平面图中的问题
图论中的平面图与染色问题
图论中的平面图与染色问题图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在图论中，平面图与染色问题是重要的研究方向。
一、平面图平面图是指可以在平面上画出的图，其中任意两条边都不相交，任意两个顶点之间都只有一条边相连。
平面图可以用来描述许多实际问题，如地图、电路等。
在平面图中，有一个重要的定理，即欧拉定理。
欧拉定理是数学家欧拉在1736年提出并证明的，它给出了平面图中顶点数、边数和面数的关系。
根据欧拉定理，对于连通的平面图，满足公式：V - E + F = 2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
二、染色问题染色问题是图论中的一个经典问题，即给定一个图，如何用有限种颜色对图的各个顶点进行染色，使得相邻的顶点之间的颜色不相同。
这是一种常见的应用问题，如地图着色、课程表安排等。
在染色问题中，有一个重要的定理，即四色定理。
四色定理是染色问题中的一个著名定理，它指出任何平面图都可以用至多四种颜色对其顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不同。
三、平面图与染色问题的关系平面图与染色问题之间有着紧密的联系。
通过合理的染色方案，可以将一个平面图的顶点进行染色，满足相邻顶点颜色不同的要求。
同时，染色问题的解法与平面图的结构和性质也有关系。
在研究平面图与染色问题时，可以通过绘制平面图的平面嵌入图来分析和求解染色问题。
平面嵌入图是平面图在平面上的一种表示形式，可以把平面图的顶点和边绘制在平面上，形成一种更加直观的图形。
在解决染色问题时，可以借助平面嵌入图的结构和特性，通过一定的算法进行染色。
例如，可以利用贪心算法对顶点进行依次染色，确保相邻顶点染不同的颜色。
四、应用举例平面图与染色问题在实际中有广泛的应用。
一个典型的例子是地图着色问题。
在地图上，每个国家或地区可以用一个顶点表示，国家或地区之间的边表示它们的相邻关系。
通过对地图进行染色，可以实现相邻国家或地区的颜色不同，从而更加方便地辨认。
另一个例子是课程表安排问题。
建筑物平面图设计的要点和常见问题解决方案
建筑物平面图设计的要点和常见问题解决方案建筑物平面图是建筑设计中非常重要的一部分，它是设计师将建筑理念转化为实际施工的工具之一。
合理的平面图设计不仅能够满足功能需求，还能提高建筑物的使用效率和舒适度。
本文就建筑物平面图设计的要点和常见问题解决方案进行探讨。
一、功能布局与流线安排功能布局是建筑物平面图设计的首要任务，它决定了建筑物内各个功能区域的位置和相互关系。
在进行功能布局时，需要充分考虑建筑物的使用性、流线安排以及各个区域之间的联系。
首先，建筑物的不同功能区域应分类布局，以实现各个功能区域的独立性。
例如住宅建筑的起居区、卧室区、厨房区和卫生间区，以及办公建筑的办公区、会议区和休闲区等。
通过合理的分类布局，可以提高建筑物的使用效率和便利性。
其次，建筑物内部的流线安排也非常重要。
流线是指人们在建筑物内的活动路径，如进出通道、楼梯、电梯和走廊等。
合理的流线安排能够提高建筑物的功能性和效率，并减少不必要的空间浪费。
例如，将公共通道和私人区域分离，可以在保证私密性的前提下提高使用效率。
二、空间规划和尺度关系空间规划是指将建筑物内部的各个功能区域按照一定的尺度和比例进行布局。
在进行空间规划时，需要充分考虑尺度关系、空间流通和室内环境。
首先，建筑物内部的各个功能区域应该有明确的尺度关系。
例如，在住宅建筑中，卧室的尺度应该与起居区和卫生间相匹配，避免出现尺寸不协调的情况。
此外，不同尺度的功能区域之间也需要保持合适的过渡，以确保建筑物整体的美观性和协调性。
