数学高考一轮总复习 第二章 函数 第一节 函数及其表示
高考数学一轮复习 第二章 第1讲 函数及其表示知识点 新人教A版必修1
第1讲函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用．知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．2．函数定义域的求法类型x满足的条件2nf(x)≥0f（x），n∈N*1与[f(x)]0f(x)≠0f（x）log a f(x)f(x)＞0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×) (3)函数是特殊的映射．(√)(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×) 2．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 答案 C3．(2014·山东卷)函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 解析 要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2x ）2－1＞0，解得x ＞2或0＜x ＜12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．答案 C4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π解析 g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0. 答案 B5．已知f (2x ＋1)＝3x －4，f (a )＝4，则a ＝________． 解析 令2x ＋1＝a ，则x ＝a －12，则f (2x ＋1)＝3x －4可化为f (a )＝3（a －1）2－4，因为f (a )＝4，所以3（a －1）2－4＝4，解得a ＝193.答案 193考点一 求函数的定义域【例1】 (1)(2015·杭州模拟)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3，0]B ．(－3，1]C ．(－∞，－3)∪(－3，0]D ．(－∞，－3)∪(－3，1] (2)函数f (x )＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得－3＜x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3，0]，故选A.(2)要使函数f (x )＝lg （x ＋1）x －1有意义，需满足x ＋1＞0且x －1≠0，得x ＞－1且x ≠1，故选C.答案 (1)A (2)C规律方法 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合，在求解时，要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式(组)，这个不等式(组)的解集就是这个函数的定义域，函数的定义域要写成集合或者区间的形式．(2)对于实际问题中求得的函数解析式，在确定定义域时，除了要考虑函数解析式有意义外，还要使实际问题有意义．【训练1】 (1)(2014·江西卷)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析 (1)由题意可得x 2－x ＞0，解得x ＞1或x ＜0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．(2)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x ＞0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒x ∈(0，1]．答案 (1)C (2)(0，1] 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________．(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________．解析 (1)令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1. (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，①把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②①×2－②得3f (x )＝6x －3x， ∴f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案 (1)B (2)2x ＋7 (3)2x －1x(x ≠0)规律方法 求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法，若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法，已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法，由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)方程法，已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【训练2】 (1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________．(2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________． 解析 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，且x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．(2)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xx －1中，用1x代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )1x－1，将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f （x ）x－1代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)x 2－2(x ≥2或x ≤－2) (2)23x ＋13考点三 分段函数【例3】 (1)(2014·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（8－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－3(2)(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析 (1)f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝ －f (0)＝－log 28＝－3. (2)当x ＜1时，e x －1≤2成立，解得x ≤1＋ln 2，∴x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]． 答案 (1)D (2)(－∞，8]规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．【训练3】 (1)(2014·上海卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2](2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________． 解析 (1)∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0；当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D. (2)当a ＞0时，f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝ 2(a ＝0与a ＝－2舍去)．当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．答案 (1)D (2) 2微型专题 抽象函数的定义域问题抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感觉棘手，在高考中一般不会单独考查，但从提升能力方面考虑，还应有所涉及．【例4】 若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 015]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．[0，2 014]B ．[0，1)∪(1，2 014]C ．(1，2 015]D ．[－1，1)∪(1，2 014]点拨 先利用换元法求出函数f (x ＋1)的定义域，则函数g (x )的定义域为f (x ＋1)的定义域与不等式x －1≠0的解集的交集．解析 要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 015，解得0≤x ≤2 014，故函数f (x ＋1)的定义域为[0，2 014]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 014，x －1≠0，解得0≤x ＜1或1＜x ≤2 014.故函数g (x )的定义域为[0，1)∪(1，2 014]，故选B. 答案 B点评 函数的定义域是函数解析式中自变量的取值范围，即f (x )与f (g (x ))的定义域都是自变量x 的取值范围，常见有如下两种类型：(1)已知函数f (x )的定义域为D ，则函数f (g (x ))的定义域就是不等式g (x )∈D 的解集；(2)已知函数f (g (x ))的定义域为D ，则函数f (x )的定义域就是函数y ＝g (x )(x ∈D )的值域．[思想方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、方程法． [易错防范]1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域，如已知f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式时，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，这个函数的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．2．求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·广州调研)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案． 答案 B2．(2014·郑州模拟)函数f (x )＝3x21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞－13，所以定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.答案 A3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7解析 ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1. 答案 B4．(2015·合肥检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，f （x －1）＋1，x ≥0，则f (2 014)＝ ( )A ．