公理与定理
公理和定理的区别
公理和定理的区别
定理和公理的区别：公理是不能被证明但确实是正确的结论，是客观规律。
定理是在一定条件下，由公理推导证明出来的正确的结论。
在数学里，定理是指在既有命题的基础上证明出来的命题，这些既有命题可以是别的定理，或者广为接受的陈述。
定理的证明通常被诠释为对其真实性的验证，从其一系列命题中挑选出一组公理，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。
公理是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。
在数学中，公理都是用来推导其他命题的起点。
一个公理不能被其他公理推导出来，而是能够从起点得出的某种结果，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。
在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。
初中几何证明的所有公理和定理
初中几何证明的所有公理和定理几何学是数学的一个分支，研究平面和空间中的图形、形状、大小以及它们之间的关系。
在几何学中，有一些基本的公理和定理被广泛应用于证明其他几何结论。
以下是初中几何中常用的公理和定理。
一、公理1.尺规公理：任意两点可以用直尺连接，任意一点可以用剪刀间距来复原。
2.同位角公理：同位角互等。
3.平行公理：通过点外一条直线的直线，与这条直线平行的直线只有唯一一条。
4.直线偏转公理：过直线和不在直线上的一点，有且只有一条直线与该直线相交。
二、定理1.垂直平分线定理：平分一条线段的直线必垂直于该线段。
2.三角形内角和定理：三角形内角的和为180°。
3.直角三角形定理：在直角三角形中，两个直角三角形的边长和斜边相等。
4.点到直线的距离定理：点到直线的距离等于点到该直线上垂线的距离。
5.等腰三角形定理：等腰三角形的底边中点到顶点的距离等于底边的一半。
6.等边三角形定理：等边三角形的三条边相等。
7.三角形外角定理：三角形外角等于其对应内角的和。
8.直角三角形的勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
9.海伦公式：已知三角形的三边长，可以通过海伦公式求解其面积。
10.等周定理：等周的两角相等，反之亦成立。
11.三角形中位线定理：三角形两边中点连线中位线，且平分第三边。
12.周长定理：四边形周长等于各边长的和。
13.三角形周长定理：三角形的周长等于三边长的和。
14.三角形中线定理：三角形中线等分中位线，且平分第三边。
15.三角形终边定理：一个角的终边上的点，到另一个角所在的直线的距离永远相等。
16.五边形内角和定理：五边形的内角和是540°。
17.钝角三角形的边长关系：钝角三角形两边长的平方和小于斜边长的平方。
18.三角形的相似性定理：对应角等价、对应边成比例的两个三角形为相似三角形。
19.平行线的性质定理：平行条边分别过枚角且长度成正比，则连线为平行线。
20.重叠三角形定理：如果两个角和一个边分别相等，则两个三角形相等。
初中数学公理和定理
初中数学公理和定理一、公理（不需证明）1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）5、三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）6、全等三角形的对应边相等,对应角相等.7、线段公理：两点之间，线段最短。
8、直线公理：过两点有且只有一条直线。
9、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行10、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类：一、直线与角1、两点之间，线段最短。
2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。
4、对顶角相等二、平行与垂直5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
8、夹在两平行线间的平行线段相等9、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行.（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行10、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转）11、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.12、角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.13、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.14、线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．15、轴对称的性质：（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）对应线段相等、对应角相等。
公式,定理,公理 。推定原理
公式,定理,公理。
推定原理
公式（Formula）：以符号和符号间的关系来表示特定数学关系的表达式。
例如，二次方程的求根公式x = (-b ± √(b^2 -
4ac))/(2a)。
定理（Theorem）：经过严格证明而得到的有关数学性质或推论的陈述。
定理通过证明过程来证明其正确性。
例如，费马定理：当整数n大于2时，不成立的方程x^n + y^n = z^n。
公理（Axiom）：被视为数学系统的基本真理而不需要证明的假设或前提条件。
公理在数学推理中作为起点，用于建立其他定理和命题的证明。
例如，欧几里德几何中的平行公理：直线上点外一点，同直线只有一条过该点的平行线。
推定原理（Inference principle）：用于从已有的陈述中推导出新的陈述的逻辑规则或推理模式。
推定原理是一种逻辑推理的工具，可以推导出新的命题或结论。
例如，从命题A和命题A蕴含B可以推导出命题B。
初一数学中的公理定理
1、直线公理：两点确定一条直线。
2、线段公理：两点之间，线段最短。
3、垂线公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4、平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
5、平行线判定公理：同位角相等，两直线平行。
6、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。
7、全等三角形性质公理：全等三角形对应边相等，对应角相等
1、三角形内角和定理：三角形内角和等于180°
• 推论 1 ：直角三角形两锐角互余
• 推论 2 ：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
• 推论 3 ：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
2、公理：两点之间，线段最短。
• 定理：三角形两边之和大于第三边
• 推论：三角形两边之差小于第三边。
3、补角的性质：同角或等角的补角相等
4、余角的性质：同角或等角的补角相等
5、对顶角的性质：对顶角相等
6、垂线的性质：直线外一点与直线上各点的连线中，
7、平行线公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
8、平行线判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简记为：。
• 定理 1。
• 定理 2
9、平行线性质公理：
• 定理 1
• 定理 2
• 推论：垂直于同一直线的两直线的互相平行。
初中数学公理、定理
