2018年高中数学 课时跟踪检测(五)函数的单调性与导数 新人教A版选修2-2
2018版数学新导学同步选修2-2人教A版课件：1.1.3.1函数的单调性与导数
解析：由函数f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴f′(x)>0，故排除A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区 间，故排除B，故选D. 答案：D
类型二 利用导数求函数的单调区间 [例2] 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x3－2x2＋x； (2)f(x)＝3x2－2lnx.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)， 2 3 x －1 2 f′(x)＝6x－x ＝2· x . 3x2－1 令f′(x)>0，即2· x >0， 3 解得x> 3 ；
3x2－1 令f′(x)<0，即2· x <0， 3 解得0<x< 3 .
所以f(x)的单调递增区间为 3 单调递减区间为0， . 3 3 ，＋ ∞ ， 3
综上讨论可知： 当a>0时，函数f(x)在(－∞，0)上是增函数； 2 2 在0，a上是减函数，在a，＋∞上是增函数； 2 当a<0时，函数f(x)在－∞，a上是减函数； 2 在a，0上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数.
方法归纳 讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式 的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨 论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.
(2)函数f(x)的定义域为R. f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)． 当0<x<2时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为 (0,2)；当x<0或x>2时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递减区间 为(－∞，0)和(2，＋∞).
类型三 求含参数的函数的单调区间 3 [例3] 试讨论函数f(x)＝ax －3x ＋1－a的单调性．
人教A版选修2-2(五) 函数的单调性与导数 作业
课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象，导函数的图象在x轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞，0)时导函数图象在x轴的上方，表示在此区间上，原函数的图象呈上升趋势，可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A 中，f ′(x )>0且为常数函数；选项C 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内单调递增；选项D 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则在[－2,5]上函数f (x )的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f ′(x )>0，所以f (x )在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间 4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝e x (x －2)．由f ′(x )>0得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ，令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0，解得x >12，故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C.6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，∴c ＝1，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，f ′(1)＝3a ＋2b ＝1，切点为(1,1)，则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1)，得a ＋b ＋c ＝1，解得a ＝1，b ＝－1，即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23，所以单调递增区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三 与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减，只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可，令f ′(x )＝1－12ax －12≤0，解得a ≥2x ，则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x ＋2a )．(1)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减；③若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A ，f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则e xf (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，∵e 2＞1，∴e x f (x )在R 上单调递增，∴f (x )＝2－x 具有M 性质．对于选项B ，f (x )＝x 2，e x f (x )＝e x x 2，[e x f (x )]′＝e x (x 2＋2x )，令e x (x 2＋2x )＞0，得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，∴函数e x f (x )在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C ，f (x )＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则e x f (x )＝e x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ，∵e3＜1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x 在R 上单调递减，∴f(x)＝3－x不具有M性质．对于选项D，f(x)＝cos x，e x f(x)＝e x cos x，则[e x f(x)]′＝e x(cos x－sin x)≥0在R上不恒成立，故e x f(x)＝e x cos x在R上不是单调递增的，∴f(x)＝cos x不具有M性质．故选A.2．若函数f(x)＝x－eln x,0<a<e<b，则下列说法一定正确的是( )A．f(a)<f(b) B．f(a)>f(b)C．f(a)>f(e) D．f(e)>f(b)解析：选C f′(x)＝1－ex＝x－ex，x>0，令f′(x)＝0，得x＝e，f(x)在(0，e)上为减函数，在(e，＋∞)上为增函数，所以f(a)>f(e)，f(b)>f(e)，f(a)与f(b)的大小不确定．3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)<0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)>0.因此，选项A可能正确．同理，选项B、C也可能正确．对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．因此，选项D不可能正确．4．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2，又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)的定义域为R ， ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0，∴a ＝－1. ∵f (x )＝e x＋a e －x，∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－aex .∵f (x )是R 上的增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， 即e x ≥ae x 在R 上恒成立，∴a ≤e 2x 在R 上恒成立．又e 2x >0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]． 答案：－1 (－∞，0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，327．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0，t ](t >0)上的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0，即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0，得x ＝1e.①当0<t <1e时，在区间(0，t ]上，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数．②当t >1e 时，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上，f ′(x )<0，f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上，f ′(x )>0，f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立，令G (x )＝1x 2－2x，则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0，即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.。
2018版数学新导学同步选修2-2人教A版作业及测试：课时作业2导数的几何意义
④曲线 y＝2x3 上一点 A(1,2)处的切线斜率为 6.
其中正确命题的序号是________． 解析：①f(x)＝ x在点 x＝0 处导数不存在．
②y＝x3 在点(0,0)处切线方程为 y＝0.
③y＝ 3 x在点(0,0)处切线方程为 x＝0.
