2014高考数学常考基础20练7

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2014高考数学全国卷模拟试题20

高考（文科）数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的1．设函数y =M ，集合{}2|,N y y x x R ==∈，则M N 等于（）A ．φB ．NC ．[1,)+∞D ．M2．已知x R ∈，i 为虚数单位，若(12)()43i x i i -+=-，则x 的值等于（）A ．－6B ．-2C ．2D ．63．已知函数()sin126sin(36)cos54cos(36),f x x x x x =-+- 则()f x 是（）A ．单调递增函数B ．单调递减函数C ．奇函数D ．偶函数4．若数列{}n a 满足221n n a a d +-=（d 为正常数，n N +∈）,则称{}n a 为“等方差数列”. 甲：数列{}n a 为等方差数列；乙：数列{}n a 为等差数列，则甲是乙的（） A ．充分不必条件 B ．必不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．m n 、是不同的直线，αβ、是不重合的平面．下列命题为真命题的是( ) A ．若m ∥α， m ∥n ，则 n α∥ B ．若,m n αβ⊥⊥、则n m ⊥C ．若,,m m αβ⊥∥则 αβ⊥D ．若,m αβα⊂⊥，则 m β⊥6．若函数1()axf x e b=-的图象在0x =处的切线l 与圆22:1C x y +=相离，则(,)P a b 与圆C 的位置关系是( ) A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不能确定 7．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x，则)3log 2(2+f 的值为（）A ． 241B ． 121C ． 61D ． 318．已知抛物线24y x =上一点，00(,)A x y ，F 是其焦点，若0[1,2]y ∈，则||AF 的范围是（）A ．1[,1]4B ．5[,2]4C ．[1,2]D ．[2,3]9．设21(),(1)(2)(2009)f x M f f f x==++⋅⋅⋅+则下列结论正确的是（） A ．1M <B ．40172009M =C ．M<2D ．40172009M >10．函数sin y x =和cos y x =的图象在[0,8]π内的所有交点中，能确定的不同直线的条数是（） A ．28B ．18C ．16D ．611．方程lg 3x x +=的解0x ∈ ( )A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，+∞）12．已知函数2()2||f x x x =-，方程|()|f x a =有6个不同的实根．则实数a 的取值范围是（） A ．1a <-B ．10a -<<C ．01a <<D ．1a >二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.13．已知某个几何体的三视图如图所示．根据图中标出的尺寸（单位：cm ）．可得这个几何体的体积是 3cm ．14．当0>x 时，()122+=x xx f 的值域是 15．阅读左面的流程图，若输入a=6,b=1，则输出的结果是16．在不等式组24030x y x y +-≤⎧⎨+-≤⎩所表示的平面区域内,求点（,x y ）落在x ∈[1，2]区域内的概率是．三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．17．（本题满分12）已知()f x m n =,其中(sin cos ),m x x x ωωω=+(cos sin ,2sin )(0)n x x x ωωωω=->.若()f x 图象中相邻的对称轴间的距离不小于2π. （1）求ω的取值范围（2）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边．且3,()1a b c f A =+==，当ω 最大时．求ABC 面积．18．（本题满分12分）如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱1111ABCD A B C D -，经平面AEFG 所截后得到的图形．其中45BAE GAD ∠=∠=，22AB AD ==，60BAD ∠=.（1）求证：BD ⊥平面ADG ；（2）求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．19．（本题满分12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数．并说明它在乙组数据中的含义；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；20．（本题满分12分）已知椭圆22221(0x y a b a b+=>>）的离心率e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4。

