人教版九年级数学上册21.2降次--解一元二次方程(第三课时)同步测试题及答案【精编】
人教版九年级上册 21.2解一元二次方程 同步练习 (含答案)
21.2解一元二次方程一元二次方程的解法1.直接开方法。
适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。
2.配方法。
套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
3.公式法。
当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0的实数根可写为：a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式。
这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。
a acb b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= ②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。
ab x x 221-== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。
4.因式分解法。
主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。
1．一元二次方程2104x x -+=的根（ ） A ．1211x ,x 22==- B ．x 1＝2，x 2＝﹣2 C ．1212x x ==-D ．1212x x == 【答案】D 2．一元二次方程()20x x +=的解是（ ）A ．0x =B ．2x =C ．10x =D ．10x =，22x =- 【答案】D 3．关于x 的一元二次方程()212019x k -=-，下列说法错误的是（ ）A ．2017k =方程无实数解B ．2018k =方程有一个实数解C ．2019k =有两个相等的实数解D ．2020k =方程有两个不相等的实数解【答案】B4．一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的求根公式是（ ）A ．1,2xB ．1,22b x a±=C ．1,22b x a±= D ．1,22a x b -±= 【答案】A 5．用配方法解方程x 2－6x ＝5，下列变形正确的是（ ）A ．(x －6)2＝41B ．(x －3)2＝4C ．(x －3)2＝14D ．(x －3)2＝9【答案】C 6．下列一元二次方程中无实数解的方程是（ ）A ．210x x +-=B ．210x +=C ．221x x -=-D ．2450x x --= 【答案】B7．下列各数是一元二次方程 x 2+x ﹣12=0 的根的是（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．3 【答案】D8．如果 、 是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B9．三角形两边的长分别为5和6，第三边的长是方程2680x x -+=的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．15B ．13C ．15或13D ．15和13 【答案】C10．一元二次方程x 2＝c 有解的条件是 ( )A ．c ＜OB ．c ＞OC ．c≤0D ．c≥0【答案】D11．如果关于x 的方程()21210m x x ++-=有实数根，那么m 的取值范围是（ ） A ．2m ≤- B ．21m m ≥-≠-且 C ．21m m ≤-≠-且 D ．2m ≥-【答案】B12．已知关于x 的一元二次方程x 2+（m ﹣1）x+214m =0有两个实数根，则m 的取值范围是________． 【答案】12m ≤ 13．若多项式x 2－6x －b 可化为（x +a ）2－1，则b 的值是 ______．【答案】-8.14．一元二次方程26x =的解为______.【答案】1,2x =15．已知－3是一元二次方程x 2＝p 的一个根，则另一个根是__________【答案】316．若,a b 是方程2230x x --=的两个实数根，则22a b +=_______。
（人教版）数学九年级上册21.2解一元二次方程同步习题（有答案）
（⼈教版）数学九年级上册21.2解⼀元⼆次⽅程同步习题（有答案）21．2解⼀元⼆次⽅程21．2.1配⽅法第1课时直接开平⽅法1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平⽅根，记为x＝≥0)，由平⽅根的意义降次来解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫做直接开平⽅法．2．直接开平⽅，把⼀元⼆次⽅程“降次”转化为__两个⼀元⼀次⽅程___．3．如果⽅程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝或mx＋n＝．知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型⽅程的解法1．⽅程x2－16＝0的根为( C)A．x＝4B．x＝16C．x＝±4 D．x＝±82．⽅程x2＋m＝0有实数根的条件是( D)A．m＞0 B．m≥0C．m＜0 D．m≤03．⽅程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C)A．0个B．1个C．2个D．3个4．若4x2－8＝0成⽴，则x的值是．5．解下列⽅程：(1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3(2)2x2＋4＝12；解：x1＝2，x2＝－2(3)5x2＋8＝3.解：没有实数根知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法6．⼀元⼆次⽅程(x＋6)2＝16可转化为两个⼀元⼀次⽅程，其中⼀个⼀元⼀次⽅程是x ＋6＝4，则另⼀个⼀元⼀次⽅程是( D)A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－47．若关于x的⽅程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D)A．k＜1 B．k＜－1C．k≥1 D．k＞18．⼀元⼆次⽅程(x－3)2＝8的解为．9．解下列⽅程：(1)(x－3)2－9＝0；解：x1＝6，x2＝0(2)2(x－2)2－6＝0；解：x1＝2＋3，x2＝2－ 3(3)x2－2x＋1＝2.解：x1＝1＋2，x2＝1－ 210．(2014·⽩银)⼀元⼆次⽅程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的⼀个根为0，则a ＝__1___．11．若x 2－4x ＋2的值为0，则x ＝__2___．12．由x 2＝y 2得x ＝±y ，利⽤它解⽅程(3x －4)2＝(4x －3)2，其根为__x ＝±1___．13．在实数范围内定义⼀种运算“*”，其规则为a*b ＝a 2－b 2，根据这个规则，⽅程(x ＋2)*5＝0的根为__x 1＝3，x 2＝－7___．14．( C ) A ．x 2－3＝0 B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2x ＝0D ．(x －1)2＝(2x ＋1)2 15．(2014·枣庄)x 1，x 2是⼀元⼆次⽅程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( A )A ．x 1⼩于－1，x 2⼤于3B ．x 1⼩于－2，x 2⼤于3C ．x 1，x 2在－1和3之间D ．x 1，x 2都⼩于316．若(x 2＋y 2－3)2＝16，则x 2＋y 2的值为( A ) A ．7 B ．7或－1 C ．－1 D ．19 17．解下列⽅程： (1)3(2x ＋1)2－27＝0；解：x 1＝1，x 2＝－2(2)(x －2)(x ＋2)＝10；解：x 1＝23，x 2＝－2 3(3)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2；解：x 1＝1，x 2＝5(4)4(2x －1)2＝9(2x ＋1)2.解：x 1＝－52，x 2＝－11018．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，求x ＋3x2的值．解：由题意得2(x 2＋3)＋3(1－x 2)＝0，∴x ＝±3.当x ＝3时，x ＋3x 2＝23；当x ＝－3时，x ＋3x2＝019．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸⽚的四个⾓都剪去⼀个边长为x的正⽅形．(1)⽤a，b，x表⽰纸⽚剩余部分的⾯积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的⾯积等于剩余部分的⾯积时，求正⽅形的边长．解：(1)ab－4x2(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代⼊，得x2＝3，解得x1＝3，x2＝－3(舍去)，即正⽅形的边长为3第2课时配⽅法1．通过配成__完全平⽅形式___来解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫做配⽅法．2．配⽅法的⼀般步骤：(1)化⼆次项系数为1，并将含有未知数的项放在⽅程的左边，常数项放在⽅程的右边；(2)配⽅：⽅程两边同时加上__⼀次项系数的⼀半的平⽅___，使左边配成⼀个完全平⽅式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；(3)若p__≥___0，则可直接开平⽅求出⽅程的解；若p__＜___0，则⽅程⽆解．知识点1：配⽅1．下列⼆次三项式是完全平⽅式的是( B)A．x2－8x－16B．x2＋8x＋16C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋162．若x2－6x＋m2是⼀个完全平⽅式，则m的值是( C)A．