2005年河南省初二数学竞赛试题
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试 一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18． 答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）11=S 3S =132=S（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD ,AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(baa b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) 二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB ,AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题 第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5C．等于6 D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
2005年上期八年级数学竞赛试题
AB ECD F 图62005年上期八年级数学竞赛试题 (时间100分钟,满分100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1、若01223344555)12(a x a x a x a x a x a x +++++=-，则024a a a ++的值是_ 2、已知ba82=（b a ,是正整数）且,52=+b a 那么ba 82+的值是3、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=35°，以直角顶点C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△A ’B ’C 的位置，其中A ’、B ’分别是A 、B 的对应点，且点B 在斜边A ’B ’上，直角边CA ’交AB 于点D ，则∠DCA 的度数_____。
4、小王与同学约好下午4：30在学校门口见，不见不散，为此，他们在早上8：00钟两人均把自己的表对准，小王于4：30正点走到学校门口，可是同学没来，原来同学的手表比正确时间每小时慢4分钟，如果同学按他自己的手表4：30到达，则小王还要等 分钟（正确时间）5、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。
某日早晨7∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进。
上午10∶00，甲、乙二人的距离的平方是_____。
6、一个等腰三角形的周长为16，底边上的高是4，则这个三角形的三边长分别是______，_____，_______。
7、已知:如图2，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若∠EAF=500，则∠CME +∠CNF =________。
8、如图3，将面积为2a 的正方形与面积为2b 的正方形(b>a)放在一起，则△ABC 的面积是__________。
二、选择题(每小题5分，共40分)1、如图5，正方形ABCD 的边长为1cm ，以对角线AC 为边长再作一个正方形，则正方形ACEF 的面积是( )A 、3cm 2 B 、4cm 2 C 、5cm 2D 、2cm 22、以线段16,13,10,6a b c d ====为边，且使a ∥c 作四边形，这样的四边形( )A 、能作一个 B 、能作两个 C 、能作三个 D 、能作无数个 E 、不能作3、如图6，正方形的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为200，则BE 的值为( )A 、10 B 、11 C 、12D 、154、实数a 、b 满足ab=1,若11,1111a b M N abab=+=+++++，则M 、N 的关系为( )A 、M>N B 、M=N C 、M<N D 、不确定AB CDFE图5A B C D FENM图2125、一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如左图),那么B 点从开始至结束走过的路径长度为( )A 、23π B 、34πC 、 4D 、2+23π6、在甲组图形的4个图中，每个图示由4种简单图形A 、B 、C 、D （不同的线段或圆）中的某两个图形组成的，例如由A 、B 组成的图形记为B A ∙，在乙组图形的（a ）、(b)、 (c)、（d ）4个图中，表示“D A ∙”和“C A ∙”的是（ ） A 、 (a),(b) B 、 (b),(c) C 、 (c),(d) D 、 (b),(d) 7、如图所示的4个的半径均为1，那么图中的阴影部分的面积为（ ）A 、1+π B 、π2 C 4 D 、68、设标有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A 、C 、E 、G 4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小岗从灯A 开始，顺次拉动开关，即从A 到G ，再顺次拉动开关，即又从A到G ，…，他这样拉动了1999次开关后，则开着的灯是（ ）A 、A.C.E.G B 、 A.C.F C 、 B.D.F D 、C.E.G三、解答题(20分)1、已知四边形ABCD 中 ，AB=AD ，∠BAD=60°，∠BCD=120°，请说明：BC+DC=AC(a) (b) (c) (d)乙组B A ∙C B ∙D C ∙ D B ∙ 甲组2、如图，四边形ABCD 中 ，AB ∥CD ，且AB+BC=CD+AD 。
2005年全国初中数学联赛试题及答案(D卷)
2005年全国初中数学联赛(D 卷)说明：2005年全国初中数学联赛共分A 、B 、C 、D 、E 五套试卷，A 、B 、C 属于一种试卷，只是在难度上稍作区分，由于有些省市不能在4月17日举行竞赛，因此命题委员会特地为深圳、江西、辽宁等省市命制了两套试卷，即D 、E 卷．D 、E 卷比A 、B 、C 卷的难度略大些．一、选择题(每小题7分，共42分)1．51229355----与512293--的 ( ).(A )和为1 (B )差为1 (C )积为1 (D )商为12．使代数式y = x 2 + 11x + 1的值为整数的全体自然数x 的和是 ( )． (A )5 (B )6 (C )12 (D )223．时钟的表面为圆形，在它的圆周上有12个用于表示整点的等分点．以这些等分点 为顶点的矩形有 ( )个．(A )6 (B )12 (C )15 (D )244，如图l ，在矩形ABCD 中，AB =2，BC = 3，E 、F 分别是AB 、 CD 的中点，线段DE 、BF 、EF 分别交对角线AC 于点M 、N 、P ． 则以图l 中的线段为边的直角三角形有( )个． (A )8 (B )12 (C )16 (D )20·5．a 、b 、c 、d 为正数，a > b > c > d ，记x =))()((d c b a cd ab --+，y = ))()((d b c a bd ac --+， z =))()((c b d a bc ad --+．则以x 、y 、z 为边长 ( )．(A ) 必可构成一个锐角三角形 (B ) 必可构成一个钝角三角形(C ) 必可构成一个直角三角形 (D ) 不一定构成三角形6．用红、黄、蓝三种颜色染3×3表格的每一个方格，使满足：①每行三色都有，②每列三色都有，③邻格(有公共边的每两个方格)不同色，则不同的染色方法有( )种．(A )12 (B )18 (C )24 (D )27二、填空题(每小题7分，共28分)1．正方形ABCD 的边长为4，以AB 为直径向形内作半圆，CM 与DN 是半圆的切线，M 、N 为切点．若CM 与DN 交于正方形内一点P ，则△PMN 的面积是 .2．将互不相同的n 个数填写在一个圆周上，使得对于每相邻的三个数，中间一数都等于它两侧的数之积．则n = .3．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4s 敲响一声，乙钟每5s 敲响一声，丙钟每6s 敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别为x 次、y 次、z 次，则x + y + z = ．4．从1，2，… ，10中选取3个不同的数a 、b 、c 作为一元二次方程ax 2 + bx = c 的系数．则具有不同解的方程个数为 .三、解答题(共70分)1．(20分)若正整数a 、b 是关于x 的方程x 2– a 2– 913 x + 10b + 56 + 5b 52205+=0的两个根，求a 、b 的值．A B C DE F MN P2．(25分)在四边形ABCD中，∠ABC = ∠ADC = 90°，P是对角线AC、BD的交点，M、N分别是AB、CD上的点，满足DM上AC，BN上AC．求证：M、N、P三点共线．3．(25分)已知a、b是互质的正整数，满足a + b = 2 005．用正[x] 表示数x的整数部分，并记A = [ 2005×1a] + [2005×2a] + … + [2005×aa] ，B = [2005×1b] + [2005×2b]+ … + [ 2005×bb] .试求A + B的值．参考答案一.DDCBCA二. 1.2725；2. 6；3. 484；4. 654；三. 1. a = 23，b = 17.2.略3. 2011016.。
2005年全国初中数学竞赛选拔赛试题
荆州市2004年初中数学竞赛2005年全国初中数学竞赛选拔赛试题考生注意：题号后标有“初二”者，为初二年级考生试题；题号后标有“初三”者为初三年级考生试题；没有特别标志的试题为公共试题，两个年级考生都做。
初二年级考生不能做初三年级试题，初三年级考生不能做初二年级试题。