2014北京高考数学：20题创新专题

20.（朝阳区2011本小题共14分）对于正整数a,b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得.0,b r r bq a <≤+=特别地，当0=r 时，称b 能整除a ，记作,|a b 已知}.23,,3,2,1{ =A(I)存在,A q ∈使得),910(912011<≤+=r r q 试求q ，r 的值．(Ⅱ)求证：不存在这样的函数},3,2,1{:→A f 使得对任意的整数,,21A x x ∈若},3,2,1{||21∈-x x 则).()(21x f x f =/(Ⅲ)若)((12),B card B card A B =⊆（指集合B 中的元素的个数），且存在,|,,,a b a b B b a <∈则称B 为“和谐集”．求最大的,A m ∈使含m 的集合A 的有l2个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由，20.（朝阳区2011本小题共14分）有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为),3,,,3,2,1,(≥=n n k m a nk公差为,m d 并且*,,,,32ln r n n a a a a 成等差数列．(I)证明212211,,3(1P P n m d p d p d m ≤≤+==是m 的多项式），并求21P P +的值； (Ⅱ)当3,121==d d 时，将数列}{m d 分组如下：),(1d ),,,,,(),,,(98765432d d d d d d d d …（每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为m m c c ()(4),0>求数列}*2{m c d 的前挖项和n s . (Ⅲ)设N 是不超过20的正整数，当N n >时，对于(Ⅱ)中的,n s 求使得不等式n n d S >-)6(501成立的所有N 的值.20．（朝阳区2012本小题共13分）将正整数)2(,,4,3,2,12≥n n 任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a ，b （a>b ）的比值,ba称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．(I)当n=2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；(Ⅱ)若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数i ≤1(),1,n j n ≤≤≤且满足⎩⎨⎧>-+-+<--+=⋅,,)1(,,)1(j i n j i n i j i n i j i a u请分别写出n=3，4，5时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；(Ⅲ)对于由正整数2,,4,3,2,1n 排成的n 行n 列的任意数表，记其“特征值”为,λ求证：⋅+≤nn 1λ 20.（朝阳区2012本小题共13分）已知数列≥∈n N n a a a A n n ,(,,,:*21 )2满足,01==n a a 且当*(2N k n k ∈≤≤)时，21)(--k k a a ,1=令⋅=∑=ii n aA s 1)((I)写出)(5A s 的所有可能的值． (Ⅱ)求)(n A s 的最大值．(Ⅲ)是否存在数列,n A 使得?4)3()(2-=n A s n 若存在，求出数列,n a 若不存在，说明理由，20.（朝阳区2012本小题共13分）已知各项均为非负整数的数列,:00a A *),(,,1N n a a n ∈ 满足.,010n a a a n =++= 若存在最小的正整数是，使得),1(≥=k k a k 则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为数列,1,1:)(100++a a A T +-1,k a ⋅+n k a a ,,,0,11 设.,2,1,0),(1 ==+i A T A i i(I)若数列,0,0,3,1,1,0:0A 试写出数列;5A 若数列,0,0,0,0,4:4A 试写出数列;0A (Ⅱ)证明存在唯一的数列,0A 经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列;0,,0,0,个n n(Ⅲ)若数列,0A 经过有限次T 变换，可变为数列,n ⋅个n 0,,0,0设,,2,1,1 =+++=+m a a a S n m m m,n 求证),1](1[++⋅-=m m s S a m m m 其中]1[+m s m 表示不超过1+m sm 的最大整数.20.（朝阳区2013本小题共13分）已知实数)2(,,,21≥n x x x n 满足||i x ),,,3,2,1(1n i =≤记),,.,(21n x x x s⋅=∑≤<≤j i nJ i x x 1(I)求)32,1,1(--s 及S(l ，1，-1，-1)的值； (Ⅱ)当n=3时，求),,(321x x x s 的最小值； (Ⅲ)求),,,(21n x x x S 的最小值．注：jij i xx ∑<≤.1表示 n x x x ,,,21 中任意两个数xj x i ,)1(n j i ≤<≤的乘积之和.20．（朝阳区2013本小题共13分）设),,,(1021x x x =τ是数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的任意一个全排列，定义-=∑=12|)(k kxs τ|,31+k x 其中⋅=111x x(I)若),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10(=τ求)(τs 的值； (Ⅱ)求)(τs 的最大值；(Ⅲ)求使)(τs 达到最大值的所有排列τ的个数．20.（东城区2011本小题共13分）对于),2.*≥∈n N n 定义一个如下数阵：,ln 21222211211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=m n n n m aa a a a a a a a A其中对任意的,1,1n j n i ≤≤≤≤当i 能整除j 时，=ij a ;1当i 不能整除J 时，.0=ij a 设⋅+++==-∑=nj j ni j ija a a aj t 211)((I)当n=6时，试写出数阵66A 并计算);(61j t j ∑=(Ⅱ)若[x]表示不超过x 的最大整数，求证：=∑=)(1j t n j ];[1i nni ∑= (Ⅲ)若,1)(),(.1)(11dx x n g j t n n f n nj ⎰∑===求证：1)(-n g .1)()(+<<n g n f20．（东城区2011本小题共14分）在单调递增数列}{n a 中，,21=a 不等式n n na a n 2)1(≥+对任意*N n ∈都成立．(I)求2a 的取值范围．(Ⅱ)判断数列}{n a 能否为等比数列？并说明理由． (Ⅲ)设=+++=n n n c b ),211.().211)(11( ),211(6n -求证：对任意的.012*,≥--∈nn n a c b N n 20．（东城区2012本小题共14分）已知实数组成的数组,,,,(321 x x x )n x 满足条件：.1||;011=⋅=∑=∑=i i i xx ②① (I)当n=2时，求21,x x 的值；(Ⅱ)当n=3时，求证:;1|23|321≤++x x x(Ⅲ)设,321n a a a a ≥≥≥≥ 且),2(1≥>n a a n 求证：).(21||11n i i ni a a x a -≤∑= 20.（东城区2012本小题共14分）对于数列),,,2,1(},{m n a n =令k b 为k a a a ,,,21 ⋅中的最大值，称数列}{n b 为数列}{n a 的“创新数列”，例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7．定义数列m n c c c c c ,,,,:}{321是自然数1，2，3，…，m （m>3）的一个排列．