第五讲 列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题解应用题的关键是：能够理解题目中所给条件的关系，找出题目中的等量关系，列出方程。
1.面积问题[提示：面积问题一定要画图分析]例1：穗园小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为875m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10m，那么绿地的长和宽各为多少？例2如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.解：设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得(60－2x)（）＝800解得：x1= , x2= 答：截去正方形的边长为。
例3、有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18m），另三边用竹篱笆围成。
如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少？解：(1) 如果鸡场的靠墙一边为长，则设鸡场的宽为xm ，长为（35-2x）m，根据题意得：x( )=150整理得：2x2-35x+150=0解得：x1=________, x2=________________因为__________________________________,所以x=_________符合题意。
因为______________________=20>18，不符题意，所以舍去。
答：鸡场的长与宽各为15m,10m 。
（2）如果鸡场的靠墙一边为宽，则设鸡场的长为ym ，宽为（35-2y）m，根据题意得：y( )=150整理得：____________________________________-解得：y1= , y2=35-2y1= __________________________________,35-2y2=__________________________课堂练习1：学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半.已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径.解：设_______________________ 列得方程_________________________________________2．根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好.已知学校礼堂舞台宽20米，求举行文娱会演时主持人应站在何处？解：设_______________________ 列得方程_________________________________________3.要做一个容积是750cm2,高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长和宽应该是多少？4.要给一幅长30cm，宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，•且镜框所占面积为照片面积的四分之一，求镜框边的宽度。
列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题问题1: 求解物体抛下时的高度一个物体从高度ℎ米处抛下，同时以v米/秒的速度向上抛出一个物体。
已知物体从抛下到触地的时间为t秒，求物体抛下时的高度。
问题2: 求解汽车行驶的距离一辆汽车以a米/秒²的加速度加速度匀加速，则行驶t秒后的距at2。
已知汽车的起始速度为u米/秒，并且行驶的时间离为s=ut+12为t秒，求汽车行驶的距离。
问题3: 求解炮弹的射程一门炮弹以a米/秒²的加速度匀加速，在角度θ下射出。
已知炮弹的初速度为v0米/秒和重力加速度g=米/秒²，求解炮弹的射程。
问题4: 求解水流距离一个小水管斜向上喷水，水的初速度为v0米/秒，喷出的角度为θ。
已知水管离地面的高度为ℎ米，求解水流的距离。
问题5: 求解落体运动一个小球从高度ℎ米自由落体，已知自由落体的加速度为g=米/秒²，求解小球落地的时间。
问题6: 求解人物的跳跃高度一名运动员起跳时的速度为v0米/秒，已知运动员跳跃到最高点的时间间隔为t秒，求解运动员跳跃的最大高度。
问题7: 求解极大值与极小值设一元二次方程f(x)=ax2+bx+c求解其极大值和极小值。
已知a≠0，求解极大值与极小值点的横坐标x。
问题8: 求解投射物体的最大高度一个物体以v0米/秒的初速度进行抛射，抛射角为θ。
已知物体的加速度为g=米/秒²，求解物体的最大高度。
问题9: 求解抛物线与直线的交点已知一元二次方程f(x)=ax2+bx+c与一条直线y=mx+n相交于两点。
已知a≠0，求解抛物线与直线的交点坐标。
问题10: 求解反比例函数的应用表示反比例函数，其中a为常数。
求解满足条件y=2时已知y=ax的x值。
请注意，本文中的所有变量和常数均为虚构，仅供命题应用题参考使用。
问题11: 求解抛物线上点的切线斜率已知一元二次方程y=ax2+bx+c，求解抛物线上点(x0,y0)处的切线斜率。
一元二次方程应用题
25m
180m2 x
解这个方程, 知 这个方程无解.
40 x 2
答 : 鸡场的面积不能达到 250 m 2 . 2 老师提示 : 当方程配方为 x 20 100时 , 特别要注意,
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一 边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏 长40m.
解:( 200. 即x 2 20 x 100 0. 解这个方程, 得 x1 x2 10.
