高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词作业新人教A版选修1_1
人教新课标版(A)高二选修1-1 第一章常用逻辑用语综合例题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 第一章 常用逻辑用语综合例题例1. 把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题。
（1）若β=α，则β=αsin sin ；（2）若对角相等，则梯形为等腰梯形； （3）已知a 、b 、c 、d 都是实数，若b a =，d c =，则d b c a +=+。
分析：先明确原命题的条件p 与结论q ，把原命题写成“若p ，则q ”形式，再去构造其他三种命题，对具有大前提的原命题，在写出其他三种命题时，应保留这个大前提。
解：（1）逆命题：若β=αsin sin ，则β=α；否命题：若β≠α，则β≠αsin sin ；逆否命题：若β≠αsin sin ，则β≠α。
（2）逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则对角线不相等。
（3）逆命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若b a ≠或d c ≠，则b a =，d c =；否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若b a ≠或d c ≠，则d b c a +≠+；逆否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若d b c a +≠+，则b a ≠或d c ≠。
例2. “已知a ，b ，c ，d 是实数，若c a >，d b >，则d c b a +>+”，写出上述命题的逆命题，否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假。
分析：按照定义写出各命题，再分析。
解法1：逆命题；已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +>+，则a ，b 都分别大于c 、d ； 否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ，b 不都分别大于c ，d ，则d c b a +≤+； 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +≤+，则a ，b 不都分别大于c ，d 。
逆命题为假命题，例如3215+>+，但25>，31<，根据逆命题与否命题的等价性知否命题为假命题。
教学：高二数学教案：第一章 常用逻辑用语 1.3~6《简单的逻辑联结词“非”》(人教A版选修2-1)
课题：简单的逻辑联结词：非课时：006课型：新授课教学目标1.知识与技能目标：（1）掌握逻辑联结词“非”的含义（2）正确应用逻辑联结词“非”解决问题（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题2．过程与方法目标：观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维能力中严密性品质的培养．3.情感态度价值目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点与难点重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容. 难点： 1、正确理解命题“￢P”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“￢P”. 教学过程1、引入新课：思考、分析问题1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？（1）①35能被5整除；②35不能被5整除；（2）①方程x2+x+1=0有实数根。
②方程x2+x+1=0无实数根。
学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。
2、“非”定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p读作“非p”或“p的否定”。
3、命题“￢p”与命题p的真假间的关系命题“￢p”与命题p的真假之间有什么联系？引导学生分析前面所举例子中命题p与命题￢p的真假性，概括出这两个命题的真假之间的关系的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，命题①是真命题，而命题②是假命题。
第（2）组命题中，命题①是假命题，而命题②是真命题。
由此可以看出，既然命题￢P是命题P的否定，那么￢P与P不能同时为真命题，也不能同时为假命题，也就是说，若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；4、命题的否定与否命题的区别让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什么区别？命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，因此在解题时应分请命题的条件和结论。
例：如果命题p:5是15的约数，那么命题￢p：5不是15的约数；p的否命题：若一个数不是5，则这个数不是15的约数。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学案新人教A版选修
1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.知识点一四种命题的概念思考1 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？答案在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题.思考2 除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？答案有.梳理名称阐释互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中的一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题知识点二四种命题间的相互关系思考1 命题与其逆命题之间是什么关系？答案互逆.思考2 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？答案原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系.梳理(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.知识点三逆否证法与反证法1.逆否证法由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题.2.反证法(1)反证法的步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立.(2)反证法导出结果的几种情况：①导出綈p为真，即与原命题的条件矛盾；②导出q为真，即与假设“綈q为真”矛盾；③导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾；④导出自相矛盾的命题.3.反证法与逆否证法的联系(1)依据相同：都是利用原命题与其逆否命题的等价性.(2)起步相同：都是从“綈q”(即否定结论)出发(入手)；(3)思想相同：都是“正难则反”思想的具体体现.4.反证法与逆否证法的区别(1)目的不同：反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出“綈p”(即否定条件)；(2)本质不同：逆否证法实质是证明一个新命题(逆否命题)成立，而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论.类型一四种命题的关系及真假判断命题角度1 四种命题的写法例1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等.解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数.