初中数学公理、定理一、线与角1、线段公理：两点之间，线段最短2、直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线3、垂线公理：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直4、平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行5、对顶角相等；同角的余角（或补角）相等；等角的余角（或补角）相等6、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行7、平行线的特征：（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补8、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上9、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上二、三角形、多边形10、三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角③三角形的外角和等于360°（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°（3）三角形的任何两边的和大于第三边（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半11、多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n－2）×180°（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°（3）欧拉公式：顶点数+ 面数－棱数=212、如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分13、等腰三角形中的有关公理、定理：（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°5）三边都相等的三角形叫做等边三角形；有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形14、直角三角形的有关公理、定理：（1）直角三角形的两个锐角互余（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半三、特殊四边形15、平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分.16、平行四边形的判定:（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形17、平行线之间的距离处处相等18、矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等且互相平分19、矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形20、菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角21、菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）四条边相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形22、正方形的性质：（1）正方形的四个角都是直角（2）正方形的四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角23、正方形的判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形（2）有一组邻边相等的矩形是正方形（3）两条对角线垂直的矩形是正方形（4）两条对角线相等的菱形是正方形梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形24、等腰梯形的判定：（1）同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形（2）两条对角线相等的梯形是等腰梯形25、等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等（2）等腰梯形的两条对角线相等26、梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半四、相似形与全等形27、相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应边成比例（2）相似多边形的对应角相等（3）相似多边形周长的比等于相似比（4）相似多边形的面积比等于相似比的平方5相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比，对应中线的比，都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.28、相似三角形的判定：1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似29、全等多边形的对应边、对应角分别相等30、全等三角形的判定：（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（S.S.S.）（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等（S.A.S.）（3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(A.S.A.)（4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（A.A.S.）（5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等（H.L.）五、圆31、（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（3）90°的圆周角所对的弦是圆的直径32、在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等33、不在同一条直线上的三个点确定一个圆34、（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（2）圆的切线垂直于过切点的半径35、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角36、圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角37、垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧六、变换37、轴对称：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称38、平移：（1）平移不改变图形的形状和大小(即平移前后的两个图形全等)；（2）对应线段平行且相等（或在同一直线上）,对应角相等；（3）经过平移,两个对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.39、旋转：（1）旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等)（2）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角)（3）经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等40、中心对称：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心；（3）如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称41、位似：（1）如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比；（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
3 基本事实与定理
推的理
,最后证实结论(求证)的过程.
知识点一 公理与定理 【例1】 指出下列真命题哪些是公理,哪些是定理. (1)两点确定一条直线; (2)同角的余角相等; (3)两直线平行,同位角相等;
解:根据公理和定理的概念,结合规定的八条基本事实,可知(1)是公理,(2) (3)是 定理.
公理是不需要进行推理证明的真命题,可以作为判断其他命题真假 的依据;定理都是真命题,但其正确性是需要经过推理证实的,而后又把它作为 判定其他命题真假的依据.
为推理的依据.例如,“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”,简称 “ 等量代换 ”.
2.证明一个命题的正确性,要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出.