25m
180m2 40-2x
1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售 量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每 天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少 元？每天要售出这种商品多少件？ 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出 的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ （元），且Ｒ Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。 当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？ 若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？ 3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出 500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元， 日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使 顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
5000
2500 2900 - x
(2)由题意可得方程：______________________________
3、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均 每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上 涨1元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月 10000元的销售利润，这种台灯的售价应为多少？这 时应至少进台灯多少？
列一元二次方程,分式方程,分式方程组解应用题
列一元二次方程，分式方程，分式方程组解应用题一、内容综述：1．列方程解应用题的一般步骤是：（1）审题：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，以及它们之间的关系。
（2）设未知数：根据题意，可直接设未知数，也可间接设未知数，未知数必须写明单位，语言叙述要完整。
（3）列代数式和方程：根据题中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数，利用等量关系，列出方程或方程组，一般列方程的个数与所设未知数的个数相同。
（4）解方程或方程组应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解。
（5）检验答案：解应用题要检验有无增根，又要检验是否符合题意，最后做出符合题目要求的答案。
在这些步骤中，审题是解题的基础，列方程是解题的关键。
在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件：（1）方程两边表示同类量（2）方程两边的同类量的单位一样（3）方程两边的数值相等二、例题分析：例1．某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券，若乙种债券的年利率比甲种债券低2个百分点，到期后某人的乙种债券可兑换人民币108元，求甲种债券的年利率。
分析：利息=本金×利率×存期本息=本金+利息甲种债券利息×（1+乙种债券利率）×存期=108解：设甲种债券的年利率为x，依题意，甲种债券的利息为1000x元，乙种债券的年利率为x-0.02，则1000x(1+x-0.02)=108整理得：250x2+245x-27=0(10x-1)(25x+27)=0x1=0.1 x2=-∵x2=-不合题意，舍去∴x=0.1=10%答：甲种债券的年利率为10%。
例2．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度元交费。
（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应该交电费多少元（用A表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况：用电量（度）交电费总数（元）3月80254月4510根据上表的数据，求电厂规定A度为多少？分析：本题是原于现实生活中的经济问题，情景熟悉，但问题有障碍，不能直接看出问题的答案，必须认真阅读和思考问题（1）较简单，超过部分应交电费(90-A)元，问题（2），从表中看到，45<A<80，根据3月份用电80度，交电费25元，可列出方程：10+(80-A)=25整理得，A2-80A+1500=0解得：A1=50 A2=30但A2=30<45，不合题意舍去∴A=5解略。
一元二次方程应用题总结分类及经典例题
一元二次方程应用题总结分类及经典例题XXX一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤：和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．5、增加率问题(1)增加率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增加，且增加率相等的问题的根本等量干系式为：原来的×(1＋增加率)增加期数=后来的1XXX说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则为：原来的×(1－增加率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计较问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际配景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的舍去。
列一元二次方程解应用题PPT教学课件
DO
m=(x1+x2)/2
f=m^2-2
解 法 二
IF f=0 THEN PRINT m:END ELSE
IF f<0 THEN
X1=m
ELSE
X2=m
END IF
END IF
LOOP UNTIL ABS(x1-x2)<c
PRINT m
END
X1=1
X2=2
C=0.005
DO
m=(x1+x2)/2
PRINT “runnian” ELSE PRINT “bushi” END IF END IF END
INPUT “年份n=”;n
b=n MOD 4
c=n MOD 100
d=n MOD 400
IF b =0 AND c< >0 OR d=0
THEN
PRINT “runnian”
ELSE
PRINT “bushi”
IF f=0 THEN
flag=1
ELSE
IF f<0 THEN
X1=m
ELSE
X2=m
END IF
END IF
LOOP UNTIL ABS(x1-x2)<c OR flag=1
PRINT m
END
X1=1
X2=2
C=0.005
DO
解 法 四
m=(x1+x2)/2 f=m^2-2
IF f=0 THEN
输出m
否 |x1-x2|<c?