(I)当m=5时，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列}.{n c(Ⅱ)是否存在数列⋅}{n c 使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列};{n c 若不存在，请说明理由．20．（东城区2012本小题共14分）若对于正整数)(,k g k 表示k 的最大奇数因数，例如.5)10(,3)3(==g g 设++=)2()1(g g S n ).2()4()3(n g g g +++(I)求)20(),6(g g 的值； (Ⅱ)求321,,s s s 的值； (Ⅲ)求数列}{n s 的通项公式． 20.（东城区2013本小题共13分）已知数列===-1421,,1},{n n n n a a a a a *).(1,014N n a n ∈=+(I)求⋅74,a a(Ⅱ)是否存在正整数T ，使得对任意的*,N n ∈有T n a +n a =? (Ⅲ)设,1010101033221 +++++=n n a a a a S 问：S 是否为有理数？说明理由， 20.（东城区普通高中示范校2012本小题共14分）直线)21,0(1:1±=/=/-+=k k k kx y l 与2121:2+=x y l 相交于点P ．直线1l 与x 轴交于点,1P 过点1p 作x 轴的垂线交直线2l 于点⋅1Q 过点1Q 作y 轴的垂线交直线]l 于点,2P 过点2p 作x 轴的垂线交直线2l 于点,,2 Q 这样一直作下去，可得到一系列点,,,,,2211 Q P Q P 点),2,1( =n P n 的横坐标构成数列}.{n x （I ）当k=2时，求点321,,p p p 的坐标，并猜想点⋅n P 的坐标； (Ⅱ)证明数列}1{-n x 是等比数列，并求出数列}{n x 的通项公式；(Ⅲ)比较2||2nPP 与5||4212+PP k 的大小． 20．（东城区普通高中示范校2013本小题共14分）已知数集<≤=12]0}(,,,{a a a a A n )3,2≥<<n a a n 具有性质),1(,:n j i j i P ≤≤≤∀对i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A.(I)分别判断数集{O ，l ，3）与数集{O ，2，4，6}是否具有性质P ，说明理由． (Ⅱ)求证：⋅=+++n n a na a a 221 (Ⅲ)已知数集},,,{821a a a A =具有性质P ．证明：数列821,,,a a a 是等差数列，20．（东城区普通高中示范校2013本小题共14分）将所有平面向量组成的集合记作,2R f是从2R 到2R 的映射，记作)(x f y =或=),(21y y ),,(21x x f 其中2121,,,y y x x 都是实数．定义映射f 的模为：在1||=x 的条件下∣y ∣的最大值，记做.||||f 若存在非零向量2R x ∈及实数A ，使得,)(x x f λ=则称λ为f 的一个特征值．(I)若),,21(),(2121x x x x f =求.||||f(Ⅱ)如果),,.(),(212121x x x x x x f -+⋅=计算f 的特征值，并求相应的x ．(Ⅲ)若),,(),(2211221121x b x b x a x a x x f ++=要使，有唯一的特征值，实数2121,,,b b a a 应满足什么条件？试找出一个映射，，满足以下两个条件：①有唯一的特征值A ，②|,|||||λ=f 并验证，满足这两个条件.20.（丰台区2011本小题共13分）用[a]表示不大于a 的最大整数，令集合 },5,4,3,2,1{=P 对任意*,N m P k ∈∈和定义],11[),(51++=∑=i k mk m f i 集合∈=m k m A |1{},*,P k N ∈并将集合A 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列}.{n a (I)求f(l ，2)的值； (Ⅱ)求9a 的值；(Ⅲ)求证：在数列}{n a 中，不大于100+k m 的项共有),(00k m f 项. 20.（丰台区2011本小题共13分）已知i n n a a a a a A A s ),,,,,(|{321 ==0=或),2}(,,2,1,1≥=n n i 对于),(,,V U d S V U n ∈表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．(I)令),0,0,0,0,0(=U 存在m 个,5s V ∈使得,(U d ,2)=v 写出m 的值； (Ⅱ)令),0000(0个，，，，n W ⋅⋅⋅=若,,n S V U ∈求证：),(W U d );,(),(V U d W V d ≥+ (Ⅲ)令),,,,,(321n a a a a U =若,n S V ∈求所有,(U d ）V 之和．20.（丰台区2012本小题共13分）设函数--+=a x a x x x f ln()(ln )().0)(>a x（I ）当a=l 时，求函数)(x f 的最小值；(Ⅱ)证明：对,,21+∈∀R x x 都有12211(ln ln x x x x x ≥+;]2ln ))[ln(212-++x x x (Ⅲ)若,121=∑⋅=ii x证明：*).,(2ln ln 21N n ix x n i i i ∈-≥∑⋅= 20．（丰台区2012本小题共13分）已知函数)(,)(/2x f x x x f +=为函数)(x f 的导函数．(I)若数列}{n a 满足),(1n n a f a =+且,11=a 求数列}{n a 的通项公式． (Ⅱ)若数列}{n b 满足).(,11n n b f b b b ==+(i)是否存在实数b,使得数列}{n b 是等差数列？若存在，求出,的值；若不存在，请说明理由． (ii)若b>0，求证：⋅<+=∑b b b i i ni 111 20.（丰台区2013本小题共14分）已知等差数列}{n a 的通项公式为n a n 3=,2-等比数列}{n b 中，.1,3411+==a b a b记集合=A =∈=B N n a x x n *},,|{*},,|{N n b x x n ∈=,B A U=把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列}.{n c(I)求数列}{n b 的通项公式，并写出数列}{n c 的前4项；(Ⅱ)把集合A C 中的元素从小到大依次排列构成数列},{n d 求数列}{n d 的通项公式，并说明理由； (Ⅲ)求数列}{n c 的前n 项和⋅n S 20.（丰台区2013本小题共14分）设满足以下两个条件的有穷数列,1a n a a ,,2 为n(n=2，3，4，…，)阶“期待数列”：;0221=++++n a a a a ① .1||||||||321=++++n a a a a ②(I)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”．(Ⅱ)若某*))(12(N k k ∈+阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式．(Ⅲ)记n 阶“期待数列”的前k 项和为,,3,2,1( =k s k ),n 求证：;21||)1(≤k s ⋅-≤∑=n i a i ni 2121||)2(120.（海淀区2011本小题共13分）对于数列,,,,:21n a a a A 若满足∈i a ),,,3,2,1}(1,0{n i =则称数列A 为“0-1数列”．定义变换T ，T 将“O -l 数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如A:l ，O ，1，则T(A)：O ，l,l,O,O,l.设0A 是“0-1数列”，令==-k A T A k k ),(1.,3,2,1 (I)若数列.1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1:2A 求数列;,01A A(Ⅱ)若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；(Ⅲ)若0A 为O ，1，记数列k A 中连续两项都是O 的数对的个数为.,3,2,1, =k l k 求k l 关于k 的表达式． 