高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时达标23 平面向量的概念及其线性运算

课时达标 第23讲 平面向量的概念及其线性运算
[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，
难度中等偏下．
一、选择题

1．在△ABC中，已知M是BC的中点，设CB→＝a，CA→＝b，则AM→＝( A )
A．12a－b B．12a＋b

C．a－12b D．a＋12b
解析 AM→＝AC→＋CM→＝－CA→＋12CB→＝－b＋12a.故选A．
2．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( D )
A．a＋b＝0 B．a＝b
C．a与b共线反向 D．存在正实数λ，使a＝λb
解析 因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D项
正确．

3．(2018·湖北襄阳四校联考)已知a，b为平面向量，若a＋b与a的夹角为π3，a＋
b

与b的夹角为π4，则|a||b|＝( B )
A．33 B．63
C．53 D．64
解析 如图，OA→＝a，OB→＝b，依题意，

在△OAC中，由正弦定理得|a||b|＝|OA→||AC→|＝sin 45°sin 60°＝63.
4．如图所示，在△ABC中，若BC→＝3DC→，则AD→＝( C )

A．23AB→＋13AC→ B．23AB→－13AC→
C．13AB→＋23AC→ D．13AB→－23AC→
解析 AD→＝CD→－CA→＝13CB→－CA→＝13(AB→－AC→)＋AC→＝13AB→＋23AC→.故选C．
5．已知D为△ABC的边AB的中点，M在边DC上且满足5AM→＝AB→＋3AC→，则△ABM与△
ABC
的面积比为( C )

A．15 B．25

C．35 D．45
解析 由5AM→＝AB→＋3AC→，得2AM→＝2AD→＋3AC→－3AM→，
即2(AM→－AD→)＝3(AC→－AM→)，
即2DM→＝3MC→，故DM→＝35DC→，
故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，
故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.

6．已知O是△ABC所在平面外一点且满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ为实数，则动
点P的轨迹必须经过△ABC的( B )
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心

解析 如图，设AB→|AB→|＝AF→，AC→|AC→|＝AE→，已知AF→，AE→均为单位向量，且四边形AEDF为平
行四边形，

故▱AEDF为菱形，所以AD平分∠BAC．
由OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，
得AP→＝λAD→，又AP→与AD→有公共点A，
故A，D，P三点共线，
所以点P在∠BAC的平分线上，
故动点P的轨迹经过△ABC的内心．
二、填空题
7．(2017·浙江卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是
__4__，最大值是__25__.
解析 设a，b的夹角为θ，∵|a|＝1，|b|＝2，
∴|a＋b|＋|a－b|＝a＋b2＋a－b2
＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，
则y2＝10＋225－16cos2θ.
∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]，
∴y∈[4,25]，即(|a＋b|＋|a－b|)∈[4,25]．
8．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝
__3__.

解析 由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则AM→＝23AD→，因
为AD为中线，则AB→＋AC→＝2AD→＝3AM→，所以m＝3.
9．设a，b是两个不共线向量，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点
共线，则实数p的值为__－1__.

解析 ∵BD→＝BC→＋CD→＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使AB→＝λBD→，即






2＝2λ，
p
＝－λ，

∴p＝－1.

三、解答题
10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，CD→＝13CA→＋λCB→，求实数λ的值．
解析 如图，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交
BC于点F，连接CD
，

则CD→＝CE→＋CF→.
因为CD→＝13CA→＋λCB→，

所以CE→＝13CA→，CF→＝λCB→.
由△ADE∽△ABC，得DEBC＝AEAC＝23，
所以ED→＝CF→＝23CB→，故λ＝23.
11．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，
AN
的延长线与CD交于点E，若AE→＝mAB→＋AD→，求实数m的值．

解析 由N是OD的中点得AN→＝12AD→＋12AO→＝12AD→＋14(AD→＋AB→)＝34AD→＋14AB→，又因为A，N，
E
三点共线，

故AE→＝λAN→，即mAB→＋AD→＝λ34AD→＋14AB→，

所以 m＝14λ，1＝34λ，解得 m＝13，λ＝43，故实数m＝13.
12．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE→＝23AD→，AB→＝a，AC→＝b.

(1)用a，b表示向量AD→，AE→，AF→，BE→，BF→；
(2)求证：B，E，F三点共线．

解析 (1)延长AD到G，使AD→＝12AG→，
连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，

所以AG→＝a＋b，AD→＝12AG→＝12(a＋b)，AE→＝23AD→＝13(a＋b)，AF→＝12AC→＝12b，
BE→＝AE→－AB→＝13(a＋b)－a＝13(b－2a)，BF→＝AF→－AB→＝12b－a＝12(b－2a
)．

(2)证明：由(1)可知BE→＝23BF→，又因为BE→，BF→有公共点B，所以B，E，F三点共线．