是
输出m
结束
X1=1 X2=2 C=0.005
解 法 一
DO m=(x1+x2)/2 f=m^2-2
列一元二次方程解应用题增长率问题
配方法
将一元二次方程化为完全平方 形式，然后开方求解x的值。
迭代法
通过不断迭代逼近方程的解。
Part
03
一元二次方程在增长率问题中 的应用
简单增长率问题
STEP 01
定义
STEP 02
公式
简单增长率问题是指某一数量 在两个连续的时间段内，按照 相同的增长率增加或减少。
STEP 03
应用
在投资、人口增长、生产 等场景中经常出现。
平均增长率问题
01
02
03
定义
平均增长率问题是指某一 数量在一段时间内，按照 平均增长率增加或减少。
公式
假设初始数量为 P，平均 增长率为 r，经过 t 时间 后，数量变为 Q，则 Q = P(1 + r/2)^2t。
应用
在统计学、经济分析、市 场研究等场景中经常出现。
Part
04
实例解析
人口增长问题
假设初始数量为 P，增长率为 r， 经过 t 时间后，数量变为 Q， 则 Q = P(1 + r)^t。
复合增长率问题
ห้องสมุดไป่ตู้
定义
复合增长率问题是指某一数量在多个 时间段内，按照不同的增长率增加或 减少。
公式
应用
在金融、经济、市场等场景中经常出 现。
假设初始数量为 P，经过 n 个时间段，每个时 间段的增长率为 r1, r2, ..., rn，则最终数量为 Q = P(1 + r1)(1 + r2)...(1 + rn)。
人口增长问题通常涉及到一元二 次方程的求解，通过建立方程来
描述人口随时间的变化情况。
方程形式通常为 $y(t) = y_0(1 + r)^t$，其中 $y_0$ 是初始人 口，$r$ 是年增长率，$t$ 是时
列一元二次方程解应用题经典题型详细讲解
列一元二次方程解应用题经典题型剖析学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答需要进货100件，每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得12(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题例5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为12n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去湾风景区旅游？解设该单位这次共有x名员工去湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；当x 2＝30时，1000－20(x －25)＝900＞700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去湾风景区旅游.说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m ）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解 都能.（1）设小路宽为x ，则18x +16x －x 2＝23×18×15，即x 2－34x +180＝0， 解这个方程，得x ＝34436 ，即x ≈6.6. （2）设扇形半径为r ，则3.14r 2＝23×18×15，即r 2≈57.32，所以r ≈7.6. 说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题图1 如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元. 如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元. 图2 Q PB A 图4 图3例9 如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解因为∠C＝90°，所以AB10（cm）.（1）设x s后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm.则根据题意，得12·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.则根据题意，得12(6－x)·2x＝12×12×6×8.整理，得x2－6x+12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.十、梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解＝8（m）.（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.解这个方程，得x 1≈0.86，x 2≈15.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动1m ，则顶端下滑约0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动x m 时，底端向外也滑动x m.则根据勾股定理，列方程 (8－x )2+(6+x )2＝102，整理，得2x 2－4x ＝0，解这个方程，得x 1＝0（舍去），x 2＝2.所以梯子顶端向下滑动2m 时，底端向外也滑动2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11 如图5所示，我海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，在B 的正向200海里处有一重要目标C ，小岛D 恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航．一艘补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D 和小岛F 相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）解（1）F 位于D 的正南方向，则DF ⊥BC .因为AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，所以DF ＝12AB ＝100海里，所以，小岛D 与小岛F 相距100海里.（2）设相遇时补给船航行了x 海里，那么DE ＝x 海里，AB +BE ＝2x 海里，EF ＝AB +BC －(AB +BE )－CF ＝(300－2x )海里.在Rt △DEF 中，根据勾股定理可得方程x 2＝1002+(300－2x )2，整理，得3x 2－1200x +100000＝0.解这个方程，得x 1＝200－3≈118.4，x 2＝200+3. 所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程. F E D C B A 图5十二、图表信息例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二纸片盖住第一纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，•完成摆放时所使用正方形纸片的数也不同，请填写下表：纸片的边长n2 3 4 5 6使用的纸片数（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.①当n＝2时，求S1∶S2的值；②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.①当n＝2时，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝12×122，即n2－25n+84＝0，解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.图6（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为x cm，则另一段为（20－x）cm.则根据题意，得24x⎛⎫⎪⎝⎭+2204x-⎛⎫⎪⎝⎭＝17，解得x1＝16，x2＝4，当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为y cm，则另一段为（20－y）cm.则由题意得24y⎛⎫⎪⎝⎭+2204y-⎛⎫⎪⎝⎭＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移项并配方，得(y－10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.说明本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，方程有两个实数根，若b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E•在下底边BC 上，点F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.