概率(中考第23题)

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山西数学中考23题解题技巧

山西数学中考23题解题技巧一、引言在山西数学中考中，23题通常被视为一个具有挑战性的部分，它考察了学生对于函数、几何和概率论等多个知识点的理解和应用。

本文将为考生提供一些关于这个部分的解题技巧，帮助他们更好地应对中考。

二、解题步骤1. 读题与分析：首先，仔细阅读题目，理解题意，并将关键信息标注在草稿纸上。

同时，要注意题目中的隐藏信息，这些信息可能成为解题的关键。

2. 建立模型：根据题目类型，建立相应的数学模型。

例如，对于函数题，需要建立函数关系式；对于几何题，需要找到基本图形并运用几何性质。

3. 解答问题：根据建立的模型，逐步解答问题。

在解答过程中，要注意使用正确的数学语言，确保逻辑的严谨性和表达的准确性。

4. 验算与检查：完成解答后，进行验算和检查。

验算主要是检查解答是否符合题目要求，检查则主要是对答案进行合理性分析。

三、技巧分享1. 函数题：对于函数题，要特别注意函数的定义域和特殊点。

这些特殊点可能是函数的极值点、边界值等，它们可能对解题起到关键作用。

此外，对于一些复杂函数题，可以采用数形结合的方法，通过绘制函数图像来辅助解题。

2. 几何题：几何题通常需要运用几何性质和三角形的知识。

在解答时，要注意找到基本图形，并利用基本图形来解决复杂问题。

同时，对于一些需要证明线段相等的题目，可以采用“边边角”方法，这是证明线段相等的常用方法。

3. 概率论题：概率论题的解题关键是理解概率的定义和公式。

在解答时，要注意题目中的数据和信息，并根据概率公式进行计算。

同时，对于一些需要计算的题目，可以采用估算的方法，通过估算得到大致的答案，节省时间。

4. 特殊技巧：对于一些特定的题目类型或情况，可以积累一些特殊技巧。

例如，对于一些需要求面积或长度的题目，可以尝试使用三角形的性质或公式来解题；对于一些需要求和的题目，可以采用拆分法或组合法来解题。

四、案例分析以某年山西数学中考23题为例，进行分析和解答。

题目为：某公园的门票价格为：成人$60$元/人，儿童$30$元/人。

第23章概率初步章节复习导学案(解析版)初中数学

第23章概率初步章节考点分类复习导学案例题1 （黄浦2017期末6）下列命题正确的是（）（A ）任何事件发生的概率为1；（B ）随机事件发生的概率可以是任意实数；（C ）可能性很小的事件在一次实验中有可能发生；（D ）不可能事件在一次实验中也可能发生.【答案】C ；【解析】概率的范围是01P ≤≤，故A 、B 错误；C 、可能性很小的事件在一次实验中可能发生，故C 正确；D 、不可能事件中任何一次实验中是不可能发生的，故D 错误；因此答案选C.【变式1】（青浦2018期末5）下列说法中错误的是（）A ．“买一张彩票中大奖”发生的概率是0B ．“软木塞沉入水底”发生的概率是0C ．“太阳东升西落”发生的概率是1D ．“10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只”发生的概率是1【答案】A ；【解析】解：A 、“买一张彩票中大奖”发生的概率较小，但不是0，此选项错误；B 、“软木塞沉入水底”是不可能事件，发生的概率是0，此选项正确；C 、“太阳东升西落”是必然事件，发生的概率是1，此选项正确；D 、10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只”是必然事件，发生的概率是1，此选项正确；故选：A ．【变式2】 (奉贤2018期末4)下列事件中，必然事件是（）A. “奉贤人都爱吃鼎丰腐乳”B. “2018年上海中考，小明数学考试成绩是满分150分”C. “10只鸟关在3个笼子里，至少有一只笼子关的鸟超过3只”D. “在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有5张A ”【答案】C【解析】解：A 、“奉贤人都爱吃鼎丰腐乳”，是随机事件，故此选项错误； B 、“2018年上海中考，小明数学考试成绩是满分150分”，是随机事件，故此选项错误； C 、“10只鸟关在3个笼子里，至少有一只笼子关的鸟超过3只”是必然事件，故此选项正确； D 、“在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有5张A ”，是不可能事件．故选：C ．【变式3】（静安2019期末5）从332223x x 、、件中为确定事件的是（）A.抽到的是单项式；B.抽到的是整式；C.抽到的是分式；D.抽到的是二次根式.【答案】D ；【解析】A 、单项式有3223x 、两个，抽取一个是单项式是随机事件；B 、整式有3223x 、两个，也是随机事件；C 、分式有32x 一个，随机事件；D 、没有二次根式，是不可能事件，因而是确定事件；故答案选D.【变式4】（长宁2019期末17）下列事件中，属于必然事件的是（）A ．某校初二年级共有480人，则至少有两人的生日是同一天B ．经过路口，恰好遇到红灯C ．打开电视，正在播放动画片D ．抛一枚硬币，正面朝上【答案】A ；【解析】解：A 、某校初二年级共有480人，则至少有两人的生日是同一天；属于必然事件； B 、经过路口，恰好遇到红灯；属于随机事件；C 、打开电视，正在播放动画片；属于随机事件；D 、抛一枚硬币，正面朝上；属于随机事件．故选：A ．【变式5】（虹口2018期末4）下列事件中，是必然事件的是（）A.购买一张彩票中奖一百万元；B.在地球上，上抛的篮球会下落；C.明天太阳从西边出来；D.上海地区明天降水.【答案】B ；【解析】A 、是随机事件；B 、是必然事件；C 、不可能事件；D 、随机事件；故答案选B.【变式6】（金山2019期末4）下列事件中，属于随机事件的是（）(A)方程101=-x 在实数范围内有解； (B)在平面上画一个矩形，这个矩形一定是轴对称图形；(C)在一副扑克牌中抽取一张牌，抽出的牌是黑桃A ；(D)十边形有15条对角线【答案】C ；【解析】A 、方程101x =-在实数范围内有解，是不可能的，是确定事件，不是随机事件；B 、平面上画一个矩形一定是轴对称图形，是必然事件，不是随机事件；C 、一副扑克牌中抽出一张是黑桃A ，是随机事件；D 、十边形有35条对角线，因而D 是不可能事件，是确定事件；因此答案选C.【变式7】（金山2017期末4）下列事件中，属于必然事件的是（）（A ）在有理数中任意抽取一个数，这个数的平方一定大于0；（B ）任取三条线段能组成一个三角形；（C ）任取一个梯形，这个梯形是轴对称图形；（D ）任取一个平行四边形，这个平行四边形是中心对称图形．【答案】D ；【解析】A 、从有理数中任意抽取一个数，这个数的平方有可能等于0，故A 是随机事件；B 、任取三条线段组成一个三角形是随机事件；C 、只有等腰梯形才是轴对称图形，故是随机事件；D 、平行四边形都是中心对称图形，故D 是必然事件；故答案选D.【变式8】（奉贤2017期末4）下列事件是必然事件的是（）（A ）方程041=+-x 有实数根；（B ）方程012=+x 有实数根；（C ）方程x x -=有实数根；（D ）方程022=-++x x 有实数根；【答案】C ；【解析】A 、方程无实数根，故A 是不可能事件，不符合题意；B 、方程无实数根，B 是不可能事件，不符合题意；C 、方程有0x =的根，故C 是必然事件，符合题意；D 、方程无实数根，D 是不可能事件，不符合题意；故答案选C.【变式9】 (长宁2018期末5)事件“关于y 的方程a 2y +y =1有实数解”是（） A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 以上都不对【答案】A ；【解析】解：∵△=1-4a 2（-1）=4a 2+1＞0，原方程一定有实数解． ∴方程a 2y+y=1有实数解是必然事件．故选：A ．【变式10】 (浦东2017期末6)下列事件：①三角形的外角和是180°；②四边形的内角和是 360°；③五边形有6条对角线；其中属于确定事件的个数有（）（A ）0个；（B ）1个；（C ）2个；（D ）3个．【答案】D ；【解析】①三角形的外角和是360°，故①是不可能事件，因而是确定事件；②四边形的内角和是360°，是确定事件；③五边形有5条对角线，所以③是不可能事件，所以是确定事件；故确定事件一共有3个，答案选D.【变式11】（静安2018期末5）在五张完全相同的卡片上分别画上：等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆和正方形，在看不见图形的情况下随机抽出1张卡片，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（） A.15； B. 25； C. 35； D. 45. 