解析：根据题意可知与直线 x－y－2＝0 平行的抛物线 y＝x2 的切线对应的
切点到直线 x－y－2＝0 的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则 y′|x＝x0＝li
x0＋Δx2－x20
1
m
Δx→0
Δx
＝2x0＝1，所以 x0＝2，
( )1 1 ， 所以切点坐标为 2 4 ，
切点到直线 x－y－2＝0 的距离
答案：A 5．与直线 2x－y＋4＝0 平行的抛物线 y＝x2 的切线方程为( ) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
2
1
解析：由导数定义求得 y′＝2x，
∵抛物线 y＝x2 的切线与直线 2x－y＋4＝0 平行，
∴y′＝2x＝2⇒x＝1，即切点为(1,1)，
当 x0＝－1 时，k＝－2；
当 x0＝3 时，k＝6.
∴所求直线的斜率为－2 或 6.
当 x0＝－1 时，y0＝1，切线方程为 y－1＝－2(x＋1)，即 2x＋y＋1＝0；
当 x0＝3 时，y0＝9，切线方程为 y－9＝6(x－3)，即 6x－y－9＝0. 14．已知抛物线 y＝x2，直线 x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短 距离．
解析：由Error!得Error!
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
2018年高中数学全一册课时跟踪检测(打包21套)新人教A版选修2_2
课时跟踪检测（一）变化率问题导数的概念层级一学业水平达标1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线解析：选D 当f(x)＝b时，瞬时变化率li m△x－0ΔyΔx＝li m△x－0b－bΔx＝0，所以f(x)的图象为一条直线．2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A．2.1 B．1.1C．2 D．0解析：选A ΔyΔx＝f 1.1 －f 11.1－1＝0.210.1＝2.1.3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b解析：选C f′(x0)＝li m△x－0f x0＋Δx －f x0Δx＝li m△x－0(a＋b²Δx)＝a.4．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18C．54 D．81解析：选B ∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3²32＝18Δt＋3(Δt)2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt.∴li m△x－0ΔsΔt＝li m△x－0(18＋3Δt)＝18，故应选B.5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0解析：选C f′(0)＝li m△x－0 0＋Δx 2－3 0＋Δx －02＋3³0Δx＝li m△x－0 Δx 2－3ΔxΔx＝li m△x－0(Δx－3)＝－3.故选C.6．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f ′(1)＝li m △x －0 f 1＋Δx －f 1Δx＝li m △x －0a 1＋Δx ＋4－ a ＋4Δx＝a ，∴a ＝2.答案：27.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．解析：v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知k OA ＜k AB ＜k BC . 答案：v 1＜v 2＜v 38．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______． 解析：∵Δy ＝43π³23－43π³13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 答案：28π39．质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(s 单位：m ，t 单位：s)．若质点在t ＝2时的瞬时速度为8 m /s ，求常数a 的值．解：∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[a (2＋Δt )2＋1]－(a ³22＋1)＝4a Δt ＋a (Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，∴在t ＝2时，瞬时速度为li m △x －0ΔsΔt＝4a,4a ＝8，∴a ＝2. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x ，x >0，1＋x 2，x ≤0求f ′(4)²f ′(－1)的值．解：当x ＝4时，Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx 4＋Δx ＋2.∴Δy Δx ＝124＋Δx 4＋Δx ＋2. ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0124＋Δx 4＋Δx ＋2 ＝12³4³ 4＋2 ＝116.∴f ′(4)＝116.当x ＝－1时，Δy Δx ＝f －1＋Δx －f －1Δx＝1＋ －1＋Δx 2－1－ －12Δx ＝Δx －2，由导数的定义，得f ′(－1)＝li m Δx →0 (Δx －2)＝－2， ∴f ′(4)²f ′(－1)＝116³(－2)＝－18.层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：选 C Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1 Δx ＝2 1＋Δx 2－4＋2Δx ＝2 Δx 2＋4ΔxΔx ＝2Δx ＋4.2.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定解析：选B 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．3．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足li m Δx →0 f ΔxΔx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝li m Δx →0 f 0＋Δx －f 0 Δx ＝li m Δx →0 f ΔxΔx＝－1， ∴选B.4．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2解析：选D f ′(x )＝li m △x －0f x ＋Δx －f x Δx ＝－2x 2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.5．已知函数f (x )＝－x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t ＝________. 解析：∵Δy ＝f (1)－f (t )＝(－12＋1)－(－t 2＋t )＝t 2－t ， ∴Δy Δx ＝t 2－t 1－t ＝－t . 又∵ΔyΔx ＝2，∴t ＝－2. 答案：－26．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 解析：Δs Δt ＝7 t 0＋Δt 2＋8－ 7t 20＋8 Δt ＝7Δt ＋14t 0，当li m Δx →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114. 答案：1147．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0³105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6³10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解：位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴li m Δx →0 Δs Δt ＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0³105m/s 2，t 0＝1.6³10－3s ，∴at 0＝800 m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.8．设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值．(1) li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx；(2li m Δx →0f x 0＋4Δx －f x 0＋5ΔxΔx.解：(1) li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx＝－m li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0－m Δx＝－mf ′(x 0)．(2)原式 ＝li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0 －[f x 0＋5Δx －f x 0 ]Δx＝li m Δx →0f x 0＋4Δx －f x 0 Δx －li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f x 0Δx ＝4li m Δx →0f x 0＋4Δx －f x 0 4Δx －5li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f x 0 5Δx＝4f ′(x 0)－5f ′(x 0)＝－f ′(x 0)．课时跟踪检测（二） 导数的几何意义层级一 学业水平达标1．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，当切线垂直于x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．2．曲线f (x )＝－2x在点M (1，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx ，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以直线方程为y ＋2＝2(x －1)．即y ＝2x －4.故选C.3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－53处切线的倾斜角为( )A ．1B.π4C.5π4 D ．－π4解析：选B ∵y ′＝li m Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 x ＋Δx 3－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2Δx＝li m Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋x Δx ＋13 Δx 2＝x 2，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：选A ∵y ′|x ＝1＝li m Δx →0 a 1＋Δx 2－a ³12Δx＝ li m Δx →0 2a Δx ＋a Δx2Δx ＝li m Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.5．