否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数.(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论.跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.命题角度2 四种命题的真假判断例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题.否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题.逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题.(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补.真命题.否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.真命题.逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补.真命题.反思与感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题. 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( )①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④答案 B解析①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”.故为真命题.②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”.故为假命题.③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”. ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题.④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”. ∵x 不是无理数，∴x 是有理数.又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数.故为真命题. 故正确的命题为①③④，故选B. 类型二 等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 方法一 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”. 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ). 即原命题的逆否命题为真命题. ∴原命题为真命题.方法二 假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ).这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾， 因此假设不成立，故a ＋b ≥0.反思与感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的.正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别.跟踪训练3 证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.证明 “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”.∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题. 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证.类型三 反证法的应用例4 若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明 假设a 、b 、c 都不大于0， 即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0. 而a ＋b ＋c＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3. ∵π－3>0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0， ∴a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾， 因此a 、b 、c 中至少有一个大于0.反思与感悟 (1)求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明.用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确. (2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：跟踪训练4 设a ，b ，c ∈R ，且a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数.证明 方法一 (逆否证法)依题意，就是证明命题“若a 2＋b 2＝c 2，则a ，b ，c 不可能都是奇数”为真命题.为此，只需证明其逆否命题“若a ，b ，c 都是奇数，则a 2＋b 2≠c 2”为真命题即可.∵a ，b ，c 都是奇数，∴a 2，b 2，c 2都是奇数， ∴a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，∴a 2＋b 2≠c 2. ∴原命题的逆否命题为真命题. ∴原命题也为真命题.方法二 (反证法)假设a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数. ∴a 2＋b 2为偶数.而c 2为奇数， ∴a 2＋b 2≠c 2，与a 2＋b 2＝c 2矛盾. ∴假设不成立，原命题成立.1.命题“若綈p，则q”的逆否命题为( )A.若p，则綈qB.若綈q，则綈pC.若綈q，则pD.若q，则p答案 C2.下列命题为真命题的是( )A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B.命题“若x＝1，则x2>1”的否命题C.命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D.命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题.3.命题“若x>1，则x>0”的逆命题是_____________，逆否命题是_____________.答案若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤14.在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题.5.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”.(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假.解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”.(2)命题p的否命题是真命题.判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题.写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误.若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可.40分钟课时作业一、选择题1.“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为( )A.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角B.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角C.