【答案】C ；【解答】解：∵平行四边形、圆和正方形是中心对称图形，∴在看不见图形的情况下随机抽出1张卡片，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是：35．故选：C ．例题2 （静安2018期末12）一盒中只有黑、白两色的棋子（这些棋除颜色外无其他差别），设黑棋有x 枚，白棋有y 枚．如果从盒中随机取出一枚为黑棋的概率是14，那么y ＝．（请用含x 的式子表示y ）【答案】y ＝3x ；【变式1】 (奉贤2018期末20)布袋中放有x 只白球、y 只黄球、2只红球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是．（1）试写出y 与x 的函数关系式；（2）当x =6时，求随机地取出一只黄球的概率P ．【答案】（1）14y x =-；（2）12；【解析】（1）因为布袋中放有x 只白球、y 只黄球、2只红球，且红球的概率是．所以可得：y =14-x （2）把x =6，代入y =14-6=8，所以随机地取出一只黄球的概率816822P ==++. 【解答】解：∵从盒中随机取出一枚为黑棋的概率是14，∴14x x y =+，整理，得：y ＝3x .例题3 （杨浦2017期末12）确定事件的概率是．【答案】1或0；【解析】确定事件包括：不可能事件与必然事件，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故确定事件的概率为1或0.【变式1】（普陀2018期末5）下列说法错误的是（）A ．必然事件发生的概率为1B ．不确定事件发生的概率为0.5C ．不可能事件发生的概率为0D ．随机事件发生的概率介于0和1之间【答案】B ；【解析】解：A 、∵必然事件发生的概率为1，故本选项正确；B 、∵不确定事件发生的概率介于1和0之间，故本选项错误；C、∵不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；D、∵随机事件发生的概率介于0和1之间，故本选项正确；故选：B．例题4 (浦东2017期末24)在一副扑克牌中取红桃、梅花、方块各一张牌混合放在一起，第一次从中任意摸出一张牌，放回洗匀，再任意摸出一张牌，请用树状图表示上述两次摸牌所有可能的结果，并求出两次恰好摸到同种花色牌的概率．【答案】13；【解析】解：共有9种等可能的结果，设事件A：“两次恰好摸到同种花色牌”，P(A)=31 93 =．【变式1】 (浦东2017期末11)掷一枚材质均匀的正六面体骰子，掷得的点数大于5的概率是．【答案】16；【解析】1 (5)6 P=点数大于.【变式2】（青浦2018期末15）从2、3、4这三个数字中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被2整除的概率是．【答案】23；【解析】解：从2、3、4三个数字中任选两个有：23、24、32、34、42、43共有6种等可能的结果，其中这个数恰好能被2整除的有4种结果，所以这个数恰好能被2整除的概率为42 63 =.【变式3】（金山2017期末16）从2、3、4三个数中任取两个数组成一个没有重复数字的两位数，这个两位数是合数的概率是．【答案】23；【解析】从2、3、4三个数中任取两个数组成一个没有重复数字的两位数有：23、24、32、34、42、43一共6个，其中是合数的是24、32、34、42四个，故这个两位数是合数的概率是42 63 =.【变式4】 (长宁2018期末12)木盒中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其他都相同．从木盒里先摸出一个球，放回去后摇匀，再摸出1个球，则摸到1个黑球1白球的概率是______．【答案】49；【解析】解：列表如下.∵共9种等可能的结果，其中摸到1个黑球1白球的有4种结果，∴摸到1个黑球1白球的概率为49，故答案为：49．【变式5】（嘉定2019期末13）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中随机摸出一球恰好为红球的概率是 .【答案】310；【解析】依题，从布袋中随机摸出一球恰好为红球的概率是3323510=++. 【变式6】（静安2017期末15）在一个不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．现从这个盒子中同时任意摸出2个球，那么摸到1个红球和1个白球的概率是．【答案】35；【解析】如下图所示：123P(11)205==红白.【变式7】（浦东四署2019期末13）小明的生日是6月19日，他用6、1、9这三个数字设置了自己旅行箱的密码，但是他忘记了数字的顺序，那么他能一次打开旅行箱的概率是 .【答案】16；【解析】依题可得他的密码可能是：169、196、619、691、916、961这六种情况当中的一种，故他能一次打开旅行箱的概率为16. 【变式8】（嘉定2017期末8）一个不透明的口袋中，装有红球4个，白球5个，黑球3个，这些球除颜白红红白白红红白白白红白白红白红红白白白白白白红红色不同外没有任何区别，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率为．【答案】13；【解析】441 (===4+5+3123 P红球）.【变式9】（长宁2019期末21）有两个不透明的袋子分别装有红、白两种颜色的球（除颜色不同外其余均相同），甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和3个白球．（1）如果在甲袋中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是．（2）如果在乙袋中随机摸出两个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是．（3）如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是多少？（请用列表法或树状图法说明）【答案】（1）23；（2）12；（3）512；【解析】解：（1）如果在甲袋中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是23．（2）如果在乙袋中随机摸出两个小球，则有红白、红白、红白、白白、白白、白白共6种等可能的结果数，其中摸到两球颜色相同的概率＝36＝12．故答案为12；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中摸到两球颜色相同的结果数为5，所以摸到两球颜色相同的概率＝5 12．【变式10】（浦东四署2019期末23）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》、《九章算术》、海岛算经》、《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献.（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，求他选中《九章算术》的概率；（2）小聪拟从这4部数学名著中选择2部作为假期课外拓展学习内容，用列表或树状图求选中的名著恰好是《九章算术》和《周髀算经》的概率.【答案与解析】（1）P(选中《九章算术》) =14；（2）如图所示，《周髀算经》、《九章算术》、海岛算经》、《孙子算经》这四本书分别用,,,a b c d表示.P（选中的名著恰好是《九章算术》和《周髀算经》）=21 126.【变式11】（奉贤2017期末20）小杰、小明和小强三人准备进行打乒乓球，他们约定用“抛硬币”的方式来确定哪两个人先上场，三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合．落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或反面向上的这两枚硬币持有人先上场；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，属于不能确定．（1）请用树形图法展现三人“抛硬币”的所有等可能的结果；（2）求一个回合能确定两人先上场的概率．【答案】(1)如图所示；（2）34；【解析】解：（1）树形图：（2）共有8种等可能的情况，其中两枚正面向上或反面向上的可能情况有6种，所以一个回合能确定两人先上场的概率P=63 84 ．。

2023年江苏南通中考真题数学试卷(详解版)