其次，空间流通是指人们在建筑物内部进行活动时的路径和方式。
合理的空间流通能够提高建筑物的使用效率和舒适度。
例如，在办公建筑中，将办公区域和会议区域相连，并设置合适的走廊和过道，方便员工的日常工作和交流。
最后，室内环境也是建筑物平面图设计的考虑因素之一。
室内环境包括采光、通风、温度和湿度等方面。
在进行空间规划时，需要合理考虑这些因素，以提高建筑物的舒适度。
例如，在住宅建筑中，卧室布局应该充分考虑采光和通风的需求，以保证居住者的生活质量。
六年级下册数学-数学6类“画图”解题
小学数学6类“画图”解题1.平面图对于题目中条件比较抽象、不易直接根据所学知识写出答案的问题,可以借助画平面图帮助思考解题.例1 有两个自然数A和B,如果把A增加12,B不变,积就增加72；如果A 不变,B增加12,积就增加120,求原来两数的积.根据题目的条件比较抽象的特点,不妨借用长方形图,把条件转化为因数与积的关系.先画一个长方形,长表示A,宽表示B,这个长方形的面积就是原来两数的积.如图（1）所示.根据条件把A增加12,则长延长12,B不变即宽不变,如图（2）；同样A不变即长不变,B增加12,则宽延长12,如图（3）.从图中不难找出：原长方形的长（A）是120÷12＝10原长方形的宽（B）是72÷12＝6则两数的积为10×6＝60借助长方形图,弄清了题中的条件,找到了解题的关键.例2 一个梯形下底是上底的1.5倍,上底延长4厘米后,这个梯形就变成一个面积为6O平方厘米的平行四边形.求原来梯形面积是多少平方厘米？根据题意画平面图：从图中可以看出：上、下底的差是4厘米,而这4厘米对应的正好是1.5－1＝O.5倍.所以上底是4÷（1.5－1）＝8（厘米）,下底是8×1.5＝12（厘米）,高是60÷12＝5（厘米）,则原梯形的面积是（8＋12）×5÷2＝5O（平方厘米）.2.立体图一些求积题,结合题目的内容画出立体图,这样做,使题目的内容直观、形象,有利于思考解题.例1把一个正方体切成两个长方体,表面积就增加了8平方米.原来正方体的表面积是多少平方米？如果只凭想象,做起来比较困难.按照题意画图,可以帮助我们思考,找出解决问题的方法来.按题意画立体图：从图中不难看出,表面积增加了8平方米,实际上是增加2个正方形的面,每个面的面积是8÷2＝4（平方米）.原正方体是6个面,即表面积为4×6＝24（平方米）.例2 用3个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体,拼成一个大长方体.这个大长方体的表面积是多少？按题意画立体图来表示,三个长方体拼成的大长方体有以下三种（1）拼成长方体的长是2×3＝6（厘米）,宽3厘米,高1厘米.表面积为（6×3＋6×1＋3×1）×2＝54（平方厘米）.（2）拼成长方体的长是3×3＝9（厘米）,宽2厘米,高1厘米.表面积为（9×2＋9×1＋2×1）×2＝58（平方厘米）.（3）拼成长方体的长是3厘米,宽是2厘米,高是1×3＝3（厘米）.表面积为（3×2＋3×3＋2×3）×2＝42（平方厘米）.这道题有以上三种答案,通过画图起到审题和理解题意的作用.3.分析图一些应用题,为了能正确审题和分析题目中的数量关系,可以把题目中的条件、问题的相互关系用分析图表示出来.例1新华中学买来8张桌子和几把椅子,共花了817.6元.每张桌子价78.5元,比每把椅子贵62.7元,买来椅子多少把？分析图：（l）买椅子共花多少钱？817.6－78.5×8＝189.6元）（2）每把椅子多少钱？78.5－62.7＝15.8（元）（3）买来椅子多少把？189.6÷15.8＝12（把）综合算式为：（817.6－78.5×8）÷（78.5－62.7）＝189.6÷15.8＝12（把）答：买来椅子12把.4.线段图一些题目条件多,条件之间关系复杂,一时难以解答.