20.（海淀区2011本小题共13分）已知每项均是正整数的数列,,:21a a A ,,,3n a a 其中等于i 的项有ik ),,3,2,1( =i 设j b ),,3,2,1(.21 =+++=j k k k j +++= 21)(b b m g ).,3,2,1( =-m nm b m(I)设数列,4,1,2,1:A 求),4(),3(),2(),1(g g g g );5(g(Ⅱ)若数列A 满足,10021=-+++n a a a n 求函数)(m g 的最小值. 20．（海淀区2012本小题共13分）已知函数)(x f 的定义域为),,0(+∞ 若),0()(+∞=在xx f y 上为增函数，则称)(x f 为“一阶比增函数”；若2)(x x f y =在),0(+∞上为增函数，则称)(x f 为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,1Ω所有“二阶比增函数”组成的集合记为⋅Ω2 (I)已知函数,2)(23hx hx x x f --=若,)(1Ω∈x f 且,)(2Ω∉x f 求实数h 的取值范围． (Ⅱ)已知1)(,0Ω∈<<<x f c b a 且)(x f 的部分函数值由下表给出，求证：.0)42(>-+t d d(Ⅲ)定义集合,)(|)({2Ω∈=ψx f x f 且存在常数k ，使得任意}.)(),,0(k x f x <+∞∈请问：是否存在常数M ，使得,0,)(（∈∀ψ∈∀x x f ),∞+有M x f <)(成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.20．（海淀区2012本小题共13分）将一个正整数n 表示为+++ 21a a *)(N P a P ∈的形式，其中,,,2,1*,P i N a i =∈且≤1a ,2P a a ≤≤ 记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=,224,314,4+=+==++=4,2114,1111+++故).54(>=f (I)写出)5(),3(f f 的值，并说明理由；(Ⅱ)对任意正整数n ，比较)1(+n f 与++n f n f ()([21)]2的大小，并给出证明； (Ⅲ)当正整数6≥n 时，求证：.134)(-≥n n f20.（海淀区2012本小题共14分）对于集合M ，定义函数=)(x f M ⎩⎨⎧∉∈-.,1,,1M x M x 对于两个集合M ，N ，定义集合=∆N M}.1)()(|{-=⋅x f x f x N M 已知},10,8,6,4,2{=A }.16,8,4,2,1{=B（I ）写出)1(A f 和)1(B f 的值，并用列举法写出集合 .B A ∆(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，求)()(B X Card A X Card ∆+∆的最小值． (Ⅲ)有多少个集合对(P ，Q)，满足,,B A Q P⊆且?)()(B A B Q A P ∆=∆∆∆20．（海淀区2013本小题共13分）设A 是由m×n 个实数组成的m 行 n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．(I)数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）．(Ⅱ)数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a 的所有可能值．(Ⅲ)对由mXn 个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由． 20.（石景山区2011本小题共14分）已知定义在R 上的函数)(x f 和数列,,},{121a a a a a n =/=当*N n ∈且2≥n 时，),(1-=n n a f a 且),()()(11---=-n n n n a a k a f a f 其中a ，k 均为非零常数．(I)若数列}{n a 是等差数列，求k 的值；(Ⅱ)令*),(1N n a a b n n n ∈-=+若,11=b 求数列}{n b 的通项公式； (Ⅲ)若数列}{n a 为等比数列，求函数)(x f 的解析式. 20.（石景山区2012本小题共13分）若数列}{n A 满足,2,1(21==+n A A n n ),,3 则称数列}{n A 为“平方递推数列”，已知数列)1,(2,}{1+=n n n a a a a ，点中在函数x x x f 22)(2+=的图象上，其中n 为正整数．(I)证明数列}12{+n a 是“平方递推数列”，且数列)}12{lg(+n a 为等比数列；(Ⅱ)设（I ）中“平方递推数列”的前竹项之积为,n T 即),12()12)(12(21+++=n n a a a T 求数列}{n a 的通项及n T 关于n 的表达式；(Ⅲ)记,g 112n a n T o b n +=求数列}{n b 的前n 项和,n s 并求使2012>n s 的n 的最小值．20.（石景山区2013本小题共13分）给定有限单调递增数列*,)({N n x n ∈)2≥n 且),1(0n i x i ≤≤=/定义集合,1|),{(i xj x A i ≤=*}.,,N j i n j ∈-≤∏若对任意点,1A A ∈存在点A A ∈2使得O OA OA <⊥21为坐标原点），则称数列}{n x 具有性质P ． (I)判断数列2,2:}{-n x 和数列3,1,1,2:}{--n y 是否具有性质P ，简述理由． (Ⅱ)若数列}{n x 具有性质P ，求证：(1)数列}{n x 中一定存在两项xj x i ,使得;0=+j i x x (2)若0,11>-=n x x 且,1>n x 则).2(12≥=n x(Ⅲ)若数列}{n x 只有2013项且具有性质,1,1-=x P ,23=x 求}{n x 的所有项之和⋅2013s 20.（西城区2011本小题共13分）若m A A A ,,,21 为集合,,2,1{ =A *)2}(N n n n ∈Λ-≥∏的子集，且满足两个条件：;21A A A A m = ①②对任意的,},{A y x ⊆至少存在一个,,3,2,1{ ∈i },m 使}.{}{},{/y R x y x A i =则称集合组m A A A ,,,21 具有性质P ．如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第L 列的数为⎩⎨⎧∉∈=).(,0),(,1l l N A k A k a当n=4时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由．集合组};4{},3,2{},3,1{:1321===A A A 集合组}.4,1{},3,2{},4,3,2{:2321===A A A(Ⅱ)当n=7时，若集合组321A ,A ,A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合;,,321A A A(Ⅲ)当n=100时，集合组t A A A ,,,21 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及+||1A ||||2t A A +的最小值．（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数） 20.（西城区2011本小题共13分）定义+-=||),,,(2121a a a a a n τ||||132n n a a a a -++-- 为有限项数列}{n a的波动强度．(I)当n n a )1(-=时，求);,,,(10021a a a τ(Ⅱ)若数列a ，b ，c ，d 满足,0))((>--c b b a 求证：,(a τ);,,,(),,d b c a d c b τ≤(Ⅲ)设数列}{n a 各项均不相等，且交换数列}{n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列}{n a 一定是递增数列或递减数列． 20.（西城区2012本小题共13分）如图，设A 是由n×n 个实数组成的n 行n 列的数表，其中),,3,2,1,(n j i a ij =表示位于第i 行第j 列的实数，且}.1,1{-∈ij a 记S(n ，n)为所有这样的数表构成的集合.