过正弦曲线y ＝sin x 上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1的切线与y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选D 由题意，y ＝f (x )＝sin x ， 则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝li m Δx →0 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋Δx －sinπ2Δx＝li m Δx →0 cos Δx －1Δx . 当Δx →0时，cos Δx →1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.∴曲线y ＝sin x 的切线方程为y ＝1，且与y ＝sin x 的图象有无数个交点． 6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12³1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：37．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xy ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)． 由f (x )＝x ， 得f ′(x )＝li m △x →01＋Δx －1Δx ＝li m Δx →0 11＋Δx ＋1＝12， ∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)．即x －2y ＋1＝0， 答案：x －2y ＋1＝08．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________． 解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)， f ′(x 0)＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2－3 x 0＋Δx －x 20＋3x 0Δx ＝li m Δx →0 2x 0Δx －3Δx ＋ Δx 2Δx＝2x 0－3＝1，故x 0＝2， y 0＝x 20－3x 0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 2)，则y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2－x 2Δx＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.10．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝ x 0＋Δx 3－2 x 0＋Δx 2＋3－ x 30－2x 20＋3 Δx ＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0.∴当Δx →0时，Δy Δx →3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时， 有4927＝4³⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4³2＋a ，∴a ＝－5， 当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927；a ＝－5时，切点为(2,3)．层级二 应试能力达标1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6解析：选 D Δy ＝2(1＋Δx )3－2³13＝6Δx ＋6(Δx )2＋2(Δx )3，li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0[2(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D.3．设f (x )存在导函数，且满足li m Δx →0f 1 －f 1－2Δx2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选B li m Δx →0 f 1 －f 1－2Δx2Δx＝li m Δx →0 f 1－2Δx －f 1－2Δx＝f ′(x )＝－1.4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为( ) A.13 B.23 C ．－23D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x＝1＝3，由条件知，3³a b ＝－1，∴a b ＝－13.5.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝______.解析：由导数的概念和几何意义知， li m Δx →0f 1＋Δx －f 1 Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－26．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f 1f ′ 0的最小值为________．解析：由导数的定义，得f ′(0)＝li m Δx →0f Δx －f 0Δx＝li m Δx →0 a Δx 2＋b Δx ＋c －cΔx＝li m Δx →0 (a ²Δx ＋b )＝b . 又因为对于任意实数x ，有f (x )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，所以ac ≥b 24，所以c >0.所以f 1f ′ 0＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 a x ＋Δx 2＋1－ ax 2＋1Δx ＝2ax ， ∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .∵g ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 x ＋Δx 3＋b x ＋Δx － x 3＋bx Δx ＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b . ∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝ x ＋Δx 2＋1－x 2－1Δx ＝2x ＋Δx ，∴y ′＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， ∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)， 即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条， ∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是 (－∞，2)．课时跟踪检测（三）几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有2条． 2．曲线y ＝e x在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD.1e解析：选A 由条件得y ′＝e x，根据导数的几何意义，可得k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1.3．已知f (x )＝－3x 53，则f ′(22)＝( ) A ．10 B ．－5x 23C ．5D ．－10解析：选D ∵f ′(x )＝－5x 53，∴f ′(22)＝－5³223³23＝－10，故选D.4．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选A 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ， ∴f ′(－1)＝2³(－1)＝－2适合条件．故应选A. 5. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C.π4D.5π4解析：选C ∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e .∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0.答案：1ex －e y ＝07．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________.解析：因为f ′(x )＝0，g ′(x )＝1x，所以2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝2x －1x＝1.解得x ＝1或x ＝－12，因为x ＞0，所以x ＝1.答案：18．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y ′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2＝2a (x －a )．令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)． 答案：(0，－a 2) 9．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2.解：(1)y ′＝(x 8)′＝8x8－1＝8x 7.(2)y ′＝(4x)′＝4x ln 4. (3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (4)y ′＝(cos x )′＝－sin x . (5)y ′＝(e 2)′＝0.10．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点， (1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程． (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4，过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0. 过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为：y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.层级二 应试能力达标1．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523B.110523C.25523D.110523解析：选B ∵s ′＝15t －45.∴当t ＝4时，s ′＝15²1544＝110523 .2．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.3．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)解析：选D 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为－1，即f ′(x )＝－1x2＝－1，所以x ＝±1，则当x ＝1时，f (1)＝1；当x ＝－1时，f (1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)． 