可画线段图表示,寻求解题的突破口.例1光明小学六年级毕业生比全校总人数的还多30人.新学期一年级新生人学360人,这样现在比原全校总人数增加了.求原来全校学生有多少人？从图中可以清楚看出,（360－30）人与全校人数的（＋）相对应,求全校人数用除法计算.列式为：（360－30）÷（＋）＝330÷＝900（人）.例2 甲乙两人同时从相距88千米的两地相向而行,8小时后在距中点4千米处相遇.甲比乙速度快,甲、乙每小时各行多少千米？按照题意画线段图：从图中可以清楚看出,甲、乙8小时各行的距离,甲行全程的一半又多出4千米,乙行全程的一半少4千米,这样就可以求出甲、乙的速度了.甲速：（88÷2＋4）÷8＝6（千米）乙速：（88÷2－4）÷8＝5（千米）5.表格图有些问题,通过列表不仅能分清题目的条件和问题,而且便于区分比较,起到从表中不难看出,又搬4次和共搬多少块,这两个数量不相对应,要先求一共搬多少次,才能求出共搬多少块,列式为：15÷3×（3＋4）＝35（块）另一种思路为,先求又搬4次搬的块数,再加上原有的块数,就是共搬的块数.列式为：15÷3×4＋15＝35（块）6.思路图有些问题因为分析的角度不同,因此解题的思路也不同.通过画图能清楚看出解题思路,便于分析比较.例1有一个伍分币、4个贰分币、8个壹分币,要拿出8分钱,一共有多少种拿法？这道题从表面港一点也不难,但是要不重复.不遗漏地把全部拿法一一说出来也不容易,可以用枚举法把各种情况一一列举出来,把思路写出来.从图表中可以清楚着出不同的拿法.此题一共有不重复的7种拿法.从以上各例题中可看出：解题时通过画图来帮助理解题意,起到了化繁为简、化难为易的作用.我们不妨在解题中广泛使用.。
平面图嵌入问题及其数学建模
平面图嵌入问题及其数学建模平面图嵌入问题是指将一个给定的图形嵌入到二维平面中的问题。
这是一个经典的数学问题，涉及图形结构和空间布局，对于电路设计、计算机科学和网络路由等领域具有广泛的应用。
本文将探讨平面图嵌入问题的背景、相关概念以及数学建模方法。
首先，了解平面图嵌入问题的背景和定义是必要的。
平面图是指一个没有交叉边的图，也就是说，在平面上绘制这样一个图时，边不会相交。
而平面图嵌入问题就是将这样的平面图嵌入到平面上的一个闭合区域中，使得图的节点在平面上具有良好的布局，例如节点之间的距离保持相对一致，边的长度尽可能短等。
在解决平面图嵌入问题时，我们需要考虑一些关键概念，如节点的位置、边的长度和角度等。
节点的位置是指图中每个节点在平面上的具体坐标，而边的长度和角度则决定了图中相邻节点的距离和连线的方向。
通过合理地选择这些变量，我们可以得到一个良好的图形布局。
为了对平面图嵌入问题进行数学建模，可以考虑使用图论和几何学的相关方法。
一种常用的方法是使用力导向算法，该算法通过模拟节点之间的相互作用力来寻找节点的最佳位置。
在该算法中，边被看作是弹簧，节点之间的斥力被看作是排斥力。
通过求解节点的受力平衡方程，可以得到节点的最佳位置。
除了力导向算法，还可以采用线性规划的方法来解决平面图嵌入问题。
这种方法将节点的位置作为决策变量，通过求解约束条件和目标函数来获得最优的节点位置。
线性规划方法具有较高的计算效率和良好的数学性质，常用于解决大规模的平面图嵌入问题。
此外，我们还可以考虑使用离散优化算法来解决平面图嵌入问题。
离散优化算法通过对节点位置进行离散化，将问题转化为一个组合优化问题，然后通过枚举或遗传算法等方法来寻找最优解。
虽然离散优化算法在精确性上可能存在一定的损失，但在实际应用中具有较高的实用性。
最后，需要指出的是，平面图嵌入问题是一个复杂且具有挑战性的问题。
尽管目前已经有了许多有效的数学建模方法，但在解决大规模复杂图形的嵌入问题时仍然存在一定的困难。
图论探索之挑战奥数中的图论问题