3 B．－3C．±3 D．以上都不对3．⽤适当的数填空：x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；m2__±3___m＋94＝(m__±2___)2.知识点2：⽤配⽅法解x2＋px＋q＝0型的⽅程4．⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程x2－4x＝5时，此⽅程可变形为( D) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝95．下列配⽅有错误的是( D)A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝1246．(2014·宁夏)⼀元⼆次⽅程x2－2x－1＝0的解是( C)A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋2，x2＝－1－ 2C．x1＝1＋2，x2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 27．解下列⽅程：(1)x2－4x＋2＝0；解：x1＝2＋2，x2＝2－ 2(2)x2＋6x－5＝0.解：x1＝－3＋14，x2＝－3－14知识点3：⽤配⽅法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的⽅程8．解⽅程3x 2－9x ＋1＝0，两边都除以3得__x 2－3x ＋13＝0___，配⽅后得__(x －32)2＝2312___．9．⽅程3x 2－4x －2＝0配⽅后正确的是( D ) A ．(3x －2)2＝6 B ．3(x －2)2＝7C ．3(x －6)2＝7D ．3(x －23)2＝10310．解下列⽅程： (1)3x 2－5x ＝－2；解：x 1＝23，x 2＝1(2)2x 2＋3x ＝－1.解：x 1＝－1，x 2＝－1211．对于任意实数x ，多项式x 2－4x ＋5的值⼀定是( B ) A ．⾮负数 B ．正数 C ．负数 D ．⽆法确定12．⽅程3x 2＋2x ＝6，左边配⽅得到的⽅程是( B )A ．(x ＋26)2＝－3718B ．(x ＋26)2＝3718C ．(x ＋26)2＝3518D ．(x ＋26)2＝611813．已知⽅程x 2－6x ＋q ＝0可以配⽅成(x －p)2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配⽅成下列的( B )A ．(x －p)2＝5B ．(x －p)2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝514．已知三⾓形⼀边长为12，另两边长是⽅程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三⾓形的⾯积为__30___．15．当x ＝__2___时，式⼦200－(x －2)2有最⼤值，最⼤值为__200___；当y ＝__－1___时，式⼦y 2＋2y ＋5有最__⼩___值为__4___．16．⽤配⽅法解⽅程： (1)23x 2＝2－13x ；解：x 1＝32，x 2＝－2(2)3y 2＋1＝23y.解：y 1＝y 2＝3317．把⽅程x 2－3x ＋p ＝0配⽅得到(x ＋m)2＝12，求常数m 与p 的值．解：m ＝－32，p ＝7418．试证明关于x 的⽅程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，⽆论a 为何值，该⽅程都是⼀元⼆次⽅程．解：∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4≠0，∴⽆论a 取何值，该⽅程都是⼀元⼆次⽅程19．选取⼆次三项式ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中的两项，配成完全平⽅式的过程叫做配⽅．例如：①选取⼆次项和⼀次项配⽅：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取⼆次项和常数项配⽅：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取⼀次项和常数项配⽅：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配⽅； (2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值．解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x－2)2－4x (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x 2＋xy ＋14y 2)＋(34y 2－3y ＋3)＝0，(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0，⼜∵(x ＋12y)2≥0，34(y －2)2≥0，∴x ＋12y ＝0，y －2＝0，∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝121．2.2 公式法1．⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当__b 2－4ac ≥0___时，x ＝－b±b 2－4ac2a，这个式⼦叫做⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0的__求根公式___．2．式⼦__b 2－4ac___叫做⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，常⽤Δ表⽰，Δ＞0?ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0?ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0?ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__没有实数根___．知识点1：根的判别式1．下列关于x 的⽅程有实数根的是( C )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝0 2．(2014·兰州)⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B )A ．b 2－4ac ＝0B ．b 2－4ac ＞0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≥03．⼀元⼆次⽅程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有⼀个实数根D ．没有实数根4．利⽤判别式判断下列⽅程的根的情况： (1)9x 2－6x ＋1＝0；解：∵a ＝9，b ＝－6，c ＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此⽅程有两个相等的实数根(2)8x 2＋4x ＝－3；解：化为⼀般形式为8x 2＋4x ＋3＝0，∵a ＝8，b ＝4，c ＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此⽅程没有实数根(3)2(x 2－1)＋5x ＝0.解：化为⼀般形式为2x 2＋5x －2＝0，∵a ＝2，b ＝5，c ＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此⽅程有两个不相等的实数根知识点2：⽤公式法解⼀元⼆次⽅程5．⽅程5x ＝2x 2－3中，a ＝__2___，b ＝__－5___，c ＝__－3___，b 2－4ac ＝__49___．6．⼀元⼆次⽅程x 2－x －6＝0中，b 2－4ac ＝__25___，可得x 1＝__3___，x 2＝__－2___．7．⽅程x 2－x －1＝0的⼀个根是( B )A ．1－ 5B .1－52C ．－1＋ 5D .－1＋528．⽤公式法解下列⽅程： (1)x 2－3x －2＝0；解：x 1＝3＋172，x 2＝3－172(2)8x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝2＋24，x 2＝2－24(3)2x 2－2x ＝5.解：x 1＝1＋112，x 2＝1－1129．(2014·⼴东)关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( B )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－9410．若关于x 的⼀元⼆次⽅程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( C ) A ．k ＞－1 B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠011．已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．12．关于x 的⽅程(a ＋1)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满⾜的条件是__a ≥－5___． 13．⽤公式法解下列⽅程： (1)x(2x －4)＝5－8x ；解：x 1＝－2＋142，x 2＝－2－142(2)(3y －1)(y ＋2)＝11y －4.解：y 1＝3＋33，y 2＝3－3314．当x 满⾜条件x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）时，求出⽅程x 2－2x －4＝0的根．解：解不等式组得215．(2014·梅州)已知关于x 的⽅程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该⽅程的⼀个根为1，求a 的值及该⽅程的另⼀根；(2)求证：不论a 取何实数，该⽅程都有两个不相等的实数根．