2 014B.4 0292C ．2 015 D.4 0312解析 f (2 014)＝f (2 013)＋1＝…＝f (0)＋2 014＝f (－1)＋2 015＝2－1＋2 015＝4 0312.答案 D5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析 法一 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ； 若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B.法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10， 当6<α≤9时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1，所以选B.答案 B 二、填空题6．下列集合A 到集合B 的对应f 中：①A ＝{－1，0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数平方； ②A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数开方； ③A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数；④A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值， 是从集合A 到集合B 的函数的为________．解析 其中②，由于1的开方数不唯一，因此f 不是A 到B 的函数；其中③，A 中的元素0在B 中没有对应元素；其中④，A 中的元素0在B 中没有对应元素． 答案 ①7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________．解析 令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t(t ≠－1)，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2， 从而f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)． 答案 f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)8．(2015·武汉一模)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围是________．解析 由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立． ∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案 [－1，0] 三、解答题9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. ∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10.根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式． 解 当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3，1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)，将点(－1，－2)，(1，1)代入，可得f (x )＝32x －12；当1≤x ＜2时，f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为 ( ) A ．(－4，0)∪(0，4)B ．(－4，－1)∪(1，4)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－4，－2)∪(2，4)解析 ∵2＋x2－x＞0，∴－2＜x ＜2，∴－2＜x 2＜2且－2＜2x＜2，取x ＝1，则2x＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C ，D ，故选B. 答案 B12．(2014·包头测试与评估)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x，x ≤1，1－log 3x ，x ＞1，则满足f (x )≤3的x 的取值范围是 ( )A ．[0，＋∞)B ．[－1，3]C ．[0，3]D ．[1，＋∞)解析 依题意，不等式f (x )≤3等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，31－x ≤3或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，1－log 3x ≤3.解①得0≤x ≤1，解②得x ＞1.因此，满足f (x )≤3的x 的取值范围是[0，1]∪(1，＋∞)＝[0，＋∞)． 答案 A13．(2015·杭州质检)函数f(x)＝ln1|x|＋1的值域是________．解析依题意，因为 |x|＋1≥1，则0＜1|x|＋1≤1，ln1|x|＋1≤ln 1＝0，即函数的值域是(－∞，0]．答案(－∞，0]14．某人开汽车沿一条直线以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地．在B地停留1 h 后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离x(km)表示为时间t(h)(从A地出发开始)的函数，并画出函数的图象．解x＝⎩⎪⎨⎪⎧60t，0≤t≤52，150，52<t≤72，150－50⎝⎛⎭⎪⎫t－72，72<t≤132.其图象如图所示．特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.第2讲函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用函数图象理解和研究函数的单调性．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .(3)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .结论 M 为最大值 M 为最小值诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．(√)(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．(×)(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×) 2．(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)解析 y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B ；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，排除C ；因为y ＝log 0.5t 在(1，＋∞)上为减函数，t ＝x ＋1在(0，＋∞)上为增函数，所以y ＝log 0.5(x ＋1)在(0，＋∞)上为减函数，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函数，所以y＝x ＋1为增函数，故选A. 答案 A3．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)， 根据图象可知函数在(2，4)上是先递减再递增． 答案 C4．(2013·安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )在区间(0，＋∞)内无实根，即a ＝0或1a＜0，也就是a ≤0，故“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C. 答案 C5．(人教A 必修1P31例4改编)f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案 2 25考点一 确定函数的单调性或单调区间【例1】 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上递增．规律方法 判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．【训练1】 (1)已知a ＞0，函数f (x )＝x ＋ax(x ＞0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．深度思考 解决函数的单调性问题一般有两种解法：定义法和导数法，你不妨都试一试． (1)证明 法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a （x 2－x 1）x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2. 当a ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0，1－ax 1x 2＜0， 有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋a x(a ＞0)在(0，a ]上为减函数；当x 1＞x 2≥a 时，x 1－x 2＞0，1－ax 1x 2＞0， 有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋a x(a ＞0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋a x(a ＞0)在(0，a ]上为减函数；在[a ，＋∞)上为增函数． 法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )＞0，则1－a x2＞0， 解得x ＞a 或x ＜－a (舍)．令f ′(x )＜0，则1－a x2＜0， 解得－a ＜x ＜a .∵x ＞0，∴0＜x ＜a .∴f (x )在(0，a )上为减函数；在(a ，＋∞)上为增函数， 也称为f (x )在(0，a ]上为减函数；在[a ，＋∞)上为增函数．(2)解 令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0.则x ＜1或x ＞3. ∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．考点二 利用函数的单调性求参数范围【例2】 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)(2015·奉化模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1，是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数， 则(3a －1)x ＋4a ≥0在x ＜1时恒成立． 令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，g （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13.答案 (1)D (2)C规律方法 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．【训练2】 (1)(2014·北京西城区模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞) (2)若函数f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析 (1)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.