图论探索之挑战奥数中的图论问题图论探索之挑战奥数中的图论问题图论是数学的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在奥数竞赛中，图论问题常常被用来考察学生的逻辑推理和问题解决能力。
本文将介绍一些挑战奥数中常见的图论问题，并通过具体案例来解析。
1. 马踏棋盘问题马踏棋盘问题是一个经典的图论问题，要求马在棋盘上按照规定的移动方式遍历所有格子，且每个格子仅经过一次。
这个问题可以使用图的深度优先搜索来解决。
以8×8的棋盘为例，我们可以将每个格子看作图中的一个顶点，把马的移动看作图中的边。
通过搜索算法，可以找到一条路径，使得马可以遍历所有的格子。
2. 平面图的染色问题染色问题是图论中一个经典的问题，常被用来考察学生对图的颜色分配和连通性的理解。
平面图的染色问题要求给定的平面图在没有相邻顶点之间有相同颜色的情况下，尽可能使用最少的颜色进行染色。
通过贪心算法，可以解决平面图的染色问题。
贪心算法的基本思想是从一个初始解开始，每次选择可行的局部最优解，最终得到全局最优解。
对于平面图的染色问题，我们可以从一个顶点开始，按顺序给相邻的顶点染色，直到所有的顶点都被染色。
3. 电厂选址问题电厂选址问题是一个实际的应用问题，也可以用图论的方法来解决。
在电厂选址问题中，需要确定电厂的位置，使得电厂到各个需求点的距离和最短。
将电厂和需求点看作图中的顶点，电厂和需求点之间的距离看作边的权重。
通过最短路径算法，可以求解电厂选址问题。
常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，它们可以帮助我们找到电厂的最佳位置，以实现最优的供电方案。
4. 旅行商问题旅行商问题是图论中的一个经典问题，要求寻找一条路径，使得旅行商可以经过每个城市一次，并返回起点城市，且总路径长度最短。
旅行商问题是一个NP难问题，目前还没有高效的解法。
常用的解决方法是使用近似算法，例如最邻近算法和最小生成树算法。
这些算法可以找到一个接近最优解的解决方案。
建筑平面图—建筑平面图的读图注意事项
4、平面图中的剖切位置与详图索引标志，是不可忽视的重要问题，它涉及剖切方向和 要表达的详尽内容。由于剖切符号本身比较灵活，有全剖、半剖、阶梯剖、旋转剖、局 部剖等多种表现形式，阅读者也要对照阅读相应部位的图纸。 5、图纸上的标题栏内容与文字说明也很重要，它说明工程的性质，表示图与实物的比 例关系，可以帮助我们找到相应图纸编号。文字说明中有设计者对材料及施工的要求， 应严格执行。 6、屋顶平面图虽然比较简单，亦应与面图的阅读方法 建筑平面图的读图注意事项
1、在平面图中惟一表达高度的是本层标高或局部标高。对有标高的房间应该注意到每个 房间的用途。 2、建筑平面图上门、窗都是用代号表示的，应与门、窗图集和构配件标准图集对照。 3、从施工角度讲，一张平面图要反复阅读多次，才能解决施工过程中的问题。如平面图 中的台阶、坡道、花池、雨篷、阳台、散水等标高均不相同，必须配合详图才能看清楚 具体尺寸和做法。
高中数学平面图形折叠问题的解法
平面图形折叠问题的解法1．展示问题，引入课题.在立体几何中常涉及平面图形的折叠问题，它也是数学高考中的热点问题之一，今年的浙江高考的理科试卷客观题中得分率最低的是其中的第17题，许多考生花了不少时间，最终没有得到正确的结论，它恰是一个平面图形的折叠问题；我们这节课要讨论的话题就是平面图形的折叠问题；下面请我们的嘉宾闪亮登场！2009年高考浙江卷的第17题是:如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 2．研讨解法，总结规律.师生研讨这个问题的常规解法,并总结解决平面图形折叠问题的解题要点．