解：(1)a ＝12，另⼀个根为x ＝－32(2)∵Δ＝a 2－4(a －2)＝(a －2)2＋4＞0，∴⽆论a 取何实数，该⽅程都有两个不相等的实数根16．关于x 的⼀元⼆次⽅程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实数根． (1)求a 的最⼤整数值；(2)当a 取最⼤整数值时，求出该⽅程的根．解：(1)∵关于x 的⼀元⼆次⽅程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤709且a≠6，∴a的最⼤整数值为7(2)当a＝7时，原⼀元⼆次⽅程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝－（－8）±282＝4±7，即x1＝4＋7，x2＝4－717．(2014·株洲)已知关于x的⼀元⼆次⽅程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是⽅程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果⽅程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三⾓形，试求这个⼀元⼆次⽅程的根．解：(1)△ABC是等腰三⾓形．理由：∵x＝－1是⽅程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a －c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三⾓形(2)∵⽅程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直⾓三⾓形(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－121．2.3 因式分解法1．当⼀元⼆次⽅程的⼀边为0，另⼀边可以分解成两个⼀次因式的乘积时，通常将⼀元⼆次⽅程化为__两个⼀次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等于0，从⽽实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．2．解⼀元⼆次⽅程，⾸先看能否⽤__直接开平⽅法___；再看能否⽤__因式分解法___；否则就⽤__公式法___；若⼆次项系数为1，⼀次项系数为偶数可先⽤__配⽅法___．知识点1：⽤因式分解法解⼀元⼆次⽅程 1．⽅程(x ＋2)(x －3)＝0的解是( C ) A ．x ＝2 B ．x ＝－3 C ．x 1＝－2，x 2＝3 D ．x 1＝2，x 2＝－32．⼀元⼆次⽅程x(x －5)＝5－x 的根是( D ) A ．－1 B ．5C ．1和5D ．－1和5 3．(2014·永州)⽅程x 2－2x ＝0的解为__x 1＝0，x 2＝2___． 4．⽅程x 2－2x ＋1＝0的根是__x 1＝x 2＝1___5．⽤因式分解法解下列⽅程： (1)x 2－4＝0；解：x 1＝2，x 2＝－2(2)x 2－23x ＝0；解：x 1＝0，x 2＝2 3(3)(3－x)2－9＝0；解：x 1＝0，x 2＝6(4)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2.解：x 1＝1，x 2＝53知识点2：⽤适当的⽅法解⼀元⼆次⽅程6．解⽅程(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6＝0时，我们可以将x ＋1看成⼀个整体，设x ＋1＝y ，则原⽅程可化为y 2－5y ＋6＝0，解得y 1＝2，y 2＝3.当y ＝2时，即x ＋1＝2，解得x ＝1；当y ＝3时，即x ＋1＝3，解得x ＝2，所以原⽅程的解为x 1＝1，x 2＝2.利⽤这种⽅法求⽅程(2x －1)2－4(2x －1)＋3＝0的解为( C )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝－1，x 2＝－3C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－1 7．⽤适当的⽅法解⽅程： (1)2(x －1)2＝12.5；解：⽤直接开平⽅法解，x 1＝3.5，x 2＝－1.5(2)x 2＋2x －168＝0；解：⽤配⽅法解，x 1＝12，x 2＝－14(3)2x 2＝2x ；解：⽤因式分解法解，x 1＝0，x 2＝ 2(4)4x 2－3x －2＝0.解：⽤公式法解，x 1＝3＋418，x 2＝3－4188．⽅程x(x －1)＝－x ＋1的解为( D ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x 1＝0，x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－19．⽤因式分解法解⽅程，下列⽅法中正确的是( A ) A ．(2x ＋2)(3x ＋4)＝0化为2x ＋2＝0或3x ＋4＝0 B ．(x －3)(x ＋1)＝1化为x －3＝1或x ＋1＝1 C ．(x －2)(x －3)＝2×3化为x －2＝2或x －3＝3 D ．x(x －2)＝0化为x －2＝010．⼀个三⾓形的两边长分别为3和6，第三边的边长是⽅程(x －2)(x －4)＝0的根，则这个三⾓形的周长是( C )A ．11B ．11或13C ．13D ．以上都不对11．(2014·陕西)若x ＝－2是关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－52ax ＋a 2＝0的⼀个根，则a 的值是( B )A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－4 12．已知x ＝1是关于x 的⽅程(1－k)x 2＋k 2x －1＝0的根，则常数k 的值为__0或1___．13．已知(x 2＋2x －3)0＝x 2－3x ＋3，则x ＝__2___． 14．⽤因式分解法解下列⽅程： (1)x 2－3x ＝x －4；解：x 1＝x 2＝2(2)(x －3)2＝3(x －3)．解：x 1＝3，x 2＝615．⽤适当的⽅法解下列⽅程： (1)4(x －1)2＝2；解：x 1＝2＋22，x 2＝－2＋22(2)x 2－6x ＋4＝0；解：x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5(3)x 2－4＝3x －6；解：x 1＝1，x 2＝2(4)(x ＋5)2＋x 2＝25. 解：x 1＝－5，x 2＝016．⼀跳⽔运动员从10 m ⾼台上跳下，他离⽔⾯的⾼度h(单位：m )与所⽤时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到⼊⽔所⽤的时间是多少？解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到⼊⽔所⽤的时间为2 s17．先阅读下列材料，然后解决后⾯的问题：材料：因为⼆次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以⽅程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.问题：(1)⽤因式分解法解⽅程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数x满⾜(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___．专题训练(⼀) ⼀元⼆次⽅程的解法及配⽅法的应⽤⼀、⼀元⼆次⽅程的解法 1．⽤直接开平⽅法解⽅程： (1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8；解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．⽤配⽅法解⽅程： (1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7. 解：x 1＝4，x 2＝23．⽤公式法解⽅程： (1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原⽅程⽆实数根4．⽤因式分解法解⽅程： (1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0. 解：x 1＝x 2＝35．⽤适当的⽅法解⽅程： (1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8. 解：x 1＝1，x 2＝－3⼆、配⽅法的应⽤ (⼀)最⼤(⼩)值6．利⽤配⽅法证明：⽆论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最⼤值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成⽴．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最⼤值－347．对关于x的⼆次三项式x2＋4x＋9进⾏配⽅得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最⼩值，并求出最⼩值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最⼩值是5(⼆)⾮负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满⾜a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由⾮负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直⾓三⾓形。
