吉林省2018届高考第四次模拟数学理科试题含答案

吉林省2018届高考第四次模拟数学理科试题含答案吉林省2018届高三年级第八次月考（第四次模拟）数学（理科）试题第Ⅰ卷一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（1）已知N 是自然数集，集合N}16{∈+=x x|A ，{}01234,,,,B =，则A B =I （）A ．{}02,B ．{}012,,C ．{}23,D ．{}024,,（2）已知复数5i12i z =-(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数对应的点位于复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）已知()πα,0∈,且5cos 13α=-,则sin()tan 2παα-⋅=（）A ．1213B ．513-C .1213-D ．135（4）某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（）A ．9种B ．18种 C.12种D ．36种（5）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)f x +=()f x ，当[]2,0x ∈-时，()2x f x =-，则(1)f +(4)f 等于（）A ．32B ．1C ．−1D ．−32（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A .1.2B .1.6C .1.8D .2.4（7）已知函数()()()()sin 2cos 20f x x a x ϕϕϕπ=+++<<的最大值为2，且满足()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则ϕ=（）A .6πB .3πC .6π或56πD .3π或23π（8）若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m ≡，例如()835mod6≡.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A.2019B.2023C.2031D.2047（9）如图，在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内；若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B.32C.53 D.34（10）已知满足若2z x y =+有最大值4，则实数的值为（）A ．B ．C ．D ．（11）已知点2F 、P 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若()212OM OP OF =+u u u r u u u r u u u r ，2222OF F M =u u u r u u u u r ，且22222OF F M a b ⋅=+uuu r uuuu r ，则该双曲线的离心率为（）A ．12+B ．3C ．D ．（12）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，存在(]0,t e ∈，使得()()f t g t -的最小值为3，则函数()ln g x x =图象上一点P 到函数()f x ax =图象上一点Q 的最短距离为（）A ．1eB ．41e + C.41e +D ．41e +第Ⅱ卷二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）（13）若0,0a b >>，且()ln 0a b +=，则11a b +的最小值是__________（14）若()2018220180122018(12)x a ax a x a x x R +=++++∈L ，则12a -+222a −332a +…+201820182a 的值为（15）已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，AC =，60ABC ∠= ，且棱锥O ABC -O 的表面积为___________（16）已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且BO BA BC λμ=+uu u r uu r uu u r .若60ABC ∠= ，则λμ+的最大值为__________三．解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分）（17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且满足（Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式；（Ⅱ）证明：当2n ≥时，（18）（本小题满分12某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，将日需求量按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值.（Ⅰ）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（Ⅱ）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y 的数学期望值为决策依据.他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，60ABC ∠= ，E F，分别是BC PC ，的中点．（Ⅰ）证明:AE PD ⊥；（Ⅱ）设H 为线段PD 上的动点，若线段EH 长的最小值为值．（20）(本小题满分12分)已知圆C ：224x y +=与x 轴交于1F ，2F (2F 在原点右侧)两点，动点P 到1F ，2F 两点的距离之和为定值()22a a >，且12cos F PF ∠的最小值为−13．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过2F 且斜率不为零的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，若存在点E ，使得2EA EA AB +⋅u u r u u r u u u r 是与直线l 的斜率无关的定值，则称E 为“恒点”．问在x 轴上是否存在这样的“恒点”?若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．（21）(本小题满分12分)已知函数()ln f x x =.（Ⅰ）设()()1g x f x ax =-+，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）若不等式()()f x a e x b ≤-+恒成立，其中e 为自然对数的底数，求b a 的最小值.