则可得，FG＝125x-×4，所以S△BEF＝12BE·FG＝－25x2+245x（7≤x≤10）.FEDCBA图7KG（2）存在.由（1）得－25x2+245x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题意，舍去），所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.（3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD＝1∶2，即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－25x2+165x＝283，整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值围；二是在求得x2＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）黑色小正方形个数…正方形边长 2 4 6 8 …n（偶数）黑色小正方形个数…（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数．．n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n时，黑色正方形的个图8数为4、8、12、16、2n （偶数）.（2）由（1）可知n 为偶数时P 1＝2n ，所以P 2＝n 2－2n .根据题意，得n 2－2n ＝5×2n ，即n 2－12n ＝0，解得n 1＝12，n 2＝0（不合题意，舍去）.所以存在偶数n ＝12，使得P 2＝5P 1.说明 本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等. 列一元二次方程解应用题练习一、选择题1、足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分，一个队踢了14场比赛，负5场共得19分，那么这个队胜了（ ）()A 3场； ()B 4场； ()C 5场； ()D 6场。
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第五讲 列一元二次方程解应用题
【基础知识精讲】
1．一元二次方程的一般形式______________________________
2．解方程的常见方法_________________________________________________ 3．列方程解应用问题的步骤：
①审题， ②设未知数， ③列方程， ④解方程， ⑤答
列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的检验．
【知识巩固】
1．方程x (2x －1)=5(x +3)的一般形式是___________，其中一次项系数是_________，二次项系数是_________，常数项是_________. 2.解下列方程: （1）1122
x x -=- （2）222(8)812x x x x +++=
3．若关于x 的方程(2)10m
m x mx ++-=是一元二次方程,求m 的值.
【例题巧解点拨】
例1：有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．
例2：如图，有一面积为150m 2
的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m ，求鸡场的长与宽各为多少？
例3：某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？
例4：将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
例5：已知直角三角形的周长是2两直角边分别是,a b,若斜边上的中线长是1,则无论,a b为何值时,这个直角三角形的面积都为一定值,求这个定值.
练习： (1)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500kg,销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg,针对这种水产品情况,请解答以下问题.
①当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润.
②设销售单价定每千克x元，月销售利润y元,求y与x的关系式.
③商品想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单
价应定为多少?
A
例6.一矩形花园,长比宽长10米,在花园中间开条纵横贯通的十字路.十字路的面积共6000平方米.园外面再修一圈路把花园围起来,所有路的宽都相同.如果外面一圈路的外周长是1300米,求路宽与花园宽.
例7、如图1，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB =16 cm ，AD =6 cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止，点Q 以2 cm/s 的速度向D 移动.
（1）P 、Q 两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ 的面积为33 cm 2
？ （2）P 、Q 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 的距离是10 cm ？
练习：.如图所示,在△ABC 中,∠B=0
90,点P 从A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动,点Q 从B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动.
(1)如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，经过几秒钟，使△PBQ 的面积等于8㎝2
？
（2）如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，并且点P 到点B 后又继续在BC 边上前进，点Q 到C 后又继续在CA 边上前进，经几秒钟，使△PCQ 的面积等于12.6㎝2
？
【同步达标练习】
A 组
1.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用作购物,剩下的1000元及所得利息又全部按一年定期存入银行.如果存款的利率不变,到期后又可得本金和利息共计1320元.求年利率.
2.已知斜边为10的直角三角形的两条直角边a 、b 为方程0632
=++-m mx x 的两个根。
①求m 的值
②求以该直角三角形的面积和周长为根的一元二次方程。
3.如图,在宽为20m ,长为32m 的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条互相垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为2802
m ,求道路的宽?
B 组
4.某农户2000年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2005年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8
(1)根据样本平均数估计该农户2005年水果的总产量是多少?
(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪 种出售方式合理?为什么?
(3)该农户加强果园管理,力争到2007年三年合计纯收入达57000元,求2006年,2007年平均每年增长率是多少?
家庭作业
第一部分：
1.某校初三甲、乙两班同学向水灾地区捐款的总数为3600元，已知甲班比乙班少5人，但平均每人比乙班多捐5元，结果两班的捐款数相同，求甲、乙两班平均每人的捐款数。
第二部分：
2.已知一个矩形和一个正方形的面积相等，它们的周长之和为108，且矩形的长比宽多18，求矩形的长和宽以及正方形的边长
第三部分：
3.某商店如果将进货为8元的商品每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间的摸索,该店主发现这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,每降价0.5元,其销售量就增加10件.
①你能帮助店主设计一种方案,使每天的利润达到700元吗?
②将售价定为每价多少元时,能使这天所获利润最大?最大利润是多少?。