(2)法一 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1， 设x 1<x 2<－1， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝（a ＋1）（x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）， 又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)>0.由于x 1<x 2<－1， ∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0， ∴a ＋1<0，即a <－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二 由f (x )＝ax －1x ＋1，得f ′(x )＝a ＋1（x ＋1）2，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f ′(x )＝a ＋1（x ＋1）2≤0在x ∈(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1，而a ＝－1时，f (x )＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故a 的取值范围是 (－∞，－1)．答案 (1)D (2)(－∞，－1) 考点三 利用函数的单调性求最值【例3】 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值． (1)证明 设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵当x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3，3]上也是减函数，∴f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，又函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )，∴f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.规律方法 利用函数的单调性求函数的最大(小)值，即如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y ＝f (x )在区间[a ，c ]上的最大值是f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )在区间[a ，c ]上的最小值是f (b )．【训练3】 如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．－1解析 根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，故f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，则函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. 答案 C[思想方法]1．利用定义判断或证明函数的单调性注意定义的如下两种等价形式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 (1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义 域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导函数． 3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减．[易错防范]1．函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的．如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的．2．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．3．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题1．(2014·太原模拟)下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是 ( ) A ．y ＝log 2xB ．y ＝C ．y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝1x解析 y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数；y ＝在(0，＋∞)上是增函数；y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是增函数；y ＝1x 在(0， ＋∞)上是减函数，故y ＝1x在(0，1)上是减函数．故选D.答案 D2．(2014·济南模拟)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1，0)B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，1)D ．(0，1]解析 ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1，2]上是减函数，∴a ≤1.① 又g (x )＝(a ＋1)1－x在[1，2]上是减函数．∴a ＋1>1，∴a >0.② 由①②知，0<a ≤1. 答案 D3．(2014·长沙月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.答案 C4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ．c ＜b ＜a B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c . 答案 B5．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0解析 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1，2)时，f (x 1)＜f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)＞f (2)＝0， 即f (x 1)＜0，f (x 2)＞0. 答案 B 二、填空题6．(2014·中山质检)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________． 解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞， －1]，[0，1]上是增函数． 答案 (－∞，－1]，[0，1]7．(2015·厦门质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． 解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在 [－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 3 8．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________． 解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，a ≥1⇒a ≥1. 答案 [1，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0，2]，求函数的最大值和最小值． 解 设x 1，x 2是区间[0，2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1＝－2（x 2＋1－x 1－1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝－2（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）.由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0，2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0，2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝ －23.10．已知二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（a ＋1）2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，（a －1）2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2，2]上是单调函数，∴k－22≤－2或k－22≥2，解得k≤－2或k≥6.故k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f （x ）x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析 由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋a x－2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 答案 D12．(2014·武汉二模)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4，8)C ．(4，8)D ．(1，8)解析 函数f (x )在(－∞，1)和[1，＋∞)上都为增函数，且f (x )在(－∞，1)上的最高点不高于其在[1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥4－a 2＋2，解得4≤a ＜8.答案 B13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， ∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1. 答案 114．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，任取1≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝（x 1－x 2）（2x 1x 2－1）2x 1x 2，∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0. 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－（x 2＋2x ），x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3. ∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞).第3讲函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有偶函数关于y轴对称f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有关于原点对称奇函数f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√)(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√)(5)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．