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案一、选择题1．用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是（ ） A ．(x −34)2=1716 B ．(x −34)2=12 C ．(x −34)2=134D ．(x −34)2=1142．一元二次方程(x −22)2=0的根为（ ）． A ．x 1=x 2=22B ．x 1=x 2=−22C ．x 1=0，x 2=22D ．x 1=−223．关于一元二次方程x 2+kx −9=0（k 为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定根的情况4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A ． 且B ．C ．且D ．5．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则的的值为（ ）A ．2B ．-1C ．2或-1D ．1或-26．已知a ，b 是一元二次方程x 2+3x −2=0的两根，则a 2+5a +2b 的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．07．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2−16x +60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A ．24B ．48C ．24或8√5D ．8√5 8．已知一元二次方程x 2+2x +6=10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2x 1x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12D ．−12二、填空题9．若用配方法解方程x 2+4x +1=0时，将其配方为(x +b)2=c 的形式，则c = ． 10．若实数a ，b 满足a −2ab +2ab 2+4=0，则a 的取值范围是 ． 11．已知(a 2+b 2)2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 .12．关于x 的一元二次方程x 2+2x-a ＝0的一个根是2，则另一个根是 .13．设x1，x2是方程2x2+6x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是．三、解答题14．解方程：（1）x2−4x+3=0；（2）3x2−5x+1=0．15．已知x=√5−1，求代数式x2+2x−3的值．16．关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．17．已知关于的一元二次方程（1）若方程的一个根为，求的值及另一个根；（2）若该方程根的判别式的值等于，求的值.18．若关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是、且满足，求的值.参考答案1．A2．A3．A4．A5．A6．B7．C8．B9．310．−8≤a<011．312．-413．−7214．（1）解：∵x2−4x+3=0∴(x−3)(x−1)=0∴x−3=0或x−1=0∴x1=3，x2=1．（2）解：∵3x2−5x+1=0∴a=3，b=−5，c=1∴Δ=25−12=13>0∴x=5±√136∴x1=5+√136，x2=5−√136．15．解：当x=√5−1时x2+2x−3＝x2+2x+1−1−3＝(x+1)2−4＝(√5−1+1)2−4＝5－4＝1．16．解：∵∴且，即．解得：且．17．（1）解：设方程的另一根是x2.∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3∴x=3是原方程的解∴9m﹣（m+2）×3+2=0解得m= ；又由韦达定理，得3×x2=∴x2=1，即原方程的另一根是1（2）解：∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3.18．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根∴即解得：；（2）解：设方程的两根分别是∴又∵∴∴∴解得：. 经检验，都符合原分式方程的根∵，∴。
人教版初中数学九年级上册21.2解一元二次方程同步测试题含答案
人教版初中数学九年级上册21.2解一元二次方程同步测试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．解下列方程用直接开平方法较简单的是（ ）A ．2x =4xB ．()221x -=9xC ．()23x +-7=0D ．2x +2x=1 2．如果关于x 的方程2x +mx+n=0经过配方可化为()24x -=13，则m 、n 的值是（ ）A ．m=8，n=3B ．m=-8，n=3C ．m=8，n=-3D ．m=-8，n=-3 3．如果关于x 的一元二次方程a 2x +bx+c=0有一个根是x=-1，则a 、b 、c的关系是（ ）A ．a+b+c=0B ．a-b+c=0C ．a+b-c=0D ．a-b-c=04．如果二次三项式a 2x +bx+c 可分解为a （x-2）（x+3）=0，则方程a 2x +bx+c=0的两根是（ ）A ．1x =2，2x =-3B ．1x =-2，2x =3C ．1x =-2，2x =3D ．1x =2，2x =35．一元二次方程（x+2）（x+3）=6的两根（ ）A ．都是0B ．一个0，一个正数C ．一个0，一个负数D ．都是无理数651- ） A ．2x -x-1=0 B ．2x +x-1=0 C ．2x -x+1=0 D ．2x +x+1=0 7．已知非零实数x 、y 满足2x +4xy=52y ，如果分式5x y x y-+有意义，则分式x yy -的值是（ ）A ．0B ．-6C ．0或-6D ．0或-48．某图书馆2016年建馆时购进图书20万册，计划以后每年购进图书比上一年增加一个相同的百分数，到2018年藏书达到72．8万册，设每年增加的百分数为x ，根据题意列方程得（ ） A ．20()21x +=72.8 B ．20（1+x ）=72.8C ．20+20()21x +=72.8 20+20（1+x ）+20()21x +=72.89．已知0x 是一元二次方程a 2x +bx+c=0的根，设M=()202ax b +，N=2b -4ac ，则M-N 的结果是（ ）A ．小于零B ．等于零C ．大于零D ．不能确定10．已知x=232x +bx+c=0的根，如果b 、c 为有理数，则b 、c 的值分别是（ ）A ．b=4，c=1B ．b=4，c=-1C ．b=-4，c=1D ．b=-4，c=-1 二、填空题（本大题6相同，每题4分，共24分） 11．方程()22x -+x=2两根的和是 ．12．如果关于x 的一元二次方程（m-1）2x +（2m-1）x+2m -1=0有一个根为0，则m 的值等于 ．13．如果分式()22516x x x+-+的值为0，则x= ．14．已知三角形的两边长为3和6，第三边是方程()26x --3x+18=0的根，则该三角形的周长是 ．15．如果2x +2y -4x+6y+13=0，则y x 的值等于 ． 16．已知m 是方程2x -2019x+1=0的一个根，则2m -2018m+220191m +的值等于．三、解答题（本大题9小题，共86分）17（8分）．解方程：()23x-=0．x--4()2218（8分）．解方程：2()22t-+t=2．19（8分）解方程：22y-2y-1=0．20（8分）．用配方法解方程：2x-32x+56=0．21（8分）．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何?”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？22（10分）．已知关于x 的一元二次方程（2m -2n ）2x -4mnx=2m -2n （2m -2n ≠0），你能选择一种适当的方法把它解出来吗？ 22．解：原方程化为（2m -2n ）2x -4mnx-（2m -2n ）=0，2b -4ac=162m 2n +4（2m -2n ）（2m -2n ）=4（4m +22m 2n +4n ）=4()222m n +，所以()()222442mm m n m n±+-=()()2222422mn m n m n±+-=()()()222mn m n m n m n ±++-，所以1x =()()()2m n m n m n ++-=m n m n +-，2x =()()()2m n m n m n --+-=-m nm n -+．23（10分）．已知两个一元二次方程a 2x +bx+c=0①和2x +bx+ac=0②（a ≠1）． （1）如果a=2时方程①的两根为2和3，则方程②的两根是 ； （2）如果方程②的两根为1x 和2x ，求证：方程①的两根为1x a 和2xa．24（13分）．如图，一架长2．5米的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，这时B 到墙底C 的距离为0．7米．（1）如果梯子的顶端沿墙下滑0．4米，哪么点B将向外移动多少米？（2）在梯子下滑过程中，是否存在顶端点A 下滑的距离AA 1与底端点B 滑出的距离BB 1相等？如果存在，请求出这个距离；如果不存在请说明理由．25（13分）已知关于x 的一元二次方程（2k +k ）2x +（2k-1）x-3=0． （1）当k=-14，解这个方程；（2）如果已知方程有整数根，求k 的所有整数值．1参考答案3-2x+4)=0，即（3x-7）(-x+1)=0， 所以1x =73，2x =1．18．解：原方程化为2()22t -+（t-2）=0，因式分解，得（t-2）(2t-4+1)=0，即（t-2）(2t-3)=0， 所以1t =2，2t =32．19．解：a=2，b=-2，c=-1，2b -4ac=12， 由求根公式，得y=222±⨯， 所以1y 13+，2y 13-． 20．解：移项，得：2x -32x=-56，两边加上216，得216，得：2x -32x+216=-56+256， 配方，得：()216x -=200，所以x-16=±2，所以1x =16+2，2x =16-2．21．解：设矩形田地的长为x 步（x>30），则宽为（60-x ）步，根据题意得： x （60-x ）=864，整理得：2x -60x+864=0，解得1x =36，2x =24(舍去)，所以x-（60-x ）=12． 答：长比宽多12步．22．