123答案AA 选项：三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；B 选项：圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；C 选项：四棱锥的俯视图是四边形（画有对角线），故此选项不合题意；D 选项：圆锥体的俯视图是圆（带圆心），故此选项不合题意．故选 A.4A.线段上B.线段上C.线段上D.线段上★★如图，数轴上，，，，五个点分别表示数，，，，，则表示数的点应在（）．C，而数轴上，，，，五个点分别表示数，，，，，表示数的点应在线段上．故选 C ．5A.B.C.D.★★★如图，中，，顶点，分别在直线，上，若，，则的度数为（）．A 如图，2023年江苏南通中考真题第4题3分2023年江苏南通中考真题第5题3分，，，，，．故选 A ．6A.B.C.D.★★★若，则的值为（）．D，，．故选 D ．7★★★如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（）．2023年江苏南通中考真题第6题3分2023年江苏南通中考真题第7题3分A. B. C. D.B过点作，垂足为，在中，，，在中，，，，故选 B．8★★★2023年江苏南通中考真题第8题3分A.B.C.D.如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（）．C，，，，，四边形是矩形，，，，，，，设，则，，由勾股定理得：，，，．故选 C．9A.B.C.D.★★★★如图 1，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图 2所示，则的值为（）．B，，，，①当时，点在边上，如图所示，此时，，，，，，，，，，2023年江苏南通中考真题第9题3分当时，，，②当时，点在边上，如图所示，此时，，，，，，，，，当时，，，．故选 B ．10A.B.C.D.★★★若实数，，满足，，则代数式的值可以是（）．D由题意可得，2023年江苏南通中考真题第10题3分解得：，则，，A ，B ，C 不符合题意，D 符合题意．故选 D ．11★计算：．原式．故答案为：．12★★★分解因式：．．13★★★2023年江苏南通中考真题第11题3分2023年江苏南通中考真题第12题3分2023年江苏南通中考真题第13题4分如图，中，，分别是，的中点，连接，则．，分别是，的中点，，又，，．故答案为：．14★★某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为．设功率为，由题可知，即，将，代入可得：，即反比例函数为：．当时，．胡答案为：．2023年江苏南通中考真题第14题4分15★★★如图，是⊙的直径，点，在⊙上，若，则度．如图，连接，，，，，．故答案为：．16★★★勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数，，，其中，均小于，，，是大于的奇数，则（用含的式子表示）．，，是勾股数，其中，均小于，，，2023年江苏南通中考真题第15题4分2023年江苏南通中考真题第16题4分，是大于的奇数，．故答案为：．17★★已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是．一次函数，随的增大而增大，对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，，解得．故答案为：．18★★★★如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是．2023年江苏南通中考真题第17题4分2023年江苏南通中考真题第18题4分设，的交点为，，，，的中点分别是，，，，连接，，，，，，，如图：，互相垂直，和为直角三角形，且，分别为斜边，，，，当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：，当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长，点，分别为，的中点，为的中位线，，，同理：，，，，，，，，四边形为平行四边形，，，，，四边形为矩形，在中，，，由勾股定理得：，的最小值为，的最小值为．故答案为：．19（1）（2）★★（1）（2）（1）（2）解方程组：①②．计算：．①②，②①得：，把代入①得：，解得：，故原方程组的解是：．．20★★某校开展以“筑梦天宫、探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表．抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差七年级八年级2023年江苏南通中考真题第19题12分2023年江苏南通中考真题第20题10分（1）（2）（1）（2）（1）（2）注：设竞赛成绩为（分），规定：90为优秀；为良好；60为合格；为不合格．若该校八年级共有名学生参赛，估计优秀等次的约有人．你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些？请从两个方面说明理由．八年级成绩较好，理由见解析若该校八年级共有名学生参赛，估计优秀等次的约有（人）．故答案为：．八年级成绩较好，理由如下：因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数，所以八年级得分高的人数较多，即八年级成绩较好（答案不唯一）．21★★★如图，点，分别在，上，，，相交于点，．求证：．2023年江苏南通中考真题第21题10分（1）（2）（1）（2）（1）（2）小虎同学的证明过程如下：证明：，．，．……第一步又，，．……第二步．……第三步小虎同学的证明过程中，第步出现错误．请写出正确的证明过程．二见解析小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二．方法一：，，在和中，，，，在和中，，，．方法二：，，．22（1）（2）★★（1）（2）（1）（2）有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁．从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于．从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．有同型号的，，三把钥匙，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于．故答案为：．画树状图如下：共有种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有种，即、，取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为．23★★★如图，等腰三角形的顶角，⊙和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．2023年江苏南通中考真题第22题10分2023年江苏南通中考真题第23题10分（1）（2）（1）（2）（1）（2）求证：四边形ODCE是菱形．若⊙的半径为，求图中阴影部分的面积．见解析连接，⊙和底边相切于点，，，，，，，和都是等边三角形，，，，四边形是菱形．连接交于点，四边形是菱形，，，，在中，，，，图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，图中阴影部分的面积为．24（1）（2）★★★（1）（2）答案（1）（2）解析为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积（单位：）每天施工费用（单位：元）甲乙信息二甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．求的值．该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？元根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：的值为．设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，2023年江苏南通中考真题第24题12分根据题意得：，解得：，设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，则，即，，随的增大而增大，当时，取得最小值，最小值．答：该段时间内体育中心至少需要支付元施工费用．25（1）（2）（3）★★★（1）（2）（3）（1）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点．如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是．过点作，垂足为，连接，求的度数．在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．或四边形是正方形，2023年江苏南通中考真题第25题13分（2），，，（全等），．故答案为：．当点在边上时，如图，过点作交于，延长交于点，，四边形是矩形，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，为等腰直角三角形，，；当点在边上时，如图，（3）过点作交于，延长交延长线于点，四边形是矩形，同理，，，为等腰直角三角形，，，综上所述：的度数为或．当点在边延长线上时，点在边上，设，则，，，，．26（1）（2）★★★定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．点与其“级变换点”B分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：．2023年江苏南通中考真题第26题13分（3）（1）（2）（3）（1）（2）（3）关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“级变换点”都在直线上，求的取值范围．见解析且存在，理由：由题意得，的“级变换点”为：，将代入反比例函数表达式得：，解得：．由题意得，点的坐标为：，由点的坐标知，点在直线上，同理可得，点在直线，则，，则，，则，即．设在二次函数上的点为点、，设点，则其“级变换点”坐标为：，将代入得：，则，即点在直线上，同理可得，点在直线上，即点、所在的直线为；由抛物线的表达式知，其和轴的交点为：、，其对称轴为，当时，抛物线和直线的大致图象如下：直线和抛物线均过点，则点个点为点，如上图，联立直线和抛物线的表达式得：设点的横坐标为，则，则，解得：，此外，直线和抛物线在故，即且；当时，当时，直线不可能和抛物线在故该情况不存在，综上，且．。

2019年咸宁市中考数学试题、答案(解析版)