4．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1²x 2²…²x n 的值为( )A. 1nB.1n ＋1C.nn ＋1D ．1解析：选B 对y ＝xn ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n. 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴x 1²x 2²…²x n ＝12³23³34³…³n －1n ³n n ＋1＝1n ＋1， 故选B.5．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2， 又∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴1x ＝2，解得x ＝12.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2. 故切线方程为y ＋ln 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.即2x －y －1－ln 2＝0. 答案：2x －y －1－ln 2＝06．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________________．解析：∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a2，令y ＝0，得x ＝－a ，由题意知12²a2²a ＝2，∴a ＝4.答案：47．已知曲线方程为y ＝f (x )＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程． 解：设切点P 的坐标为(x 0，x 20)．∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0， ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B (3,5)代入上式，得5－x 20＝2x 0(3－x 0)， 即x 20－6x 0＋5＝0，∴(x 0－1)(x 0－5)＝0， ∴x 0＝1或x 0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.8．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数． 证明：设P (x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点．∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝2a2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12²⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 2x 0²|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.课时跟踪检测（四） 导数的运算法则层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1D ．0解析：选A ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.2．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)²(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，∴y ′|x ＝1＝4.3．曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋2 B ．y ＝2x －2 C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：选C ∵f ′(x )＝l n x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在点x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1.4. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B.174C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.5．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 6．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3³12－1＝2. ∴切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝07．已知曲线y 1＝2－1x与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0＝________.解析：由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 2－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 2＝3，所以x 0＝1. 答案：18．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4³22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：19．求下列函数的导数： (1)y ＝x sin 2x ；(2)y ＝e x＋1e x －1；(3)y ＝x ＋cos xx ＋sin x；(4)y ＝cos x ²sin 3x .解：(1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′＝sin 2x ＋x ²2sin x ²(sin x )′＝sin 2x ＋x sin 2x .(2)y ′＝ e x ＋1 ′ e x －1 － e x ＋1 e x－1 ′e x －1 2＝－2e xe x －12 . (3)y ′＝ x ＋cos x ′ x ＋sin x － x ＋cos x x ＋sin x ′x ＋sin x 2＝ 1－sin x x ＋sin x － x ＋cos x 1＋cos xx ＋sin x 2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1x ＋sin x2. (4)y ′＝(cos x ²sin 3x )′＝(cos x )′sin 3x ＋cos x (sin 3x )′ ＝－sin x sin 3x ＋3cos x cos 3x ＝3cos x cos 3x －sin x sin 3x .10．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解：∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.层级二 应试能力达标1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 2．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析：选C 函数的导数为f ′(x )＝ex －1＋x ex －1＝(1＋x )ex －1，当x ＝1时，f ′(1)＝2，即曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，故选C.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e解析：选C ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e ，故选C.4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：选C ∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x＞0，整理得 x ＋1 x －2 x＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞2，又因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以x ＞2.5．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________________． 解析：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)， 则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a＝2， 解之得a ＝12ln 2.答案：12ln 26．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是____________．解析：y ′＝－12x －12，则y ′| x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1.答案：22－17．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ， 由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6， 解得a ＝1，b ＝－16.(2)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14， 或y 0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.8．设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n－1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜2n3n ＋1. 解：(1)由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1.所以f n ′(2)＝1＋2³2＋…＋(n －1)2n －2＋n ²2n －1，①则2f n ′(2)＝2＋2³22＋…＋(n －1)2n －1＋n ²2n，②①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ²2n＝1－2n1－2－n ²2n ＝(1－n )²2n－1， 所以f n ′(2)＝(n －1)²2n＋1. (2)因为f (0)＝－1＜0，f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23－1＝1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≥1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫232＞0，因为x ≥0，n ≥2.所以f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n－1为增函数，所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 23内单调递增， 因此f n (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， 23内有且仅有一个零点a n . 