考研提高-2020考研数学一试卷分析
2020年考研数学一真题及答案解析
（4）【答案】（A）.
【解析】若 anrn 发散，则 r R ，否则，若 r R ，由阿贝尔定理知， anrn
n 1
n 1
绝对收敛，矛盾. 故应选（A）.
（5）若矩阵 A 经过初等列变换化成 B ，则
（）
（A）存在矩阵 P ，使得 PA B.
（B）存在矩阵 P ，使得 BP A.
（C）存在矩阵 P ，使得 PB A.
x a2 a1
y b2 b1
z c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
z c3 c2
相交于一
ai
点，法向量 αi
bi
,
i
1, 2,3 .则
ci
（）
（A） α1 可由 α2 , α3 线性表示.
（B） α2 可由 α1, α3 线性表示.
（C） α3 可由 α1, α2 线性表示. （6）【答案】（C）.
f x
,
f y
, 1
0,0
fx0, 0, fy 0, 0 , 1 ，故
n x, y, f x, y fx0, 0 x fy 0, 0 y f x, y x2 y2 ，
3
n x, y, f x, y
x2 y2
则 lim
lim
0. 故应选（A）.
x, y0,0
x2 y2
x, y0,0
x2 y2
（4） 设 R 为幂级数 an xn 的收敛半径， r 是实数，则 n 1
（）
（A） anrn 发散时， r R . n 1
（B） anrn 发散时， r R . n 1
（C） r R 时， anrn 发散. n 1
2020年考研数学(一)真题及解析
2020年考研数学（一）真题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1. +→0x 时，下列无穷小量中最高阶是（ ）A.()⎰-xt dt e 012B.0ln(1x dt +⎰C.⎰xdt t sin 02sin D.⎰-xdt t cos 103sin【答案】D【解析】()A 22++3200(1)(1)1lim lim33xxt t x x e dt e dt x x →→--==⎰⎰，可知0x +→，2301(1)~3x t e dt x -⎰， ()B ++500222limlim ln(155xx x xx dt→→==+⎰，可知5202ln(1~5x dt x +⎰，0x +→ ()C +++s 3in 2200020sin sin(sin )co cos 1limlim lim 333s x x x xx x t dt x x x →→→===⋅⎰，可知sin 2301sin ~3x t dt x ⎰，0x +→()D ++1co 50s 0limlim x x x →→-===⎰，可知1cos 50~x -⎰，0x +→ 通过对比，⎰-xdt t cos 103sin 的阶数最高，故选()D2. 设函数()x f 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0=→x f x ，则（ ）A. 当()0lim=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.B. 当()0lim2=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.C. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim=→xx f x .D. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim2=→xx f x .【答案】C 【解析】当()f x 在0x =处可导时，由()0(0)lim 0x f f x →==，且0()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x →→-'==-，也即0()lim x f x x →存在，从而()0lim0=→xx f x ，故选C 3. 设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，()0,01,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂∂∂=y f x f n 非零向量d 与n 垂直，则（ ）A.()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在. B.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x n y x 存在.C. ()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x d y x 存在. D.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x d y x .【答案】A【解析】函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，(,)(0,0)(0,0)(0,0)0x y f x y f f x f y→→''---=，00(,)(0,0)(0,0)0x y f x y f x f y→→''--=由于()(),,,n x y f x y ⋅=(0,0)(0,0)(,)x y f x f y f x y ''+-，所以()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在4. 设R 为幂级数1nn n a r∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（ ）A.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥. B.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≤.C.R r ≥时，1nn n a r∞=∑发散. D. R r ≤时，1nn n a r∞=∑发散.【答案】A【解析】R 为1nn n a r∞=∑的收敛半径，所以1nn n a r∞=∑在(,)R R -必收敛，所以1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥.故选A5. 若矩阵A 经初等列变换化成B ，则（ ）A. 存在矩阵P ，使得B PA =.B.存在矩阵P ，使得A BP =.C.存在矩阵P ，使得A PB =.D. 方程组0=Ax 与0=Bx 同解. 【答案】B【解析】A 经过初等列变换化成B ，存在可逆矩阵1P 使得1AP B =,令11PP -=，得出A BP =,故选B6. 已知直线12121212:c c b b y a a x L -=-=-与直线23232322:c c b b y a a x L -=-=-相交于 一点，法向量i i i i a b c α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3,2,1=i . 则 A. 1a 可由32,a a 线性表示. B. 2a 可由31,a a 线性表示. C.3a 可由21,a a 线性表示. D. 321,,a a a 线性无关. 【答案】C【解析】令22211112:x a y b c L t a b c ---===，即有21212121=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由2L 方程得32323223=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两条线相交，得2132++t t αααα=即2123123+(1)t t t t ααααααα-=⇔+-=，故选C 7. 设A ，B ，C 为三个随机事件，且()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ， ()()121==BC P AC P ，则A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为 A. 43. B. 32. C. 21. D. 125. 【答案】D【解析】()()()(())P ABC P ABUC P A P A BUC ==-111()()()()004126P A P AB P AC P ABC =--+=--+=()()()(())P BAC P B AUC P B P B AUC ==-111()()()()004126P B P AB P BC P ABC =--+=--+=()()()(())P CAB P C AUB P B P C AUB ==-1111()()()()04121212P C P CB P CA P ABC =--+=--+=所以1115()()()661212P ABC P ABC P ABC ++=++= 8. 设n x x x ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，其中()()2110====X P X P ， ()x Φ表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=100155i i X P 的近似值为A. ()11Φ-.B. ()1Φ.C.()2,01Φ-.D.()2,0Φ. 【答案】B【解析】由题意12EX =，14DX =,根据中心极限定理1001~(50,25)i i X N =∑,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑=100155i i X P=10050(1)iX P ⎛⎫- ⎪≤=Φ⎝⎭∑二、填空题：9~14小题，每小题2分，共24分.请将解答写在答题纸指定位置上. 9. ()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--→x e x x 1ln 111lim 0 . 【答案】-1【解析】()()()()2000ln 11ln 1111lim lim lim 1ln 1(1)ln 1x x x x x x x x e x e e x e x x →→→⎡⎤⎡⎤+-++-+-==⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦ =()2222001111ln 1122lim lim 1xx x x x x x x e x x→→----++-+==-10. 设()⎪⎩⎪⎨⎧++=+=1ln 122t t y t x ，则==122t dx y d .【答案】【解析】1dy dy dt dx dx dt t ===22231=dy dy d d d y dt dx dt dx dx dt dx t t t⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===--得212t d y dx==11. 若函数()x f 满足()()()()00>=+'+''a x f x f a x f ，且()m f =0，()n f ='0，则()f x dx +∞=⎰.【答案】n am +【解析】特征方程210a λλ++=，则1212,1a λλλλ+=-⋅=，所以两个特征根都是负的。
2020考研数学(一)答案解析
π
1
2
π
E ( XY ) E ( X sin X )2π
x sin x
dx
02x sin xdx
π
π
2
2
π
2
π
π
02xd cos x
x cos x|0202cos xdx
π
π
2
sin x|
π
2
.
02
π
π
9
故 cov( X , Y )2π0π2.
三、解答题
（15）（本题满分10分）
f ( x) 0.
x
x
综上，
f ( x )d x
f ( x ) af ( x)
lim
f
( x ) af ( x )
f (0) af (0)
am n.
0
0
x
2f
12.f(x,y)0xyext2dt，则
．
x y
(1,1)
（12）【答案】4e.
【解析】因为
2f
2f
，又
f
ex xy2xxex3y2,
x y
y x
x , y0,0x2y2
x , y0,0
x2y2
（4） 设R为幂级数anxn的收敛半径，r是实数，则
（
）
n1
（A）anrn发散时，
r
R.
n 1
（B）anrn发散时，
r
R.
n 1
（C）
r
R时，anrn发散.
n 1
（D）
r
R时，anrn发散.
n 1
（4）【答案】（A）.