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角D.以上都不对答案 B解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”.2.若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )A.互逆命题B.互否命题C.互为逆否命题D.以上都不正确答案 A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”.故q 与r为互逆命题.3.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数答案 D解析用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数.故选D.4.如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )A.(－2，2)B.(－2，0)C.(－2，1)D.(0，1)答案 D解析由题意，构建函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，∵两个实根一个小于－1，另一个大于1， ∴f (－1)<0，f (1)<0， ∴0<m <1. 5.原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A.真、真、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题. 6.给出下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案 D解析 根据面面垂直的判定定理可知②是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知④是真命题. 二、填空题7.命题：“若|x |＝1，则x ＝1”的否命题为______________________________. 答案 若|x |≠1，则x ≠18.已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是_____. 答案 [1，2]解析 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.9.下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有_______；互为逆否命题的有_______. 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断. 10.给出下面3个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数； ②奇函数的图象一定过原点；③“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题. 其中真命题的序号是________. 答案 ③解析 ①举反例：x ＝2π＋π6或π4，tan(2π＋π6)＝33，tan π4＝1，因为2π＋π6>π4，tan(2π＋π6)<tan π4，所以原命题为假命题；②例如y ＝1x 是奇函数但不过原点；③“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题为“若a >b >1，则0<log a b <1”是真命题，因为a >b >1，所以1＝log a a >log a b >log a 1＝0，即0<log a b <1. 三、解答题11.已知命题P ：lg(x 2－2x －2)≥0，命题Q ：1－x ＋x 24<1，若命题P 、Q 至少有一个是真命题，求实数x 的取值范围.解 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4.若命题P 、Q 至少有一个是真命题，则有以下三种情形： ①P 真Q 假；②P 假Q 真；③P 真Q 真.当P 真Q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4.解得x ≤－1或x ≥4.当P 假Q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，0<x <4，解得0<x <3.11 / 11 当P 真Q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1或x ≥3，0<x <4，解得3≤x <4.综上，满足条件的实数x 的取值范围为以上三种情况的并集，即(－∞，－1]∪(0，＋∞).12.判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假.解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”.方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真.13.已知：在△ABC 中，∠BAC >90°，D 是BC 边的中点，如图所示.求证：AD<12BC . 证明 假设AD ≥12BC . (1)若AD ＝12BC ，由平面几何中“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，则这条边所对的角为直角”，知∠BAC ＝90°，与题设矛盾.∴AD ≠12BC . (2)若AD >12BC ，由题意知BD ＝DC ＝12BC ， ∴在△ABD 中，AD >BD ，从而∠B >∠BAD ；同理∠C >∠CAD .∴∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD ，即∠B ＋∠C >∠BAC .∵∠B ＋∠C ＝180°－∠BAC ，∴180°－∠BAC >∠BAC ，则∠BAC <90°，与题设矛盾. 由(1)(2)知AD <12BC .。
简单的逻辑联结词
互 动
课 堂
课 时 作 业
第一章
常用逻辑用语
人教A版 · 数学
选修 2-1
迁移体验1 是( )
(1)命题“菱形的对角线互相垂直平分”
研 习 新 知
A．简单命题
C．“p∧q”的形式
B．“p∨q”的形式
D．“綈p”的形式
互 动
课 堂
课 时 作 业
第一章
常用逻辑用语
人教A版 · 数学
选修 2-1
(2)命题p：6是2的倍数；命题q：6是3的倍数，则 “p∨q”形式的命题为________________；
常用逻辑用语
人教A版 · 数学
选修 2-1
类型四 [例4]
利用命题的真假求参数的范围 已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在
研 习 新 知
(2)否定形式：若x2 ＋y2 ＝0，则x、y不全为零；否
命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零． (3)否定形式：等腰三角形的任意两个内角都不相 等； 否命题：不是等腰三角形的任意两个内角都不相 等．
第一章 常用逻辑用语
互 动
课 堂
课 时 作 业
人教A版 · 数学
选修 2-1
(4)否定形式：自然数的平方不是正数； 否命题：不是自然数的数的平方不是正数．
研 习 新 知
(1)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零；
(2)若x2＋y2＝0，则x、y全为零；
互 动
课 堂
(3)等腰三角形有两个内角相等；
(4)自然数的平方是正数．
课 时 作 业
第一章
常用逻辑用语
人教A版 · 数学
选修 2-1
[解]
高中数学 1.3 第1课时 “且”与“或”课件 新人教A版选修11
时，灯就亮，只有当两个开关S1和S2__________时，灯才不 会亮．
都断开
(3)从集合角度理解“或”即集合运算 设“命并_题__p_：_”x∈．A，命题q：x∈B， 则p∨q⇔x∈A，或x∈B⇔x∈(A∪B)．
(4)当p、q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是_真____ 命题；当p、q两个命题都是假命题时，p∨q是__假____命题．
逻辑联结词“或”与自然语言中的“或者”、“可能”相 当，但自然语言中的“或者”有两种用法：一是“不可兼”的 “或”；二是“可兼”的“或”，而我们仅研究可兼“或”在 数学中的含义．
边形，q：菱形是圆的外切四边形.