由于f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23.所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12³⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝2n 3n ＋1.课时跟踪检测（五） 函数的单调性与导数层级一 学业水平达标1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：选B B 中，y ′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0，使y ′＜0的情况．2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.3．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)解析：选A y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0，解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.4．函数y ＝x ln x 在(0,5)上的单调性是( ) A ．单调递增 B ．单调递减C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递减 解析：选C 由已知得函数的定义域为(0，＋∞)． ∵y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e .令y ′＜0，得x ＜1e.∴函数y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递增． 5．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：选A y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33. 当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33＜0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33上单调递减， 只需y ′＜0，即a ＞0.6．函数f (x )＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________．解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋32＞0，所以f (x )在R 上为增函数．答案：(－∞，＋∞)7．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a ∈________.解析：y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0，∴a <0. 答案：(－∞，0)8．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是 .解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4³(－4)³a >0，∴a >0.答案：(0，＋∞)9．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0.(1)求a 和b ；(2)试确定函数f (x )的单调区间． 解：(1)∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′ －1 ＝－4，f ′ 1 ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0.解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x .f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)．由f ′(x )>0得x >1或x <－3； 由f ′(x )<0得－3<x <1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)． 10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x.设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0. 解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 令f ′(x )＞0，得x ＞x 2或x ＜x 1， 令f ′(x )＜0，得x 1＜x ＜x 2. ∵a ≥0，∴x 1<－1，x 2≥0.由此可得f (x )在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 层级二 应试能力达标1.已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 在(0，＋∞)内，f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )解析：选C 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C.3．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.4．设函数F (x )＝f xex是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e2 016f (0) C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e2 016f (0) 解析：选C ∵函数F (x )＝f xex的导数F ′(x )＝f ′ x e x －f x e xe x2＝f ′ x －f xex<0，∴函数F (x )＝f xex是定义在R 上的减函数，∴F (2)<F (0)，即f 2 e2<f 0e，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2 016)<e2 016f (0)．故选C.5．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________．解析：设g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.∵对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，∴g ′(x )＞0. ∴g (x )在R 上为增函数．又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝0，∴x ＞－1时，g (x )＞0.∴由f (x )＞2x ＋4，得x ＞－1. 答案：(－1，＋∞)6．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．解析：∵f (x )在(－1，＋∞)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立， ∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋bx ＋2≤0， ∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1，∴g (x )min ＝－1，∴b ≤－1. 答案：(－∞，－1]7．已知x ＞0，证明不等式ln(1＋x )＞x －12x 2成立．证明：设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋12x 2，其定义域为(－1，＋∞)，则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x21＋x .当x ＞－1时，f ′(x )＞0， 则f (x )在(－1，＋∞)内是增函数． ∴当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0.∴当x ＞0时，不等式ln(1＋x )＞x －12x 2成立．8．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)证明：f (x )＝x 3－ax －1的图象不可能总在直线y ＝a 的上方． 解：(1)已知函数f (x )＝x 3－ax －1， ∴f ′(x )＝3x 2－a ，由题意知3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， ∴a ≥3x 2在x ∈(－1,1)上恒成立． 但当x ∈(－1,1)时，0＜3x 2＜3，∴a ≥3， 即当a ≥3时，f (x )在(－1,1)上单调递减． (2)证明：取x ＝－1，得f (－1)＝a －2＜a ，即存在点(－1，a －2)在f (x )＝x 3－ax －1的图象上，且在直线y ＝a 的下方． 即f (x )的图象不可能总在直线y ＝a 的上方．课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数层级一 学业水平达标1．已知函数y ＝f (x )在定义域内可导，则函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件解析：选B 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.2．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＝0可得x ＝2.当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点．3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A ．(2,3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)解析：选B 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0解得a ＝－15.令f ′(x )＞0，解得x ＞3或x ＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：选C 由题意可得f ′(－2)＝0，而且当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，此时xf ′(x )＞0；排除B 、D ，当x ∈(－2，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时若x ∈(－2,0)，xf ′(x )＜0，若x ∈(0，＋∞)，xf ′(x )＞0，所以函数y ＝xf ′(x )的图象可能是C.5．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A.427，0 B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.6．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝______________.解析：∵f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.答案：－237．