【解析】若anrn发散，则
2020考研高数(一)真题及答案解析
2020全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（ ）（A ）()21xt e dt -⎰（B ）(0ln 1xdt +⎰（C ）sin 20sin xt dt ⎰（D ）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。
（A ）()()222011x t x e dt e x '-=-~⎰（B ）(()(0ln 1ln 1x dt x'+=⎰（C ）()()sin 2220sin sin sin xt dt x x '=⎰（D ）()1cos 3012xx x-'=⎰经比较，选（D ）（2）设函数()f x 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0,x f x →=则（ ）（A ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。
（B ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。
（C ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=。
（D ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=【答案】（C ）【解析】当()f x 在0x =处可导，且()0lim 0x f x →=，则有()00f =，0()lim 0x f x x→=（()f x为x 的高阶无穷小量），所以00x →=，选（C ）。
（3）设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()0,00,00,,,1f f f n x y （）⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭，非零向量n与α垂直，则（ ） （A ）()(,0,0lim0x y →存在（B ）()(,0,0lim0x y →=存在（C ）()(,0,0lim0x y →存在（D ）()(,0,0lim0x y →存在【答案】（A ） 【解析】由题意可知，(,)(,)limlimx y x y →→(,)limx y →=由于函数(),f x y 在点()0,0处可微，所以(,)lim0x y →，选（A ）。
2020考研数一真题答案及详细解析
一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万）dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。
3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．。
CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。
ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。
2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。
1一cos,·3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。
2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0X—r•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f (x)= {X3, X # 0，则l im f位）=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。
J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X = 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导，但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位，y)在(x 。
2020考研数学一真题解析
a1
b1
c1
a2
b2
c2
所以 x0 a1k a2 a2l a3; y0 b1k b2 b2l b3; z0 c1k c2 c2l c3 ，
从而有3 k1 (1 l)2 ，选（C）。
1
（7）设 A, B,C 为三个随机事件，且 P A P B P C , P AB 0,
4
P AC P BC 1 ,则 A, B,C 中恰有一个事件发生的概率为（ ）
12
3
（A）
4
2
（B）
3
1
（C）
2
5
（D）
12
第3页
【答案】（D）
【解析】设 A, B,C 中恰有一个事件发生的概率为 p ，则
Born to win
p P( ABC) P(ABC) P( ABC) ， ABC AB, P( AB) 0 P( ABC) 0 ，
n 1
（5）若矩阵 A 经初等变换化成 B ,则（ ） （A）存在矩阵 P ，使得 PA B （B）存在矩阵 P ，使得 BP A （C）存在矩阵 P ，使得 PB A （D）方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解
【答案】（B）
Born to win
【解析】由题意可知，对于矩阵 A 进行列变换得到矩阵 B ，则存在初等矩阵 Q1, Q2 ,, Qt ，
n 1
（C）当 r R 时， a2nr2n 发散
n 1
（D）当 r R 时， a2nr2n 收敛
n 1
【答案】（A）
【解析】因为 R 为幂级数 an xn 的收敛半径，所以
n1
第2页
R 为幂级数 a2n x2n 的收敛半径，
n 1
当 a2nr2n 发散时，由阿贝尔定理得 r R ，选（A）。
考研提高-2020考研数学一真题解析
2020考研数学一高数真题解析首先，在2021年的考研中大家尽管放心地是考研数学的命题一定是在考研大纲的范围内出题，也就是说重点内容重点考，重点知识重点考，这是我们复习的主体，复习的主干，抓得主这个主体和主干你复习的方法就不会有偏差。
这是第一条。
给下来的2、3、4条，我们要谈谈今年的特点。
第二条，今年的命题从题型来讲是比较新颖的，也就是说新颖题目的比例比较大，给同学们带来了比较大的挑战，或者说难度。
未来的题没有见过的题出现在这张试卷上多了我们自然会相对比较困难一点。
提醒2021的考生，明年的复习不仅要把以往的常见题型，老面的题目做实做透，也要适当地去做一些新，有创新性的题目，有未来感的题目，当然这些题目就在以往的真题中没有出现过，这就会给我们带来不适应性，但是大家坚持适当地训练，这应该会比我们到了考场应对这张展现的试卷有所帮助的。
我并不希望2020的考生来看这个视频，我更多的对于考研真题的解析是希望对于未来的考研的学生有所启发，因为2020年的考生已经很辛苦了，我并不想打扰他们了。
我给2021的同学说大家适量地训练一些新颖的题目。
我一再跟考研的同学讲你做的历年的真题都和你即将面临的试卷不一样，你的感觉会完全不一样，我今天听到重要信息的同学，能够在接下来整个一年的复习中保持一个居安思危的态度，所谓的居安，就是当你认为你的真题做的很好的时候你要思危，你要知道未来的真题上会有新东西，所以我们必须要做一些有一定难度的新颖的模考题。
第三条，今年的计算量还是大一些的。
比说你要想提高计算量用什么命题呢？把研究对象搞复杂了。
比如说我们以往的题目，跟大家都讲过，像逆指函数做研究对象，多元函数做研究，他本身的研究对象的复杂性，就会带来求倒数求积分的复杂性，计算量就上去了，所以第三条提醒未来的考生们想明白有思路还得重计算，在亲自对手做计算这件事情上大家要下足功夫，不能眼高手低，我一看明白了，我就不写了，你动手做的时候你会发现你并不顶做的出来，并不一定做的完整，并不一定能够得到满分。
2020考研数学一真题及答案解析
（2） 证明随机变量 Y 服从标准正态分布。
【详解】（Ⅰ）
F x, y PX1 x,Y y
综上所述,最终 M 0
（20）（本题满分 11 分）
设二次型
f
x1, x2
x12
4 x1x2
4 x22
经正交变化
x1 x2
Q
y1 y2
化为二次型
g
y1,
y2
ay12
4x1x2
6 y22
,其中
ab. (1) 求 a , b 的值
(2) 求正交变换矩阵 Q
【详解】（Ⅰ）设
f
xT
2 4
1 0
2
0
,故2
2,1T
;
P2
1
2
2
1
;
4
综上所述，
Q
P1P2 1
5 3
5
3 5
4 5
.