2019年咸宁市中考数学试题、答案（解析版）一、精心选一选(本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.) 1.下列关于0的说法正确的是( )A .0是正数B .0是负数C .0是有理数D .0是无理数2.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是 ( )AB CD3.下列计算正确的是( )A B 2- C .523a a a ÷= D .236()ab ab =4.若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为 ( )A .45°B .60°C .72°D .90°5.如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体A 放到小正方体B 的正上方，则它的( )(第5题)A .主视图会发生改变B .俯视图会发生改变C .左视图会发生改变D .三种视图都会发生改变6.若关于x 的一元二次方程220x x m +=-有实数根，则实数m 的取值范围是 ( ) A .1m ＜B .1m ≤C .1m ＞D .1m ≥7.已知点(1,)A m -，(1,)B m ，(2,)(0)C m n n ->在同一个函数的图象上，这个函数可能是( ) A . y x =B .2y x=-C .2y x=D .2y x =-8.在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A ，B 恰好分别落在函数1(0)y x x=-＜，4(0)y x x=＞的图象上，则sin ABO ∠的值为( )(第8题)A .13B .3C .4D .6二、细心填一填(本大题共8小题，每小题3分，共24分)9.计算：01-= .10.一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是 .11.若整式22x my +(m 为常数，且0m ≠)能在有理数范围内分解因式，则m 的值可以是 (写一个即可).12.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，可列方程组为 .13.如图所示，九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB (这段河流的两岸平行)，他们在点C 测得30ACB ∠=︒，点D处测得60ADB ∠=︒，80m CD =，则河宽AB 约为 m ( 1.73≈).(第13题)14.如图，半圆的直径6AB =，点C 在半圆上，30BAC ∠=︒，则阴影部分的面积为 (结果保留π).(第14题)15.有一列数，按一定规律排列成1，2-，4，8-，16，32-，…，其中某三个相邻数的积是124，则这三个数的和是 .16.如图，先有一张矩形纸片ABCD ，4AB =，8BC =，点M ，N 分别在矩形的边AD ，BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM .下列结论： ①CQ CD =；②四边形CMPN 是菱形；③P ，A 重合时，MN =④PQM △的面积S 的取值范围是35S ≤≤. 其中正确的是 (把正确结论的序号都填上).(第16题)三、专心解一解(本大题共8小题，满分72分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本题满分8分，每小题4分)(1)化简：2211m m m ÷--；(2)解不等式组：31,563.x x x +⎧⎨+⎩＞≤18.(本题满分7分)在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，BC 的中点，连接ED ，EF . (1)求证：四边形DEFC 是矩形；(2)请用无刻度的直尺．．．．．．在图中作出ABC ∠的平分线(保留作图痕迹，不写作法).（第18题）19.(本题满分8分)小慧家与文具店相距960m ，小慧从家出发，沿笔直的公路匀速步行12min 来到文具店买笔记本，停留3min ，因家中有事，便沿着原路匀速跑步6min 返回家中. (1)小慧返回家中的速度比去文具店的速度快多少？(2)请你画出这个过程中，小慧离家的距离y 与时间x 的函数图象； (3)根据图象回答，小慧从家出发后多少分钟离家距离为720m ？（第19题）20.(本题满分8分)某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩(一分钟跳绳次数)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：七、八年级学生一分钟跳绳成绩分析表七年级学生一分钟跳绳成绩(200)在100120x ≤＜这一组的是： 100 101 102 103 105 106 108 109 109 110 110 111 112 113 115 115 115 116 117 119 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中a ；(2)在这次测试中，七年级甲同学的成绩122次，八年级乙同学的成绩125次，他们的测试成绩，在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是 (填“甲”或“乙”)，理由是 .(3)该校七年级共有500名学生，估计一分钟跳绳不低于116次的有多少人？21.(本题满分9分)如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，以CD 为直径的O e 分别交AC ，BC 于点E ，F 两点，过点F 作FG AB ⊥于点G .(1)试判断FG 与O e 的位置关系，并说明理由. (2)若3AC =， 2.5CD =，求FG 的长.（第21题）22.(本题满分10分)某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x 天的生产成本y (元/件)与x (天)之间的关系如图所示，第x 天该产品的生产量z (件)与x (天)满足关系式2120z x =-+.(1)第40天，该厂生产该产品的利润是元； (2)设第x 天该厂生产该产品的利润为w 元.①求w 与x 之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？ ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2 400元的共有多少天？（第22题）23.(本题满分10分)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形. 理解：(1)如图1，点A ，B ，C 在O e 上，ABC ∠的平分线交O e 于点D ，连接AD ，CD . 求证：四边形ABCD 是等补四边形；探究：(2)如图2，在等补四边形ABCD 中，AB AD =，连接AC ，AC 是否平分BCD ∠？请说明理由. 运用：(3)如图3，在等补四边形ABCD 中，AB AD =，其外角EAD ∠的平分线交CD 的延长线于点F ，10CD =，5AF =，求DF 的长.图1图2图3（第23题）24.(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C . (1)求该抛物线的解析式；(2)若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当2ABD BAC ∠=∠时，求点D 的坐标；(3)已知E ，F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B ，O ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标.（第24题）2019年咸宁市中考试数学答案解析一、精心选一选 1.【答案】C【解析】直接利用有理数、无理数、正负数的定义分析得出答案. 解：0既不是正数也不是负数，0是有理数. 故选：C . 【考点】实数 2.【答案】B【解析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形. 解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选：B .【考点】勾股定理的证明3.【解析】直接利用合并同类项法则以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案.解：AB 2，故此选项错误；C 、523a a a ÷=，正确；D 、()3236ab a b =，故此选项错误.故选：C .【考点】合并同类项，二次根式的加减运算，积的乘方运算，同底数幂的乘除运算 4.【答案】C【解析】根据多边形的内角和公式2180n ⋅︒(-)求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角.解：∵正多边形的内角和是540︒， ∴多边形的边数为54018025︒÷︒+=， ∵多边形的外角和都是360︒， ∴多边形的每个外角360572=÷=︒. 故选：C .【考点】多边形的内角和与外角和之间的关系 5.【答案】A【解析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案. 解：如果将小正方体A 放到小正方体B 的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变. 故选：A .【考点】简单组合体的三视图 6.【答案】B【解析】根据方程的系数结合根的判别式0V ≥，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围. 解：∵关于x 的一元二次方程220x x m +=-有实数根，∴2(2)40m =V --≥，解得：1m ≤. 故选：B .【考点】根的判别式 7.【答案】D【解析】由点(1,)A m -，(1,)B m 的坐标特点，可知函数图象关于y 轴对称，于是排除选项A 、B ；再根据(1,)B m ，(2,)C m n -的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即0a ＜，故D 选项正确. 解：∵(1,)A m -，(1,)B m ， ∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于y x =，2y x=-的图象关于原点对称，因此选项A 、B 错误； ∵n ＞0， ∴m n m -＜；由(1,)B m ，(2,)C m n -可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，对于二次函数只有0a ＜时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∴D 选项正确故选：D .【考点】正比例函数，反比例函数，二次函数的图象和性质 8.【答案】D【解析】点A ，B 落在函数1(0)y x x =-＜，4(0)y x x=＞的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形A O B 的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案.解：过点A 、B 分别作AD x ⊥轴，BE x ⊥轴，垂足为D 、E ， ∵点A 在反比例函数1(0)y x x =-＜上，点B 在4(0)y x x=＞上， ∴1AOD S =V ，4BOE S =V ，又∵90AOB ︒∠= ∴AOD OBE ∠=∠， ∴AOD OBE △∽△，∴214AOD OBES AO OB S ⎛⎫== ⎪⎝⎭V V ， ∴12AO OB = 设OA m =，则2OB m =，AB =，在Rt AOB △中，sin 5OA ABO AB ∠===，故选：D .【考点】反比例函数的几何意义，相似三角形的性质二、细心填一填 9.【答案】0【解析】直接利用零指数幂的性质化简得出答案. 解：原式110==-. 故答案为：0.【考点】此题主要考查了实数运算，正确掌握运算法则是解题关键. 10.【答案】23【解析】直接利用概率求法进而得出答案.解：∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”， ∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：4263=. 故答案为：23. 【考点】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率公式是解题关键. 11.【答案】1-【解析】令1m =-，使其能利用平方差公式分解即可.解：令1m =-，整式为22()()x y x y x y -=+-.故答案为：1-（答案不唯一）.【考点】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.12.【答案】 4.5112x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩【解析】设木条长x 尺，绳子长y 尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解. 解：设木条长x 尺，绳子长y 尺，依题意，得： 4.5112x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩.故答案为： 4.5112x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩.【考点】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键. 13.【答案】69【解析】在Rt ABC △中，30ACB ∠=︒，60ADB ∠=︒，则30DAC ∠=︒，所以80DA DC ==，在Rt ABD △中，通过三角函数关系求得AB 的长.解：在Rt ABC V 中，30ACB ∠=︒，60ADB ∠=︒， ∴30DAC ∠=︒， ∴80DA DC ==，在Rt ABD △中，sin sin 60AB ADB AD ︒=∠==，∴8069AB AD ==（米），故答案为69.【考点】解直角三角形 14.