相似三角形定理
三角形的相似性质与判定定理
三角形的相似性质与判定定理
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似)。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角成正比,那么这两个三角形相近(简叙为:两边对应成比例且夹角成正比,两个三角形相近。
)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的`三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。
)
1、相近三角形对应角成正比，对应边变成比例。
2、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3、相近三角形周长的比等同于相近比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相近三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相近比相同，内切圆、外接圆面积比是相近比的平方。
相似三角形的判定定理
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 强调：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.ABCDEF判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．强调：①有平行线时，用预备定理；②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例2、如图,AB ⊥BD,CD ⊥BD,P 为BD 上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P 点在BD 上由B 点向D 点运动时,PB 的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.例3、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C =90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
三角形的相似定理
三角形的相似定理相似三角形是在几何学中经常遇到的概念，它们有着相似的形状但可能不同的尺寸。
相似性质可以用来解决各种涉及比例和比较长度的几何问题。
在本文中，我们将介绍三角形的相似定理及其应用。
相似三角形的定义相似三角形指的是具有相似形状但不同尺寸的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边长度之间满足一定的比例关系。
AA相似定理AA相似定理是指，如果两个三角形的两个角分别相等（对应角度相等），那么这两个三角形是相似的。
具体而言，如果两个三角形的角度分别是A、B、C和A'、B'、C'，且∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，则可以推断出这两个三角形是相似的。
SAS相似定理SAS相似定理是指，如果两个三角形的一边与另一个相似三角形的两边成比例，并且这两个边夹角相等，那么这两个三角形是相似的。
具体而言，如果两个三角形的边长分别是AB/CD，BC/DE，CA/EA，且∠ABC = ∠CDE，则可以推断出这两个三角形是相似的。
SSS相似定理SSS相似定理是指，如果两个三角形的三边比例相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，如果两个三角形的边长分别是AB/CD，BC/DE，CA/EA，则可以推断出这两个三角形是相似的。
相似三角形的性质与应用相似三角形具有一些重要的性质，可以应用于解决各种几何问题。
1. 对应边的比例如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比例是相等的。
例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么AB/DE = BC/EF = CA/FD。
2. 高度的比例如果两个三角形相似，那么它们的相应高度也成比例。
例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么对应高度h₁/h₂ = AB/DE =BC/EF = CA/FD。
3. 相似三角形的面积比如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于边长之比的平方。
例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么S₁/S₂ = （AB/DE）²= （BC/EF）² = （CA/FD）²。
相似三角形的重要定理及其证明
相似三角形的重要定理及其证明相似三角形是几何学中的重要概念，它可以帮助我们在解决各种几何问题时简化计算和推导的过程。
本文将介绍相似三角形的基本定义，以及其重要的定理及其证明。
一、相似三角形的基本定义相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在相似三角形中，对应角度完全相等，而对应边长成比例关系。
以下是相似三角形的基本定义：1. AA相似定理如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似定理如果两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
3. SAS相似定理如果两个三角形的两边对应成比例，并且夹角也相等，则这两个三角形相似。
二、相似三角形的重要定理在相似三角形中，有许多重要的定理被广泛应用于几何问题的求解。
以下是其中的几个重要定理及其证明：1. 第一相似定理（AA相似定理的逆定理）如果两个三角形相似，那么它们的对应角度也相等。
证明：假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E。
我们需要证明∠C=∠F。
由于三角形的内角和等于180度，所以∠C = 180° - ∠A - ∠B，∠F = 180° - ∠D - ∠E。
由已知条件可得，∠A + ∠B = ∠D + ∠E。
将其代入上式，得到：∠C = 180° - ∠A - ∠B= 180° - (∠D + ∠E)= ∠F因此，根据证明，第一相似定理得证。
2. 第二相似定理（SSS相似定理的逆定理）如果两个三角形其中对应边分别成比例，那么它们相似。
证明：假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB/DE = AC/DF = BC/EF。
我们需要证明△ABC∼△DEF。
根据SSS相似定理可知，如果两个三角形的三边分别成比例，则它们相似。
因此，根据证明，第二相似定理得证。
3. 第三相似定理（SAS相似定理的逆定理）如果两个三角形的对应边成比例，并且夹角也相等，那么它们相似。
相似三角形的定义和判定方法
相似三角形的定义和判定方法相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。
1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例。
具体而言，对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则称三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 角-角-角（AAA）相似定理角-角-角（AAA）相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. 边-边-边（SSS）相似定理边-边-边（SSS）相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