满分均为120分。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1．若n 满足(n －2004)2+(2005－n)2=1，则(2005－n)(n －2004)等于 （ ）A ．－1B ．0C ．21 D ．12．如图1，已知∠CGE=120°，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）A ．150°B ．210°C ．240°D ．270°3．设x 、y 、z 均为正实数，且满足 xz yz y x y x z +<+<+，则x 、y 、z 三个数的大小关 系是（ ）A ．z<x <yB ．y<z<xC ．x <y<zD ．z<y<x4．（初三）两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A 点和B 点（如图2）；A 点 和B 点之间的距离是100米，陈洁离开A 以每秒8米的速度沿着与AB 成60°角的直线 上滑行，在陈洁离开A 点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B 点， 这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度 最早相遇.则最早相遇的时间是（ ） A ．18秒 B ．20秒C ．22秒D ．3100秒 5．（初三）二次函数y=ax 2+b x +c(a ≠0)图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和点图3A ．0<S<1B ．0<S<2C ．1<S<2D ．－1<S<16．（初三）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0||||50||||522x y y y x x 在实数范围内解的组数为（ ）A ．多于5组B ．5组C ．3组D ．1组7．（初二）已知a 、b 都是正整数，那么a 、b 和8为边组成的三角形有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个8．（初二）将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不 一定按此）.则此五边形的面积为 （ ）A ．680B ．720C ．745D ．7609．（初二）水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付 钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，则共应付钱 （ ）A ．8元B ．6元C ．5元D ．4元二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10．已知p, q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则p+q= . 11．如图3，G 是边长为4的正方表ABCD的边BC 上一点，矩形DEFG 的边EF 过点A ，GD=5，则FG 的长为 .12．若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客 人.13．（初三）已知△ABC 是非等腰直角三角形，∠BAC=90°，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB=BC=CE ，连结AD 、AE ；已知∠BAD=45°，那么tan ∠CAE= . 14．（初三）如图4，已知圆内接等边三角形ABC ，在劣弧BC 上有一点P ，若 AP 与BC 交于点D ，且PB=21， PC=28，则 .15．（初三）四条直线y=x +10，y=－x +10，y=x －10, y=－x －10，在平面直角坐标系中围成的正方形内（包含四边）整点的个数有 .（注：若x ，y 为整数，则(x 、y)为整点） 16．（初二）某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的盈利是 元.17．（初二）方程|x －2y －3|+|x +y+1|=1的整数解的个数是 .18．（初二）已知点A （1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P 使△AOP 为等腰三角形.则符合条件的点P 共有 个. 三、（本大题满分15分）19．（初三）已知k 是整数，且方程x 2+k x －k+1=0有两个不相等的正整数根，求k 的值. 20．（初二）如图5所示，将1到9这9个自然数填入3×3的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和都相等，试确定正中间方格x 的值并说明理由.四、（本大题满分15分）21．某出版公司为一本畅销书价如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)49(10)4825(11)241(12)(n n n n n n n C这里的n 表示订购书的数量，C(n )是订购书所付的钱款数（单位：元） （1）有多少个n ，会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花的钱少？（2）若一本书的成本是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人共买60本，五、（本大题满分15分）22．（初三）如图6：已知AC、BD是圆O的内接四边形ABCD的对角线，且BD垂直平分半径OC；在AC上取一点P使CP=OC，连结BP并延长交AD于点E交圆O于点F.求证PF是EF和BF的比例中项.23．（初二）如图7：已知在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD；连结AC，过A点作AE ⊥AC，且使AE=AC；连结BE，过A点作AH⊥CD，垂足为H，且交BE于点F，求证BF=EF.六、（本大题满分15分）24．（初三）如图8，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的是大值. 25．（初二），如图9，某古城护城河在CC′处起直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B 处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计）.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A，B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米.恰当地架桥可使ADD ′E′ED的路程最短.这个最短路程是多少米？参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；解答题请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1．若n 满足(n －2004)2+(2005－n)2=1，则(2005－n)(n －2004)等于（B ）A ．－1B ．0C ．21 D ．1解答：设(2005－n)=a , (n －2004)=b a +b=1 a 2+b=1,02)()(222=+-+=∴b a b a ab 故选B. 2．如图1，已知∠CGE=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= （ C ）A ．150°B ．210°C ．240°D ．270°解答：连结AG ，则∠AGC=∠B+∠BAG , ∠AGE=∠F+∠FAG , ∴∠B+∠BAF+∠F=∠EGC=120° 则理∠C+∠D+∠E=∠BGF=120°即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°故选C 3．设x 、y 、z 均为正实数，且满足 xz yz y x y x z +<+<+，则x 、y 、z 三个数的大小关 系是（ A ）A ．z<x <yB ．y<z<xC ．x <y<zD ．z<y<x解答：∵x 、y 、z 为正实数，则有yxz x z y z y x +>+>+， 从而yzy x x z y x z z y x ++>++>++即得z<x <y.故选A. 4．（初三）两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A 点和B 点（如图2）；A 点 和B 点之间的距离是100米，陈洁离开A 以每秒8米的速度沿着与AB 成60°角的直线 上滑行，在陈洁离开A 点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B 点， 这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度 最早相遇.则最早相遇的时间是（ B ） A ．18秒 B ．20秒C ．22秒D ．3100秒 解答：如图：过C 作CD ⊥AB 于点D设满足题设的时间为t 秒，则有AC=8t ，BC=7t ，又∠A=60°.t CD t AD 34,4==∴ 由勾股定理知310020)34()4100()7(222==+-=t t t t t 或解得（舍）故选B. 5．（初三）二次函数y=ax 2+b x +c(a ≠0)图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和点（－1，0）两点，则S=a +b+c 的值的变化范围是（ B ）A ．0<S<1B ．0<S<2C ．1<S<2D ．－1<S<1解答：分别令x =0, y=1和x =－1, y=0. 求得c=l , a =b －1 ∴S=a +b+c=2b.由题设知02>-ab，且a <0，可以推知2b>0又由b=a+1及a <0可以推知2b<2. ∴0<S<2故选B.6．（初三）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0||||50||||522x y y y x x 在实数范围内解的组数为（ A ）A ．多于5组B ．5组C ．3组D ．