【答案】3π 【解析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD 和COB ∠的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去AOC△和扇形BOC 的面积.解：连接O C 、BC ，作CD AB ⊥于点D ， ∵直径6AB =，点C 在半圆上，30BAC ∠=︒， ∴90ACB ∠=︒，60COB ∠=︒，∴AC = ∵90CDA ∠=︒，∴CD =，∴阴影部分的面积是：22336032322360πππ⋅⨯⨯-=，故答案为：3π.【考点】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 15.【答案】348-【解析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是124，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和.解：∵一列数为1，2-，4，8-，16，32-，…， ∴这列数的第n 个数可以表示为1(2)n --， ∵其中某三个相邻数的积是124， ∴设这三个相邻的数为1(2)n --、(2)n -、1(2)n +-，则1112(2)(2)(2)4n n n -+-⋅-⋅-=，即()1232(2)2n =-，∴32422()n=-，∴324n =，解得，8n =，∴这三个数的和是：7897(2)(2)(2)(2)(124)(128)3384-+-+-=-⨯-+=-⨯=-，故答案为：384-.【考点】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律. 16.【答案】②③【解析】先判断出四边形C FHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN NP =，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ CD =，得Rt Rt CMQ CMD △≌△，进而得30DCM QCM BCP ∠=∠=∠=︒，这个不一定成立，判断①错误；点P 与点A 重合时，设BN x =，表示出8AN NC x ==-，利用勾股定理列出方程求解得x 的值，进而用勾股定理求得MN ，判断出③正确；当MN 过D 点时，求得四边形C MPN 的最小面积，进而得S 的最小值，当P 与A 重合时，S 的值最大，求得最大值便可. 解：如图1，图1∴PMN MNC ∠=∠， ∵MNC PNM ∠=∠， ∴PMN PNM ∠=∠， ∴PM PN =， ∵NC NP =， ∴PM CN =， ∵MP CN ∥，∴四边形C NPM 是平行四边形， ∵CN NP =，∴四边形C NPM 是菱形，故②正确； ∴CP MN ⊥，BCP MCP ∠=∠， ∴90MQC D ∠=∠=︒， ∵CP CP =，若CQ CD =，则Rt Rt CMQ CMD △≌△，∴30DCM QCM BCP ∠=∠=∠=︒，这个不一定成立，故①错误；点P 与点A 重合时，如图2，图2在Rt ABN △中，222AB BN AN +=，即22248x x +=-()，解得3x =，∴835CN ==-，AC =∴12CQ AC ==∴QN ==∴2MN QN == 故③正确；当MN 过点D 时，如图3，图3此时，C N 最短，四边形C MPN 的面积最小，则S 最小为1144444CMPN S S ==⨯⨯=菱形，当P 点与A 点重合时，C N 最长，四边形C MPN 的面积最大，则S 最大为15454S =⨯⨯=， ∴45S ≤≤，故④错误.故答案为：②③.【考点】折叠问题，菱形的判定与性质，勾股定理的综合应用三、专心解一解17.【答案】（1）化简：2211m m m ÷--；（2）解不等式组：31563x x x +>⎧⎨+⎩… 【解析】（1）直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案；（2）分别解不等式进而得出不等式组的解.解：（1）原式2(1)(1)m m m =⨯-- 2m=；（2）31563x x x +⎧⎨+⎩＞①≤②，解①得：2x ＞-，解②得：3x ≤，所以这个不等式组的解集为：23x -＜≤.【考点】分式的乘除运算，不等式组的解18.（1）证明：∵D ，E ，F 分别是AC ，AB ，BC 的中点，∴DE FC ∥，EF CD ∥，∴四边形DEFC 是平行四边形，∵90DCF ∠=︒，∴四边形DEFC 是矩形.（2）连接E C ，DF 交于点O ，作射线BO ，射线BO 即为所求.【解析】（1）首先证明四边形DEFC 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断.（2）连接E C ，DF 交于点O ，作射线BO 即可.【考点】三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识19.【答案】解：（1）由题意可得，96096080(m /min)612-= 答：小慧返回家中的速度比去文具店的速度快80m/min ；（2）如图所示：（3）根据图象可得，小慧从家出发后9分钟或16.5分钟分钟离家距离为720m ；【解析】（1）根据速度=路程/时间的关系，列出等式96096080612-=即可求解；（2）根据题中已知，描点画出函数图象；（3）根据图象可得小慧从家出发后9分钟或16.5分钟分钟离家距离为720m ；【考点】一次函数的应用20.【答案】（1）118（2）甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126.（3）估计一分钟跳绳不低于116次的有31174250027050++++⨯=（人）. 【解析】（1）根据中位数，结合条形统计图及所给数据求解可得；∵七年级50名学生成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别是117、119， ∴中位数1171191182a +==，故答案为：118；（2）∴在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是甲，理由是甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126，故答案为：甲，甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126.（3）利用样本估计总体思想求解可得.估计一分钟跳绳不低于116次的有31174250027050++++⨯=（人）. 【考点】频数分布直方图，中位数及样本估计总体21.【答案】（1）FG 与O e 相切，理由：如图，连接OF ，∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，∴CD BD =，∴DBC DCB ∠=∠，∵OF OC =，∴OFC OCF ∠=∠，∴OFC DBC ∠=∠，∴OF DB ∥，∴180OFG DGF ∠+∠=︒，∵FG AB ⊥，∴90DGF ︒∠=，∴90OFG ∠=︒，∴FG 与O e 相切；（2）连接D F ，∵ 2.5CD =，∴25AB CD ==，∴4BC =，∵CD 为O e 的直径，∴90DFC ∠=︒，∴FD BC ⊥，∵DB DC =， ∴122BF BC ==， ∵sin AC FG ABC AB FB ∠==，即352FG =， ∴65FG =.【解析】（1）如图，连接OF ，根据直角三角形的性质得到CD BD =，得到DBC DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到OFC OCF ∠=∠，得到OFC DBC ∠=∠，推出90OFG ∠=︒，于是得到结论；（2）连接D F，根据勾股定理得到4BC ==，根据圆周角定理得到90DFC ∠=︒，根据三角函数的定义即可得到结论.【考点】直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形22.【答案】（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z =﹣2×40+120=40则第40天的利润为：()8040401600-⨯=元故答案为1600（2）① 设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠，把(0,70)(30,40)代入得703040b k b =⎧⎨+=⎩，解得701b k =⎧⎨=-⎩.∴直线AB 的解析式为70y x =-+（Ⅰ）当030x ＜≤时[80(70)](2120)w x x =--+-+221001200x x =-++22(25)2450x =--+∴当25x =时，2450w =最大值（Ⅱ）当3050x ＜≤时，(8040)(2120)804800w x x =-⨯-+=-+∵w 随x 的增大而减小∴当31x =时，2320w =最大值∴221001200,(030)804800,(3050)x x x w x x ⎧-++<⎪=⎨-+<⎪⎩≤≤ 第25天的利润最大，最大利润为2 450元②（Ⅰ）当030x ＜≤时，令22(25)24502400x --+=元解得120x =，230x =∵抛物线22(25)2450w x =--+开口向下由其图象可知，当2030x ≤≤时，2400w ≥此时，当天利润不低于2 400元的天数为：3020111+=﹣天.（Ⅱ）当3050x ＜≤时，由①可知当天利润均低于2 400元综上所述，当天利润不低于2 400元的共有11天.【解析】（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为24012040z =-⨯+=，则可求得第40天的利润.（2）利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可.【考点】二次函数的性质在实际生活中的应用23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 为圆内接四边形，∴180A C ∠+∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴»»AD CD =， ∴AD CD =，∴四边形ABCD 是等补四边形；（2）AD 平分BCD ∠，理由如下：如图2，过点A 分别作AE BC ⊥于点E ，A F 垂直CD 的延长线于点F ，则90AEB AFD ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是等补四边形，∴180B ADC ∠+∠=︒，又ADC ADF 180︒∠+∠=，∴B ADF ∠=∠，∵AB AD =，∴ABE ADF(AAS)△≌△，∴A A E F =，∴AC 是BCF ∠的平分线，即AC 平分BCD ∠；（3）如图3，连接AC ，∵四边形ABCD 是等补四边形，∴BAD BCD 180∠+∠=︒，又BAD AD 180E ︒∠+∠=，∴AD BCD E ∠=∠，∵A F 平分EAD ∠， ∴12FAD EAD ∠=∠，由（2）知，AC 平分BCD ∠， ∴12FCA BCD ∠=∠， ∴FCA FAD ∠=∠，又AFC DFA ∠=∠，∴ACF DAF △∽△，∴AF CF DF AF =，即5105DF DF +=，∴5DF =.【解析】（1）由圆内接四边形互补可知∠A+∠C =180°，∠ABC+∠ADC =180°，再证AD =CD ，即可根据等补四边形的定义得出结论；（2）过点A 分别作A E ⊥BC 于点E ，A F 垂直CD 的延长线于点F ，证△AB E ≌△AD F ，得到A E =A F ，根据角平分线的判定可得出结论；（3）连接AC ，先证∠E AD =∠BCD ，推出∠F CA =∠F AD ，再证△AC F ∽△DA F ，利用相似三角形对应边的比相等可求出D F 的长.【考点】新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质24.【答案】（1）在122y x =-+中，令y =0，得x =4，令x =0，得y =2∴A （4，0），B （0，2）把A （4，0），B （0，2），代入212y x bx c =-++，得2116402c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线得解析式为213=222y x x -++ （2）如图，过点B 作x 轴得平行线交抛物线于点E ，过点D 作B E 得垂线，垂足为F∵B E ∥x 轴，∴∠BAC =∠AB E∵∠ABD =2∠BAC ，∴∠ABD =2∠AB E即∠DB E +∠AB E =2∠AB E∴∠DB E =∠AB E∴∠DB E =∠BAC设D 点的坐标为（x ，213222x x -++），则B F =x ，D F =21322x x -+ ∵tan ∠DB E =DF BF ，tan ∠BAC =BO AO∴DF BF =BO AO ，即2132224x x x -+= 解得x 1=0（舍去），x 2=2当x =2时，213222x x -++=3 ∴点D 的坐标为（2，3）（3）当B O 为边时，O B ∥EF ，O B =EF设E （m ，122m -+），F （m ，211222m m -++） EF =|（122m -+）﹣（211222m m -++）|=2 解得1m =2，22m =-32m =+当B O 为对角线时，O B 与EF 互相平分过点O 作OF ∥AB ，直线OF 12y x =-交抛物线于点F（21+-21--求得直线EF解析式为12y x =-+或12y x =+ 直线EF 与AB 的交点为E ，点E的横坐标为2-或2-∴E 点的坐标为（2，1）或（2-，12+2--）或（2-+【解析】（1）求得A 、B 两点坐标，代入抛物线解析式，获得b 、c 的值，获得抛物线的解析式.（2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标.（3）B 、O 、E 、F 四点作平行四边形，以已知线段O B 为边和对角线分类讨论，当O B 为边时，以EF =O B 的关系建立方程求解，当O B 为对角线时，O B 与EF 互相平分，利用直线相交获得点E 坐标.【考点】本题考查了待定系数法，2倍角关系和平行四边形点存在类问题，将2倍角关系转化为等角关系是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，以O B 为边和对角线是（3）问题的解题关键，本题综合难度不大，是一道很好的压轴问题.。