分析1：当点F 确定时,不难发现折叠以后的立体图也随之确定, 若令DF x =,则12x <<,且t 可以表示成关于x 的函数,再求出函数的值域,即可得到t 的取值范围．解法1：由题意可知,二面角D AB C --是直二面角,又DK AB ⊥,所以DK ⊥平面ABC ,作KG AF ⊥于G ,连结DG ,则DG AF ⊥,故在折叠前,,,D G K 三点共线,因此问题又可回归到平面图形之中,设DF x =,则12x <<,Rt ADF ∆和Rt KAD ∆中,ADK GAK AFD ∠=∠=∠,所以AD AK DF AD=，所以21xt AD ==，故()112t x x =<<，所以112t <<. 评注：解决本题的关键是目标函数的建立，如何把t 表示成关于x 的函数，即如何得到关于x 和t 的方程；由于折叠前后仅仅是DAF ∆与四边形ABCF 的相对位置发生了变化，因此x 和t 的大小在折叠前后是不变的，上述解法的可取之处是在找关于x 和t 的方程时，完全回归到平面图图形中进行．由此总结解决平面图形折叠问题要特别关注的要点是（师生讨论总结）：(1)注意折叠前后的对照,弄清楚折叠前后那些量及位置关系没有改变,那些已经改变.(2)注意充分发挥平面图形的作用.即在具体计算时尽可能在平面图形中进行.3．转换视角，优化解法.启发学生从不同的视角看这个问题,得到一些新的解法,并交流讨论,大致还有以下三种解法： 分析２：注意到立体图形中，DK ⊥平面ABC ，因此可以点K 为原点建立空间坐标系，用坐标法解之．解法2：在空间图形中,建立空间直角坐标系如图,设,FC m =则01m <<,()0,,0A t -,()1,2,0F t m ---,()20,0,1D t -,所以()20,,1AD t t =-,()21,2,1FD t m t =+--,由于AD DF ⊥,所以()2210AD FD t t m t ⋅=+-+-=,即()1012t m m =<<-, 故有112t <<． 评注：本解法的基本思路与解法一本质上相同,即用目标函数法解之,仅仅是使用的工具不同而已,其关键是“发现”DAF ∆仍是直解三角形.分析3：由于FAB ∠的大小确定时，点F 也随之确定，折叠后的立体图形也确定了，因此也可以选择FAB ∠为目标函数的变量．解法3：设FAB θ∠=，则2DAF πθ∠=-，设折叠后DAK ϕ∠=，则cos cos t AK AD ϕϕ===，由于二面角D AB C --是直二面角,所以cos cos cos DAF DAK FAB ∠=∠∠，即cos cos cos 2πθθϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以cos tan ϕθ=，由于点F 在线段EC 上（不包括端点），所以1tan 12θ<<，从而有112t <<． 评注：本解法之所以比前面给出的解法简单，其主要原因是我们选择了一个“好的变量”，通常情况下，在用目标函数法解立体几何范围问题时，选择角的大小为变量比选择线段长为变量要简捷一些．分析4：注意到本题是填空题，不需要给出运算过程，解法1、2显得过于“隆重”；因此也可用一些“不择手段的手段”解决之，求出极限位置时的参变量的值即可得到结论.解法4：当动点F 与点E 重合时，可求得1t AK AD ===，当动点F 与点C 重合时，可求得1122t AK AD ===，所以可猜想t 的取值范围是112t <<． 评注：虽然这种解法不是很严谨，但也是在应试中不错的选择．4．顺水推舟，扩大战果．我们不难发现,当点F 的位置确定时,立体图形也完全确定了,所以立体图形中的一些几何量的取值范围也是确定的，因此我们可以通过“复制”原问题的解法求解一些立体图中的几何量的范围问题．