解：原方程化为（2m -2n ）2x -4mnx-（2m -2n ）=0，2b -4ac=162m 2n +4（2m -2n ）（2m -2n ）=4（4m +22m 2n +4n ）=4()222m n +，所以()()222442mm m n m n ±+-=()()2222422mn m n m n ±+-=()()()222mn m n m n m n ±++-，所以1x =()()()2m n m n m n ++-=m n m n +-，2x =()()()2m n m n m n --+-=-m nm n-+．23．解：（1）1x =4，2x =6；（2）由求根公式，得方程①的两根1x =242b b ac --，2x =242b b ac--，24b b ac -+-1x a 24b b ac ---=2x a，故，结论成立．24．解：（1）设点B 将向外移动x 米，即BB 1=x ，则B 1C=x+0．7，A 1C=AC-AA 10．4=2， 而A 1B 1=2．5，在R t △A 1B 1C 中，由B 1C 2+A 1C 2=A 1B 12，得方程：(x+0．7)2＋22=2．52，解得x 1=0．8，x 2=-2．2（舍去）， 所以点B 将向外移动0．8米；（2）存在．设梯子顶端从A 处下滑x 米，点B 向外也移动x 米，则有(x+0．7)2+(2．4-x )2=2．52，解得：x=1．7或x=0（舍去）． ∴当梯子顶端从A 处下滑1．7米时，点B 向外业移动1．7米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离相等．25．解：2b -4ac=()221k --4（2k +k ）×（-3）=42k -4k+1+12（2k +k ）=162k +8k+1=()241k +，由求根公式，得：x=()()()221412k k k k --±++，所以1x =()()()221412k k k k --+++=()214121k k k k -++++=()()2121k k k ++=1k，2x =()()()221412k k k k ---++=()214121k k k k -+--+=()621k k k -+=-31k +，如果1x =1k是整数，则整数k=-1，1； 如果2x =-31k +是整数，则整数k=-4，-2，0，2． 又2k ＋k ≠0，k ≠-1且k ≠0，所以k 的所有整数值为-4，-2，1，2．。
人教版九年级上《21.2解一元二次方程》测试题(含答案解析)
解一元二次方程测试题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 方程x 2=4的解是( )A. x =2B. x =−2C. x 1=1，x 2=4D. x 1=2，x 2=−2 2. 一元二次方程x 2−81=0的解是( )A. x =−9B. x =9C. x 1=9，x 2=−9D. x =813. 关于x 的方程m(x +ℎ)2+k =0(m,h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1=−3，x 2=2，则方程m(x +ℎ−3)2+k =0的解是( ) A. x 1=−6，x 2=−1B. x 1=0，x 2=5C. x 1=−3，x 2=5D. x 1=−6，x 2=24. 把方程13x 2−x −4=0左边配成一个完全平方式，得到的方程是( )A. (x −32)2=384 B. (x −32)2=384 C. (x +32)2=574 D. (x −32)2=5745. 用配方法解一元二次方程x 2−6x −5=0，此方程可化为( )A. (x −3)2=4B. (x −3)2=14C. (x −9)2=4D. (x −9)2=14 6. 一元二次方程x 2−6x −6=0配方后化为( )A. (x −3)2=15B. (x −3)2=3C. (x +3)2=15D. (x +3)2=3 7. 用公式法解方程x 2−x =2时，求根公式中的a ，b ，c 的值分别是( )A. a =1，b =1，c =2B. a =1，b =−1，c =−2C. a =1，b =1，c =−2D. a =1，b =−1，c =2 8. 一元二次方程x 2−x −1=0的两个实数根中较大的根是( )A. 1+√5B.1+√52C.1−√52D.−1+√529. 已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +4=0有两个正整数根，则m 可能取的值为( ) A. m >0 B. m >4 C. −4，−5 D. 4，510. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2−4x +3=0的根，则该三角形的周长可以是( ) A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 10 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11. 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2−8x +15=0的根，则该等腰三角形的周长为________． 12. 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x 2−13x +40=0的根，则该三角形的周长为______．13. −1是方程x 2+bx −5=0的一个根，则b =______，另一个根是______． 14. 方程3x(x −1)=2(x −1)的根为______． 15. 方程x 2−16=0的解为______．16.方程(x−1)2−2=14的较小的根为______．17.一元二次方程x2−6x+9=0的实数根是______．18.如果a2+ma+14=(a−12)2，那么m= ______ ．19.一元二次方程12x2+x=3中，a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ，则方程的根是______ ．20.如果关于x的方程x2+2(a+1)x+2a+1=0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.用适当的方法解下列一元二次方程(1)4(x−1)2−36=0(直接开平方法)(2)x2+2x−3=0(配方法)(3)x(x−4)=8−2x(因式分解法)(4)(x+1)(x−2)=4(公式法)22.解方程(1)3x(x−1)=2x−2．(2)x2−7x+6=0．23.解下列方程(1)2x2+3x+1=0(2)4(x+3)2−9(x−3)2=0．24.解方程：(x−1)2=2(1−x)四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.已知a是一元二次方程x2−4x+1=0的两个实数根中较小的根，①不解方程，求a+1a的值；②根据①的结果，求√a−√a的值；③先化简，再求值1−2a+a2a−1−√a2−2a+1a2−a−1a．26.已知关于x的一元二次方程x2+2x−(m−2)=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若方程有一个根为x=1，求m的值及另一个根．答案和解析【答案】1. D2. C3. B4. D5. B6. A7. B8. B9. C10. B11. 19或21或2312. 1213. −4；514. x=1或x=2315. x=±416. −1217. x1=x2=318. −119. 1；1；−3；x1=−1+√7，x2=−1−√7220. −1<a<−1221. 解：(1)方程整理得：(x−1)2=9，开方得：x−1=3或x−1=−3，解得：x1=4，x2=−2；(2)方程整理得：x2+2x=3，配方得：x2+2x+1=4，即(x+1)2=4，开方得：x+1=2或x+1=−2，解得：x1=1，x2=−3；(3)方程整理得：x(x−4)+2(x−4)=0，分解因式得：(x−4)(x+2)=0，解得：x1=4，x2=−2；(4)方程整理得：x2−x−6=0，这里a=1，b=−1，c=−6，∵△=1+24=25，∴x=1±5，2解得：x1=3，x2=−2．22. 解：(1)3x(x−1)−2(x−1)=0，(x−1)(3x−2)=0，x−1=0或3x−2=0，所以x1=1，x2=2；3(2)(x−6)(x−1)=0，x−6=0或x−1=0，所以x1=6，x2=1．23. 解：(1)(2x+1)(x+1)=0，2x+1=0或x+1=0，，x2=−1；所以x1=−12(2)[2(x+3)−3(x−3)][2(x+3)+3(x−3)]=0，2(x+3)−3(x−3)=0或2(x+3)+3(x−3)=0，所以x1=15，x2=35．24. 解：(x−1)2+2(x−1)=0，(x−1)(x−1+2)=0，x−1=0或x−1+2=0，所以x1=1，x2=−1．25. 解：(1)∵a是一元二次方程x2−4x+1=0的两个实数根中较小的根，∴a2−4a+1=0，即a2+1=4a，则a+1a =a2+1a=4aa=4；(2)(√a−√a )2=a+1a−2=4−2=2．∵一元二次方程x2−4x+1=0的两个根的和是4，两根的积是1，则0<a<1，∴√a−√a=−√2；(3)解方程x2−4x+1=0，得：x=2±√3，则a=2−√3，∴a−1<0∴原式=(1−a)2a−1−√(a−1)2a(a−1)−1a=a−1+1a −1a=a−1=1−√3．26. 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+2x−(m−2)=0有实数根，∴∆=b2−4ac=22−4×1×[−(m−2)]=4m−4≥0，解得：m≥1．(2)将x=1代入原方程，1+2−(m−2)=0，解得：m=5，∴原方程为x2+2x−3=(x−1)(x+3)=0，解得：x1=1,x2=−3．∴m的值为5，方程的另一个根为x=−3．【解析】1. 【分析】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的知识点，形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次程．利用直接开平方法求解，即可解答．【解答】解：∵x2=4，∴x1=2,x2=−2．