1组解答：设|x |=a , |y|=b ,，则原方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-050522a b b b a a两式相减并化为(a －b)(a +b －6)=0∴a －b=0或a +b －6=0由此可得⎩⎨⎧=-+=+-⎩⎨⎧=-=+-060500522b a b a a b a b a a 或 前者解得（a , b ）=（0，0），（4，4）后者解得，（a ,b ）=（3+3，3－3）或（3－3，3+3）因此（a ,b ）的第一组解推得（x , y ）=（0，0）；其它三组解分别可推得的4组解，所以原方程组有13组不同的实解.故选A.7．（初二）已知a 、b 都是正整数，那么a 、b 和8为边组成的三角形有 （ D ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个解答：对于a =b>4的任何正整数，均可与8一起构成三角形的三边，故选D.8．（初二）将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不 一定按此）.则此五边形的面积为 （ C ）A ．680B ．720C ．745D ．760解答：如图：注意到切去的三角形的三边分别为5、12、13. ∴S 五边形=S 长方形－S 三角形=31×25－21×5×12=745 故选C. 9．（初二）水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，则共应付钱 （ A ）A ．8元B ．6元C ．5元D ．4元解答：设甲、乙、丙三种水果每千克价分别为x 、y 、z 元，由题设知⎩⎨⎧=++=++)2(4224)1(642 z y x z y x （1）×2+（2）得8x +4y+10z=16即4x +2y+5z=8，故选A. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10．已知p, q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则p+q= 15 .解答：因为5p 2+3q 为奇数，故p, q 必为一奇一偶，而 p , q 均为质数，故p ，q 中有一个为2.若q 为2，则 5p 2=553，不合题意，舍去；若p 为2，则q=13即p+q=15. 11．如图3，G 是边长为4的正方表ABCD的边BC 上一点，矩形DEFG 的边EF 过点A ，GD=5，则FG 的长为516. 解答：连结AG ∵S △ADG =21S 正方形ABCD =21S 长方形DEFG =16 ∴FG=516，注：利用△AED ∽△GDC 亦可. 12．若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客 961 人.解答：设有x 辆汽车，少一辆汽车后每辆车坐y 人，有30x +1=y(x －1) 从而131301130-+=-+=x x x y 所以x =2（不合题意）；x =32. 因此游客数为30×32+1=961人.13．（初三）已知△ABC 是非等腰直角三角形，∠BAC=90°，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB=BC=CE ，连结AD 、AE ；已知∠BAD=45°，那么tan ∠CAE=41. 解答：分别过B 、C 两点作BM//AC ，CN//AB分别交AD 、AC 于M 、N ；容易知道AC=2BM ， AB=2CN 又tan ∠BAD=BM, tan ∠ACCNCAE = 从而tan ∠BAD ·tan ∠CAE=41又tan ∠BAD=1 即tan ∠CAE=41.14．（初三）如图4，已知圆内接等边三角形ABC ，在劣弧BC 上有一点P ，若 AP 与BC 交于点D ，且PB=21， PC=28，则PD= 12 . 解答：由△ABD ∽△CPD 知CP AB DP BD =又由△ACD ∽△BPD 知 BPACDP DC =二式相除得43==CP BP DC BD （注：此处用角平分线定理亦可直接得出） ∵△ABD ∽△CPD 知ABCPBD PD =122873=⨯=⋅=⋅=∴CP BC BD CP AB BD PD15．（初三）四条直线y=x +10，y=－x +10，y=x －10, y=－x －10，在平面直角坐标系中围成的正方形内（包含四边）整点的个数有 221 .（注：若x ，y 为整数，则(x 、y)为整点） 解答：如图：分4个三角形考虑：△AOB（仅不含BO 边），△BOC （仅不含CO 边） △COD （仅不含DO 边）△DOA （仅不含 AO 边）每个三角形内所含整点的个数均为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，再考虑原点，故共有55×4+1=221.16．（初二）某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一解答：设盈利25%的成本价为x 元, 亏损25%的成本价为y 元,则有90－x =25%x ， 90－y=－25%y 解得x =72，y=120.从而利润为：(x +y)－180=－12元17．（初二）方程|x －2y －3|+|x +y+1|=1的整数解的个数是 1 .解答：由题设知⎩⎨⎧=++=--⎩⎨⎧=++=--0|1|1|32|1|1|0|32|y x y x y x y x 或从而得到—F 面四个方程组：①⎩⎨⎧=++=--11032y x y x ②⎩⎨⎧-=++=--11032y x y x ③⎩⎨⎧=++=--01132y x y x ④⎩⎨⎧=++-=--01132y x y x 解以上方程组，得惟一整数解⎩⎨⎧-==11y x . 18．（初二）已知点A （1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P 使△AOP 为等腰三角形.则符合条件的点P 共有 8 个.解答：①当P 在x 轴上若OA 为腰时，由OA=OP 得P 1(2，0)，P 2(－2，0)；由OA=AP得P 3(2, 0); 若OA 为底时，得P 4（1，0）有4个点.②当P 在y 轴上对称地也有4个点，所以满足题设的点共有8个.三、（本大题满分15分）19．（初三）已知k 是整数，且方程x 2+k x －k+1=0有两个不相等的正整数根，求k 的值. 解：设方程两个不相等的正实数根为a ,b （不妨设a <b ）于是a +b=－k, a b=－k+1.消去k 有ab －a －b=1，即(a －1)(b －1)=2……（10分） 只有a －1=1，b －1=2.即a =2，b=3.进而k=－5.……………………（15分）20．（初二）如图5所示，将1到9这9个自然数填入3×3的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和都相等，试确定正中间方格x 的值并说明理由.解：x =5.………………（5分）其理由是：按如图所示填字母a , b, c, d, e ,f , g , h ,有: a +b+c+d+x +e+f+g+h=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45…8分且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++15151515e x d g x b f x c h x a 四式相加得(a +b+c+d+x +e+f+g+h)+3x =60从而3x =15即x =5.………………（15分）四、（本大题满分15分）21．某出版公司为一本畅销书价如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)49(10)4825(11)241(12)(n n n n n n n C这里的n 表示订购书的数量，C(n )是订购书所付的钱款数（单位：元）（1）有多少个n ，会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花的钱少？（2）若一本书的成本是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人共买60本，则出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？解：（1）由C （25）=275，C （24）=288，C （23）=276，C （22）=264；有C （25）<（23）<C （24）由C(49)=490, C(48)=528, C(47)=517, C(46)=506, C(45)=495, C(44)=484, 有C(49)<C(45)<C(46)<C(47)<C(48);故共有6个n （即23，24，45，46，47，48）出现买多于n 本书比恰买n 本所花的钱少.……（5分）（2）设两人共购买a 本和b 本共付钱S 元，不妨设a ≤b ，由a +b=60知道1≤a ≤30 （i ）当1≤a ≤11时，49≤b ≤59，S=12a +10b=10(a +b)+2a =600+2a 602≤S ≤622 （ii ）当12≤a ≤24时，36≤b ≤48 S=12a +11b=660+a 672≤S ≤684（iii ）当25≤a ≤30时，30≤b ≤48 S=11a +11b=660故出版公司最少赚602－60×5=302元，最多赚684－60×5=384元……（15分）五、（本大题满分15分）22．（初三）如图6：已知AC 、BD 是圆O 的内接四边形ABCD 的对角线，且BD 垂直平分半径OC ；在AC 上取一点P 使CP=OC ，连结BP 并延长交AD 于点E 交圆O 于点F.求证PF 是EF 和BF 的比例中项.证明：连结OB 、AF.∵BD 垂直平分半径OC ，∴BO=BC又OB=OC=CP ∴CP=CB 从而∠PBC=∠BPC ；又∵∠PBD=∠PBC －∠CBD∠ABP=∠BPC －∠BAC而已知OC ⊥BD 得到点C 是弧BD 中点∴∠BAC=∠DAC=∠CBD因此∠PBD=∠ABP 即P 为△ABD 的内心.……（10分）这样一来，∠EAF=∠ABF ，∠F=∠F ，∴△AEF ∽△BAF 即得AF 2=EF ·BF又因为∠FAP=∠FAE+∠CAD∠FPA=∠ABF+∠BAC由内心可知，∠CAD=∠BAC ，∠FAE=∠ABF所以∠FAP=∠FPA 即PF=AF …………………………（15分）因此PF 2=EF ·BF 结论成立.23．