含有逻辑联结词的复合命题的写法
分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”，“p ∨q”形式的命题
(1)p： 2是无理数，q： 2大于 1； (2)p：N⊆Z，q：{0}⊆N； (3)p：35 是 15 的倍数，q：35 是 7 的倍数．
如a≥3是a>3或a＝3；xy＝0是x＝0或y＝0；x2＋y2＝0是x＝0 且y＝0.
指出下列命题的形式及构成它的简单命题：
(1)24既是8的倍数，也是6的倍数； (2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形． [解析] (1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍
数，q：24是6的倍数． (2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四
相当，是连词“既……又……”的意思，二者须_______成 立．
同时
(2)从如图所示串联开关电路上看，当两个 开两关个S开1、关SS21_、_都_S_2闭_中_合_一__个_不时闭，合灯或才两能个亮都；不当 闭合时，灯都不会亮．
2020年高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语1_3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件理人教A版
．
答案：①②③
考点一|命题的真假判断 (方法突破)
【例1】 (1)(2017·高考山东卷)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a＞
b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．p∧¬q
C．¬p∧q
D．¬p∧¬q
(2)(2018·武清区校级模拟)已知命题p：“直线l垂直于平面α内的无数条直线”的充
由以上证明知“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条 件，故p是假命题； 对于命题q：若平面α⊥平面β，直线a⊄β，则当a⊥α时，有a∥β成立， 当a∥β时，a⊥α或a∥α或a与α相交，∴a⊥α不一定成立，即“a⊥α”是“a∥β” 的充分不必要条件，∴q为真命题．则¬p∧q为真命题，故选B. [答案] (1)B (2)B
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
栏目 导航
教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
1.了解逻辑联结词 “或”“且”“非”的含义． 2．理解全称量词和存在量词的 意义． 3．能正确地对含有一个量词的 命题进行否定.
逻辑联结词和含有一个量词的命 题的否定是高考的重点；命题的 真假判断常以函数、不等式为载 体，考查学生的推理判断能力， 题型为选择、填空题，低档难 度.
名师点拨 判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤 (1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含 义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断． (2)判断命题真假的步骤
确定命题 判断其中简单 判断复合命 的构成形式 命题的真假 题的真假
拓展：含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(¬p)∧(¬q)假． (2)p∨q假⇔p，q均假⇔(¬p)∧(¬q)真． (3)p∧q真⇔p，q均真⇔(¬p)∨(¬q)假． (4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(¬p)∨(¬q)真． (5)¬p真⇔p假，¬p假⇔p真．
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合的概念 (1)1.1.2集合的表示 (4)1.2集合间的基本关系 (8)1.3.1并集与交集 (13)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (17)1.4.1充分条件与必要条件 (20)1.4.2充要条件 (24)1.5.1全称量词与存在量词 (28)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (32)1.1.1集合的概念要点整理1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．温馨提示：(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．常用的数集及其记法题型一集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．[解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．对集合含义的理解给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．题型二元素与集合的关系【典例2】(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个 B．2个 C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征．[解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故①②③正确，选C．(2)当x＝0时，63－0＝2；当x＝1时，63－1＝3；当x＝2时，63－2＝6；当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.[答案] (1)C (2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．题型三集合中元素的特性【典例3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．[解析] 若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.综上所述a＝－1.[答案] －1[变式] (1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．(2)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？[解] (1)若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；若a2＝2，则a＝2或a＝－2，符合元素的互异性．所以a的取值为2，2，－ 2.(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．1.1.2集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．题型一用列举法表示集合【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)方程x (x －1)2＝0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的非负偶数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合．[思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么，还要弄清集合中的元素个数．[解] (1)方程x (x －1)2＝0的实数根为0,1，故其实数根组成的集合为{0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．题型二用描述法表示集合【典例2】 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；(4)不等式3x －2<4的解集．[思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．