对于),,(n n s A ∈记)(A r i 为A 的第i 行各数之积，)(A c j 为A 的第 j 列各数之积，令).()()(11A c A r A l j nj n i i ∑∑==+=(I)请写出一个),4,4(s A ∈使得.0)(=A l(Ⅱ)是否存在),9,9(s A ∈使得?0)(=A l 说明理由．(Ⅲ)给定正整数n ，对于所有的),,(n n s A ∈求)(A l 的取值集合.20．（西城区2012本小题共13分）若0(21==i n n a a a a A 或,1,1=i ),,,2n 则称n A 为O 和1的一个n 位排列．对于,n A 将排列121-n n a a a a 记为);(1n A R 将排列211--n n n a a a a 记为);(2n A R 依此类推，直至⋅=n n n A A R )( 对于排列),1,,2,1)((-=n i A R A n i n 和它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做)(n i n A R A 和的相关值，记作)).(,(n i n A R A t 例如=3A ,110则.1))(,(,011)(31331-==A R A t A R若),1...21(1))(,(-=-=n i A R A t n i n ，，，则称n A 为最佳排列．（I ）写出所有的最佳排列;3A(Ⅱ)证明：不存在最佳排列;5A(Ⅲ)若某个k A k (12+是正整数）为最佳排列，求排列12+k A 中1的个数.20.（西城区2012本小题共13分）对于数列=∈i N a a a a A i n n ,(,,,:21 ),,,2,1n 定义“T 变换”：T 将数列n A 变换成数列:n B ,,,,21n b b b ),1,,2,1(||1-=-=+n i a a b i i i 且|,|1a a b n n -=这种“T 变换”记作).(n n A T B =继续对数列n B 进行“T 变换”，得到数列,, n C 依此类推，当得到的数列各项均为O 时变换结束．(I)试问8,2,4:3A 和9,2,4,1:4A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由．(Ⅱ)求3213,,:a a a A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件．(Ⅲ)证明43214,,,:a a a a A 一定能经过有限次“T 变换”后结束.20.（西城区2013本小题共13分）已知集合,|),,,{(121x x x x s n n =n x x ,,2 是正整数1，2，3，…，n 的一个排列),2}(≥n 函数⎩⎨⎧<->=.0,1,0,1)(x x x g 对于,),,,(21n n s a a a ∈ 定义：-+-=i i i a g a a g b ()(1),()12--++i i a a g a ,0},,,3.2{1=∈b n i 称i b 为i a 的满意指数．排列n b b b ,,,21 为排列n a a a ,,,21 的生成列，排列n a a a ,,,21 为排列n b b b ,,,21 的母列．(I)当n= 6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列 O ，-1，2，-3，4，3的母列； (Ⅱ)证明：若n a a a ,,,21 和n a a a ,,,21 为n s 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； (Ⅲ)对于n s 中的排列,,,,21n a a a 定义变换.τ将排列n a a a ,,,21 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其他各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列,,,21 a a n a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．20．（2009年北京本小题共13分）已知数集<≤=1211(},,,{a a a a A n )2,2≥<<n a a n 具有性质P:对任意的≤≤≤<j i j z 1,. ⋅i jj i a a a a n 与(),两数中至少有一个属于A.(I)分别判断数集{1，3，4）与{1，2，3，6）是否具有性质P,并说明理由； (Ⅱ)证明：;,111211211n nna a a a a a a h a =++++++-=--- (Ⅲ)证明：当54321,,,,,5a a a a a N n =成等比数列.20．（2010年北京本小题共13分）已知集合,,,(|{21 x x X X s n ==},,2,1},1,0{),n i x x i n =∈),2(≥n 对于,,(21a a A =,),,,,(),,21n n n s b b b B a ∈= 定义A 与B 的差为|);|,|,||,(|2211n n b a b a b a B A ---=- A 与B 之间的距离为.||),(1i i ni b a B A d -=∑=(I)证明：)对,,,n s C B A ∈∀有,n s B A ∈-且,(C A d -);,()B A d C B =-(Ⅱ)证明：对),(),,(),,(,,,C B d C A d B A d S C B A n ∈∀三个数中至少有一个是偶数；(Ⅲ)设P S p n ,⊆中有)2(≥m m 个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为).(P d 证明：⋅-≤)1(2)(m mn P d 20．（2011年北京本小题共13分）若数列)2(,,,:21≥n a a a A n n 满足),1,,2,1(1||1-==-+n k a a k k 则称n A ⋅为E 数列，记⋅+++=n n a a a A S 21)((I)写出一个满足,01==s a a 且0)(5>A S 的E 数列;5A(Ⅱ)若,2000,121==n a 证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是;2011=n a(Ⅲ)对任意给定的整数),2(≥n n 是否存在首项为O 的E 数列,n A 使得?0)(=n A s 如果存在，写出一个满足条件的E 数列;n A 如果不存在，说明理由．20．（2012年北京本小题共13分）设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不太于1，且所有数的和为零，记S(m ，n)为所有这样的数表构成的集合，对于),,(n m s A ∈记)(A r i 为A 的第i 行各数之和i ≤1（)(),A c m j ≤为A 的第j 列各数之和).1(n j ≤≤记k(A)为,|,)(||,)(|21 A r A r |,)(||,)(|1A c A r m |)(|,|,)(|2A c A c n 中的最小值． (I)对如下数表A ，求k(A)的值；(Ⅱ)设数表)3,2(s A ∈形如求k(A)的最大值；(Ⅲ)给定正整数t ，对于所有的),12,2(+∈t s A 求k(A)的最大值.20．（2013年北京本小题满分13分）已知}{n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为,n A 第n 项之后各项 ,,21++n n a a 的最小值记为⋅-=n n n n B A d B , (I)若}{n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列（即对任意),,4*n n a a N n =∈+写出,,,321d d d 4d 的值；(Ⅱ)设d 是非负整数，证明：),3,2,1( =-=n d d n 的充分必要条件为}{n a 是公差为d 的等差数列； (Ⅲ)证明：若),,3,2,1(1,21 ===n d a n 则}{n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．。