（初二）如图7：已知在四边形ABCD 中，AB=AD ，AB ⊥AD ；连结AC ，过A 点作AE⊥AC ，且使AE=AC ；连结BE ，过A 点作AH ⊥CD ，垂足为H ，且交BE 于点F ，求证BF=EF.证明：过B 点作BM ⊥AH ，过E 点作EN ⊥AH ，交AH 或其延长线分别于点M 、N∵AB ⊥AD ∴∠BAM+∠ABM=90°又∵AH ⊥CD ∴∠DAH+∠ADH=90°∴∠BAM=∠ADH 而∠AMB=∠AHD=90°，AB=AD∴Rt △ABN ≌Rt △DAH∴BM=AH …………………………（5分）同理可证明Rt △EAN ≌Rt △ACH 得到EN=AH ………………（10分）在Rt △BMF 和Rt △ENF 中，有EN=AH ，∠BFM=∠EFN ，∠BMF=∠ENF=90° ∴Rt △BMF ≌Rt △ENF因此BF=EF ……………………………………………………（15分）六、（本大题满分15分）24．（初三）如图8，已知矩形ABCD ，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN ，P 在CD 上移动，AP 与DM 交于点E ，PN 交CM 于点F ，设四边形MEPF 的面积为S ，求S 的是大值. 解：连结PM ，设DP=x ，则PC=4－x ，∵AM//OP11211+=∴=⋅==+=+=∴=∴∆∆∆∆x x S AD AM S PA PE S S x x PA PE AM PD PD PA PE AM PD EA PE MPE APM APM MEP 且又即 同理可求xx S MPF --=∆54……………………（8分） 因此5462511125412++--=--+-=--++=x x x x x x x x S 343229)2(622=-≤--+=x ………………（13分） 当x =2时，上式等号成立.………………………（15分）25．（初二），如图9，某古城护城河在CC ′处起直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计）.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A ，B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米.恰当地架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短.这个最短路程是多少米？解：如图所示，作AA ′⊥CD ，AA ′⊥DD ′；BB ′⊥CE ，BB ′⊥EE ′，则折线ADD ′E ′EB 的长度等于折线AA ′D ′E ′B ′B 的长度，等于折线A ′D ′E ′B ′以线段A ′B ′最短.…………………………（10分）故题目所示最短路程S=A ′B ′+10.而A ′，B ′在东西方向上相距65－5=60米，南北方向上相距85－5=80米，从而由勾股定理知A ′B ′=228060 =100米，故S=110米.………………（15分）。
2005年全国初中数学联赛初赛试卷(附答案)
2005年全国初中数学联赛初赛试卷3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：301、若a 、b 为实数，则下列命题中正确的是（ ）（A ）a ＞b ⇒a 2＞b 2 (B)a ≠b ⇒a 2≠b 2 (C)|a|＞b ⇒a 2＞b 2 (D)a ＞|b|⇒a2＞b 22、已知：a+b+c=3,a 2+b 2+c 2=3,则a 2005+b 2005+c 2005的值是（ ）（A ） 0 (B) 3 (C) 22005 (D)3·220053、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块。
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 224、在Rt △ABC 中，斜边AB=5，而直角边BC 、AC 之长是一元二次方程x 2－(2m －1)x+4(m －1)=0的两根，则m 的值是（ ）（A ）4 （B ）－1 （C ）4或－1 （D ）－4或15、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y=x －3与y=kx+k 的交点为整数时，k 的值可以取（ ）（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像的对称轴，则有（ ） （A ）a+b+c=0 （B ）b ＞a+c （C ）c ＞2b （D ）abc ＜0 二、填空题 （每小题7分，共计28分）1、已知：x 为非零实数，且1122x x -+ = a , 则 2x 1x+=_____________。
2、已知a 为实数，且使关于x 的二次方程x 2+a 2x+a = 0有实根，则该方程的根x 所能取到的最大值是_______________________.3、p 是⊙o 的直径AB 的延长线上一点，PC 与⊙o 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于Q ，则 则∠PQC = _________.4、对于一个自然数n ，如果能找到自然数a 和b ，使n=a+b+ab ,则称n 为一个“好数”，例如： 3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__________个。
全国初中数学竞赛试题及答案(2005年).doc
辽府函〔2019〕103号辽源市人民政府关于认真做好2019年度人大代表建议和政协提案办理落实工作的通知各县、区人民政府，辽源经济开发区管委会，市政府各委、办、局，各直属机构，驻市各中省直单位：市人大、市政协八届四次会议结束后，市政府共收到市人大和市政协转来代表建议80件、政协提案118件，全年总承办任务198件。
按照市人大、市政府、市政协领导同志关于建议提案办理工作的讲话精神和《辽源市人民政府办公室关于自觉接受市人大法律监督、工作监督和市政协民主监督的实施意见》（辽府办发〔2016〕36号），现就做好2019年建议提案办理工作相关要求通知如下：一、知责明责、履职尽责，切实扛起办理任务各县区政府、各承办部门和单位要站在讲政治、顾大局的高度，将建议提案办理工作作为重点工作来抓，高度重视，精心安排，实行有人抓、有人管、有人办的“三级负责制”，明确主管科室，落实责任人。
要制定切实可行的实施方案，建立办理台账，完善工作流程，健全工作机制和制度，有力有序有效推进办理工作。
二、精心组织、统筹推进，切实推进办理工作的制度化、规范化、法治化一是全力抓好建议提案分办工作。
市政府办公室按照市政府分管领导的批示意见，结合建议提案内容和承办部门职责，对2019年建议提案进行了分办。
各县区政府、各承办部门和单位签收建议提案后，对拟办意见没有异议的，将建议提案承办任务表送至市政府办公室议案科（主要领导签字、加盖公章）；对主办、分办、协办任务有异议的，请于2019年4月15日前向市政府办公室议案科说明情况并填写《建议提案调整承办部门申请单》，逾期未说明的视为同意。
二是规范答复内容和格式。
答复内容要认真诚恳、实事求是，按照全省统一样式执行，做到准确规范、表述清晰扼要、要件齐全（承办部门答复文件格式在辽源市政府门户网站互动交流栏目“建议提案”中下载）。
办理答复情况要按以下分类注在答复件首页右上角：（1）所提问题己经解决或基本解决的，用“A”标明；（2）所提问题正在解决或列入计划逐步解决的，用“B”标明；（3）所提问题因目前条件限制或其他原因需待以后解决的，用“C”标明；（4）所提问题留作参考的，用“D”标明。
初中数学竞赛专题6：因式分解
专题6：因式分解第1讲 因式分解赛题练习一、选择题1．（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ） A ．是完全平方数，还是奇数 B ．是完全平方数，还是偶数 C ．不是完全平方数，但是奇数D ．不是完全平方数，但是偶数2．（第17届希望杯竞赛题）There is a two-placed number 10ab a b =+satisfying that ab ba + is a complete square number ，then total number of those like ab is （ ） A ．4B ．6C ．8D ．10（英汉词典：two-placed number 两位数；number 数；to satisfy 满足；complete square 完全平方（数）；total 总的，总数）3．（2005年全国初中数学竞赛题）若223894613M x xy y x y =-+-++（x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ） A ．正数B ．负数C ．零D ．整数4.（北京市竞赛题）44a +分解因式的结果是（ ） A.()()222222a a a a +--+ B.()()222222a a a a +--- C.()()222222a a a a ++--D.()()222222a a a a ++-+5.（2006年希望杯竞赛题）实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006B.2005C.2004D.20036.（2005年武汉市竞赛题）若3234x kx -+被31x -除后余3，则k 的值为（ ） A.2B.4C.9D.107.（第13届希望杯竞赛题）已知a b c >>，222M a b b c c a =++，222N ab bc ca =++，则M 与N 的大小关系是（ ） A.M N <B.M N >C.M N =D.不能确定8.（美国犹他州竞赛题）322136x x x +-+的因式是（ ） A.21x - B.2x + C.3x -D.21x +E.21x +9.（2005年全国初中数学竞赛题）若22389M x xy y =-+-4613x y ++（x 、y 是实数），则M 的值一定是（ ） A.正数B.负数C.零D.整数10.（武汉市竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ） A.7 B.8C.15D.21二、填空题11．