其中“已知”是命题的 条件 ,“求证”是命题的结论 ,而“证明”则是由条
件(已知)出发,根据已给出的定义、基本事实和已经证明的定理,经过一步一步
3.(2018淄博)甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一
场),结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙胜的场数相同,则丁胜的场数是()1 (D)0
4.证明真命题“对顶角相等”的依据是 同角的补角相等
.
5.下列说法错误的是( C ) (A)定理是真命题 (B)公理一定不是假命题 (C)公理与定理没有区别 (D)定义、定理、公理、公式等都是进行推理的依 据 6.下列真命题中,是公理的是( D ) (A)互余的两个角都是锐角 (B)两直线平行,同位角相等 (C)三边都相等的三角形是等边三角形 (D)三边分别相等的两个三角形全等
知识点二 真命题的证明 【例2】 求证:垂直于同一条直线的两条直线平行. 已知:如图,a⊥c,b⊥c,求证:a∥b.
证明:因为a⊥c,b⊥c(已知), 所以∠1=90°,∠2=90°(垂直的定义), 所以∠1=∠2(等量代换). 所以a∥b(同位角相等,两直线平行). 即垂直于同一条直线的两条直线平行.
初中数学公理和定理
初中数学公理和定理一、公理(不需证明)1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS)4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA)5、三边对应相等的两个三角形全等; (SSS)6、全等三角形的对应边相等,对应角相等.7、线段公理:两点之间,线段最短。
8、直线公理:过两点有且只有一条直线。
9、平行公理:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行10、垂直性质:经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类:一、直线与角1、两点之间,线段最短。
2、经过两点有一条直线,并且只有一条直线。
3、同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等。
4、对顶角相等二、平行与垂直5、经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直。
6、经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。
7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
8、夹在两平行线间的平行线段相等9、平行线的判定:(1)同位角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)垂直于同一条直线的两条的直线互相平行.(5)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行10、平行线的性质:(1)两直线平行,同位角相等。
(2)两直线平行,内错角相等。
(3)两直线平行,同旁内角互补。
三、角平分线、垂直平分线、图形的变化(轴对称、平称、旋转)11、角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.12、角平分线的判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.13、线段垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.14、线段垂直平分线的判定:到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.15、轴对称的性质:(1)如果图形关于某一直线对称,那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.(2)对应线段相等、对应角相等。
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（2）三角形内角和定理及其推论
定理：三角形的内角和等于180° 推论：三角形的外角等于不相邻的两内角的和
三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角
（3）直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（4）角平分线性质定理及逆定理。 定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等 逆定理：到角两边距离相等 的点在这个角的平分线上
（3）若两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个 三角形全等。 两角及其夹边
三边 （4）全等三角形的对应边、对应角分别相等。
2．利用以上4个基本事实，证明下列命题： （1）平行线的性质定理 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互相补 （2）判定定理 内错角相等，两直线平行 同旁内角互相补， 两直线平行
中考复习
（二十七） 公理与定理
公理是人们经过长期实践后公认为正确的命题,是 不需要证明的,并且可以作为证明其它命题的依据 定理是真命题,但不是全部真命题都作为定理的,通 常只把一些常用的真命题列为定理
课标要求：
1．掌握以下基本事实，作为证明的依据 （1）一条直线截两条平行线所得的同位角相等。 （2）两条直线被第三条直线所截，若同位角相等， 那么这两条直线平行。
（7）等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。
性质 等腰三角形 1。两底角相等 2。三线合一 判定
1。有两个角相等
2。有两条边相等
等边三角形
1。三个角相等 2。三线合一
1。三 个角相等 2.一个角等于60°的等腰三角形
1。有一个角是直角 直角三角形 1。两锐角互余 2。两直角边的平方和等于 斜边的平方 两条较小边的平方和等于 较大边的平方
三角形的三条角平分线交于一点（内心）。
三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。
（5）垂直平分线性质定理及逆定理
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
逆定理：到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直 平分线上
（6）三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
4.求证：三角形的中位线平行于底边，且等于底边的 一半.
（8） 平行四边形
性质定理
对边相等 对角相等 对角线互相平分
判定定理
两组对边分别平行的四边形 一组对边平行且相等的四边形 对角线互相平分的四边
正方形
等腰梯形
1.求证：等腰三角形的两个底角相等.
2.求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3.求证：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形.