山西中考数学23题题型总结

山西中考数学23题题型总结
山西中考数学23题题型主要涵盖了数与代数、几何、统计与概率三个方面。

下面我将从这三个方面对题型进行总结。

1. 数与代数题型：
a. 运算题，涉及四则运算、分数、百分数、比例等运算，要求学生熟练掌握运算规则和计算技巧。

b. 方程与不等式，包括一元一次方程、一元一次不等式、简单的二次方程等，考察学生解方程和不等式的能力。

c. 函数与图像，涉及函数的概念、函数图像的性质、函数关系的分析等，要求学生理解函数的基本概念和性质。

d. 应用题，结合实际问题，要求学生运用数学知识解决实际问题，如速度、利润、利率等应用题。

2. 几何题型：
a. 图形的性质与计算，涉及直线、角、三角形、四边形等图形的性质与计算，要求学生熟悉图形的基本性质和计算方法。

b. 相似与全等，考察学生对相似和全等概念的理解，以及相似三角形和全等三角形的性质和判定方法。

c. 平面几何的应用，结合实际问题，要求学生应用平面几何的知识解决实际问题，如面积、体积、角度等应用题。

3. 统计与概率题型：
a. 统计与数据分析，包括频数表、频率分布表、柱状图、折线图等统计图表的表示和分析，要求学生能够正确读取和分析统计数据。

b. 概率与统计应用，涉及概率的计算、事件的独立性、条件概率等概率概念和计算方法，以及统计应用问题的解决方法。

总体而言，山西中考数学23题题型涵盖了数与代数、几何、统计与概率三个方面的知识点，旨在考察学生对数学基本概念和解题方法的理解与应用能力。

学生在备考过程中应注重对基础知识的掌握，同时注重培养解决实际问题的能力。

2024年北京中考试卷数学

2024年北京中考试卷数学一、选择题（每题4分）2的相反数是（）A. 2B. -2C. -D. 2（答案：B）据报道，某小区居民李先生改良用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300000吨。

将300000用科学记数法表示应为（）A. 0.3×105 C. 3×104（答案：B）有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（）（具体选项未给出，但可以通过计算得出概率为1/3或类似值，需根据原试卷确定选项）如图是几何体的三视图，该几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 正三棱柱D. 正三棱锥（答案需根据具体图形确定）某篮球队12名队员的年龄分布如下：年龄（岁）18 19 20 21人数 5 4 1 2那么这12名队员年龄的众数和平均数分别是（）A. 18,19B. 19,19C. 18,19.5D. 19,19.5（答案：D）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间。

绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象……那么休息后园林队每小时绿化面积为（）A. 40平方米B. 50平方米C. 80平方米D. 100平方米（答案需根据具体函数图象确定）圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A. 2B. 4√2-4C. 4D. 8（答案需通过几何计算得出）点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周。

设点P运动的时间为x，线段AP的长为y。

表示y 与x的函数关系的图象大致为……，则该封闭图形可能是（）（答案需根据具体函数图象确定）二、填空题（每题4分）分解因式：ax2=_________（答案：a(x2-3y)）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为_________m（答案：15）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2。

中考数学真题试题 23

2021年中考数学试题〔卷〕〔本套试卷满分是150分，考试时间是是120分钟〕A卷(满分是100分)一、选择题(本大题一一共10小题，每一小题4分，每一小题给出的四个选项里面，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来)1．(20214分)假如＋3吨表示运入仓库的大樱桃吨数，那么运出5吨大樱桃表示为【】A．－5吨 B．＋5吨 C．－3吨 D．＋3吨【答案】A。

2．(20214分)点M到x轴的间隔为1，到y轴的间隔为2，那么M点的坐标为【】A．(1，2) B．(－1，－2)C．(1，－2) D．(2，1)，(2，－1)，(－2，1)，(－2－1)【答案】D。

3．(20214分)在以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】【答案】D。

4．(20214分)如图，直线AB、CD相交于点O，∠1＝80°，假如DE∥AB，那么∠D的度数是【】A．80° B．90° C．100° D．110°【答案】C。

5．(20214分)从一只装有5个红球的袋中随机摸出一球，假设摸到白球的概率是P1，摸到红球的概率是P2，那么【】A．P1＝1，P2＝1 B．P1＝0，P2＝1 C．P1＝0，P2＝15D．P1＝0，P2＝0【答案】B。

6．(20214分)以下图是小明用八块小正方体搭的积木，该几何体的俯视图是【】【答案】D。

7．(20214分)有理数a、b在数轴上对应点的位置如下图，那么【】A．a＋b＜0 B．a＋b＞0 C．a－b＝0 D．a－b＜0【答案】B。

8．(20214分)甲瓶盐水含盐量为1a，乙瓶盐水含盐量为1b，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为【】A．a b2ab+ B．a bab+ C．1abD．随所取盐水重量而变化【答案】A。

9．(20214分)如下图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，那么sin∠EAB的值是【】A．43B．34C．45D．35【答案】D。

2022年必考点解析沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十三章概率初步月考试卷(精选含答案)