（第7届五羊杯竞赛题）把()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd ++++--+--+--+因式分解为________．12．（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=________． 13．（第18届五羊杯竞赛题）分解因式：2226773x xy y x y --+++=________．14．（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=________．15．（2007年全国初中数学联赛题）若10064a +和20164a +均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是________．16.（北京市竞赛题）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，则2002()x y z --=__________. 17.（2004年广西竞赛题）已知()22210x y x y +--+=，则()999x y +=__________.18.（北京市竞赛题）1~100若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有____________个.19.（郑州市竞赛题）分解因式：22423a b a b -+++=_______________________________________. 20.（2004年河南省竞赛题）分解因式：229643x x y y --+-=_______________________________. 21.（第16届希望杯竞赛题）分解因式：()()221ab a b a b +-++=_____________________________. 22.（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________________.23.（第15届江苏省竞赛题）已知26x x +-是多项式43221x x ax bx a b +-+++-的因式，则a =___________，b =___________.24.（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=___________. 25.（大连市第8届育英杯竞赛题）分解因式：()()112x x y y xy -++-=____________. 三、解答题26．（1991年黄冈初中数学竞赛题）已知a 是自然数，且3221215a a a +-+表示质数，求这个质数．27．（1999年天津市数学竞赛题）当k 为何值时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解成两个一次因式的积？28．（第9届华杯赛总决赛题）计算；()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++．29．（第10届希望杯竞赛题）272-1能被500与600之间的若干整数整除，请找出三个这样的整数，它们是________．30．（第10届希望杯竞赛题）若233x x x k +-+有一个因式是x +1，求k 的值．31．（第6届希望杯竞赛题）计算：2211100.010.01101001000⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．32．（第9届五羊杯竞赛题）当n =1，x =2时，求多项式51n n x x ++的两个因式的和．33．（2000年美国犹他州中学数学竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式x +1和x +2，求a +b 的值．34．（第5届美国数学邀请赛试题）计算：()()()()()()()()()()44444444441032422324343244632458324432416324283244032452324++++++++++．35．（第37届美国中学生数学竞赛题）设543269569106910695691N =+⨯+⨯+⨯+⨯+．问：有多少个正整数是N 的因数？36．（第9届莫斯科奥林匹克试题）证明：对任何整数x 和y ，343223453515412x x y x y x y xy y +--++的值都不会等于33．37．（第37届美国中学生数学竞赛题）已知b ，c 是整数，二次三项式2x bx c ++既是42625x x ++的一个因式，也是4234285x x x +++的一个因式，求当x =1时，2x bx c ++的值．38.（祖冲之杯竞赛题）分解因式：32539x x x ++-.39.（北京市竞赛题）证明恒等式：()244422()2a b a b a ab b +++=++.40.（江苏省竞赛题）已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，求22x y +的值.41.（希望杯竞赛题）分解因式：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-.42.（第12届五羊杯竞赛题）分解因式：()()42424310x x x x +-+++.43（2006年希望杯培训题）计算：32322007220072005200720072008-⨯-+-.44.（太原市竞赛题）已知关于x 、y 的二次式22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式的乘积，求a 的值.45.（2005年莫斯科市竞赛题）对方程22222004a b a b ++=，求出至少一组整数解.46.（2006年创新杯培训题）已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n .47.（2006年全国初中数学竞赛题）计算 (252)(472)(692)(8112)(200420072)(142)(362)(582)(7102)(200320062)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+48.计算：（1）（第15届希望杯竞赛题）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）（第九届华杯赛竞赛题）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++49.分解因式： （1）4464a b +； （2）4224x x y y ++； （3）()2222(1)x x x x ++++；（4）（昆明市竞赛题）()()()24c a b c a b ----；（5）（第15届希望杯竞赛题）432234232a a b a b ab b ++++； （6）（重庆市竞赛题）32256x x x +--.50.（重庆市竞赛题）分解因式： （1）224443x x y y --+-； （2）343115x x -+.问题解决例1.分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---=______. 例2.把下列各式分解因式： （1）()()22525312x x x x ++++-； （2）()()()()21236x x x x x +++++； （3）()()()()211x y x y xy xy xy +++++-.例3.阅读理解：观察下列因式分解的过程： （1）244x xy x y -+-原式()()()()()()24444x xy x y x x y x y x y x =-+-=-+-=-+. （2）2222a b c bc --+原式()()()()222222a b c bc a b c a b c a b c =-+-=--=+--+.第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式.仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）2a ab ac bc -+-； （2）22244x y z yz --+.例4.分解因式：326116x x x +++.例5.把下列各式分解因式： （1）261110y y --； （2）22823x xy y --.数学冲浪 知识技能广场1.分解因式：（1）()()22162x x x ---=______； （2）()()4a b a b ab --+=______； （3）276ax ax a -+=______. 2.分解因式：（1）3222a ab a b +-=______；（2）()()21211x x ---+=______； （3）2221a ab b -+-=______； （4）2244x y x --+=______. 3.分解因式：（1）323412x x x +--=______； （2）()()2223238x xx x +-+-=______.4.若()()23x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n =______.5.把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ）. A.()34xy x y x --B.()22x x y --C.()2244x xy y x --D.()2244x xy y x --++6．()()()()()()656565323322134x x x x x x x xx +-+++-+++-与下列哪一个式子相同（ ）.A.()()653421x x x -+ B.()()653423x x x -+ C.()()653421x x x --+D.()()653423x x x --+7．把多项式22243x y x y ----因式分解之后，正确的结果是（ ） A.()()31x y x y ++-- B.()()13x y x y +--+ C.()()31x y x y +--+D.()()13x y x y ++--8．已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ） A.3个B.4个C.6个D.8个9．先阅读以下材料，然后解答问题.