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a处有极值，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2a ²1a＋b ＝0，即b ＝－2.答案：－28.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)①当x ＝32时，函数f (x )取得最小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数值取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，x ＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y ＞0；x ∈(1,2)时，y ＜0，∴x ＝1是极大值点，x ＝2是极小值点，故③④正确．答案：①9．设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，求f (x )的单调区间与极值． 解：由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R.令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)； 且f (x )在x ＝ln 2处取得极小值．极小值为f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a )，无极大值．10．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 解：(1)由已知，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1； 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.层级二 应试能力达标1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3D ．－1，－3解析：选A ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3.2．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,2)B ．(－3,6)C ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∵f (x )有极大值与极小值，∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6.3．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax (x ∈R)有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＜－1eD ．a ＞－1e解析：选A ∵y ＝e x＋ax ，∴y ′＝e x＋a .令y ′＝e x＋a ＝0，则e x＝－a ，∴x ＝ln(－a )．又∵x ＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1.4．已知函数f (x )＝e x(sin x －cos x )，x ∈(0,2 017π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A.e 2π1－e 2 018πe 2π－1B.e π 1－e 2 016π1－e 2πC.e π 1－e 1 008π1－e2πD.e π1－e 1 008π1－eπ解析：选 B f ′(x )＝2e xsin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2 017π)，∴0<(2k ＋1)π<2 017π，∴0≤k <1 008，k ∈Z. ∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2。
高中数学 1.3.1 函数的单调性与导数课时练 新人教a版选修2-2
【金版新学案】2014-2015学年高中数学 1.3.1 函数的单调性与导数课时练一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列函数中，在(2，＋∞)内为增函数的是( ) A ．3sin x B ．(x －3)e xC ．x 3－15xD ．ln x －x解析： (3sin x )′＝3cos x ，[(x －3)e x]′＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，(x 3－15x )′＝3x 2－15，(ln x －x )′＝1x－1，当x >2时，只有[(x －3)e x ]′>0恒成立，故选B.答案： B2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (e)<f (3)<f (2) B ．f (3)<f (e)<f (2) C ．f (e)<f (2)<f (3)D ．f (2)<f (e)<f (3)解析： f ′(x )＝12x ＋1x ，∴x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 又2<e<3，∴f (2)<f (e)<f (3)，故选D. 答案： D3．函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： 设f ′(x )与x 轴交于x 0，显然x 0<0， 当x <x 0时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减， 当x >x 0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．显然f (x 0)<f (0)＝0即点(x 0，f (x 0))在第三象限，故选C. 答案： C4．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析： 因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数， 所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立， 即3ax 2≤1恒成立．当x ＝0时，0≤1恒成立，此时a ∈R ； 当x ≠0时，若a ≤13x 2恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0. 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析： f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，∵f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立， ∴b ≤x (x ＋2)在x ∈(－1，＋∞)上恒成立， 又x ∈(－1，＋∞)时，x (x ＋2)>－1， ∴b ≤－1.答案： (－∞，－1]6．设f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是__________ . 解析： f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝3ax 2＋1.若a >0，则f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，此时，f (x )只有一个单调区间，与已知矛盾； 若a ＝0，则f (x )＝x ，此时，f (x )也只有一个单调区间，亦与已知矛盾；若a <0，则f ′(x )＝3a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－3a ，综上可知a <0时，f (x )恰有三个单调区间． 答案： (－∞，0)三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x －x 3；(2)f (x )＝x 2－ln x . 解析： (1)f ′(x )＝1－3x 2， 令1－3x 2>0，解得－33<x <33.因此，函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. 令1－3x 2<0，解得x <－33或x >33. 因此，函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －1x＝2x －2x ＋x.因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 8．(2014·济宁高二期末)求函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1的单调区间． 解析： f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.当a ≥0时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)单调递增． 当a ≤－1时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0，＋∞)单调递减． 当－1<a <0时，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－a ＋12a则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．尖子生题库☆☆☆(10分)已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解析：(1)由已知f′(x)＝3x2－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只要a≤0.又∵a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．又∵－1<x<1，∴3x2<3，只需a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．。
人教A版高中同步学案数学选择性必修二 第五章一元函数的导数及其应用 函数的单调性与导数关系的应用
1
若0<a< e ,则x∈(-∞,ln a)∪(-1,+∞)时f'(x)>0,x∈(ln a,-1)时f'(x)<0,即函数
f(x)的单调递增区间为(-∞,ln a),(-1,+∞),单调递减区间为(ln a,-1).
规律方法 1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影
响进行分类讨论.
A.a>c>b
B.b>c>a
C.b>a>c
D.c>b>a
解析令f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1,当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
因此f(0.01)=e0.01-1.01>f(0)=0,即e0.01>1.01,故c>b;
令 g(x)=ln x-x,则
1
1-
g'(x)= -1= ,当
等于0的集合,然后检验参数取“=”时是否满足题意.
2.设函数y=f(x)在区间(a,b)上可导,若y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为
f'(x)=0在(a,b)上有解,再验证解的两侧导数异号.
探究点三
函数单调性的应用
问题4如何利用函数的单调性处理比较大小或求不等式的解集的问题?