八年级数学第二学期第二十三章概率初步月考考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在进行一个游戏时，游戏的次数和某种结果出现的频率如表所示，则该游戏是什么，其结果可能是什么？下面分别是甲、乙两名同学的答案：甲：掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数与4相差1；乙：在“石头、剪刀、布”的游戏中，琪琪随机出的是“剪刀”（）A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误2、不透明的布袋内装有形状、大小、质地完全相同的1个白球，2个红球，3个黑球，若随机摸出一个球恰是黑球的概率为（）A．13B．12C．23D．343、下列事件为必然事件的是（）A．打开电视，正在播放广告B．抛掷一枚硬币，正面向上C．挪一枚质地均匀的般子，向上一面的点数为7D．实心铁块放入水中会下沉4、下列事件中，属于不可能事件的是（）A．射击运动员射击一次，命中靶心B．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球C．班里的两名同学，他们的生日是同一天D．经过红绿灯路口，遇到绿灯5、下列事件中，是必然事件的是（）A．如果a2＝b2，那么a＝bB．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．2021年有366天D．13个人中至少有两个人生肖相同6、某十字路口的交通信号灯，每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的可能性大小为（）A．112B．13C．512D．127、下列说法正确的是（）A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为12”表示每抛两次就有一次正面朝上C．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票肯定会中奖D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“拋出朝上的点数是2”这一事件发生的概率稳定在16附近8、从分别标有号数1到10的10张除标号外完全一样的卡片中，随意抽取一张，其号数为3的倍数的概率是（）A．710B．12C．310D．1109、下列事件是必然事件的是（）A．抛一枚硬币正面朝上B．若a为实数，则a2≥0C．某运动员射击一次击中靶心D．明天一定是晴天10、下列事件中，是必然事件的是（）A．同位角相等B．打开电视，正在播出特别节目《战疫情》C．经过红绿灯路口，遇到绿灯D．长度为4，6，9的三条线段可以围成一个三角形．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在0，1，2，3，4，5这六个数中，随机取出一个数记为a，使得关于x的一元二次方程2310ax x++=有实数解的概率是______．2、四张背面相同的扑克牌，分别为红桃1，2，3，4，背面朝上，先从中抽取一张把抽到的点数记为a，再在剩余的扑克中抽取一张点数记为b，则以(),a b为坐标的点在直线1y x=-上的概率为______．3、在一个不透明的布袋中，黄色、红色的乒乓球共10个，这些球除颜色外其他都相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到黄球的频率稳定在60%，则布袋中红色球的个数很可能是___个．4、粉笔盒中有10支白色粉笔盒若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为25，则其中彩色粉笔的数量为________支．5、在不透明的袋中装有仅颜色不同的一个红球和一个蓝球，从此袋中随机摸出一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的球颜色不同的概率是______三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、一个不透明的口袋中有四个分别标号为1，2，3，4的完全相同的小球，从中随机摸取两个小球．（1）请列举出所有可能结果；（2）求取出的两个小球标号和等于5的概率．2、如图，3×3的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格A、B、C中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．（1）若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是．（2）若甲、乙均可在本层移动．①黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是．②用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率．3、一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“华”、“一”的四个小球，除字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为；（2）从中随机取出两球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“华一”的概率．4、某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A、B、C依次表示这三个诵读材料），将A、B、C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小华和小敏参加诵读比赛，比赛时小华先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小敏从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．（1）小华诵读《弟子规》的概率是．（2）请用列表法或画树状图法求小华和小敏诵读两个不同材料的概率．5、有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，放在一个口袋中，随机的摸出一个小球然后放回，再随机的摸出一个小球．（1）求两次摸出的球的标号相同的概率；（2）求两次摸出的球的标号的和等于4的概率．-参考答案-一、单选题1、C【分析】由表可知该种结果出现的概率约为13，对甲乙两人所描述的游戏进行判断即可．【详解】由表可知该种结果出现的概率约为1 3∵掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数有1、2、3、4、5、6 ∴向上的点数与4相差1有3、5∴掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数与4相差1的概率为21 63 =∴甲的答案正确又∵“石头、剪刀、布”的游戏中，琪琪随机出的是“剪刀”概率为1 3∴乙的答案正确综上所述甲、乙答案均正确．故选C．【点睛】本题考查了用频率估计概率，其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率．2、B【分析】由在不透明的布袋中装有1个白球，2个红球，3个黑球，利用概率公式直接求解即可求得答案．【详解】解：∵在不透明的布袋中装有1个白球，2个红球，3个黑球，∴从袋中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率是：31 1232=++．故选：B．【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．3、D【分析】根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件，进行逐一判断即可．【详解】解：A、打开电视，可以正在播放广告，也可以不在播放广告，不是必然事件，不符合题意；B、抛掷一枚硬币，正面可以向上，反面也可以向上，不是必然事件，不符合题意；C、挪一枚质地均匀的般子，向上一面的点数为7，这是不可能发生的，不是必然事件，不符合题意；D、实心铁块放入水中会下沉，这是一定会发生的，是必然事件，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查必然事件，熟知必然事件的定义是解题的关键．4、B【分析】根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；故A不符合题意；B、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件，故B符合题意；C、班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件；故C不符合题意；D、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查随机事件，不可能事件，必然事件，理解随机事件，不可能事件，必然事件的意义是正确判断的前提．5、D【分析】在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件；利用概念逐一分析即可得到答案.【详解】解：如果a2＝b2，那么a b=±，原说法是随机事件，故A不符合题意；车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，故B不符合题意；2021年是平年，有365天，原说法是不可能事件，故C不符合题意；13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查的是必然事件的概念，不可能事件，随机事件的含义，掌握“必然事件的概念”是解本题的关键.6、C【分析】用绿灯亮的时间除以三种灯亮总时间即可解答．【详解】解：除以三种灯亮总时间是30+25+5=60秒，绿灯亮25秒，所以绿灯的概率是：255= 6012．故选C．【点睛】本题主要考查了概率的基本计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键.7、D【分析】根据概率的意义去判断即可．【详解】∵“明天降雨的概率是80%”表示明天有降雨的可能性是80%，∴A说法错误；∵抛一枚硬币正面朝上的概率为12”表示正面向上的可能性是12，∴B说法错误；∵“彩票中奖的概率是1%”表示中奖的可能性是1%，∴C说法错误；∵“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“拋出朝上的点数是2”这一事件发生的概率稳定在16附近，∴D说法正确；故选D．【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．8、C【分析】用3的倍数的个数除以数的总数即为所求的概率．【详解】解：∵1到10的数字中是3的倍数的有3，6，9共3个，∴卡片上的数字是3的倍数的概率是3 10．故选：C．【点睛】本题考查概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．9、B【分析】根据必然事件的定义对选项逐个判断即可．【详解】解：A、抛一枚硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意；B、若a为实数，则a2≥0，是必然事件，符合题意；C、某运动员射击一次击中靶心，是随机事件，不符合题意；D、明天一定是晴天，是随机事件，不符合题意，故选：B【点睛】本题主要考查了必然事件的定义，熟练掌握必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件是解题的关键．10、D【分析】根据必然事件的概念即可得出答案．【详解】解：∵同位角不一定相等，为随机事件，∴A选项不合题意，∵打开电视，不一定正在播出特别节目《战疫情》，为随机事件，∴B选项不合题意，∵车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，为随机事件，∴C选项不合题意，∵4+6＞9，∴长度为4，6，9的三条线段可以围成一个三角形为必然事件，．∴D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查必然事件的概念，必然事件是指一定会发生的事件，关键是要牢记必然事件的概念．二、填空题1、13【分析】根据题意，分0a =，0a ≠时，进而求得一元二次方程根的判别式不小于0的情形数量，即可求得概率．【详解】解：当0a =时，该方程不是一元二次方程，当0a ≠时，2494b ac a ∆=-=-0≥ 解得94a ≤ 1,2a ∴=时，关于x 的一元二次方程2310ax x ++=有实数解∴随机取出一个数记为a ，使得关于x 的一元二次方程2310ax x ++=有实数解的概率是21=63故答案为：13【点睛】本题考查了利用概率公式计算概率，一元二次方程根的判别式判断根的情况，一元二次方程的定义，掌握以上知识是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．2、14【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与点（a ，b ）在直线1y x =-上的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中点（a ，b ）在直线1y x =-上的有3种结果，所以点（a ，b ）在直线1y x =-上的概率为31124=，故答案为：14．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3、4【分析】设出黄球的个数，根据黄球的频率求出黄球的个数即可解答．【详解】设黄球的个数为x ，∵共有黄色、红色的乒乓球10个，黄球的频率稳定在60%，∴60%10x =，解得：6x =，∴布袋中红色球的个数很可能是1064-=（个）．故答案为：4．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系，列出方程．4、15【分析】设彩色笔的数量为x 支，然后根据概率公式列出方程求解即可．【详解】解：设彩色笔的数量为x 支，由题意得：102105x =+，解得15x =，经检验15x =是原方程的解，∴彩色笔为15支，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了概率公式和分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握概率公式列出方程进行求解． 5、12【分析】根据题意，列表分析所有可能，然后运用概率公式求解即可．【详解】解：列表如下，R表示红球，B表示蓝球总共4种情况，两次摸出的球颜色不同的2种．所以两次摸出的球颜色不同的概率是21 42故答案是：12．【点睛】本题考查了列表法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题1、（1）见详解；（2）13.【分析】（1）根据题意通过列出相应的表格，即可得出所有可能结果；（2）由题意利用取出的两个小球标号和等于5的结果数除以所有可能结果数即可得出答案. 【详解】解：（1）由题意列表得：所有可能的结果有12种；（2）由（1）表格可知取出的两个小球标号和等于5的结果有（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1）共4种，而所有可能的结果有12种，所以取出的两个小球标号和等于5的概率41 123 ==.【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2、（1）23；（2）①29；②59．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）①黑色方块所构拼图中是中心对称图形有两种情形，由概率公式求解即可；②画树状图，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）若乙固定在E处，黑色方块甲，可在方格A、B、C中移动，且当在A、B处时，黑色方块构成的拼图是轴对称图形所以移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是23；（2）①甲、乙在本层移动，一共有339⨯=种情况，其中黑色方块所构拼图中是中心对称图形有两种情形：a、甲在B处，乙在F处；b、甲在C处，乙在E处，所以黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是29；②画树状图如图：由树状图可知，共有9个等可能的结果，黑色方块所构拼图是轴对称图形的结果有5个，∴黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率＝59．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、轴对称图形、中心对称图形等知识；熟练掌握轴对称图形、中心对称图形，正确画出树状图是解题的关键．3、（1）14；（2）16【分析】（1）根据概率公式计算即可；（2）画出树状图计算即可；【详解】（1）由题可得，球上的汉字刚好是“书”的概率为14；故答案是：14；（2）根据题意画出树状图如下：则取出的两个球上的汉字能组成“华一”的概率为21 126．【点睛】本题主要考查了概率公式和树状图法求概率，准确画图计算是解题的关键．4、（1）13；（2）23【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）利用列表法展示所有9种等可能性结果，再找出小华和小敏诵读两个不同材料的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）小华诵读《弟子规》的概率=13；故答案为：13；（2）列表得：由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小华和小敏诵读两个不同材料的结果有6种，∴P（小华和小敏诵读两个不同材料）=62 93 =【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．5、（1）14；（2）316【分析】（1）先列出树状图，找到所有的等可能性的结果数，然后找到两次摸出的球的标号相同的结果数，最后利用概率公式求解即可；（2）根据（1）所列树状图，找到两次摸出的球的标号和为4的结果数，利用概率公式求解即可．【详解】解：（1）列树状图如下所示：由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中两次摸出的球的标号相同的结果数有4种，∴P（两次摸出的球的标号相同）41 164==；（2）由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中两次摸出的球的标号的和为4的结果数有（1，3），（2，2），（3，1）3种，∴P（两次摸出的球的标号的和等于4）316 ．【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握树状图法或列表法求解概率．。