分解因式：()()()()mx nx my ny mx nx my ny x m n y m n +++=+++=+++=()()m n x y ++；也可以()()()()()()mx nx my ny mx my nx ny m x y n x y m n x y +++=+++=+++=++. 以上分解因式的方法称为分组分解法. 请用分组分解法分解因式：3322a b a b ab -+-.10.分解因式：（1）22463a b a b -+-；（2）222944a b bc c -+-； （3）()()()2a c a c b b a +-+-； （4）()()221212x x x x ++++-； （5）()22223122331x x x x -+-+-； （6）()()()213512x x x -+++.思维方法天地11.分解因式：()()()()()12345x x x x x x ++++++=______. 12.分解因式：()()()33322x y x y -----=______.13.已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解为()()8ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a b c ++=______.14.已知1x -得多项式33x x k -+的一个因式，那么k =______；将这个多项式分解因式，得______. 15.44a +分解因式的结果是（ ）.A.()()222222a a a a +--+B.()()222222a a a a +---C.()()222222aa a a ++-- D.()()222222aa a a ++-+16．实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006B.2005C.2004D.200317．已知3a b -=，5b c +=-，则代数式2ac bc a ab -+-的值为（ ） A.15-B.2-C.6-D.618．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且满足()222220a b c b a c ++-+=，则此三角形是（ ）. A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定19．分解因式：（1）224443x x y y --+-；（2）()()()2221x y xy x y xy +-+-+-； （3）343115x x -+； （4）32539x x x ++-.应用探究乐园20.已知在ABC ∆中，三边长a ，b ，c 满足等式222166100a b c ab bc --++=.求证：2a c b +=.21.下金蛋的鸡法国数学家费马（1601-1665）一生中提出了不少猜想，最著名的是“费马大定理”：关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=（n 为大于2的整数）没有正整数解.直到350年之后，这个猜想才由英国数学家怀尔斯（1953— ）于1994年证明.德国数学家希尔伯特（1862-1943）将费马大定理称为“一只会下金蛋的鸡”，因为在攻克它的漫漫征程中，不但引出了许多数学概念和方法，而且促进了一些新的分支的创立和发展.这些远比证明定理本身更重要！不过费马的猜想并不总是正确的.他考察了12215+=，222117+=，3221257+=，422165537+=，发现结果都是素数（也称质数），于是猜想：对任意正整数n ，221n+（即()221n+）都是素数.瑞士数学家欧拉（1707-1783）指出，5221+并不是素数.我国数学家华罗庚（1910—1985）在他的著作《数论导引》中给出一种简明的证法：设72a =，5b =，可算得()524442111ab a a b +=++-，可见5221+必有除1和本身以外的约数______（填较简单的一个，用含a ，b 的式子表示），即5221+能被______整除（填入具体数值），所以不是素数.第2讲 因式分解的应用赛题练习1.（2004年重庆市竞赛题）已知2310x x x +++=，则220041x x x ++++的值为（ ）A.0B.1C.1-D.20042.（第19届江苏省竞赛题）若432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则:a b 的值是 （ ） A.2-B.12-C.6D.43.（第14届希望杯竞赛题）若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值为（ ） A.0B.1-C.1D.34.（第17届江苏省竞赛题）a 、b 、c 是正整数，a b >，且27a ab ac bc --+=，则a c -的值为（ ） A.1-B.1-或7-C.1D.1或75.（中学生智能通讯赛试题）设()()322320042003200420052003200220012002a -⨯+=⨯--，()()322320052004200520062004200320022003b -⨯+=⨯--，则a 、b 的大小关系是（ ） A.a b >B.a b =C.a b <D.不能确定6.（湖北省竞赛题）设a 是正数，且21a a -=，那么224a a-的值为（ ） A.3-B.1C.3D.57.（2005年全国初中数学竞赛题）已知2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，则与A 最接近的正整数是（ ） A.18B.20C.24D.258.（2007年全国初中数学竞赛题）方程323652x x x y y ++=-+的整数解(),x y 的个数是（ ） A.0B.1C.3D.无穷多9.（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ） A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数10.（2002年全国初中数学联赛题）若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为（ ） A.1B.0C.1-D.2-11.（2003年全国初中数学联赛题）满足等式2003=的正整数对(),x y 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412.（第14届希望杯竞赛题）已知54410a a b a a b --+--=，且231a b -=，则33a b +的值为___________.13.（全国初中数学竞赛题）已知a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________.14.（第17届希望杯竞赛题）A 、n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =_____________.15.（四川省竞赛题）对一切大于2的正整数n ，数5354n n n -+的最大公约数是____________. 16.（2001年全国初中数学联赛题）一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为___________.17.（第9届华杯赛试题）a 、b 、c 是正整数，并且满足等式12004abc ab ac bc a b c +++++++=，那么a b c ++的最小值是__________.18.（祖冲之杯竞赛题）整数a 、b 满足6910303ab a b =-+，则a b +=___________.19.（第18届五羊杯竞赛题）若P 是两位的正整数，则以下等式中有可能成立的式子的个数是______________.①22006(34)(59)x Px x x ++=--； ②22006(17)(118)x Px x x ++=--； ③22006(34)(59)x Px x x --=+-； ④22006(17)(118)x Px x x --=+-； ⑤22006(1)(2006)x Px x x +-=-+.20.（2001年全国初中数学联赛题）若214x xy y ++=，228y xy x ++=，则x y +的值为___________. 21.（2005年四川省竞赛题）对于一个正整数n ，如果能找到正整数a 、b ，使得n a b ab =++，则称n 为一个“好数”，例如31111=++⨯，3就是一个“好数”，那么，在1~20这20个正整数中，好数有___________个.22.（2004年北京市竞赛题）已知x 、y 为正整数，且满足22222341x y x y +=+，则22x y +__________. 23.（第10届希望杯竞赛题）7221-能被500与600之间的若干整数整除，请找出3个这样的整数，它们是__________.24.（2008年天津市竞赛题）已知4个实数a 、b 、c 、d ，且a b ≠，c d ≠.若4个关系式：22a ac +=，22b bc +=，24c ac +=，24d ad +=同时成立，则6232a b c d +++的值为___________. 25.（五城市联赛题）若a 是自然数，则4239a a -+是质数还是合数？给出你的证明.26.（全国初中数学联赛题）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是()911145mn m n +++元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.27.（2006年俄罗斯萨温市竞赛题）（1）证明：19992000200120032004200536⨯⨯⨯⨯⨯+是一个完全平方数.（2）证明：数848497n n ++-对于任何自然数n 都能被20整除.28.（江苏省竞赛题）（1）证明：791381279--能被45整除；（2）证明：当n 为自然数时，()221n +形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭29.（2005年太原市竞赛题）二次三项式22x x n --能分解为两个整系数一次因式的乘积. （1）若130n ≤≤，且n 是整数，则这样的n 有多少个？ （2）当2005n ≤时，求最大的整数n .30.（重庆市竞赛题）按下面规则扩充新数：已有两数a 、b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.问题解决例1.方程2270xy x y --+=的整数解（x y ≤）为______. 例2.1621-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是（ ）. A.6 B.5 C.4 D.3例3.计算：（1）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++. 例4.设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数.例5.已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n 的值.例6.（1）实数x ，y 满足221252810x xy y y ++-+=，则22x y -=______.（2）在平面直角坐标系中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标(),x y 的个数为（ ）. A.10B.9C.7D.5数学冲浪 知识技能广场1.设y ax =，若代数式()()()23x y x y y x y +-++化简的结果为2x ，则a =______.2.如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为______. 3.如果实数x ，y 满足方程组1,2225,x y x y ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩那么22x y -的值为______.4.已知2m ≥，2n ≥，且m ，n 均为正整数，如果将n m 进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：（1）在52的“分解”中最大的数是11； （2）在34的“分解”中最小的数是13；（3）若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5. 其中正确的是______.5.若实数x ，y ，z 满足()()()240x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（ ） A.0x y z ++= B.20x y z +-= C.20y z x +-=D.20z x y +-=6．边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ） A.140B.70C.55D.247．设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是（ ）. A.5814B.5841C.8415D.84518．a ，b ，c 是正整数，a b >，27a ab ac bc --+=，则a c -等于（ ） A.1- B.1-或7- C.1 D.1或79．计算：（1）32322004220042002200420042005-⨯-+-； （2）44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.10.选取二次三项式()20ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫配方. ①选取二次项和一次项配方：()224222x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：(()22424x x x x -+=+，或((32424x x x x -+=-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-.根据上述材料，解决下面的问题.（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方；（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值.思维方法天地11.若两个不等实数m ，n 满足22m m a -=，22n n a -=，225m n +=，则实数a 的值为______. 12.已知a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222a b xy ab x y +++=______. 13.整数x ，y 满足方程283xy x y ++=，则x y +=______.14.A ，n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =______. 15.若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ）. A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数16．设n 为某一正整数，代入代数式2n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（ ） A.7770B.7775C.7776D.777917．方程222334x xy y ++=的整数解(),x y 的组数为（ ）. A.3B.4C.5D.618．黑板上写有1，12，…，1100共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后黑板上剩下的数是（ ）. A.2012B.101C.100D.9919．已知()()222012a b c b a c +=+=，且a b ≠，求()2c a b +的值.20.计算：()()()()()()()()()()424242424242424242422214416618881010133155177199111111++++++++++++++++++++.应用探究乐园21.当我们看到下面这个数学算式333337133713503724613724++==++时，大概会觉得算题的人错用了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++，但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种等式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，…，你能发现以上等式的规律吗？22.按下面规则扩充新数：已有两数a ，b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数……每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.。
河南八年级数学竞赛试卷(实验区)
2005年河南省八年级数学竞赛试卷（实验区用）（竞赛时间：2005年3月20日上午9︰30——11︰30）一、填空题:（共10小题，每小题4分，满分40分）1、已知：三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且x=a a ＋b b ＋c c ＋ab ab ＋ac ac ＋cb bc ，则ax 3＋bx 2＋cx ＋1的值为_________. 2、已知：a －a 1=1,则a 8＋81a=________. 3、某种商品的进货价是每件a 元，零售件是每件1100元，商店按零售价的80%降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则a=_____元.4、把99拆成四个数，使得第一个数加上2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相等，那么这四个数是__________.5、一辆卡车在公路上匀速行使，起初看到里程碑上的数字为AB ，过了一小时里程碑上的数字为BA ，又行使了一小时里程碑上的数字为三位数A0B ，则第三次看到里程碑上的数字是_________.6、已知一直角三角形的斜边长10，周长是24，则这个三角形的面积是____.7、两个同样的正方体拼在一起如图所示，每个正方体上相对的两个面上的数字之和都等于－2，现两个并列放置的正方体组成的几何体上看得见的五个面上的数字如图所示，则看不见的七个面上的数字之和为___________.图－28、如图-2是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC 方向平移BE 距离就得到此图，已知AB=8cm,BE=4cm ，DH=3cm,则图中阴影部分的面积是________cm 2.9、已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，则式子x 3－(1+m+n+ab)x 2 ＋(m+n)x2004＋(ab)2005的值等于_______.10、口袋中有15个球，其中白球有x 个，绿球有2x 个，其余为黑球。
甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜；则当x=________时，游戏对甲、乙双方都公平。
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] 3. 若 g( x) f 1 2 = .
4. 如果直角三角形的两条直角边的长分别是 5 cm 和 12 cm , 那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm . 5. 若 (m + 1)2 +│ 3 m + 2n │ = 0 , 则 n = . 6. 观察下列各 式 : 1 + 1 = 2 3 3+ 1 =4 5 1 , 3 2+ 1 =3 4 1 , 4
参 考 答 案
一 、 1 . 答案不惟一 , 例如 2 , 2 2 等 . 2 . 2 < x < 3. 3. f 4. 9. 13 3 . 5 . . 6 . 2 2 1 2
2 004
1 2
= 1.
n+ .
1 =(n + 1) n +2
1 . 7. 8. 8. 80° . n +2
(A) x = 2 (C) x = 0 个角等于( ).