[解] (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．(4)不等式3x－2<4可化简为x<2，所以不等式3x－2<4的解集为{x|x<2}．用描述法表示集合应注意的3点(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．题型三集合表示方法的应用【典例3】(1)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为( )A．1 B．4 C．0 D．0或1(2)已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________．[思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征．[解析] (1)①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}；②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数a的值为0或1.故选D．(2)∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.[答案] (1)D (2)k<1[变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”，其他条件不变，求a的取值范围．(2)本例(2)中条件“－2∈A ”改为“－2∉A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] (1)由题意可知方程ax 2－8x ＋16＝0有两个不等实根．∴⎩⎨⎧ a ≠0，Δ＝64－64a >0，解得a <1，且a ≠0.(2)∵－2∉A ，∴－2k ＋2≤0，得k ≥1.集合表示方法的应用的注意点(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)与方程ax 2－8x ＋16＝0的根有关问题易忽视a ＝0的情况．集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．子集的概念温馨提示：“A是B的子集”的含义是：对任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B 且B⊆A，则A＝B.3．真子集的概念温馨提示：在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x ∈B，但x∉A.4.空集的概念题型一集合间关系的判断【典例1】判断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路导引] 集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的．[解] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)解法一(特殊值法)：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.解法二(列举法)：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.判断集合间关系的3种方法(1)列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．(2)元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．(3)图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．题型二有限集合子集、真子集的确定【典例2】(1)填写下表，并回答问题原集合子集子集的个数∅________________{a}________________{a，b}________________{a，b，c}________________由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？(2)求满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M.[解] (1)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(1)求解有限集合子集问题的3个关键点①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A 中含有n 个元素，则有： ①A 的子集的个数为2n 个； ②A 的真子集的个数为2n －1个； ③A 的非空真子集的个数为2n －2个．【典例3】 已知集合A ＝{x |－3<x <4}，B ＝{x |1－m <x ≤2m －1}，且A ⊆B ，求实数m 的取值范围．[思路导引] A ⊆B ，即集合A 中的数在集合B 中，特别注意A ＝∅的情况． [解] 由A ⊆B ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示，则⎩⎨⎧1－m ≤－3，1－m <2m －1，4≤2m －1，解得m ≥4.故m 的取值范围是{m |m ≥4}．[变式] (1)本例中若将“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，求m 的取值范围．(2)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{3，m 2}，B ＝{1,3,2m －1}，其他条件不变，求实数m 的值．[解] (1)由B ⊆A ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示．∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，1－m ≥2m －1，解得m ≤23；当B ≠∅时，有⎩⎨⎧2m －1>1－m ，2m －1<4，1－m ≥－3，解得23<m <52.综上可知，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <52. (2)由A ⊆B ，按m 2＝1和m 2＝2m －1两种情况分类讨论． ①若m 2＝1，则m ＝－1或m ＝1.当m ＝－1时，B 中元素为1,3，－3，适合题意； 当m ＝1时，B 中元素为1,3,1，与元素的互异性矛盾． ②若m 2＝2m －1，则m ＝1，由①知不合题意． 综上所述，m ＝－1.由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．(2)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．1.3.1并集与交集1．并集的概念及表示2.交集的概念及表示温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．3．并集、交集的运算性质【典例1】(1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}(2)已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}[思路导引] 由并集的定义，结合数轴求解．[解析] (1)A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.(2)在数轴上表示两个集合，如图．∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.[答案] (1)A (2)C求集合并集的2种方法(1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．(2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．题型二交集的运算【典例2】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}(2)设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}[思路导引] 既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的集合，借助图示方法求解．