（21）（本题满分 11 分）
设 A 为 2 阶矩阵, P , A ,其中 是非零向量且不是 A 的特征向量.
(1)证明 P 为可逆矩阵.
(2)若 A2 A 6 0 ,求 P1AP ,并判断 A 是否相似于对角矩阵. 【详解】（Ⅰ） 不是特征向量且 0 ，则 A k ，即 A , 线性无关，
（C） 0
．
x ln(1 t3 )dt
（B） 0
1cos x sin3 tdt
（D） 0
【答案】（D）．
（2）设函数
f
(x)
在区间 (1,1)
lim
有定义，且 x0
f
(x)
0
，则（）
lim f (x) 0
x0 x
（A）当
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2020考研数学一试卷分析
随着考研数学考试的结束，2020考研也慢慢地落下了它的帷幕。
从整体上来看，今年的考研数学试卷依旧延续了以往的特点：覆盖广泛、重点突出，着重考查了“三基与五能力”。
即对基本概念、基本原理、基本方法、数学计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、利用数学知识分析并解决实际问题的能力、概括能力的考查。
从难度上看，2020年数学一与2019年稍难，特色特别鲜明。
下面我们来具体分析:
选择题，高等数学考查了无穷小的比较、导数定义、多元函数可微定义、阿贝尔定理等知识点难度适中，但灵活性较强，对学生的基本功要求较高。
线性代数涉及了线性表出、初等变换两个考查对象，其中线性表示与空间直线进行关联，有一定的难度。
概率与统计考查了中心极限定理，这个考点有点意料之外，但如果知道中心极限定理的意义还是比较简单的。
填空题，高等数学涉及了∞-∞极限计算、参数方程求导、反常积分计算、偏导计算都属于常规考点，比较简单。
线性代数考查了四阶行列式的计算，难度不大。
概率考到了协方差的计算，属于概念题，容易上手。
总的来说，填空题没有难度。
解答题部分主要考查综合考查了计算能力、分析和解决问题的能力，突出了综合性和计算量大的特点，其中高等数学有二元函数极值的计算、第二类曲线积分的计算、第二类曲面积分的计算、无穷级数的求和问题和中值定理的相关证明。
中值定理的证明一直都是考生的弱项，得分率会比较低；第二类曲面积分的计算难度较大，考生们的计算方法主要来自高斯公式，但今年的题目却要求利用原始定义、即化为二重积分计算，许多考生没想到，得分率
会低一些；其他的题目都在可控范围内，由此可发现2020考研数学一较2019难一点。
线性代数比较简单，第20考查了矩阵的可逆性判定及相似对角化的判定问题，属于常规考点，难度不大。
第21题考查了二次型的标准型问题，属于常规题型，较易完成。
概率论与数理统计第22题考查了分布函数的求解，主要是利用全概率公式，这在以往的真题中比较常见；第23依旧考查最大似然估计，极为常见，难度不大。
综上，2020年数学一，高等数学难度稍大于2019，出高分比较难。
结合2020年考研数学特点，我们建议备考2021年考研的考生注意以下几个问题：（1）重视基础。
研究生入学考试是个选拔性考试但同时也是一个面向大众化的考试，不是竞赛，所以普通题目肯定占了绝大多数，考生们只要抓住“三基”就可做到以不变应万变。
建议考生从当年1至6月认真读书，整理笔记、打牢基础。
（2）重视计算，眼界放宽，突出特色。
数学一难的就是综合性强，覆盖面广，考生摸不清考试方向。
建议考生可在7-10月强化学习中，认真总结和归纳重点题型和方法，通过练习和常见结论迅速提高运算能力,同时能明确考纲中数学一的特色知识，例如空间解析几何与向量代数、曲线曲面积分、空间曲线的切法与法平面、空间曲面的切平面与法线、傅里叶级数等。
（3）重视真题。
考研数学已经历30多年，其中产生的规律、套路不容抹杀，考生应有效利用。
建议考生在11月至考前认真对待真题，反复研究，搞清楚是什么，用什么，为什么方能真正笑傲考场。
最后，祝愿2020考生都能如愿进入理想学府！。