(√) 2．(2014·太原模拟)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝|log 2x |D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |解析 函数y ＝x 3是奇函数，排除A ；函数y ＝|log 2x |既不是奇函数，也不是偶函数，排除C ；当x ＞0时，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x单调递减，排除D ；函数y ＝|x |＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选B. 答案 B3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析 依题意得对任意x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此， f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－[f (x )·g (x )]，f (x )g (x )是奇函数，A 错；|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )，|f (x )|g (x )是偶函数，B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－[f (x )|g (x )|]，f (x )|g (x )|是奇函数，C 正确；|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|， |f (x )g (x )|是偶函数，D 错． 答案 C4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98 解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)． 又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 015)＝－2. 答案 A5．(人教A 必修1P39A6改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________．解析 当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )． 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )． 答案 x (1－x )考点一 函数奇偶性的判断及其应用【例1】 (1)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析 设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12－1＝g (lg 2)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝0， 因此f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2. 答案 C(2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x lg(x ＋x 2＋1)； ②f (x )＝(1－x )1＋x1－x； ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1 （x ＞0），x 2＋2x －1 （x ＜0）；④f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.解 ①∵x 2＋1＞|x |≥0，∴函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )lg(－x ＋（－x ）2＋1) ＝－x lg(x 2＋1－x )＝x lg(x 2＋1＋x )＝f (x )． 即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．②当且仅当1＋x1－x ≥0时函数有意义，∴－1≤x ＜1，由于定义域关于原点不对称，∴函数f (x )是非奇非偶函数． ③函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， 当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝x 2－2x －1＝－f (x )， 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )． ∴f (－x )＝－f (x )，即函数是奇函数．④∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3⇒－2≤x ≤2且x ≠0，∴函数的定义域关于原点对称． ∴f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x，又f (－x )＝4－（－x ）2－x ＝－4－x2x ，∴f (－x )＝－f (x )，即函数是奇函数．规律方法 判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．【训练1】 (1)(2015·郑州质量预测)下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)上单调递增的是( )A ．y ＝log 2|x |B ．y ＝cos 2xC ．y ＝2x－2－x2 D ．y ＝log 22－x2＋x(2)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________．解析 (1)对于A ，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1，2)上是增函数；对于B ，函数y＝cos 2x 在区间(1，2)上不是增函数；对于C ，函数y ＝2x －2－x2不是偶函数；对于D ，函数y ＝log 22－x2＋x不是偶函数，故选A.(2)∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x＋k， ∴f (－x )＋f (x )＝（k －2x ）（2x ＋k ）＋（k ·2x －1）·（1＋k ·2x）（1＋k ·2x ）（2x＋k ） ＝（k 2－1）（22x＋1）（1＋k ·2x ）（2x＋k ）. 由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1，∴k ＝±1. 答案 (1)A (2)±1 考点二 函数周期性的应用【例2】 (1)(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________．解析 (1)∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. (2)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2) ＝－[－f (x )]＝f (x )， 所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案 (1)A (2)2.5规律方法 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．【训练2】 (1)(2014·长春一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0，1)时，f (x )＝2x－1，则f (log 126)的值为( )A ．－52B ．－5C ．－12D ．－6(2)(2015·雅安模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于( ) A ．335 B ．336 C ．1 678 D ．2 012 解析 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数．(2)利用函数的周期性和函数值的求法求解． ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6.∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12) ＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝1＋2－1＋0－1＝1. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝335＋1＝336. 答案 (1)C (2)B考点三 函数性质的综合应用【例3】 (1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )。
(北京专用)高考数学一轮复习第二章函数第一节函数及其表示课件理
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2-3 函数(hánshù)f1(x)|=x (1a|>0且a≠1)的定义域为 ax 1
. (0,2]
答案(dáàn) (0,2]
解析(jiě xī)1由| x ⇒1| 0⇒, 0<x0≤2,故x 所2求, 函数的定义域为(0,
2].
ax 1 0
x
0
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考点三 分段(fēn duàn)函数 命题方向一 分段(fēn duàn)函数的求值
{f(x)|x∈A}叫做函
数的⑧ 值域 .
(2)函数的三要素:⑨ 定义域 、⑩ 值域 和 对应关系 .
(3)相等函数:如果两个函数的 定义域 相同(xiānɡ tónɡ),且
对应关系 完
全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.
(4)函数的表示法
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3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 对应关系(guān xì) ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几 部分组 成,但它表示的是一个函数.
x
4,
A
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答案(dáàn) (1)C (2)A
解析(jiě xī) (1)∵-2<1,∴f(-2)=1+log2[2-(-2)]=3;
∵log212>1,∴f(log212)= =2 log=2162.1 2log2 6
∴f(-2)+f(log212)=9. (2)∵1<log23<2,∴3<2+log23<4, ∴f(2+log23)=f(3+log23)= =24.故选A.
)
A.(-1,0)∪( ,+∞)log1 xB,.x(-1,0 , )
高考数学总复习 第二章 第一节函数及其表示课件 理
；当a≤0时，
第十三页，共43页。
4. (2013·东莞市城南中学(zhōngxué)月考)若函数f(1x)－＝log2x ，则
f(x)的定义域是__________． 解析(jiě xī)：1－log2x≥0，所以log2x≤1，得0＜x≤2，即定义域为 (0,2]． 答案：(0,2]
第十四页，共43页。
第二十一页，共43页。
解析：
4－x>0， (1)x－3≠0
⇒x<4 且 x≠3，
∴该函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
25－x2≥0， (2)x＋2>0
⇒－ x>5－≤2x≤5，
∴所求定义域为－2，5.
