 （3）若 a
a 1, 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn，求 lim S n ；
n
2, 令bn an f (an ) ，对任意 n N , 都有bn f 1 (t ) ,求实数 t 的取值范围.
20．已知△OFQ 的面积为 2 （1）设
f ( x) f (1 x) 为定值；
(n N *), 求数列 {an } 的通项公
1 2 n 1 f (0) f ( ) f ( ) f ( ) f (1) n n n
24. 已知函数 (I)
f ( x) 是定义在 R 上的偶函数.当 X 0 时, f ( x) = f ( x) 的解析式;
4n 2 n ,其中 n∈N*,试比较 9T2n 与 Qn 的大小. 4n 2 4n 1
(1) 求数列｛an｝的通项公式； (2)若 T2n=a1+2a2+3a3+„+2na2n,Qn=
17． 已知 a =（x,0） ， b =（1，y） ， （a +



． 3 b ） （a – 3 b ）
), 函数 f(x)=
4x t . x2 1
f(
x1 x 2 x x 2 ) f( 1 ) 2 x1 x 2 x1 x 2
*
14．已知数列{an}各项均为正数，Sn 为其前 n 项的和.对于任意的 n N ，都有 4 S n I、求数列 II、若 2
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25、已知抛物线
y 2 4 x 的准线与 x 轴交于 M
点，过 M 作直线与抛物线交于 A、B 两点，若线段 AB 的垂
直平分线与 X 轴交于 D(X0,0) ⑴求 X0 的取值范围。 ⑵△ABD 能否是正三角形？若能求出 X0 的值，若不能，说明理由。 26、已知□ABCD，A（-2，0） ，B（2，0） ，且∣AD∣=2 ⑴求□ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程。 ⑵过 A 作直线交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点，且∣MN∣= 圆的方程。 ⑶与 E 点轨迹相切的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点，求∣PQ∣的最大值及此时 l 的方程。
nf (n 1) f ( n)
（3）设 bn

(n N ), Sn bk , 试比较
k 1
1 k 1 S k
n
与 6 的大小．
19．已知函数
f ( x) loga x(a 0且a 1), 若数列： 2, f (a1 ), f (a2 ), „，
f (an ),2n 4(n N ) 成等差数列.
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21、已知函数
f ( x) 3x 2 bx 1是偶函数， g ( x) 5x c 是奇函数，正数数列 an 满足
2
an 1, f ( an an1 ) g( an1an an ) 1
已知，二次函数 f（x）＝ax2＋bx＋c 及一次函数 g（x）＝－bx，其中 a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝
（Ⅰ）求证：f（x）及 g（x）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设 f（x） 、g（x）两图象交于 A、B 两点，当 AB 线段在 x 轴上射影为 A1B1 时，试求|A1B1|的取值范围.
10.
1 f ( x) 对任意 x R 都有 f ( x) f (1 x) . 2 1 1 n 1 ) (n N ) 的值． （Ⅰ）求 f ( ) 和 f ( ) f ( 2 n n 1 2 n 1 ) f (1) ，数列 an 是等差 （Ⅱ）数列 an 满足： a n = f (0) + f ( ) f ( ) f ( n n n
6, 且OF FQ m.
6 m 4 6, 求向量OF与FQ 的夹角 正切值的取值范围；
| c, m ( 6 1)c 2 ， 4
（2）设以 O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点 Q（如图） ， | OF 当 | OQ | 取得最小值时，求此双曲线的方程.
（3）设 F1 为（2）中所求双曲线的左焦点，若 A、B 分别为此双曲线渐近线 l1、l2 上的动 点，且 2|AB|=5|F1F|，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
6
已知过函数 f（x）= x 求 a、b 的值；
3
ax2 1 的图象上一点 B（1，b）的切线的斜率为－3。
（1） （2） （3）
求 A 的取值范围，使不等式 f（x）≤A－1987 对于 x∈[－1，4]恒成立； 令g
x f x 3x 2 tx 1。是否存在一个实数 t，使得当 x (0,1] 时，g（x）有最大值 1？
（1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C； （2）过点 T（－1，0）作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E（x0,0） ，使得△ABE 为等 边三角形，求 x0 的值.
16.（14 分）设 f1(x)=
f n (0) 1 2 ,定义 fn+1 (x)=f1［fn(x)］,an= ,其中 n∈N*. f n (0) 2 1 x
f ( x ) log 4 1 0 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根， x
试问方程
请说明理由。当
3． （本题满分 12 分）如图，已知点 F（0，1） ，直线 L：y=-2，及圆 C： x （1） （2） （3）