故选D．移项得：x2=81，两边直接开平方得：x=±9，到x1=9，x2=−9，故选：C．首先移项，把−81移到等号右边，再两边直接开平方即可．此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．3. 解：解方程m(x+ℎ)2+k=0(m,h，k均为常数，m≠0)得x=−ℎ±√−km，而关于x的方程m(x+ℎ)2+k=0(m,h，k均为常数，m≠0)的解是x1=−3，x2=2，所以−ℎ−√−km =−3，−ℎ+√−km=2，方程m(x+ℎ−3)2+k=0的解为x=3−ℎ±√−km，所以x1=3−3=0，x2=3+2=5．故选：B．利用直接开平方法得方程m(x+ℎ)2+k=0的解x=−ℎ±√−km，则−ℎ−√−km =−3，−ℎ+√−km=2，再解方程m(x+ℎ−3)2+k=0得x=3−ℎ±√−km，所以x1=0，x2=5．本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2= p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±√p；如果方程能化成(nx+m)2= p(p≥0)的形式，那么nx+m=±√p．4. 解：∵13x2−x=4，即x2−3x=12，∴x2−3x+94=12+94，即(x−32)2=574，故选：D．将常数项移到方程的右边，把二次项系数化为1后两边配上一次项系数一半的平方即可得．本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤和完全平方公式是解题的关键．5. 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键.常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【解答】∴x2−6x+9=5+9，即(x−3)2=14．故选B．6. 解：方程整理得：x2−6x=6，配方得：x2−6x+9=15，即(x−3)2=15，故选A方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7. 解：将方程整理得：x2−x−2=0，这里a=1，b=−1，c=−2，故选B方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．此题考查了解一元二次方程−公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．8. 解：∵一元二次方程x2−x−1=0中，a=1，b=−1，c=−1，∴x=−b±√b2−4ac2a =1±√52，∴一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根中较大的根是1+√52．故选：B．利用求根公式x=−b±√b2−4ac2a求得方程的两个根，然后找出较大的根即可．本题考查了解一元二次方程−公式法，熟记求根公式即可解答该题．9. 解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个正整数根，∴△=b2−4ac≥0，即m2−4×1×4≥0，∴m2≥16，解得m≥4或m≤−4，∵方程的根是x=−m±√m2−162，又因为是两个正整数根，则m<0则m≤−4故A、B、D一定错误．C，把m=−4和−5代入方程的根是x=−m±√m2−162，检验都满足条件．∴m可能取的值为−4，−5．故选C．方程有两个正整数根，说明根的判别式△=b2−4ac≥0，即m2−4×1×4≥0，由此可以求出m的取值范围，然后根据方程有两个正整数根确定m的值．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．正确确定m的范围，并进行正确的检验是解决本题的关键．10. 解：解方程x2−4x+3=0，(x−1)(x−3)=0解得x1=3，x2=1；∵当底为3，腰为1时，由于3>1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；∴等腰三角形的底为1，腰为3；∴三角形的周长为1+3+3=7．故选：B．先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．此题考查用因式分解一元二次方程，三角形三边关系，注意计算结果的分类检验．11. 解：由方程x2−8x+15=0得：(x−3)(x−5)=0，∴x−3=0或x−5=0，解得：x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3<9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，故答案为：19或21或23．求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．12. 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.先利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=8，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长为5，然后计算三角形的周长．【解答】解：x2−13x+40=0，(x−5)(x−8)=0，所以x1=5，x2=8，而三角形的两边长分别是3和4，所以三角形第三边的长为5，所以三角形的周长为3+4+5=12．故答案为12．13. 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解.把x=−1代入方程得出关于b的方程1+b−2=0，求出b，代入方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵x=−1是方程x2+bx−5=0的一个实数根，∴把x=−1代入得：1−b−5=0，解得b=−4，即方程为x2−4x−5=0，(x+1)(x−5)=0，解得：x1=−1，x2=5，即b 的值是−4，另一个实数根式5． 故答案为−4，5．14. 解：3x(x −1)=2(x −1)， 移项得：3x(x −1)−2(x −1)=0， 即(x −1)(3x −2)=0， ∴x −1=0，3x −2=0， 解方程得：x 1=1，x 2=23． 故答案为：x =1或x =23．移项后分解因式得到(x −1)(3x −2)=0，推出方程x −1=0，3x −2=0，求出方程的解即可．本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 15. 解：方程x 2−16=0， 移项，得x 2=16， 开平方，得x =±4， 故答案为：x =±4．移项，再直接开平方求解．本题考查了直接开方法解一元二次方程.用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a(a ≥0)；ax 2=b(a,b 同号且a ≠0)；(x +a)2=b(b ≥0)；a(x +b)2=c(a,c 同号且a ≠0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 16. 解：(x −1)2−2=14， (x −1)2=94， x −1=±32， x =1±32，解得x 1=52，x 2=−12． ∵52<−12，∴方程(x −1)2−2=14的较小的根为−12， 故答案是：−12．利于直接开平方法解方程后，找到最小的根即可．本题考查了解一元二次方程−直接开平方法.形如x 2=p 或(nx +m)2=p(p ≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 17. 解：配方，得(x −3)2=0， 直接开平方，得x −3=0， ∴方程的解为x 1=x 2=3， 故答案为x 1=x 2=3．先把左边直接配方，得(x −3)2=0，直接开平方即可． 本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18. 解：∵a2+ma+14=(a−12)2=a2−a+14，∴m=−1．故答案为：−1．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．此题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19. 解：移项得，12x+x−3=0∴a=12，b=1，c=−3∴b2−4ac=7∴x1=−1+√7，x2=−1−√7．此题考查了公式法解一元二次方程，应用公式时，要注意把方程化为一般形式．此题考查了公式法解一元二次方程，应用公式时，要注意把方程化为一般形式．20. 解：根据方程的求根公式可得：x=[(−2(a+1)±√4(a+1)2−4(2a+1)]÷2=[(−2a−2)±2a]÷2 =−a−1±a,则方程的两根为−1或−2a−1，或(x+1)(x+2a+1)=0，解得x1=−1，x2=−2a−1，∵−1<0，∴小于1的正数根只能为−2a−1，即0<−2a−1<1，解得−1<a<−12．故填空答案为−1<a<−12．先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围．也可用公式法把原方程进行因式分解，求出方程的根，再求a的取值范围．21. 此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．(1)方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；(2)方程整理后，利用配方法求出解即可；(3)方程整理后，利用因式分解法求出解即可；(4)方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．22. (1)先把方程变形得到3x(x−1)−2(x−1)=0，然后利用因式分解法解方程；(2)利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．23. 本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．(1)利用因式分解法把原方程转化为2x+1=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可；(2)利用平方差公式把原方程转化为2(x+3)−3(x−3)=0或2(x+3)+3(x−3)=0，然后解两个一次方程即可．24. 先移项得到(x−1)2+2(x−1)=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．25. (1)a是一元二次方程x2−4x+1=0的两个实数根中较小的根，则把x=a代入方程可以得到a2+1=4a，则所求的代数式即可化简；(2)首先求得√a−√a 的平方的值，然后确定a的范围，则√a−1a的值即可确定；(3)首先对分式以及二次根式进行化简，然后进行分式的加减即可求解．26. 本题考查了一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程和一元一次不等式的解法的知识点，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式∆=b2−4ac≥0”是解题的关键．(1)由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；(2)将x=1代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次方程的解，即可得出方程的另一个根．第11页，共11页。