4. 边-角-边（SAS）相似定理边-角-边（SAS）相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例，且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
总结：相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
通过这些判定方法，我们可以确定两个三角形是否相似，并且进一步分析它们的性质和关系。
相似三角形在几何学中具有重要的应用，可以用于解决各种问题，如比例求解、测距等。
以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。
相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛，深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。
相似三角形的判定定理是什么
相似三角形的判定定理是什么
1、有两角对应相等；两边对应成比例，且夹角相等；三边对应成比例。
2、所有等腰直角三角形相似，所有的等边三角形都相似。
3、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
4、平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似。
5、三边对应平行的两个三角形相似。
扩展资料
相似三角形的性质
1、相似三角形的'对应角相等
2、相似三角形对应边的比、对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
3、相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方；
4、相似三角形具有传递性：如果两个三角形分别于同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。
5、相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
6、全等三角形可以看做相似比为1的特殊的相似三角形，凡是全等的三角形都相似。
直角三角形相似判定定理
直角三角形相似判定定理
一、定义法
如果两个直角三角形的三条边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
二、定理法
1.勾股定理：在直角三角形中，勾股定理表述了直角三角形的两条直角边的
平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形的斜边相等，那么这两个直角三角形相似。
2.毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，毕达哥拉斯定理表述了直角三角形的
两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形相似。
三、斜边中线法
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
如果两个直角三角形的斜边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
四、两锐角对应相等
如果两个直角三角形的两个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似。
五、夹边中线法
在直角三角形中，夹边上的中线等于夹边的一半。
如果两个直角三角形的夹边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
六、两边对应成比例且夹角相等
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个直角三角形相似。
七、两边对应成比例且夹边平行
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
八、两锐角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两锐角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
九、两角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是初中数学重要的概念之一，它们有着特定的性质和应用。
在本文中，我们将探讨相似三角形的定义、性质以及应用。
一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。
两个三角形相似的条件是：它们对应角度相等，或者它们的对应边比例相等。
基于这个定义，我们可以得出以下相似三角形的性质和定理。
二、相似三角形的性质1. AA相似定理：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们是相似的。
3. SAS相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，且对应边比例相等，那么它们是相似的。
4. 相似三角形中，对应边的比例关系是恒定的，我们可以表示为a/b = c/d = e/f。
其中，a、b、c、d、e、f分别表示两个相似三角形的对应边。
5. 相似三角形的高、中线和角平分线也成比例。
三、相似三角形的应用1. 测量无法直接获得的长度：我们可以利用相似三角形的性质，通过已知长度和已知角度的三角形推导出其他长度的值。
例如，可以利用相似三角形的边比例关系来测量高楼的高度。
2. 解决间接测量问题：相似三角形的性质也可以应用于间接测量问题。
例如，当我们无法直接测量河流宽度时，可以通过测量自己位置与河对岸某一点之间的距离及角度，运用相似三角形的理论来计算出河流的宽度。
3. 几何证明：相似三角形的性质在几何证明中也起到重要的作用。
通过利用相似三角形的角等性质和边比例关系，可以简化、解决一些几何问题。
4. 模型建立：相似三角形的性质也可以应用于模型建立。
例如，制作比例模型时，可以根据相似三角形的比例关系来设计模型的尺寸。
四、相似三角形的推论基于相似三角形的性质和定理，我们还可以得出一些推论。
1. 正弦定理的推论：当两个角相等时，一般使用正弦定理来求解三角形的边长。
但是，当角等于30°、60°或90°时，我们可以运用相似三角形的性质，通过已知边长求解其他边长。
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1.相似三角形定义：
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号”∽”表示，读作”相似于”。
3.相似三角形的相似比：
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截成的三角形与原三角形相似。
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的”对应边相等”的条件改为”对应边
成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的
方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：
直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：
相似三角形的对应角相等。
相似三角形的对应边成比例。
相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性
如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2
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