[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，∴A∩B＝{2}．选A.[答案] (1)A (2)A求集合交集的2个注意点(1)求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．题型三由集合的并集、交集求参数【典例3】 (1)设集合A ＝{x |－1<x <a }，B ＝{x |1<x <3}且A ∪B ＝{x |－1<x <3}，求a 的取值范围．(2)已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |2－k ≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[思路导引] (1)画出数轴求解．(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ；若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .[解] (1)如下图所示，由A ∪B ＝{x |－1<x <3}知，1<a ≤3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .若B ＝∅，则2－k >2k －1，得k <1；若B ≠∅，则⎩⎨⎧2－k ≤2k －1，2－k >－3，2k －1≤4，解得1≤k ≤52.综上所述，k ≤52.[变式] 本例(2)若将“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B . ∴⎩⎨⎧2－k ≤－3，2k －1≥4，解得k ≥5.由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点(1)策略：当题目中含有条件A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A ∩B ＝A 转化为A ⊆B ，A ∪B ＝B 转化为A ⊆B .(2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．(3)注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．1.3.2补集及集合运算的综合应用要点整理1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集温馨提示：∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．题型一补集的运算【典例1】(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________________.[思路导引] 借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．[解析] (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．[答案] (1){x|x<－3或x＝5} (2){2,3,5,7}求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．题型二交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.[解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－U3<x≤－2或x＝3}．解决集合交、并、补运算的2个技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．题型三利用集合间的关系求参数【典例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．U[思路导引] 理清集合间的关系，分类求解．[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，得∁U A＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁U A)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.[变式] (1)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U A)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？(2)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U B)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解] (1)由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁U A＝{x|x<－m}，又(∁U A)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，∁U B＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁U B)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．[针对训练]5．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}．(1)若A∪(∁R B)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁R B)，求实数a的取值范围．[解](1)∵B＝{x|1<x<3}，B＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁R因而要使A∪(∁R B)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.(2)∵A＝{x|x<a}，∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁R B)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.1.4.1充分条件与必要条件要点整理1．命题及相关概念2．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：(1)两个全等三角形的对应高相等；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．[解] (1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件．(1)对充分、必要条件的理解①对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．ii)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分条件．②对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．ii)必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步：分析定理的条件和结论；第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．题型二充分条件、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？(1)p：x>1，q：x2>1；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点．[思路导引] 判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假．[解] (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p 的必要条件；②如果命题：“若p ，则q ”为假命题，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．