人教版九年级上册数学 21.2 降次--解一元二次方程 测试题
人教版九年级上册数学21.2 降次--解一元二次方程 因式分解法 测试题随堂检测1、下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ）A ．x 2=x 两边同除以x ，得x=1B ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2C ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7D ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=，x 2=352、用因式分解法解方程:（1）2(2)24x x -=-；（2）2411x x =． 3、x 2-5x 因式分解结果为_______；2x （x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．基础题：1、二次三项式x 2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x 2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．2、下列命题:①方程kx 2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x 2=1是同解方程；③方程x 2=x 与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3.其中正确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3、我们知道2()()()x a b x ab x a x b -++=--，那么2()0x a b x ab -++=就可转化为()()0x a x b --=，请你用上面的方法解下列方程：（1）2340x x --=；（2）2450x x +-=；（3）2760x x -+=. 4、已知22940a b -=，求代数式22a b a b b a ab +--的值． 5、已知()(2)80x y x y +++-=，求x y +的值.6、已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b --的值.拓展培优题：1、琪琪在解一元二次方程240x x -=时，只得出一个根是4x =，则被他漏掉的一个根是________.2、方程2x x =的解是（ ）A ．1x =B ．0x =C ．11x =，20x =D ．11x =-，20x =。
《21.2降次——解一元二次方程》同步练习含答案解析
பைடு நூலகம்
二、填空题（共 12小题） 14．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个相等的实数根，则 m=______． 15．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是______（写出一 个即可）． 16．关于 x 的方程 mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当 m=0时，方程只有一个实数解；②当 m≠ 0 时，方程有两个不等的实数解；③无论 m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是______ （填序号）． 17．关于 x 的方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，则 m=______． 18．若关于 x 的一元二次方程 ax2+3x﹣1=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是______． 19．关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+m=O 没有实数根，则 m 的取值范围是______． 20．已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0有实数根，则 m 的取值范围是______． 21．关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+ =0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数 a，b 的
人教版九年级上册数学 21.2.3 解一元二次方程(因式分解法)同步练习(含答案)
21.2.3 解一元二次方程（因式分解法）一、填空题(填出下列一元二次方程的根) 1．x (x －3)=0．______ 2．(2x －7)(x ＋2)=0．______ 3．3x 2=2x ．______4．x 2＋6x ＋9=0．______5．______ 6．______7．(x －1)2－2(x －1)=0．______． 8．(x －1)2－2(x －1)=－1．______二、选择题9．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )． A ．x 1=a ，x 2=b B ．x 1=a ，x 2=－b C ．x 1=－a ，x 2=bD ．x 1=－a ，x 2=－b10．下列解方程的过程，正确的是( )．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0， 三、解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程) 11．3x (x －2)=2(x －2)．12．*13．x 2－3x －28=0．14．x 2－bx －2b 2=0．.03222=-x x .)21()21(2x x -=+.1,3221==∴x x .32x x =*15．(2x －1)2－2(2x －1)=3． *16．2x 2－x －15=0．四、解答题17．x 取什么值时，代数式x 2＋8x －12的值等于2x 2＋x 的值．综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根18．．______________________． 19．(x －2)2=(2x ＋5)2．______________________． 二、选择题20．方程x (x －2)=2(2－x )的根为( )．A ．－2B ．2C ．±2D ．2，221．方程(x －1)2=1－x 的根为( )．A ．0B ．－1和0C ．1D ．1和022．方程的较小的根为( )．A ．B ．C ．D ．三、用因式分解法解下列关于x 的方程0222=-x x 0)43)(21()43(2=--+-x x x 43-21854323． 24．4(x ＋3)2－(x －2)2=0．25． 26．abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)四、解答题27．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m 2＋2)x ＋2m =0．(1)求证：当m 取非零实数时，此方程有两个实数根； (2)若此方程有两个整数根，求m 的值．.2152x x =-.04222=-+-b a ax x参考答案1．x ＝0，x 2＝3． 2． 3．4．x 1＝x 2＝－3． 5． 6． 7．x ＝1，x 2＝3． 8．x 1＝x 2＝2． 9． B ． 10． D ．11． 12． 13．x 1＝7，x 2＝－4. 14．x 1＝2b ，x 2＝－b ．15．x 1＝0，x 2＝2．16．17．x 1＝3，x 2＝4． 18．19．x 1＝－1，x 2＝－7．20．C ． 21．D ． 22．C ． 23．x 1＝0，x 2＝－10.24．25． 26．.2,2721-==x x ⋅==32,021x x .6,021==x x .322,021-==x x ⋅==32,221x x ⋅==33,021x x .3,2521=-=x x .2,021==x x ⋅-=-=34,821x x .2,221b a x b a x +=-=⋅==b a x a b x 21,27．(1)∆＝(m2－2)2．当m≠0时，∆≥0；(2)(mx－2)(x－m)＝0，m＝±1或m＝±2．。
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）
A． x2 4 0 B ． 4 x2 4x 1 0 C ． x2 x 3 0 D ． x2 2x 1 0 2、如果关于 x 的方程 x2 2 x k 0 没有实数根，则 k 的取值范围为 _____________.
