数学建模 差分 方程模型

分 析
体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加 饮食（吸收热量） 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 代谢和运动（消耗热量）
模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量— ）体重增加正比于吸收的热量 —每8000千卡增加体重 千克； 千卡增加体重1千克 每 千卡增加体重 千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— ）代谢引起的体重减少正比于体重 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡 因人而异 千卡(因人而异 每周每公斤体重消耗 千卡 千卡 因人而异), 相当于70千克的人每天消耗 千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 千卡； 相当于 千克的人每天消耗 千卡 千卡 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 ）运动引起的体重减少正比于体重， 形式有关； 形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 ）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。 千卡。 千克，每周吸收热量不要小于 千卡
αβ < 1 放宽了
7.2 减肥计划 减肥计划——节食与运动 节食与运动 背 景
体重指数 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~ 正常； 超重; 肥胖. 正常； BMI>25 ~ 超重 BMI>30 ~ 肥胖 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 多数减肥食品达不到减肥目标， 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 通过控制饮食和适当的运动， 的前提下， 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标
w ( k + n ) = 0 .975 [ w ( k ) 50 ] + 50
n
第二阶段：每周c(k)保持 m, w(k)减至 千克 第二阶段：每周 保持C 减至75千克 保持 减至
w ( k + n ) = 0 . 975 n [ w ( k ) 50 ] + 50
已知 w(k ) = 90, 要求 w(k + n) = 75， n 求
β ~ 价格上涨 单位 (下时段 供应的增量 价格上涨1单位 下时段 单位, 下时段)供应的增量 α ~ 消费者对需求的敏感程度 β ~ 生产者对价格的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β 小, 有利于经济稳定
αβ < 1 经济稳定
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
y y0 0 y g f g f x
w(k ) w(k + 1) = 1
c ( k + 1) = 1
w(k +1) = w(k) +αc(k +1) βw(k)
w( k ) = w( 0) k
α = 1 8000 β = 0 . 025
α
[ β w ( k ) 1]
β 1 c ( k + 1) = w ( 0 ) (1 + β k ) α α
4.4
2.5
7.9 t~每周运动 每周运动 时间(小时 小时) 时间 小时
取 αγ t = 0 .003 , 即 γ t = 24
β (= 0.025) → β ′ = β + αγt(= 0.028)
αCm αCm ]+ β′ β′
w ( k + n ) = (1 β ′ ) n [ w ( k )
基本模型
w(k) ~ 第k周(末)体重 周 末 体重 c(k) ~第k周吸收热量 第 周吸收热量
w ( k + 1) = w ( k ) + α c ( k + 1) β w ( k )
代谢消耗系数(因人而异 因人而异) α = 1 8000 (千克 /千卡） β ~ 代谢消耗系数 因人而异 1）不运动情况的两阶段减肥计划 ） 确定某甲的代谢消耗系数 每周吸收20000千卡 w=100千克不变 千卡 每周吸收 千克不变
x k +1 = h ( y k )
yk + yk1 xk+1 = h 2
设供应函数为 x k +1 x0 = β [( y k + y k 1 ) / 2 y 0 ] 需求函数不变
y k y 0 = α ( x k x 0 )
2 x k + 2 + αβ x k +1 + αβ x k = 2 (1 + αβ ) x 0 , k = 1, 2, L
w( k + 1) = (1 β ) w( k ) + αC m
w(k + n) = (1 β ) w(k) +αCm[1+ (1 β ) +L+ (1 β ) ]
n n1
αCm αCm = (1 β ) [w(k ) ]+ β β
n
1 以 β = 0.025, α = , C m = 10000 代入得 8000
w = w + αc βw
20000 β= = = 0.025 w 8000 × 100
αc
即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡 千卡
1）不运动情况的两阶段减肥计划 ） 第一阶段 w(k)每周减 千克 c(k)减至下限 第一阶段: 每周减1千克 减至下限10000千卡 每周减 千克, 减至下限 千卡
2）第二阶段增加运动的减肥计划 ） 千卡): 根据资料每小时每千克体重消耗的热量 γ (千卡 千卡 自行车(中速 游泳(50米 分 中速) 跑步 跳舞 乒乓 自行车 中速 游泳 米/分) 7.0 基本 模型 3.0
w( k + 1) = w( k ) + αc ( k + 1) ( β + αγ t ) w( k )
二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定， →∞, 研究平衡点稳定，即k→∞ xk→x0的条件 →∞
模型的推广 2 x k + 2 + αβ x k +1 + αβ x k = 2 (1 + αβ ) x 0
k k 方程通解 x k = c 1 λ 1 + c 2 λ 2
(c1, c2由初始条件确定) 由初始条件确定
P0是不稳定平衡点
P3 f P0 P1 x0 x g P4
曲线斜率
K f < Kg
Pห้องสมุดไป่ตู้ x1 x
y0 P2 0
K
f
> Kg
方程模型
yk = f (xk ) x k +1 = h ( y k )
在P0点附近用直线近似曲线
yk y0 = α ( xk x0 ) (α > 0) xk +1 x0 = β ( yk y0 ) ( β > 0)
x
y0 0
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
P1 → P2 → P3 → L → P0 P1 → P2 → P3 → L → P0 ×
P0是稳定平衡点
y y2 y0 y3 y1 0 f P3 P0 P2 x2 x0 x3 g P4 y
蛛 网 模 型 yk = f (xk ) xk +1 = h( yk ) yk = g( xk +1 ) x1 → y1 → x2 → y2 → x3 → L 偏离x 设x1偏离 0 xk → x0 , yk → y0 xk × x0 , yk → y0 → ×
结果解释 结果解释
考察α , β 的含义
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 时段商品数量； 第 时段商品价格 第 时段商品数量
y k y 0 = α ( xk x0 )
α ~ 商品数量减少 单位 价格上涨幅度 商品数量减少1单位 单位,
x k +1 x 0 = β ( y k y 0 )
= 12000 200 k ≥ C m = 10000
k ≤ 10
第一阶段10周 每周减1千克 千克， 周末体重90千克 第一阶段 周, 每周减 千克，第10周末体重 千克 周末体重 吸收热量为 c ( k + 1) = 12000 200 k , k = 0 ,1, L 9
1）不运动情况的两阶段减肥计划 ） 第二阶段：每周 第二阶段：每周c(k)保持 m, w(k)减至 千克 保持C 减至75千克 保持 减至 基本模型 w( k + 1) = w( k ) + αc ( k + 1) βw( k )
7.3 差分形式的阻滞增长模型
连续形式的阻滞增长模型 模型) 连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型 模型 x(t) ~某种群 t 时刻的数量 人口 人口) 某种群 时刻的数量(人口
减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量， 千克，目前每周吸收 千卡热量， 某甲体重 千克 千卡热量 体重维持不变。现欲减肥至75千克 千克。 体重维持不变。现欲减肥至 千克。 1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 ）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减 千克， 第一阶段：每周减肥 千克 直至达到下限（ 千卡）； 少，直至达到下限（10000千卡）； 千卡 第二阶段：每周吸收热量保持下限， 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 ）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 3）给出达到目标后维持体重的方案。 ）给出达到目标后维持体重的方案。
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 时段商品数量； 第 时段商品价格 第 时段商品数量 消费者的需求关系 生产者的供应关系
y
需求函数
yk = f ( xk )
减函数
供应函数 x k +1 = h ( y k ) 增函数