【例3】 (1)设a=ln 1.01,b=1.01,c=e0.01,其中e为自然对数的底数,则( D )
f'(x)=3x2-12=0的根为±2,且f'(x)在x=2或x=-2两侧异号,故只需2或-2在区间
(k-1,k+1)内,即k-1<2<k+1或k-1<-2<k+1,∴1<k<3或-3<k<-1,故选B.
2018年秋高中数学 课时分层作业5 函数的单调性与导数 新人教A版选修2-2
课时分层作业(五) 函数的单调性与导数(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．如图136是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )图136A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数C[由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]2．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是( )【导学号：31062041】A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞)D．(e2，＋∞)B[因为y＝x＋x ln x，所以定义域为(0，＋∞)．令y′＝2＋ln x<0，解得0<x<e－2，即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是(0，e－2)，故选B.]3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3，3)B[f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤ 3.]4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A．y＝sin x B．y＝x e2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －xB [显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数；对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33， 故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上为增函数， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上为减函数； 对于D ，y ′＝1x－1(x ＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数， 在(0,1)上为增函数，故选B.]5．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )【导学号：31062042】A B C DD [对于选项A ，若曲线C 1为y ＝f (x )的图象，曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f ′(x )＜0；y ＝f (x )在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f ′(x )＞0.因此，选项A 可能正确．同理，选项B 、C 也可能正确．对于选项D ，若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C 1不相符．因此，选项D 不可能正确．]二、填空题6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为__________.[解析] 令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π7．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________.【导学号：31062043】[解析] f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. [答案] (1,2) 8．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________． [解析] f ′(x )＝2a －1x ＋2，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12三、解答题9．已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)若a ＝－1，求f (x )的单调区间． [解] f ′(x )＝(ax ＋2a ＋1)x e x.(1)若a ＝1，则f ′(x )＝(x ＋3)x e x ，f (x )＝(x 2＋x －1)e x， 所以f ′(x )＝4e ，f (1)＝e.所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)即4e x －y －3e ＝0. (2)若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)x e x. 令f ′(x )＝0解x 1＝－1，x 2＝0. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0；所以f (x )的指区间为(－1,0)，减区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．10．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图137，f (x )＝6ln x ＋h (x )．图137(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围.【导学号：31062044】[解] (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)∵f ′(x )＝6x＋2x －8 ＝x －x －x(x ＞0)．∴当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f f (x )的单调递减区间为(1,3)．要使函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＜m ＋12，m ＋12≤3，解得12＜m ≤52.即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，52. [能力提升练]1．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)B [构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)， 则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2.∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数． ∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)， ∴x >－1.]2．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )【导学号：31062045】A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) C [因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x.又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f x g x 在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f a g a >f x g x >f bg b，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．因此选C.]3．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________．[解析] 若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.[答案] (0，＋∞)4．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．[解析] 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜32，又因为(k －1，k ＋1)为定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜32.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，325．(1)已知函数f (x )＝ax e kx－1，g (x )＝ln x ＋kx .当a ＝1时，若f (x )在(1，＋∞)上为减函数，g (x )在(0,1)上为增函数，求实数k 的值；(2)已知函数f (x )＝x ＋a x－2ln x ，a ∈R ，讨论函数f (x )的单调区间.【导学号：31062046】[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x e kx－1， ∴f ′(x )＝(kx ＋1)e kx，g ′(x )＝1x＋k .∵f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 则∀x ＞1，f ′(x )≤0⇔k ≤－1x，∴k ≤－1.∵g (x )在(0,1)上为增函数， 则∀x ∈(0,1)，g ′(x )≥0⇔k ≥－1x，∴k ≥－1. 综上所述，k ＝－1.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1－a x 2－2x ＝x 2－2x －ax 2.①当Δ＝4＋4a ≤0，即a ≤－1时， 得x 2－2x －a ≥0， 则f ′(x )≥0.∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当Δ＝4＋4a ＞0，即a ＞－1时， 令f ′(x )＝0，得x 2－2x －a ＝0， 解得x 1＝1－1＋a ，x 2＝1＋1＋a ＞0. (ⅰ)若－1＜a ≤0，则x 1＝1－1＋a ≥0， ∵x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在(0,1－1＋a )，(1＋1＋a ，＋∞)上单调递增， 在(1－1＋a ，1＋1＋a )上单调递减．(ⅱ)若a ＞0，则x 1＜0，当x ∈(0,1＋1＋a )时，f ′(x )＜0，当x ∈(1＋1＋a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在区间(0,1＋1＋a )上单调递减， 在区间(1＋1＋a ，＋∞)上单调递增.。