2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：8-7

［命题报告·教师用书独具]一、选择题1．抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线错误!－错误!＝1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是（)A．x2＝4y B．x2＝－4yC．y2＝－12x D．x2＝－12y解析：由题意得c＝错误!＝3,∴抛物线的焦点坐标为(0，3）或（0，－3)．∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.答案:D2．(2013年长沙模拟)过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( ）A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点（0,1）且平行于x 轴的直线以及过点（0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0）．答案：C3．(2013年郑州模拟)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A 。

错误!或错误!B 。

错误!或错误!C 。

π3或错误!D 。

错误!解析：由焦点弦长公式｜AB ｜＝错误!得错误!＝12，∴sin θ＝错误!，∴θ＝错误!或错误!。

答案:B4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若错误!＋错误!＋错误!＝0，则｜错误!｜＋｜错误!｜＋|错误!｜＝( ）A ．9B ．6C ．4D ．3解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）,由错误!＋错误!＋错误!＝0，可取错误!＝(－1，0)，此时,错误!＋错误!＝（1，0)，注意到对称性，可令A 的坐标为错误!，C 的坐标为错误!。

于是，可得｜错误!|＋｜错误!|＋｜错误!｜＝2 错误!＋1＝5＋1＝6。

选B。

答案：B5．（2012年高考安徽卷）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（）A。

错误!B。

错误!C.错误!D．2错误!解析：利用抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系求解．如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8,由图知点A的纵坐标y＝2错误!,∴A（2,22),∴直线AF的方程为y＝2错误!（x－1）．联立直线与抛物线的方程错误!解之得错误!或错误!由图知B错误!，∴S△AOB＝错误!|OF|·｜y A－y B｜＝错误!×1×｜2错误!＋错误!|＝错误!错误!.故选C.答案：C二、填空题6．已知抛物线y2＝2px（p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．解析：依题意得，直线x＝－错误!与圆（x－3）2＋y2＝16相切,因此圆心(3,0)到直线x＝－错误!的距离等于半径4，于是有3＋错误!＝4,即p＝2.答案:27．（2013年南京模拟）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M,N为抛物线上的一点，且｜NF｜＝错误!|MN｜,则∠NMF＝________。

江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题7 三角恒等变换与解三角形

【训练 1】 (2013· 广东卷)已知函数 f(x)＝ (1)求
π f－6的值；
π 2cosx－12，x∈R.
3π π 3 (2)若 cos θ＝，θ∈ 2 ，2π，求 f2θ＋3. 5
解＝
π (1)f－6＝ π 2cos－4＝
因为
π π π θ∈0，3，所以3－θ∈0，3， π cos3－θ＝
令 f′(θ)＝0，得
3 2，
π π π 所以－θ＝，所以 θ＝ . 3 6 6 当 θ 变化时，f′(θ)，f(θ)的变化状态如下表：
θ f′(θ) f(θ) 所以
π＋6＋2 f(θ)∈2， 6
解 (1)在△ABD 中，由余弦定理得 BD2＝AB2＋AD2－2AB· AD· cos A. 同理，在△CBD 中，BD2＝CB2＋CD2－2CB· CD· cos C. 因为∠A 和∠C 互补，所以 AB2＋AD2－2AB· AD· cos A＝CB2＋CD2－2CB· CD· cos C＝CB2 ＋CD2＋2CB· CD· cos A. 即 x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A ＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)cos A. 2 2 解得 cos A＝x ，即 f(x)＝x ，其中 x∈(2,5)．
3．正弦定理 a b c sin A＝sin B＝sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. a b c sin A＝，sin B＝，sin C＝ . 2R 2R 2R a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
1 1 (2)四边形 ABCD 的面积 S＝ (AB· AD＋CB· CD)· sin A＝ [x(5－x)＋ 2 2 x(9－x)] ＝x(7－x) 1－cos2A.

2014数学高考题型历炼(Word解析版)：7-1 函数、函数与方程及函数图象与性质

1．(背景新)定义在R 上的函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0成中心对称，且对任意的实数x 都有f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝( )A ．0B ．－2C ．1D ．－42．(交汇新)已知函数f (x )＝2x ，等差数列{a n }的公差为2.若f (a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]＝________.3．(角度新)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b4．(交汇新)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x －2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎨⎧ lg x (x ＞0)，－1x (x ＜0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,6]内的零点的个数为( )A ．8B ．9C ．10D ．13[历炼]1．解析：由f(x)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32⇒f(x)＝f(x ＋3)，即f(x)的周期为3，由函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0成中心对称，得f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32＝0，从而得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32，即f(x)＝f(－x)， ∴f(－1)＝f(1)＝f(4)＝…＝f(2 011)＝1，f(－1)＝f(2)＝f(5)＝…＝f(2 012)＝1，f(0)＝f(3)＝f(6)＝…＝(2 013)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝0.答案：A2．解析：∵f(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，∴f(5a 6)＝4，∴25a 6＝4，∴5a 6＝2，∴a 6＝25.∴a n ＝25＋(n －6)×2＝2n －585，∴f (a n )＝22n －585 ，f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)＝ 22×(1＋2＋3＋…＋10)－10×585 ＝2－6.∴log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]＝log 22－6＝－6.答案：－63．解析：因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＜0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减；因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1＜20.2＜2,0＜log π3＜1，log 39＝2，所以0＜log π3＜20.2＜log 39，所以b ＞a ＞c .故选A.答案：A4．解析：由f(x－2)＝f(x)可知，函数y＝f(x)的周期是2.由h(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，分别作出函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，如图所示，由图象可知两函数在区间[－5,6]内的交点有9个，所以函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数为9.故选B.答案：B。