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重庆市中考数学专项训练概率与统计专练（第23小题）
■经典例题■
例1（2011•江津区）在“传箴言”活动中，某党支部对全体党员在一个月内所发箴言条数情况进行了统计，并制成了如下两幅不完整的统计图．
（1）求该支部党员一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；
（2）如果发了三条箴言的党员中有两位男党员，发了四条箴言的党员有两位女党员，在发了三条箴言和四条箴言的党员中分别选出一位参加区委组织的“传箴言”活动总结会，请你用列表或树状图的方法，求出所选两位党员恰好是一男一女的概率．
例2（2011•綦江县）我县实施新课程改革后，学习的自主字习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调査了20 名同学，其中C类女生有 2 名，D类男生有 1 名；（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学迸行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
例3（2011•重庆）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：
（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；
（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．
◆☆→精先练习←☆
1. 某班有50名同学，男、女生人数各占一半，在本周操行评定中操行得分情况如图（1）统计表
中所示，图（2）是该班本周男生操行得分的条形统计图：
图（1）（1）补全统计表和条形统形图；（2）计算全班同学的操行平均得分；
（3）若要在操行得分为5分的4名同学中选出两名同学作“本周明星”，用画树状图或列表的方法求出选为“本周明星”的正好是一名男同学和一名女同学的概率。

2. 我校初三年级共1000人，初三上期为了进一步了解学生的身体素质情况，体育老师从全年级抽取了50名学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，如下图所示：
请结合图表完成下列问题： (1)表中的a =_________；
(2)请把频数分布直方图补充完整；
(3)这个样本数据的中位数落在第_____组；
(4)若初三年级学生一分钟跳绳次数(x )达标要求是：120
<x 不合格；140
120<≤x 为合格； 160140<≤x 为良；160≥x 为优．根据以上信息，请你估算全年级学生一分钟跳绳次数为优的人数(要求写出计算过程)．
1分 2分 3分 4分 5分
操行分
图（2）
3. 小西和小恺做转盘游戏，现有甲、乙两个转盘，甲转盘被等分成4个扇形，分别标有数字3、4、7、8；乙转盘被等分成3个扇形，分别标有数字3、4、7．小西转动甲转盘，转盘停止转动时，指针所指的数字记为a，小恺转动乙转盘，转盘停止转动时，指针所指的数字记为b，(当指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘)．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求(,a b)共有几种结果；
(2)若a、b、5、6四个数字可以排成四个连续的整数(与顺序无关)，则小西胜；否则小恺胜．判断上述游戏是否公平，若公平，请说明理由：若不公平，请说明理由并修改游戏规则，使游戏公平．
A B转盘A被平均分成4等份，分别标上-2，2，6，8四个数
4. 有两个可以自由转动的均匀转盘,.
字；转盘B被平均分成3等份，分别标上-1，-2，3三个数字．自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，把A转盘指针指向的数字作为被除数，B转盘指针指向的数字作为除数，计算这两个数的商．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求这两数的商为分数的概率；
(2)小贝和小晶想用以上两个转盘做游戏，规则是：若这两数的商为负整数，则小贝赢；若这两个数的商为正数，划小晶赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平.
5. 如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数字之和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．
（1）请你通过画树状图的方法求小颖获胜的概率．
（2）你认为该游戏规则是否公平？若游戏规则公平，请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．
6. 如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字. 小亮和小华利用它们做游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数字之和小于10，小华获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜. 如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止.
(1)请你通过画树状图或者列表的方法分别求出小华和小亮获胜的概率.
(2)小华和小亮想用这两个转盘做游戏，他们规定：小华获胜时，小华得2分；小亮获胜时，小亮得3分. 这个游戏对双方公平吗？请说明理由；如果不公平，试修改得分规定，使游戏双方公平.
甲乙 (12题图
)
甲乙 14题图
7. 某校一课外活动小组为了解学生最喜欢的球类运动情况；随机抽查本校九年级的200名学生，调查的结果如图所示. 请根据该扇形统计图解答以下问题： (1)求图中的x 的值；
(2)求最喜欢足球运动的学生人数；
(3)若由2名最喜欢篮球运动的学生(用12,A A 表示)，1名最喜欢乒乓球运动的学生(用B 表示)，1名最喜欢足球运动的学生(用C 表示)组队外出参加一次联谊活动. 欲从中选出2人担任组长(不分正副)，请用树状图或列表法列出所有可能情况，并求2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率.
8. 在2010年5月1日世博会开幕的当天，某特许商品零售商张先生售出以下四种世博徽章，其价格如下：
张先生对当天售出这四种徽章的个数进行统计，绘制成如下所示的统计图：
缤纷世博徽章美好上海徽章 16%
吉祥物金边
徽章 12% 国徽世博徽章当天各徽章售出个数占总数的百分比
(1)请求出当天张老板共售出这四种徽章多少个，并求出这些徽章的平均价格； (2)补全扇形和条形统计图；
(3)取缤纷世博徽章、吉祥物金边徽章、美好上海徽章、国旗世博徽章各一枚，分别记为,A B C D 、、、在张先生店中的小明想从这4枚徽章中选出两枚购买，
以留作纪念，求他刚好选中A 和C 的概率是多少？请用树状图或列表法求出.
9. 在我校举办的课外活动中，有一项是小制作评比.作品上交时限为3月1日至30日，组委会把同学们交来的作品按时间顺序每5天组成一组，对每一组的件数进行统计，绘制成如图所示的统计图.已知从左到右各矩形的高度比为2:3:4:6:4:1. 第三组的件数是12. 请你回答： (1)本次活动共有__________件作品参赛；各组作品件数的中位数是_________件. (2)经评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，
那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？
(3)小制作评比结束后，组委会决定从4件最优秀的作品 A 、B 、C 、D 中选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示B 、D 的概率.
10.（2011 合川诊断）桌面上放有质地均匀、反面相同的3张卡片，下面分别标有
数字1、2、3，这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍反面朝上放回洗匀，乙在从中任意抽出1张，记下卡片上的数字，然后将这两个数相加。

（1）请列表或画出树形图。

并求出两数和为3 的概率；
（2）若甲与乙按上述方式做游戏，规定当两数之和为4时甲胜，而当两数之和为5时则乙胜；若甲胜一次得6分，那么乙胜一次得多少分，游戏才公平？
日期。