显然，p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p ⇒q ，只是说法不同而已．题型三充分条件、必要条件与集合的关系【典例3】 (1)已知p ：关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m 2，q ：0<x <3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．(2)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围．[思路导引] p 是q 的充分条件转化为对应集合A ⊆集合B ，q 是p 的必要条件转化为集合A ⊆集合B .[解] (1)记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}， 若p 是q 的充分条件，则A ⊆B .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，分两种情况讨论：①若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m 2，解得m ≤0，此时A ⊆B ，符合题意； ②若A ≠∅，即3－m 2<3＋m 2，解得m >0， 要使A ⊆B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≥0，3＋m 2≤3，m >0，解得0<m ≤3. 综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)由已知可得 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y | y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以－2m ≤－54，所以m ≥58，即m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m ≥58. [变式] 本例(1)中若将“若p 是q 的充分条件”改为“p 是q 的必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}，若p 是q 的必要条件，则B ⊆A .应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≤0，3＋m 2≥3，解得m ≥3.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≥3}．(1)利用充分、必要条件求参数的思路根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．(2)从集合角度看充分、必要条件：设命题p 、q 分别对应集合A 、B ，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件．1.4.2充要条件要点整理充要条件如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q .此时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇔q，则p是q的充要条件．③若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．④若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．⑤若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．(2)“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p 是s的充要条件．题型一充要条件的判断【典例1】在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[思路导引] 判断是否p⇒q，q⇒p.[解] (1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p 是q的充要条件．[变式] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？[解] 作出“⇒”图，如右图所示，。
数学选修1-1第一章 常用逻辑用语测试题
第一章 常用逻辑用语一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是b a 11<的充要条件.③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真4．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数； ③梯形不是矩形；④方程21x =的解1x =±。
其中使用逻辑联结词的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题8．设集合{}{}|2,|3M x x P x x =>=<,那么“x M ∈,或x P ∈”是“x M P ∈ ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假10．下列命题中的真命题是（ ）11．有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④12．设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ）A.若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠B.若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠C.若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠D.若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠二、填空题14．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 1.3 简单的逻辑联结词 1．3.1 且(and) 1．3.2 或(or) 1．3.3 非(not)
❶ 已知p：2＋2＝5，q：3>2，则下列判断错误的是( ) A．“p∨q”为真，“綈q”为假
B．“p∧q”为假，“綈p”为真
C．“p∧q”为假，“綈p”为假
D．“p∨q”为真，“綈p”为真
❷ 已知p：∅{0}，q：2∈{1，2，3}．由它们构成的新命题“綈p”“綈q”“p∧q”“p∨q”中，真命题有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
❸ 给出下列命题： ①2016年2月14日既是春节，又是情人节； ②10的倍数一定是5的倍数； ③梯形不是矩形． 其中使用逻辑联结词的命题有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
❹ [2017·福建三明六校高二联考] 已知命题p为真，命题綈q为真，则( ) A．命题p∧q为真
B．命题(綈p)∧q为真
C．命题(綈p)∨q为真
D．命题p∨q为真
❺ 设p，q是两个命题，则“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是( ) A．p，q中至少有一个为真
B．p，q中至少有一个为假
C．p，q中有且只有一个为假
D．p为真，q为假
❻ 已知命题p：在△ABC中，C>B是sin C>sin B的充分不必要条件，命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件，则( ) A．p假q真 B．p真q假
C．p∨q为假 D．p∧q为真
❼ 下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是( ) A．10或15是5的倍数
B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1
C．方程x2＋1＝0没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
