1.2充分必要条件稿

3．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”，
6.“ a 1 ”是“函数 f ( x) | x a | 在区间 [1,) 上 为增函数”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
7. 已 知 P x x 2 2 x 3 0 , Q = x x 2 (a 1) x a 0 且
2.若A是B的充要条件，B是C和D的必要条件，E是 D的充分条件，E是A的充要条件， E B 充要条件 则E是B的＿＿＿＿＿＿＿条件， C A 充分不必要 C是A的＿＿＿＿＿＿＿＿条件， 充要条件 A是D的＿＿＿＿＿＿＿＿条件， 必要不充分 D是C的＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件. A C D D
C
A
B E
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.
从集合的角度来理解充分条件、必要条件
p
q，相当于P
q ，即
P
q 或 P、q
•P足以导致q,也就是 说条件p充分了； •q是p成立所 必须具 备的前提。
请思考
X>1
X>2
X>0
X>3
X>4
试举一充分条件的例子
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明: 假设 p q 2 ,
则 ( p q) 2 4 , ∴ p 2 q 2 2 pq 4 ,
2 2
假设原命题结 论的反面成立 看能否推出原命题 条件的反面成立
∵ p q ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p q ) 4 , ∴ p q 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p q 2. 得证
2
必要不充分 则 p 是 q 的________条件, p 是 q 的________条件.
充分不必要
2、判别步骤：
（２）判断p （3）根据定义下结论。
（1）找出p、q；
q与q
p的真假。
3、判别技巧： （1）简化命题。 （2）否定命题时举反例。 （3）利用等价的逆否命题来判断。
课堂练习： 1．设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是 必要而不充分 “a∈N”的____________________条件。 x>1 2．x>2的一个必要而不充分条件是_____________。 充分而不必要 条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的_____________ 条件。 3 5 必要而不充分 4．cos ”是“ 2k “ , k Z”的___________ 2 6 条件。 5．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s 充分 的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的_______条件， 充要 r是t的________条件。
一般地，如果既有 q，又有q p，就记作 p pq 此时，我们说， 是q的充分必要条件，简称 p 充要条件。
如果p q，那么p与q互为充要条件。
练习：p：三角形的三条边相等； q：三角形的三个角相等．
例题：说出下列各组命题中，p是q的什么条件？ q是p的什么条件？
(1)p: x=y ,
A > B BC > AC . 即：p q
因为：
所以：p与q互为充要条件 a （4）P: a < b . q: <1 b 因为: p q 且q p
所以：p是q的既不充分也不必要的条件
q是p的既不充分也不必要的条件
利用定义解决问题,并寻找判断方法.
例题：
目的
（1）“a>0，b>0”是“ab>0”的什么条件？ （答：充分不必要条件） q p （2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的什么 q （答：必要不充分条件） 条件？ p （3）在三角形ABC中，|BC|=|AC|是A=B 的什么条件？ （答：充要条件） （4）“ a2>b2 ”是“ a>b ”的什么条件？ （答：非充分非必要条件） p q
解：因为： x=y x 2=y 2 ,
q: x =y
2
2
且x 2=y 2
x=y
即：
p
q,
而q
p
所以：p是q的充分不必要条件，q是p的 必要不充分条件.
（2） p: (a-2)(a-3)=0, q: a=3
因为：p q , 而q p 所以：p是q的必要不充分条件，q是p的 充分不必要条件.
(3)
ABC中，P: A > B . q: BC > AC .
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命 题也为真命题.
可能出现矛盾四种情况：
• • • • 与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
例
用反证法证明： 如果a>b>0，那么
a b.
证明: 假设
a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
练习
下列条件中哪些是a+b>0的充分 条件？
① a>0，b>0 ② a<0,b<0 ③ a>0，b<0且|a|>|b| ④ a=3,b=-2 ⑤ a>-b 特点：先给多个p，进行选择，通过选择， 感知p的不唯一性。
例2、 下列“若p，则q”形式的命题中， 哪些命题中的q是p的必要条件?
(1)若 x=y,则x2=y2; (2)若x<3,则x<5; (3)若a>b,则ac>bc.
思考领悟
X<5 X<6
x<3
X<8
X<10
例3、设 p : x 5, q : x 3 ，则p是q的什么条件？
变式1:写出 q : x 3 的一个充分条件 变式2：若 p : x a 是 q : x 3 的一个充分 条件, 则实数的取值范围是————
已知p : 整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数。 那么p是q的什么条件？ 又是p的什么条件？ q
思考题: x x 1、若关于 x 的方程 4 a 2 4 0 有实数 {a|a≤－4} 解，则实数 a 的取值范围是___________.
注: 这里求取值范围问题 就是 求充要条 件的问题.
1 2.已知 p : x 3x 2 0 , q : 2 0, x x6
D
3:求证：△ABC是等边三角形的充要 条件是: a2+b2+c2=ab+ac+bc
这里a,b,c是△ABC的三条边. 【解题步骤】充要条件的证明一般分两步：
证充分性即证A =>B， 证必要性即证B=>A
知识小结
1、定义： (1)若p (2)若q (3)若p q，则p是q的充分条件。（p可能会多余浪费） p,则p是q的必要条件（p可能还不足以使q成立） q,则p是q的充要条件。（p不多不少，恰到好处）
p
q
找p、q
判断p q，与 q p的真假
根据定义 下结论
课堂练习: 1.在下列电路图中,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的什么条件:
充分不必要 ⑴如图①所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________条件; 必要不充分 ⑵如图②所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________条件; 充要 ⑶如图③所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________条件; ⑷如图④所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________条件. 既不充分也不必要
若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾, ∴a能被2整除.
二、新课讲授
p 1、我们约定：若p则q为真，记作： q 或 q p p 若p则q为假，记作： q
例如：
如果两个三形全等，那么两三角形面积相等。
两三角形全等 两三角形面积相等

如果两个三形面积相等，那么两三角形全等。
若x>a2+b2，则x>2ab
两个三形面积相等
Hale Waihona Puke 两三角形全等练习 用符号
与
填空。
反证法：
• 要证明某一结论A是正确的，但不直接证 明，而是先去证明A的反面（非A）是错 误的，从而断定A是正确的。 • 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的 论证的一种数学证明方法。
反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的
反面成立。 推理过程中一定要用到才行 2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出 矛盾。 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确。
x 2ab是x a 2 b 2的必要条件
两三角形全等 两三角形面积相等
两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件． 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
例1、下列“若p，则q”形式的命题中， 哪些命题中的p是q的充分条件?
(1)若 x=1,则x2-4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)为增函数; (3)若x为无理数,则x2为无理数 . 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.




x P 是 x Q 的充要条件,求实数 a .
8、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是( ) A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2