3、用公式法解下列方程 .
（ 1） 2x(x 4) 1；（ 2） ( x 2)(3 x 5) 1；（ 3） 0.3 y2 y 0.8 .
∴ a 3， b 5， c 2 ,
∴ b2 4ac ( 5)2 4 3 ( 2) 49 0 ,
∴x
( 5) 49 23
5 7 ，∴ x1 6
2 ， x2
1
．
3
（ 3） a 4， b 3 ， c 1,
∴ b2 4ac ( 3)2 4 4 1 7 0 ，
∵在实数范围内，负数不能开平方，∴此方程无实数根．
22．2 降次 -- 解一元二次方程（第三课时）
22.2.2 公式法
◆随堂检测
1、一元二次方程
2
x
2x 1
0 的根的情况为（
）
A．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D ．没有实数根
2、若关于 x 的一元二次方程 x2 2 x m 0 没有实数根，则实数 m 的取值范围是（
实数根，则下列结论正确的是（
）
A． a c B ． a b C ． b c D ． a b c
参考答案：
◆随堂检测
1、 B ∵△＝ b2 4 ac ( 2) 2 4 1 ( 1) 8 0 ，∴方程有两个不相等的实数根，故选
B．
2、 C ∵△＝ b2 4ac ( 2)2 4 1 m 4 4m 0 ，∴ m 1．故选 C．
是正、负或 0．利用条件一元二次方程 (a 2) x2 2ax a 1 0 没有实数根可以求出 a 的取值范
围．
●体验中考
1、（ 2008 年，河南）如果关于 x 的一元二次方程 k 2x2 (2 k 1)x 1 0 有两个不相等的实数根，
那么 k 的取值范围是（
）
A． k
1 B ．k
4
1 且k 0 C ．k
4 ， y2
．
2 0.3
6
3
4、证明： ∵△＝ b2 4ac (2 k 1)2 4 1 ( k 1) 4k 2 5 0 恒成立， ∴方程有两个不相等的
实数根．
5、解：∵关于 x 的一元二次方程 ( a 2) x2 2ax a 1 0 没有实数根，
∴ ( 2a) 2 4( a 2)(a 1) 4a 8 0，∴ a 2 0．
）
A． m 1 B ． m 1 C ． m 1 D ． m 1
3、若关于 x 的一元二次方程 x2 3x m 0 有实数根，则实数 m 的取值范围是 _____________.
4、用公式法解下列方程 .
（ 1） 2x2 4x 1 0 ；（ 2） 5x 2 3x2 ；（3） 4x2 3x 1 0 .
∴ x b b2 4ac 4 3 32
2a
22
6 2,
∴ x1
6 2 ， x2
6 2．
请你分析以上解答有无错误 , 如有错误 , 找出错误的地方 , 并写出正确的结果．
分析：本题所反映的错误是非常典型的 程的一般形式才行 .
, 在用公式法求解方程时 , 一定要求 先将方程化为一元二次方
解： 这位同学的解答有错误 , 错误在 c 2 2 , 而不是 c 2 2 , 并且导致以后的计算都发生相应
分析 ：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后正确代入求根公式
x1
b b2 4ac ， x2
b b2 4ac 即可 .
2a
2a
◆典例分析
解方程： 2x2 4 3x 2 2 ．
有一位同学解答如下：
这里， a 2 ， b 4 3 ， c 2 2 , ∴ b2 4ac (4 3) 2 4 2 2 2 32 ,
∴ a 2， b 8， c 1, ∴ b2 4ac 82 4 2 ( 1) 72 0 ,
∴ x 8 72 22
4
3 2
2 ，∴ x1
4 32
2
， x2
（ 2）将方程化为一般形式 3 x2 11x 9 0 ，
∴ a 3 ， b 11， c 9 ,
∴ b2 4ac ( 11)2 4 3 9 13 0 ,
◆课下作业 ●拓展提高
1、 D 只有选项 D 中△＝ b 2 4ac 22 4 1 ( 1) 8 0 ，方程有两个不相等的实数根．故
选 D．
2、 k 1 ∵△＝ b2 4ac ( 2) 2 4 1 ( k ) 4 4k 0 ，∴ k 1 ． 3、（ 1）将方程化为一般形式 2 x2 8 x 1 0 ，
的错误． 正确的解答是 :
首先将方程化为一般形式
2x2 4 3x 2 2 0 ，
∴a 2，b 4 3，c 2 2,
∴ b2 4ac (4 3) 2 4 2 ( 2 2) 64 ,
b b2 4ac 4 3 64 ∴x
2a
22
6 2 2,
∴ x1
6 2 2 ， x2
6 2 2．
◆课下作业
●拓展提高
1、下列关于 x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（
4、求证：关于 x 的方程 x2 (2k 1)x k 1 0 有两个不相等的实数根．
5、若关于 x 的一元二次方程 (a 2) x2 2ax a 1 0 没有实数解，求 ax 3 0 的解集（用含 a
的式子表示） ．
提示 ：不等式 ax 3 0 中含有字母系数 a ，要想求 ax 3 0 的解集，首先就要判定 a 的值
∵ ax 3 0 即 ax 3 ，∴ x
3
．
a
∴所求不等式的解集为． x
3
.
a
●体验中考
1、 B
k2 0
依题意得 ,
, 解得 k
(2 k 1)2 4k 2 1 0
1 且 k 0 . 故选 B． 4
2、 A
abc 依题意得 , b2 4ac
0 , 代入得 (a
c)2
0
4ac ,
∴ ( a c) 2 0 , ∴ a c . 故选 A．
4 32
．
2
∴x
( 11)
13 11
13 ，∴ x1 11
13
11
， x2
13
．
23
6
6
6
（ 3）将方程化为一般形式 0.3 y2 y 0.8 0 ，
∴ a 0.3 ， b 1， c 0.8 ,
∴ b2 4ac 12 4 0.3 ( 0.8) 1.96 0 ,
∴y
1 1.96
10 14 ，∴ y1
2
3、 m 9 4
2
2
9
∵△＝ b 4ac ( 3) 4 1 m 9 4m 0 ，∴ m ．
4
4、解：（ 1） a 2 ， b 4 ， c 1 ,
∴ b2 4ac ( 4)2 4 2 ( 1) 24 0 ,
∴ x ( 4) 24 4 2 6 2 6 ,
22
4
2
∴ x1 2
6 ， x2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
6
．
2
2
（ 2）将方程化为一般形式 3 x2 5 x 2 0 ，
4
1 D ．k
4
1 且k 0
4
注意 : 一元二次方程 k 2 x2 (2 k 1)x 1 0 的二次项系数含有字母 k .
2、（ 2009 年，湖南株洲）定义：如果一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 满足 a b c 0 ，那
么我们称这个方程为“凤凰”方程 . 已知 ax2 bx c 0(a 0) 是“凤凰”方程，且有两个相等的