❽ 设命题p：方程x2＋3x－1＝0的两根符号不同，命题q：方程x2＋3x－1＝0的两根之和为3，则命题“綈p”“綈q”“p∧q”“p∨q”中假命题的个数为( ) A．0 B．1
C．2 D．3
❾ 若命题“綈(p∧q)”为真命题，则( ) A．p，q 均为真命题
B．p，q中至少有一个为真命题
C．p，q中至多有一个为真命题 2
D．p，q均为假命题
○10 [2017·福建南安一中高二月考] 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a∥b，b∥c，则a∥c，命题q：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，则下列命题中的真命题是 ( ) A．p∧q B．p∨q C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨q ○11 [2017·南昌六校期末] 已知p：点A在直线y＝2x－3上，q：点A在直线y＝－3x＋2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点A的坐标是( ) A. (－1，1) B. (0，－3)
C．(1，2) D. (1，－1)
○12 [2017·太原五中期末] 已知p1：∃a，b∈R，a2－ab＋b2<0，p2：在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B，那么下列命题中是真命题的为( )
A．p1 B．p1∧p2 C．(綈p1)∧p2 D. p1∨(綈p2) ○13 [2017·琼海嘉积中学高二期中] 已知命题p：若a>1，则a2>a；命题q：若a>0，
则a>1a.下列命题为真命题的是( ) A．綈p B．p∧q
C. p∧(綈q) D．(綈p)∨q
○14 [2017·重庆南开中学高二期中] 若命题“直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1有公共点”是假命题，则实数k的取值范围是________________． ○15 已知p：(a＋1)(a－2)≥0，q：1的取值范围为________． ○16 已知命题p：5是有理数，命题q：5是整数．请你写出以上命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断其真假．
○17 [2017·商丘一中高二期中] 已知p：∃x0∈R，cos 2x0－sin x0＋2≤m，q：函数g(x)＝132x2－mx＋2在[1，＋∞)上单调递减． (1)若p∧q为真命题，求m的取值范围； (2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围． 3
○18 命题p：若a，b∈R，则“|a|＋|b|>1”是“|a＋b|>1”的充分而不必要条件，命题q：函数y＝|x－1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则( )
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真 C．p真q假 D．p假q真 ○19 已知p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意m∈[－1，1]恒成立，q：不等式ax2＋2x－1>0有解．若p∧q是假命题，綈p也是假命题，求实数a的取值范围． 4
1．C [解析] 易知p假q真，所以“p∧q”为假，“綈p”为真． 2．B [解析] ∵p真，q真，∴p∧q真，p∨q真． 3．C [解析] ①③使用了逻辑联结词，其中，①使用了“且”，③使用了“非”． 4．D [解析] 由命题綈q为真，得q为假，又p为真，所以命题p∨q为真． 5．C [解析] 因为命题“綈(p∨q)”为假命题，所以p∨q为真命题，所以p，q一真一假或都是真命题．又因为p∧q为假，所以p，q一真一假或都是假命题，所以p，q中有且只有一个为假． 6．C [解析] 命题p，q均为假命题，∴p∨q为假． 7．D [解析] A中的命题是p∨q形式的命题，B中的命题是假命题，C中的命题是綈p的形式，D中的命题为p∧q形式的命题，且为真命题． 8．C [解析] 命题p为真，命题q为假，故“綈p”为假、“綈q”为真、“p∧q”为假、“p∨q”为真，故选C. 9．C [解析] 因为命题“綈(p∧q)”为真命题，所以p∧q为假命题，因此p，q中至少有一个为假命题，即p，q中至多有一个为真命题． 10．B [解析] 命题p中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题p是真命题．由向量数量积的几何意义可知，命题q为假命题，故p∨q为真命题． 11．D [解析] 若p且q为真命题，则点A是直线y＝2x－3与直线y＝－3x＋2的交点，
联立y＝2x－3，y＝－3x＋2，解得x＝1，y＝－1.
12．C [解析] ∵a2－ab＋b2＝a－b22＋34b2≥0, ∴∃a，b∈R，a2－ab＋b2<0不成立，即p1为假命题；在△ABC中，若A>B，则a>b，由正弦定理得sin A>sin B，即p2为真命题．故(綈p1)∧p2为真命题，其余为假命题．
13．C [解析] ∵a>1，∴ a2－a＝a(a－1)>0，命题p为真命题．当0a2－1a<0，∴命题q为假命题．故綈p为假命题，p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题， (綈
p)∨q为假命题． 14．(－3，3) [解析] ∵命题“直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1有公共点”是假命题，∴命题“直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1无公共点”是真命题，∴圆心到直线的距离d＝2
1＋k2>1，解得－3
15．(1，2) [解析] 解不等式(a＋1)(a－2)≥0得a≥2或a≤－1，∴綈p：－1为真命题，“p∧q”为假命题，∴p为假命题，綈p为真命题，∴ 1即实数a的取值范围为(1，2)． 16．解：p或q：5是有理数或整数；p且q：5既是有理数又是整数；非p：5不是有理数．因为p假，q假，所以p或q为假，p且q为假，非p为真． 17．解：令f(x)＝cos 2x－sin x＋2，若p为真，则m≥f(x)min. 又f(x)＝cos 2x－sin x＋2＝－2sin2x－sin x＋3， 又－1≤sin x≤1，所以当sin x＝1时，f(x)取最小值，f(x)min＝0，所以m≥0.
若q为真，则函数y＝2x2－mx＋2在[1，＋∞)上单调递增，则m4≤1，所以m≤4. (1)若p∧q为真，则p，q均为真，所以m∈[0，4]． (2)若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假，即m≥0，m>4或m<0，m≤4，得m>4或m<0. 所以m的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． 18．D [解析] 当a＝－2，b＝2时，由|a|＋|b|>1不能推出|a＋b|>1，所以p假，q显然为真． 5
19．解：∵p∧q是假命题，綈p是假命题， ∴命题p是真命题，命题q是假命题． ∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
∴x1＋x2＝m，x1x2＝－2，∴|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝m2＋8， ∴当m∈[－1，1]时，|x1－x2|max＝3. 由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意m∈[－1，1]恒成立，可得a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1，q：不等式ax2＋2x－1>0有解．当a>0时，显然有解；当a＝0时，2x－1>0有解；当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，∴Δ＝4＋4a>0，∴－1∴不等式ax2＋2x－1>0有解时，a>－1，又∵命题q是假命题，∴a≤－1.故所求a的取值范围为(－∞，－1].