操作时可先由教师提出问题1，然后由学生发现其它问题；问题1：设二面角D AF B --的大小为ϕ，求cos ϕ的取值范围．解答：由解法1可知：DGK ∠为二面角D AF B --的平面角，DGK ϕ∠=,Rt DGK ∆中,222cos GK AK t DG AD ϕ===,由112t <<可得1cos 14ϕ<<． 问题2：设直线DA 与平面ABC 所成的角为θ，求θ的取值范围．解答：易见DAK ∠即为直线DA 与平面ABC 所成的角为θ，Rt DAK ∆中,cos AK t AD θ==,所以1cos 12θ<<，故006090θ<<． 问题3：求BD 的长x 的取值范围．解答：ABD ∆中，1,2,DA AB ==设DAB θ∠=，则由问题2可知1cos 12θ<<所以BD=1BD <<问题4：设四棱锥D ABCF -的体积为()V f t =，求函数()V f t =的表达式．解答：设,,DF x AK t ==则由解法１可知，1xt =，且DK =，四边形ABCF 的面积为1122222ADF S S x t∆=-=-=-， ()11232V f t S DK t ⎫==⋅=-⎪⎭（其中112t <<）． 5．改变条件，多方探究．若改变原题的条件，把题设改为：“如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使二面角D FA B --为直二面角”，请你能设计出几个立体几何问题并给出解答（下面是学生给出的一些问题及解答）．问题1:设DAB ϕ∠=,求cos ϕ的取值范围. 解答：设FAB θ∠=,则2DAF πθ∠=-,且1tan 12θ<<,由于直二面角D FA B --,cos cos cos DAB DAF FAB ∠=∠∠即 1cos cos cos sin 222πϕθθθ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭,因为1tan 12θ<<，所以21cos 52ϕ<<． 问题2：设BD m =,求m 的取值范围．解答:在DAB ∆中, 2,1AB AD ==,设DAB ϕ∠=,由问题1可知21cos 52ϕ<<,由余弦定理可得：m =5m <<． 问题3：设二面角D AB C --的大小为α,求tan α的取值范围．解答：作DG AF ⊥于G ,则DG AFB ⊥平面,作GM AB ⊥于M ,连接MD ,则MDM AB ⊥,所以DMG ∠是二面角D AB C --的平面角α,设FAB θ∠=,则2DAF πθ∠=-,cos tan 2sin DG AG AG πθθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,sin GM AG θ=,Rt DMG ∆中,2cos tan sin DG GM θαθ==11cos cos θθ=-,由于1tan 12θ<<，（θ为锐角） 所以cos 25θ<<,注意到函数()f t =11t t=-是区间,25⎢⎥⎣⎦上的增函数,由此可得2tan 25α<<问题4:设异面直线DA 和BC 所成的角为β,求cos β的取值范围.解答: 设FAD γ∠=则cos 52γ<<,作//AH BC ,则HAF γ∠=,且DAH ∠即为直线DA 和AB 所成的角为β,由于二面角D AF H --为直二面角,所以cos cos cos DAH DAF FAH ∠=∠∠,即2cos cos βγ=,所以11cos 52β<<． 问题5：设,DF x =四棱锥D ABCF -的体积为()V f x =，求函数()V f x =的表达式.解答:四边形ABCF 的面积为1222ADF S S x ∆=-=-,作DG AF ⊥于G ,则DG AFB ⊥平面 ,21DG x =+, ()221361V f x S DG x ==⋅=+(其中12x <<)． 