⇒－2<x≤5，
x－1>0， (3)xx＋ －11>0，
9－x>0，
即xx>>11， ，或x<－1 x<9，
第二页，共43页。
课前自修
知识(zhī shi)梳理
一、映射的概念 1．映射的定义：设A，B是两个非空集合，如果按照对应法则f，对
于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有________的元素和它唯对一应，那 么(nàme)这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.(wéi yī)
2．一一映射：在集合A到集合B的映射中，若B中的任意一个元素在 A中有唯一的元素与它对应，那么(nàme)这样的映射叫做从集合A到集合B 的一一映射．
有两要素．
则
4．两个函数能成为同一函数的条件是：定义域与对应法则都相
同．
三、函数的表示
1．函数的表示方法．
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种．
(1)解析法：就是把两个变量的函数关系(guān xì)，用一个等式表
高考数学一轮总复习 2.1函数及其表示课件
高频考点
考点一 函数的概念
【例1】 有以下判断：
①f(x)＝|xx|与g(x)＝1－1
x≥0 表示同一函数； x<0
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0. 其中正确判断的序号是________．
解析 f(3)＝23，f(f(3))＝232＋1＝193.
答案 D
6．(2014·浙江卷)设函数f(x)＝
x2＋x，x<0， －x2，x≥0.
若f(f(a))≤2，
则实数a的取值范围是________．
解析 由题意得ff2aa<＋0，fa≤2， 或f－af2≥a0≤，2， 解得f(a)≥－2. 由aa<2＋0，a≥－2， 或a－≥a02≥，－2， 解得a≤ 2.
听课记录
对于①，由于函数f(x)＝
|x| x
的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而
1 x≥0，
函数g(x)＝ －1 x<0
的定义域是R，所以二者不是同函数；对于②，
2．函数的构成要素为： 定义域、对应关系和值域 ．由于值
域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的 定义域
相同，并且 对应关系 完全一致，我们就称这两个函数 相等 ．
3．函数的表示法有 解析法、图象法、列表法
.
知识点二 映射
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于A中
的 任意 一个元素x，在B中 有且仅有一个元素 y与x对应，那么 称f是集合A到集合B的映射．这时映射f也可记为：f： A→B ， x→f(x)，其中A叫做映射f的 定义域 (函数定义域的推广)，由所 有函数值f(x)构成的集合叫做映射f的 值域 ，通常记作f(A).
高考数学一轮复习 第二章 第1课时 函数及其表示课件 理
方法二：∵x＋2 x＝( x＋1)2－1， 由于 x≥0，所以 x＋1≥1. ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1，即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
【答案】 f(x)＝x2－1(x≥1)
(2)已知f(x)是一次函数，并且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)． 【解析】 设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
月 份
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1 0
1 1
1 2
天323333333333 数191010110101
对照课本中的函数概念上述从A到B的对应是函数吗？又 从B到A的对应是函数吗？
答案 是 不是
3．已知 f(x5)＝lgx，则 f(2)等于( )
A．lg2
B．lg32
C．lg312
1 D.5lg2
答案 D
(2) 不 是 ． f1(x) 的 定 义 域 为 R ， f2(x) 的 定 义 域 为 {x∈R|x≥0}，f3(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
(3)同一函数．x与y的对应关系完全相同且定义域相同，
它们是同一函数的不同表示方法．
【答案】 不同函数(1)(2)；同一函数(3)
探究2 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相 同，则值域一定相同．
时，这两个函数才相同．
3．分段函数 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围， 有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是 一个函数而不是几个函数．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)A＝N，B＝N，f：x→y＝|x－1|，表示从集合A到集合B 的映射(也是函数)． (2)A＝R，B＝R，f：x→y＝1x，表示从集合 A 到集合 B 的映射(也是函数)．
高考数学一轮复习 第二章 第1讲 函数及其表示课件 理 苏教版
• 答案 [4,5]
பைடு நூலகம்
• 2．(2012·泰州二模)已知M＝{1,2,3,4}，设f(x)，g(x)都是 从
第1讲 函数及其表示
考点梳理
1．函数的概念 • 一的般对地应，关设系Af，，使B是对两于个集非_合空__A_中_数的集任，意如一果个按数照x，某在种集确合定B 中都有_____确定的数f(x)与之对应；那么就称：f： A唯→一B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)， x∈A.
2．函• 数(1)的函定数义的域定义域是指使函数有意义的自变量的取值范 围．
• M到M的函数，其对应法则如下表：
x
1234
f(x)
3421
x
1234
•
•
则解f(析gg(1(x)因))＝为_g_(1_)_＝_44_，__所. 以3f(g(1))＝1f(4)＝12.