2014数学高考考点狂练专题：直线与圆

直线与圆一、选择填空题1.设k>1，f(x)=k(x －1)(x ∈R) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f－1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P点。

已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于【】(A)3 (B)32 (C)43 (D)65【答案】B 。

【考点】反函数。

【分析】根据题意画出图形，如图。

∵互为反函数的两个函数的图象关于y=x 对称，∴这两个函数的图象交于P 点必在直线y=x 上，且A ，B 两点关于y=x 对称。

∴AB ⊥OP。

∴四边形OAPB的面积=12·AB·OP=1OP 32=。

∴OP =。

∴P （3，3），代入f （x ）=k （x －1）得：k= 32。

故选B 。

2.以点(1，2)为圆心，与直线4x ＋3y －35=0相切的圆的方程是 ▲ .【答案】22x 1y 225-+-=（）（）。

【考点】圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离。

【分析】求出圆心到直线4x ＋3y －35=0的距离，即圆的半径；由圆的标准方程求得圆的方程：∵圆以点（1，2）为圆心，与直线4x ＋3y －35=0相切，5。

∴所求圆的标准方程：22x 1y 225-+-=（）（）。

3.圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是【】（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0【答案】C 。

【考点】圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件。

【分析】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径； (2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。

设直线0ax+by=22(1)(1x y -++=与相切，则1=，由排除法，故选C 。

4.如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,),B(,0),C(,0)a b c ，点P(0,)p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线BP,CP 分别与边AC ，AB 交于点E ，F ，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程：（ ▲ ）011=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y a p x 。

江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：20 矩阵与变换

常考问题20 矩阵与变换1．求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M . 解设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n p q ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ，则⎩⎨⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5⇒⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5. 2．(2011·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.解 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3，设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎨⎧ 3x ＋2y ＝14x ＋3y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.3．(2013·南京，盐城模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤213 4. (1)求矩阵M 的逆矩阵；(2)求矩阵M 的特征值及特征向量．解 (1)设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd . 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋3b a ＋4b 2c ＋3d c ＋4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎨⎧2a ＋3b ＝1，2c ＋3d ＝0，a ＋4b ＝0，c ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝45，b ＝－15，c ＝－35，d ＝25，∴M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45 －15－35 25. (2)矩阵A 的特征多项式为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －3 λ－4＝(λ－2)·(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程⎩⎨⎧－x －y ＝0，－3x －3y ＝0，得x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝5时，由二元一次方程⎩⎨⎧3x －y ＝0，－3x ＋y ＝0，得3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13.4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值．解由题设条件可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎨⎧ 2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4，得矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4. 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6，令f (λ)＝0，解得 λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，得m ＝3，n ＝1，∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4353395．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k001，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解由题设得，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 0 k 0 －2 －2，可知A 1(0,0)、B 1(0，－2)、C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知： |k |＝2×1＝2.所以k 的值为2或－2.6．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．(1)求矩阵M 的特征值及相应的特征向量； (2)求逆矩阵M－1以及椭圆x 24＋y 29＝1在M －1的作用下的新曲线的方程．解由题意M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003， (1)由|M －λE |＝0得，λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2，⎩⎨⎧ (2－2)x ＝0，3y ＝0，∴y ＝0，取x ＝1；当λ2＝3，⎩⎨⎧2x ＝0，(3－3)y ＝0，∴x ＝0，取y ＝1.所以，特征值为2和3，特征值2对应的特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，特征值3对应的特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.(2)由逆矩阵公式得：M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13，设P (x 0，y 0)是椭圆x 24＋y 29＝1上任意一点P 在M －1下对应P ′(x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎨⎧x 0＝2x ，y 0＝3y ，所以，椭圆x 24＋y 29＝1在M －1的作用下的新曲线的方程为 x 2＋y 2＝1.。