事实上，对于 “点F 位置”和“二面角D AF B --的大小”这两个条件中，若两者全部加以固定，则可以编拟出很多个有关立体几何的求值（空间角、空间距离）的计算问题；若两者固定其中之一，则可以编拟出许多有关立体几何的求空间角、空间距离的取值范围的问题．6运用折叠，推陈出新.不难发现,在本问题的叙述过程中,就描述了平面图折叠成为立体图形的过程，我们不妨称之为“显性的”平面图形折叠问题；其实在立体几何试题中也有一些题目,在题目中虽然没有平面图形折叠成为立体图的描述，但又可以看成是平面图形的折叠问题，我们不妨称为“隐性的”平面图形折叠问题；对于“隐性的”平面图形折叠问题往往可以包装成“显性的”平面图形折叠问题；请同学们把09年浙江省理科试卷中的立体几何解答题包装成一个平面图形的折叠问题.09浙江卷理科第20题原题：如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．（1）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；（2）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．包装成平面图形折叠问题后可叙述为：如图平面四边形PABC 中, 10,PA PC BA BC ABC Rt ====∠=∠,E 、O 分别是AP 、AC 的中点，G 是OC 的中点，今沿对角线AC 把它折成一个直二面角P AC B --,连接PB ,得到四面体PABC ,设点F 是PB 的中点.(1) 证明：//FG 平面BOE .（2）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．作业：请自己编拟一个平面图形的折叠问题，并给出解答；并解答你的同桌编拟的问题．。
电气照明平面图中电线的根数问题
普通住宅楼一般为BV-3*2.5-PVC16，利用下图讲解一下线的根数问题。
原理：三根线分别是火线L，零线N，保护线PE，线都穿在一根保护塑料管内。
1、配电箱K到灯1之间有三根线：连到灯具的线必有零线N和保护线PE，这是两根，第三根线火线L从配电箱出来实际只是经过灯（所以有三根线啦），而没有连接灯。
为什么呢？因为电线都是穿在保护管内的，本来火
线从配电箱出来可以直接连到开关上，不经过灯的，但电线都是穿在塑料
保护管中，因为经济合理性等原因，它们从一根管出来较合算，所以火线
就先经过灯，再接开关啦。
开关1（单联单控）与灯1之间有两根线：火线从配电箱出来后，经过灯1，接到开关进线端口，再从出线端口出来接到灯上，控制灯的开启和关闭。
2、从灯1出来后，连线情况如下：
①灯1到灯2，三根线，分别是零线N，保护线PE 火线L（只经过不连接）；
②灯2到灯3，四根线，分别是零线N，保护线PE，一根控制灯的火线L （连接），一根经过灯3连接开关3的火线；
③灯3到灯4，三根线，分别是零线N，保护线PE，火线L（只经过不连接）；
④灯2到开关2，三根线，都是火线，分别是经过灯2连到开关2火线1，开关2到灯2控制火线2，开关2控制灯3的火线3（这条线需在保护管内经过灯2）；
⑤灯4到开关3，两根线，分别是经过灯4到开关3的火线1，从开关3控制灯4的火线2；。
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比例尺的认识
教学内容：冀教版《数学》六年级上册第74、75、76页。
教学目标：
1.结合具体事例，经历测量图上线段长度并根据比例尺按要求计算实际距离的过程。
2. 进一步认识比例尺，会根据示意图图上线段的长度和比例尺求实际长度。
3. 感受“比例尺”在日常生活中的应用，增强学生学好数学的自信心。