• 答案 1
3．(2012·盐城检测)已知函数f(x)＝loga(x＋1)的定义域和值 域都• 是解析[0,1由]，0≤则x≤实1，数得a的1≤值x＋是1≤_2_,0_≤_l_og_a_(x_＋．1)≤loga2，所以loga2
＝1，a＝2.
• 答案 2
4．(2010·陕西卷改编)已知函数 f(x)＝x22x＋ ＋a1x，，xx＜≥11，， 若 f(f(0• ))答＝案4a2，则实数 a＝________. 解析 f(x)＝x22x＋ ＋a1x，，xx＜≥11，. 由 0＜1，得 f(0)＝20＋1＝ 2.又 f(0)＝2≥1，所以 f[f(0)]＝22＋2a＝4a，故 a＝2.
高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第1节函数及其表示课件理新人教A版
●命题角度三 分段函数与不等式问题
【例 4】 (2019 届湖北四地七校联考)已知函数 f(x)＝12x－7，x<0，
若
log2（x＋1），x≥0，
f(a)<1，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪[0，1)
B．(－3，0)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析] 因为 f(a)<1，所以a12<0a，－7<1或alo≥g20（，a＋1）<1，得－3<a<0 或 0≤a<1.所 以实数 a 的取值范围是(－3，1)，故选 C．
|跟踪训练|
1．(2019 届定州模拟)下列函数中，满足 f(x2)＝[f(x)]2 的是( )
A．f(x)＝ln x
B．f(x)＝|x＋1|
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝ex
解析：选 C 对于函数 f(x)＝x3，有 f(x2)＝(x2)3＝x6，[f(x)]2＝(x3)2＝x6，所以 f(x2)＝[f(x)]2，
考点一 函数解析式的求法 【例 1】 (1)若 f1＋1x＝x12－1，则 f(x)＝________. (2)若 f(x)为有理函数，且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则 f(x)＝________． (3)已知 f(x)＋2f1x＝x＋1，则 f(x)＝________．
[解析] (1)解法一(配凑法)：
考点二 分段函数——多维探究 高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小． 常见的命题角度有：(1)分段函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段 函数与不等式问题．
●命题角度一 分段函数求值问题
【例 2】 (2020 届成都摸底)已知函数 f(x)＝sinπx＋π6，x≤0，则 f(－2)＋f(1)＝ 2x＋1，x>0，
高考数学统考一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示(教师文档)教案 文 北师大
学习资料第一节函数及其表示授课提示：对应学生用书第10页［基础梳理]1．函数的概念（1)设A，B都是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A。
(2）函数的三要素函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f（x），x∈A，其中①定义域：自变量x的取值范围;②值域：函数值的集合｛f(x)|x∈A｝．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图像法．3．分段函数若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．1．两种对应关系f：A→B表示从A到B的一个函数，即从A到B的元素是一对一或多对一,值域为B的子集．2．两个关注点（1)分段函数是一个函数．(2）分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．3．函数的三要素与相等函数函数的三要素为定义域、对应法则和值域，而值域是由定义域和对应法则确定的，故如果两个函数的定义域、对应法则分别相同，这两个函数为相等函数．［四基自测］1．(基础点：函数的定义域）函数f(x)＝2x－1＋错误!的定义域为(）A．[0，2)B．(2，＋∞）C．［0，2）∪（2,＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案：C2．(基础点：待定系数法求解析式）若f(x)＝x2＋bx＋c且f（1)＝0，f(3)＝0,则f（x）＝________．答案：x2－4x＋33．(基础点:求函数值）已知函数f（x）＝log2（x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________．解析：∵f（x)＝log2(x2＋a)且f（3）＝1，∴1＝log2(9＋a），∴9＋a＝2，∴a＝－7.答案：－74．（基础点:分段函数)已知函数f(x）＝错误!,则f（f（错误!)）＝________．答案：错误!授课提示：对应学生用书第10页考点一求函数的定义域挖掘1求给定函数解析式的定义域/ 自主练透［例1］（1)函数f(x）＝错误!＋lg(3－x)的定义域是(）A．(3，＋∞）B．（2，3)C．[2，3）D．(2，＋∞)［解析]由题意得错误!解得2＜x＜3，故选B.[答案］ B(2）（2020·九江七校联考）函数y＝错误!的定义域是（)A．(－1，3) B．(－1，3］C．(－1，0）∪（0，3) D．(－1，0）∪(0，3］[解析］由题意得错误!⇒－1＜x≤3且x≠0。
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2．指数函数、对数函数是新课标考查的重要方面．指 数函数主要题型有：指数函数的图象与性质、幂值的大小比 较、由指数函数复合而成的综合问题．对数是常考常变的内 容，主要题型是对数函数的图象性质、对数运算法则、对数 函数定义域．幂函数新课标要求较低，只要掌握幂函数的概 念、图象与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数．反函数新 课标比原大纲要求有较大幅度降低，只要知道指数函数与对 数函数互为反函数及定义域、图象的关系即可，不宜过分延
[答案] B
[解析]
x≥0 要使函数有意义，应有 1－x>0
，
∴0≤x<1.故选B.