2014年数学高考文科基础知识巩固训练

2014年数学高考文科基础知识巩固训练目录【1，集合及集合运算】 ......................................................................................................................................... 1 【2，复数及复数运算】 ......................................................................................................................................... 2 【3，向量及向量运算】 ......................................................................................................................................... 2 【4，逻辑关系】 ..................................................................................................................................................... 3 【5，简单的函数性质】 ......................................................................................................................................... 3 【6，统计与概率】 ................................................................................................................................................. 4 【7，简单的数列性质】 ......................................................................................................................................... 5 【8，简单的三角函数性质】 ................................................................................................................................. 6 【9直线与平面的位置关系】 ................................................................................................................................ 7 【10，直线与圆的位置关系】 ............................................................................................................................... 8 【11，简单的圆锥曲线问题】 ............................................................................................................................... 8 【12几何证明选讲】 . (9)【1，集合及集合运算】1．设全集,U R =集合{}1M x x =>，{}21P x x =>，则______M P2．集合{}{}2320,10,P x x x Q x mx =-+==-=若P Q ⊇，则实数m 的值是3．集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ⋂=__ _______. 4．设全集{}{}1,2,3,4,5,1,4I A ==，则______I C A =，它的子集个数是 5．若U ={1，2，3，4}，M ={1，2}，N ={2，3}，则()__________U C M N ⋃= 6．设{1,2,3,4,5,6,7,8}U =,{3,4,5},{4,7,8}.A B ==则:()()U U C A C B ⋂= ,()()U U C A C B ⋃=【2，复数及复数运算】1．若i b i i a -=⋅-)2(，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则22a b +等于． 2．设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈，若12z z 为实数，则x 等于． 3．若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = ______________.4．3321i i ++＝_____； 2005)11(i i -+ = ______；复数4)11(i +＝________； 5．复数z =i -11的共轭复数是______；6．复数z =111-++-ii在复平面内所对应的点的坐标为在第象限．【3，向量及向量运算】1．若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB =，AD =，则BE 等于（） A ．+21B ．21-C ．+21 D ．21- 2．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==且∥，则αtan = （） A ．43B ．43-C ．34D ．34-3．已知ABCD 中A(3，-2)，B(5，2)，C(-1，4)，则D 的坐标为____________ 4. 已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC →·CA →=__________5．已知|a |＝3，|b |＝4，（a ＋b ）·（a ＋3b ）＝33，则a 与b 的夹角为（） A.30°B.60°C.120°D.150°6，已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜. 7．平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==c b a ，回答下列问题：（1）求满足n m +=的实数m,n ；（2）若()()k -+2//，求实数k ；【4，逻辑关系】1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈” 的条件．2．设原命题“若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1”则原命题与其逆命题的真假情况是 .3，设集合A ＝{长方体}，B ＝{正四棱柱}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的条件. 有下列四个命题：①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；其中真命题的个数是． 4．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的条件5.写出命题“x R ∀∈， 2410ax x ++>”的否定形式 .6. 命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是 __ _______________．7．若命题“p 且q ”为假，且“非p ”为假，则_______________．【5，简单的函数性质】1．函数2log (2)y x =+的定义域是2．函数234,[2,4)y x x x =-+∈的值域是 3．函数2sin 3sin 4y x x =-+的值域是4．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(121)(xxxxxf，则f[f(1)]=5．2.知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间[0,+)∞上是增函数，则f(-2),f(-),f(3)π的大小关系是6．已知2510a b==，则11______________a b+=7．设5.1348.029.01)21(,8,4-===yyy，则321,,yyy的大小关系为______________8.二次函数23)(2++=xxxf的顶点式为________；对称轴为________ 最小值是______.9.函数)()(32Zmxxf mm∈=-是幂函数，当0>x时)(xf是减函数，则m的值是 ______.【6，统计与概率】1．一个单位有职工360人，其中业务人员276人，管理人员36人，后勤人员48人，为了了解职工的住房情况，要从中抽取一个容量为30的样本，若采用分层抽样的抽样方法，则应从后勤人员中抽取人2．下图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图中的数据回答下列问题：(1)样本数据落在[2，6)内的频率为；(2)样本数据落在[6，10)内的频数为．3．已知一组数据为20、30、40、50、50、60、70、80，其平均数、中位数和众数分别为4．已知一个样本1，3，2，5，x，若它的平均数是3，则这个样本的标准差为5．某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地西瓜约600个，在西瓜上市时随机摘了10个成熟的西瓜，称得如下：则这10个西瓜的平均质量是千克，这亩地西瓜产量约是千克。

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2014高考数学常考基础20练7
一．课题：任意角的三角函数
二．教学目标：1．掌握角的概念的推广、正角、负角、象限角，终边相同的角的表示，
2．掌握弧度制、弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧长公式．
三．教学重点：与α角终边相同的角的公式、弧长公式、扇形面积公式的运用．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．角的概念的推广；象限角、轴线角；与α角终边相同的角为2()k k Z πα+∈；
2．角的度量；角度制、弧度制及其换算关系；弧长公式||l r α=、扇形面积公式12
S lr =； 3．任意角的三角函数．
（二）主要方法：
1．本节内容大多以选择、填空题形式出现，要重视一些特殊的解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法、另外还需掌握和运用一些基本结论．
（三）例题分析：
例1．若,(0,)2π
αβ∈，且sin cos 0αβ-<，则（ C ）
()A αβ< ()B αβ> ()C 2παβ+<
()D 2παβ+> 例2．（1）如果α是第一象限的角，那么
3α是第几象限的角？（2）如果α是第二象限的角，判断sin(cos )cos(sin )
αα的符号．解：（1）∵22,2k k k Z ππαπ<<+
∈， ∴22,3336
k k k Z παππ<<+∈，当3()k n n Z =∈时，22,36n n n Z α
π
ππ<<+∈，3α
是第一象限的角，
当31()k n n Z =+∈时，2522,336n n n Z παπππ+
<<+∈，3
α是第二象限的角，当32()k n n Z =+∈时，4322,332n n n Z παπππ+<<+∈，3α是第三象限的角． ∴3α
是第一，二，三象限的角．
（2）α是第二象限的角，1cos 0α-<<，0sin 1α<<，
sin(cos )0α<，cos(sin )0α>，∴sin(cos )0cos(sin )
αα<．例3．（《高考A 计划》考点24“智能训练第6题”）已知锐角α终边上的一点P 坐标是
(2sin 2,2cos 2)-，则α= （ C ）
()A 2 ()B 2- ()C 22π
- ()D 22π
-
例4．扇形AOB 的中心角为2θ，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆1O 及与圆1O 外切，与,OA OB 相切的圆2O ，问sin θ为何值时，圆2O 的面积最大？最大值是多少？解：设圆1O 及与圆2O 的半径分别为12,r r ，则111212()sin ()cos()2r r r r r r r θπθ-=⎧⎪⎨+-=-⎪⎩，得112sin 1sin (1sin )1sin r r r r θθθθ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， ∴122
(1sin )sin (1sin )1sin (1sin )r r r θθθθθ--==++， ∵022θπ<<，∴0θπ<<，令sin 1(12)t t θ=+<<，
2222321312()48t t r t t -+-==--+，当134t =，即1sin 3
θ=时，圆2O 的半径最大，圆2O 的面积最大，最大面积为64π
．
（四）巩固练习：
1．设02θπ≤<，如果sin 0θ<且cos 20θ<，则θ的取值范围是（ D ）
()A 32ππθ<< ()B 322πθπ<< ()C 344ππθ<< ()D 5744
ππθ<< 2．已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，则a 的取值范围是9
(2,]3-．
3．若sin tan cot ()22π
π
αααα>>-<<，则α∈ （ B ）
()A (,)24ππ-
- ()B (,0)4π- ()C (0,)4π ()D (,)42ππ。