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程D已知曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨⎪⎩(θ为参数).以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系，设直线l 的极坐标方程为()cos 6ρθθ=.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2,()3f x x g x x m =-=-++()m R ∈（Ⅰ）解关于x 的不等式()20(R)f x a a +->∈；（Ⅱ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围.高三年级第八次月考（第四次模拟）数学（理科）答案一．选择题123456789101112B C AB D B DC B B AD 二．填空题13.414.-115.48π16.三．解答题18.（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192．.....4分（Ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y 1可取－100，700，1500，此时Y 1的分布列为：Y 1－1007001500P 0.10.20.7此时利润的期望值E (Y 1)＝－100×0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180；当每日进货400公斤时，利润Y 2可取－400，400，1200，2000，此时Y 2的分布列为：Y 2－40040012002000P0.10.20.30.4此时利润的期望值E(Y2)＝－400×0.1＋400×0.2＋1200×0.3＋2000×0.4＝1200；因为E(Y1)＜E(Y2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤．......12分19.证明：20．【解析】(1)由已知，22x y +=4与x 轴交于1F (−2，0)，2F (2，0)，则|1F 2F |=4，由题意知|P 1F |+|P 2F |=2a ，cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-=22121212(||||)||2||||PF PF F F PF PF +-−1=2124162||||a PF PF -−1≥224162a a -−1=1−28a =−13，当且仅当|P 1F |=|P 2F |=a 时等号成立，因而2a =6，由椭圆的定义知，P 的轨迹为椭圆，且1F ，2F 分别为其左、右焦点，2b =2a −2c =2，所以所求轨迹方程为26x +22y =1 (6)分(2)如图，设直线l 的方程为x =my +2，A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，由2221x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(m 2+3)y 2+4my −2=0，则1y +2y =−243m m +，1y 2y =−223m +．（8分）假设存在这样的“恒点”E (t ，0)，则2EA EA AB +⋅ =EA EB ⋅ =(1x −t ，1y )·(2x −t ，2y )=(m 1y +2−t ，1y )·(m 2y +2−t ，2y )=(m 2+1)1y 2y +(2−t)m (1y +2y )+(2−t )2=2222224(2)33m t m m m ----++++(2−t )2=2222(6)312103t m t t m -+-++．若2EA EA AB +⋅ 是与直线l 的斜率无关的定值，则其为与m 无关的定值，则32t −18=32t −12t +10，得t =73，此时定值为(73)2−6=−59，“恒点”为(73，0)．（12分）21.【解析】（Ⅰ）函数定义域为()0,+∞，由题意得()ln 1g x x ax =-+，则()'1g x a x=-，①当0a ≤时，()'0g x >，则()g x 在()0,+∞上单调递增；②当0a >时，令()'0g x =，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减…4分（Ⅱ）设函数()()ln F x x a e x b =---，其中e 为自然对数的底数，∴()'1F x e a =+-，0x >，当a e ≤时，()'0F x >，()f x 在()0,+∞上是增函数，∴()0F x ≤不可能恒成立，当a e >时，由()'10F x e a x =+-=，得1x a e =-,∵不等式()0F x ≤恒成立，∴()max 0F x ≤，当10,x a e ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()'0F x >，()F x 单调递增，当1,x a e ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭时，()'0F x <，()F x 单调递减，∴当1x a e =-时，()F x 取最大值，()1ln 10F a e b a e ⎛⎫=----≤ ⎪-⎝⎭，∴满足()ln 10a e b -++≥即可，∴()1ln b a e ≥---，∴()()1ln a e b a e a a---≥>，令()()1ln x e G x x ---=，x e >，()()()()()'221ln ln x x e x e x e e x e G x x x e x -++-----==-令()()()ln H x x e x e e =---，()()'ln 1Hx x e =-+，由()'0H x =，得1x e e =+，当1,x e e ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，()'0H x >，()H x 是增函数，当1,x e e e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()'0H x <，()H x 是减函数，∴当1x e e =+时，()H x 取最小值11H e e e e ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，∵x e →时，()0H x →，2x e >时，()0H x >，()20H e =，∴当(),2x e e ∈时，()'0G x <，()G x 是减函数，当()2,x e ∈+∞时，()'0G x >，()G x 是增函数，∴2x e =时，()G x 取最小值，()11122G e e e --==-，∴b a 的最小值为1e -…12分。