2．(2012· 江西理，3)若函数f(x)＝ f(f(10))＝( A．lg101 C．1
[答案] B
2 x ＋1，x≤1 lgx，x>1
，则
) B．2 D．0
[解析]
∵f(10)＝lg10＝1，∴f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.
2．(1)非空数集 非空数集 (2)解析法 列表法 图象 法 3．(1)0 0 0 大于0且不等于1 (2)a≤g(x)≤b [a， b]
考点自测 把脉弱点 1．(2013· 江西理，2)函数y＝ ( ) A．(0,1) C．(0,1] B．[0,1) D．[0,1] x ln(1－x)的定义域为
3．(2013· 大纲全国理，4)已知函数f(x)的定义域为(－ 1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( A．(－1,1) C．(－1,0) 1 B．(－1，－ ) 2 1 D．(2，1) )
[答案] B
[解析]
1 由题意知－1<2x＋1<0，则－1<x<－ .故选B. 2
4．(2012· 江苏，10)设f(x)是定义在R上且周期为2的函 ax＋1，－1≤x<0， 数，在区间[－1,1]上，f(x)＝ bx＋2 x＋1 ，0≤x≤1， 1 3 ∈R，若f(2)＝f(2)，则a＋3b的值为________．
(文)下列四组函数中，是相同函数的是( A．y＝x－1与y＝ x－12 x－1 B．y＝ x－1与y＝ x－1 C．y＝4lgx与y＝2lgx2 x D．y＝lgx－2与y＝lg100
5．函数应用的复习，应深刻理解方程的根与函数零点 的关系，掌握二分法求方程近似解的方法，进一步培养数形 结合及运用函数、方程的知识解决实际问题的能力．加强对 实际问题的理解，掌握建立数学模型的基本方法．注意归纳 掌握常见实际问题的数学模型．
夯实基础 稳固根基 1．映射 (1)映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应 法则f，对于集合A中的________一个元素，在集合B中都有 ________的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到 集合B的映射，记作f：A→B.
2 1－x ≥0 B中，由 |x＋2|－2≠0
－1≤x≤1 得 x≠0且x≠－4
，
∴－1≤x<0或0<x≤1，∴x＋2>0. 1－x2 1－x2 1－x2 ∴f(x)＝ ＝ ＝ x ，f(x)与g(x)定义 |x＋2|－2 x＋2－2 域、对应法则相同，故为相等函数； C值域相同，但定义域未必相同，且对应法则不同，f(x ＋1)的图象可由f(x)图象向左平移一个单位得到，因此f(x)与 f(x＋1)的图象不重合，故C也排除；
(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指 满足________的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域是[a， b]，求f(x)的定义域，是指在x∈________的条件下，求g(x)的 值域． (3)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题 除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何 问题有意义． (4)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数 的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．
●备考指南 1．深刻理解函数的概念，准确把握常见基本初等函数 的图象与性质，以及以这些基本函数为材料构建的含绝对值 的函数、分段函数等，并能灵活运用这些知识去分析、解决 有关问题． 2．注重基础知识的落实，主干知识的强化，交汇知识 的梳理，常用数学思想、方法、技能、解题规律的总结．
重点训练：①求函数的定义域，特别是幂、指、对、一 次、二次、三角的复合问题；②求函数的值(或值域)，特别 是幂、指、对、一次、二次与分段函数、函数的奇偶、周期 结合的题目；③指数函数、对数函数的图象、性质与分类讨 论、数形结合、字母运算结合的题目；④函数的单调性、极 值与导数结合的题目；⑤函数、导数、数列的小综合，函 数、导数、不等式的小综合．
2x－1 x>1， D中，f(x)＝ 1 0≤x≤1， 1－2x x<0， 等函数．
显然与g(x)＝2x－1不是相
[方法规律总结] 的方法
1.判断两个变量之间是否存在函数关系
(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关 系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一 的函数值y与之对应． 2．判断两个函数是否为同一个函数的方法 判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定 义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．