高中数学课时训练(六)函数的极值与导数新人教A版选修2-2(2021年整理)
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专版）2018年高中数学课时跟踪检测（六）函数的极值与导数新人教A版选修2-2的全部内容。
课时跟踪检测（六）函数的极值与导数层级一学业水平达标1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝（)A.1ln 2B．－错误!C．－ln 2 D．ln 2解析：选B 由y′＝2x＋x·2x ln 2＝0，得x＝－错误!。
2．设函数f（x)＝错误!＋ln x，则( ）A．x＝12为f(x）的极大值点B．x＝错误!为f(x）的极小值点C．x＝2为f（x）的极大值点D．x＝2为f(x）的极小值点解析：选D 由f′(x)＝－错误!＋错误!＝错误!错误!＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′（x)＜0，f（x)单调递减；当x＞2时，f′（x)＞0，f（x)单调递增．故x＝2为f(x）的极小值点．3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是（)A．（2,3) B．（3，＋∞)C．(2，＋∞) D．（－∞，3）解析：选B 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax ＋36，所以f′(2)＝0解得a＝－15。
令f′（x)＞0,解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是（3,＋∞)．4．设函数f（x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f（x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )解析：选C 由题意可得f′(－2）＝0，而且当x∈（－∞，－2)时，f′(x）＜0，此时xf′(x)＞0；排除B、D，当x∈(－2，＋∞）时，f′（x）＞0,此时若x∈(－2,0），xf′（x)＜0，若x∈（0,＋∞）,xf′(x）＞0，所以函数y＝xf′(x）的图象可能是C.5．已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于（1，0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为（）A。
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课时跟踪检测（五） 函数的单调性与导数层级一 学业水平达标1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：选B B 中，y ′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0，使y ′＜0的情况．2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.3．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)解析：选A y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0，解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.4．函数y ＝x ln x 在(0,5)上的单调性是( ) A ．单调递增 B ．单调递减C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递减 解析：选C 由已知得函数的定义域为(0，＋∞)． ∵y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e .令y ′＜0，得x ＜1e.∴函数 y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递增． 5．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：选A y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33. 当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33＜0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33上单调递减， 只需y ′＜0，即a ＞0.6．函数f (x )＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________．解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋32＞0，所以f (x )在R 上为增函数．答案：(－∞，＋∞)7．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a ∈________.解析：y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0，∴a <0. 答案：(－∞，0)8．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是 .解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0. 答案：(0，＋∞)9．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0.(1)求a 和b ；(2)试确定函数f (x )的单调区间． 解：(1)∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－4，f ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0.解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x .f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)．由f ′(x )>0得x >1或x <－3； 由f ′(x )<0得－3<x <1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)． 10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x.设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0. 解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 令f ′(x )＞0，得x ＞x 2或x ＜x 1， 令f ′(x )＜0，得x 1＜x ＜x 2. ∵a ≥0，∴x 1<－1，x 2≥0.由此可得f (x )在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 层级二 应试能力达标1.已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 在(0，＋∞)内，f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )解析：选C 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C.3．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.4．设函数F (x )＝f xex是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e2 016f (0) 解析：选C ∵函数F (x )＝f xex的导数F ′(x )＝f xx－f xxx2＝f x －f xex<0，∴函数F (x )＝f xex是定义在R 上的减函数， ∴F (2)<F (0)，即fe2<fe，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2 016)<e2 016f (0)．故选C.5．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________．解析：设g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.∵对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，∴g ′(x )＞0. ∴g (x )在R 上为增函数．又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝0，∴x ＞－1时，g (x )＞0.∴由f (x )＞2x ＋4，得x ＞－1. 答案：(－1，＋∞)6．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．解析：∵f (x )在(－1，＋∞)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立， ∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋bx ＋2≤0， ∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1，∴g (x )min ＝－1，∴b ≤－1. 答案：(－∞，－1]7．已知x ＞0，证明不等式ln(1＋x )＞x －12x 2成立．证明：设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋12x 2，其定义域为(－1，＋∞)，则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x21＋x .当x ＞－1时，f ′(x )＞0， 则f (x )在(－1，＋∞)内是增函数． ∴当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0.∴当x ＞0时，不等式ln(1＋x )＞x －12x 2成立．8．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)证明：f (x )＝x 3－ax －1的图象不可能总在直线y ＝a 的上方． 解：(1)已知函数f (x )＝x 3－ax －1， ∴f ′(x )＝3x 2－a ，由题意知3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， ∴a ≥3x 2在x ∈(－1,1)上恒成立． 但当x ∈(－1,1)时，0＜3x 2＜3，∴a ≥3， 即当a ≥3时，f (x )在(－1,1)上单调递减． (2)证明：取x ＝－1，得f (－1)＝a －2＜a ，即存在点(－1，a －2)在f (x )＝x 3－ax －1的图象上，且在直线y ＝a 的下方． 即f (x )的图象不可能总在直线y ＝a 的上方．。