教学准备:某公园的导游图。
意思。
然后，教师介绍比例尺1：2000的两种表示方式，并板书出一般表达式。
的不同表示方式，经历
由具体事例到抽象出比
例尺一般表达式的过
程。
的位置。
谁知道比例尺1：2000是什么意思？
学生可能会说：
生：1：2000的意思是图上的1厘米表示实
际的2000厘米。
师：说的对！1:2000，比的前项是图上距
离，比的后项是实际距离。
比例尺就是图上距
离和实际距离的比。
1:2000还可以写成不同的
形式。
教师边说边板书：
1:2000=比例尺
或
1
2000
=比例尺
师：根据比例尺就是图上距离与实际距离
的比，我们还可以写出比例尺的一般表达式，
也有两种形式。
教师边说边板书：
图上距离：实际距离=比例尺
或
图上距离
实际距离
=比例尺
二、求实际距离
1.提出：“求校园长的实际距离”的问题，先讨论怎么做，然后让学生实际测量出数据，再自主计算。
让学生经历讨论方
法，实际测量并计算实
际长度的过程。
师：根据平面图上的比例尺，我们知道图
上的1厘米，表示实际的2000厘米。
想一想，
如果要想知道校园长的实际距离，怎么办？
板书：求校园的实际长度
生：先量出校园示意图上长的距离。
然后
根据比例尺1:2000，用量出的图上距离乘2000
就算出实际距离。
学生说的意思对就可以。
师：说得对！因为图上1厘米表示实际2000
厘米，测量出平面图上校园长的图上距离，就
能计算实际距离。
下面，请同学们量一量平面
图上校园的长是多少。
学生测量，汇报。
板书：图上距离：10厘米
2.全班交流计算的过程和结果。
然后教师说明：学校的长用“米”做单位比较合适，所以求出厘米数后，要除以
在交流的过程中使
学生获得成功的体验。
在教师的引导下，了解
可以用不同方法计算，
学会灵活运用知识解决
师：这个校园平面图的比例尺是1:2000，
那么，校园长的实际距离到底是多少呢？请同
学们试着算一算。
学生试算，教师巡视个别指导。
师：谁来说说你是怎样想的？怎样算的，
100换算成米。
同时启发：还可以怎样算？引导学生想到，可以直接把2000厘米化成20米进行计算。
问题。
结果是多少？
学生可能出现以下算法：
（1）因为图上的1厘米表示实际的2000
厘米，校园长的图上距离是10厘米，实际距离
就是10个2000厘米，用2000×10=20000（厘
米）。
（2）我用2000×10=20000（厘米），20000
厘米=200米，所以校园长的实际距离是200米。
随学生的回答教师板书：
实际距离：2000×10=20000（厘米）=200
米
如果学生没有换算单位或出现错误，教师
给予提示。
师：学校的长用“米”做单位比较合适，
所以求出厘米数后，要除以100换算成米。
师：如果求出的实际距离用“米”作单位，
还可以怎样计算？
生：还可以把2000厘米化成20米，再用
10乘20。
学生说不出，教师提示：
师：图上1厘米表示实际2000厘米，2000
厘米等于20米，我们可以说：图上1厘米表示
实际20米，图上长10厘米，实际长就有10个
20米。
请同学们在练习本上用这种方法完成计
算。
学生算完后交流，教师板书出计算过程。
2000厘米=20米
20×10=200（米）
三、尝试应用
1.提出：“求学校宽的实际距离”的问题。
鼓励学生独立完成，然后交流，测量和计算结果。
给学生提供充分的
自主学习的空间。
在交
流的过程中，使学生获
得成功的体验。
师：同学们根据示意图上校园的图上距离
和比例尺，计算出校园的实际长度。
那么，校
园宽的实际长度是多少呢？请同学们自己测量
出图上距离，并试着计算。
学生自主测量、计算，教师巡视，个别指
导。
师：谁来说一说你是怎么做的？计算的结
果是多少？
生：我先量出宽的图上距离是6厘米，根。