(5)求定义域的一般步骤： ①写出函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)； ③写出函数的定义域．
4．函数的值域 (1)确定函数值域的原则 ①当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中y 的值的集合． ②当函数y＝f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影对应的y的值的集合． ③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的 定义域及其对应法则唯一确定．
7．熟练掌握求函数值域的几种常用方法，要注意这些 方法分别适用于哪些类型的函数． 如求函数y＝x＋ 1－x 与y＝x＋ 1－x2 的值域，虽然形
式上接近但采用的方法却不同． 8．分段函数求值或解不等式时，一定要先区分自变量 在哪一段区间上取值．
映射与函数的概念
下列各组中的两个函数是相等函数 A．f(x)＝lgx＋lg(x－1)，g(x)＝lg[x(x－1)] 1－x2 1－x2 B．f(x)＝ ，g(x)＝ x |x＋2|－2
数学高考一轮总复习
第二章
Байду номын сангаас第一节
函
数
函数及其表示
●命题趋势 1．高考命题对函数的考查是全方位、多层次的，既有 中低档的选择、填空题，也有变换角度，在知识交汇处综合 的大题，近两年注重了对函数与导数知识的结合．
考查的重点依旧是函数的概念、性质及其应用；考查的 热点是函数模型的应用、函数的图象与性质、函数与其他章 节知识(如数列、方程、不等式、解析几何等知识)的交 汇．在考查函数知识的同时，又考查运用函数的思想、数形 结合思想和分类讨论思想解决问题的能力．
伸．因此命题会主要集中在指数、对数的运算性质，指、对 函数的图象与性质及数值大小比较等问题上，与数形结合、 分类讨论、函数与方程的思想相结合予以考查，与方程、不 等式、分段函数、数列、导数、三角函数等相联系，仍将是 命题的重点．
3．函数与方程、函数的应用主要考查： (1)零点与方程实数解的关系． (2)函数的概念、性质、图象的综合问题． (3)导数与零点的结合；方程、不等式、数列与函数的综 合问题． (4)函数与解析几何知识的综合问题． (5)二次函数、三次函数、导数、零点的结合． (6)实际应用问题．
k ③y＝ (k≠0)的值域是{y|y∈R且y≠0}． x ④y＝ax(a>0，且a≠1，x∈R)的值域是(0，＋∞)． ⑤y＝logax(a>0，且a≠1，x>0)的值域是R. ⑥y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分别为[－1,1]，[－ 1，1]，R.
[答案]
1.(1)任何 唯一确定 (2)象 原象
④当函数由实际问题给出时，函数的值域应结合问题的 实际意义确定． (2)基本初等函数的值域 ①y＝kx＋b(k≠0)的值域为R. ②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为
2 4ac－b2 4 ac － b ；当 a <0 时，值域为 ，＋∞ －∞， 4a . 4 a
3．针对函数实际应用题、探索性问题、代数推理问题 以及与其他知识交汇的综合题，应加大训练力度，通过实战 训练，达到培养数学能力的目的．给出一个背景问题(或图 象)，求出解析式，然后依据解析式讨论有关性质的问题应重 点训练．
4．基本初等函数(Ⅰ)的复习，重点掌握指数幂的运算法 则，对数的定义、性质与运算法则及对数恒等式、换底公 式，指数函数的图象与性质，加强指对函数单调性与比较大 小，奇偶性与图象对称特征，图象过定点，单调性应用，对 数函数定义域，互为反函数的两个函数图象、定义域、值域 的关系及与二次函数、分式、指数复合的训练，加强客观题 训练，难度不宜过大，适度进行综合训练．加强数形结合思 想的训练．
(1)函数的概念与函数的定义域、值域单独命题时，一般 在根式、分式、对数等知识点求函数的定义域及简单的函数 求值和复合函数值域问题． (2)函数性质主要是单调性、奇偶性的考查，有时也涉及 周期性．要求考生会利用单调性比较大小，求函数最值与解 不等式．
新课标对函数的奇偶性要求降低了很多，故应重点掌握 其基本概念和奇偶函数图象的对称性． (3)函数的图象主要考查：①几类基本初等函数的图象特 征；②函数的图象变换(平移变换、对称变换、伸缩变 换)．考查的形式主要有：知式选图、知图选式、图象变换， 以及运用图象解题等．把识图、用图作为考查的重点，考查 学生用数形结合方法解决问题的能力，大题常在应用题中给 出图象据图象求解析式．
[答案] B
C．y＝f(x)与 y＝f(x＋1) D．f(x)＝|x|＋|x－1|，g(x)＝2x－1
[解析]
A中，由
x>1 x－1>0
得x>1，∴f(x)定义域为
{x|x>1}；由x(x－1)>0得x<0或x>1，∴g(x)定义域为{x|x<0或 x>1}，∴f(x)与g(x)定义域不同，不是相等函数；