4. 一个角的补角的一半比这个角的余角的 2 倍小 3 ° , 那么这 (A) 58 ° (B) 59 ° (C) 60 ° (D) 61 °
2 2 的结果是( ). 5. 计算 1 - a - b ÷ 2 a - b a +4 ab + 4b2 a +2b
13 . ∵ BE 平分
EC BC EC = ,即 = 2 , ∴ EC = 2 5 . ∴ AC = AE + EC = 5 + AE AB 5
2 5 = 3 5. 五 、 设商场将 A 型冰 箱打 x 折出 售 , 那 么消费者购 买 A 型冰箱需耗 资 : 2 190 × x + 365 × 10 × 1 × 0. 4(元). 购买 B 型冰箱需耗资 : 2 190 ×(1 + 10 x 10 % ) + 365 × 10 × 0. 55 × 0 . 4(元). 依题 意 , 得 2 190 × + 365 × 10 × 10 1 ×0. 4 ≤ 2 190 ×(1 + 10 %) + 365 × 10 ×0. 55 × 0. 4. 解这 个 不等 式 , 得 x ≤ 8. 六 、 当 n = 1 时 , a1 = 1 ; 当 n = 2 时 , a2 = 2 ; 当 n = 3 时 , a3 = 4. 则 n = 4 时 , 若第一步 1 级 , 则其余 3 级有 4 种 方法 ; 若第一步 2 级 , 则其余 2 级有 2 种方法 ; 若第一步 3 级 , 则其余 1 级有 1 种方法 . 所以 a 4 = a3 +a 2 + a1 = 7 . 类似分析可得 : 当 n = 5 时 , a 5 = a 4 +a 3 +a2 = 13 ; 当 n = 6 时 , a6 = a5 +a4 + a3 = 24 ; 当 n = 7 时 , a 7 = a6 + a5 + a4 = 44 ; 当 n = 8 时 , a8 = a7 + a 6 + a5 = 81.
= 1 DF . ∴ OE = 1 BE = 1 × 4 = 1 , BO = BE - OE = 3 . 在 Rt 2 4 4 △AOB 与 Rt △ AOE 中 , 由 勾 股 定 理 , 得 AB = AE = ∠ABC , ∴ AO 2 +OE 2 = 5 , BC = 2BD = 2 AB = 2 AO 2 + BO 2 = 13 ,
(A)
b b a a (B) (C) (D) a +b a +b a +b a +b
6. 如 图 3 , 在 △ABC 中 , ∠C = 90 ° , AD 是 ∠B AC 的平分线 , BC = 4 , CD = 3 , 那么 AC 的长为 ( ). 2 1 1 (D) 3 2 2
a 2 - 2 ab + b2 a 2 - b2
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竞赛辅导
. 10. 如图 2 , 已知 △AB C 的周长为 1 , 连结 △ABC 三边的中点构成第 2 个三角 形 , 再连结第 2 个三角形三边中点构成第 3 个三角形 , 依此类推 , 第 2005 个三角形 的周长为 . 二 、 选择题(每小题 5 分 , 本题满分 30 分) ). 1. a4 + 4 分解因式的结果是( ( A) (a2 +2 a - 2) (a2 - 2a + 2 ) (a 2 - 2a - 2) (B) (a 2 + 2a - 2) (C) (a2 + 2a + 2 )(a 2 - 2a - 2 ) (a2 - 2 a + 2) (D ) (a 2 +2 a +2) 2. 现有长度分别为 2 cm 、 3 cm 、 4 cm 、 5 cm 的木棒 , 从中任 取 3 根 , 能组成三角形的个数为 ( ). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3. 若分式 x- 2 的值为 0 , 那么 x 的值为( ). x +1 (B ) x =- 1 (D ) x = 2 或 x =- 1 图2
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2005 年河南省初二数学竞赛试题
河南省濮阳市中原油田建工 18 中 吴行民
一 、 填空题(每小题 3 分 , 本题满分 30 分) 1. 写出一个无理数 , 使它与 2的积是有理数 . 2. 不等式组 x - 2 < 1, 2 x +1 > 5 的解集是 . = 1 - x2 , 则 x2
5 . 10. 5
二 、 1 . D. 2. C. 3. A . 4 . A . 5 . B . 6 . B. 三 、 先用集合思想分析参加各科竞赛人 数之间的关系 , 如 图 5 所示 . 设 三科竞赛都参加的人数有 x 人 , 根据题意 , 得 39 +(22 + x) +(13 - x) +(19 + x) + 1 = 100 . 解之 , 得 x = 6.
1 , … 请你将猜想到的规律用含自然数 n(n ≥ 1 ) 5
的代数式表示出来 : . 7. 若 8a 2 2 4 8 16 = + + + + + 1 - x 32 1- x 1 +x 1 +x 2 1 + x4 1 + x8
32 , 则 a 的值是 . 1 + x 16 8. 如 图 1 , △ABE 和 △ AD C 是 △ABC 分别沿着 AB , AC 边翻折 180 ° 形成的. 若 ∠1∶∠2 ∶∠3 = 28∶5∶3 , 则 ∠α 的度数为 . 9. 当 a = 代 数 式 5 +1 5 - 1 , b= 时, 2 2 的 值 是 图1
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图5
图6
四 、 如图 6 , 过 D 作 DF ∥ BE 交 AC 于 F , 设 AD 与 BE 交于 点 O. ∵ BE 平分 ∠ ABD , BE ⊥ AD , ∴ B E 是 AD 的中垂线 . ∵ D 是 BC 的中 点 , ∴ DF 与 OE 分别是 △BEC 与 △ ADF 的 中位 线 . ∴ DF = 1 BE , OE 2
(A) 2 (B) 3 (C) 2 图3
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三 、 (本题满分 12 分) 某校 100 名学生在一次语 、数 、外三科竞赛中 , 参加 语文竞赛 的有 39 人 , 参加数学竞赛的有 49 人 , 参加外语竞赛的有 41 人 , 既 参加语文竞赛又参加数学竞赛的有 14 人 , 既参加数学竞赛又参加 外语竞赛的有 13 人 , 既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有 9 人 , 有 1 人三项都没有参加 , 则三项都参加的有多少人 四 、 (本题满分 15 分) 如图 4 , △ABC 中 , ∠B 的平分 线 BE 与 BC 边的中线 AD 垂直 , 且 BE = AD = 4 . 之长 . 五 、 (本题满分 15 分) 某家电商场出售 A 型冰箱 , 每 台售价 2 190 元 , 每日耗电量为 1 度 . 而 B 型节能冰箱每台售价虽 比 A 型冰箱高出 10 %, 但每日耗电量却为 0. 55 度. 现将 A 型冰箱 打折出售(打一折后的售价为原价的 1 ). 问商场至少打几折 , 消费 10 者购买 A 型冰箱才合算(按使用期限为 10 年 , 每年 365 天 , 每度电 0. 4元计算) 六 、 (本题满分 18 分) 一楼梯共有 n 阶台阶 , 规定每步可以迈 1 级或 2 级或 3 级 , 设 从地面到台阶的第 n 级 , 不同的迈法为 a n 种 . 当 n = 8 时 , 求 a 8 . 图4 求 △ABC 三 边