江苏省兴化市板桥高级中学2008—2009学年第一学期12月月考高三数学试题

江苏省兴化市板桥高级中学2008—2009学年第一学期12月月考高三数学试题（满分160分,考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．对于命题p ：R x ∈∃，使得210x x ++<．则p ⌝为： ▲ ． 2．复数ii4321+-在复平面上对应的点位于第 __▲ 象限． 3.长为4的向量a 与单位向量e 的夹角为23π,则||a e + = ▲ .4．顶点在坐标原点的抛物线的焦点与双曲线22122x y -=的左焦点重合，则此抛物线标准方程为▲5．如下图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 ▲6．如右图的程序框图输出的结果为 ▲ ．第6题7.点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则当点P 到直线2y x =-的距离取最小值时P 点坐标为 ▲ .8．数列{n a }的通项公式是12n a n =-,其前n 项和为n s ,则数列{nSn }的前11项和为 ▲ .9.已知1sin(),63x π-=则sin(2)6x π+= ▲ . 10、某小卖部为了了解冰糕销售量y (箱)与气温x (C ︒)之间的关系，随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温，并制作了对照表（如下图所示）：由表中数据算得线性回归方程a bx y+=ˆ中的2b ≈，预测当气温为25C ︒时，冰糕销量为 ▲___箱．11．函数1)1(log +-=x y a (01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数n mx y +=的图象上，其中,0m n >，则12m n+的最小值为__ ▲ ．12．直线2y x b =+与曲线x =有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是 ▲ ．13．()f x 是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '->,对任意正数a 、b ，若a <b ，则()af a ，()bf b ，()af b ，()bf a 的大小关系为 ▲ ．（用>连结） 14. 下面有五个命题①函数3sin(2)3y x π=-的图像关于直线1112x π=对称；②已知直线l 1：013=-+y ax ，l 2：x - b y + 1= 0，则21l l ⊥的充要条件是3-=ba； ③圆012422=+-++y x y x 与直线x y 21=相交，所得的弦长为2； ④定义在R 上的函数)()1(x f x f -=+，则)(x f 是周期函数；⑤对于函数()22.f x x mx n =++若()()0.0,f a f b >>则函数在(),a b 内至多有一个零点。

其中，真命题的编号是 ▲ . （写出所有真命题的编号）二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==， AC BC ⊥，点D 是AB 的中点．（1）求证：11CD A ABB ⊥平面； （2）求证：11//AC CDB 平面。

16. (本题满分14分)已知向量.)(),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x f x x x ⋅==+=设函数（1）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,1,4)(==b A f△ABC 的面积为23，求a 的值.ABCDA 1B 1C 117. (本题满分14分)甲、乙两同学玩猜数字游戏，先由甲在心中任选一个数字，记为x ,再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为y ，且16,16x y ≤≤≤≤. (1)若,x y Z ∈，求x y ⋅是3的倍数的概率；(2)若,x y R ∈,如果1x y -≤，则称甲、乙“心有灵犀”，现任找两位同学玩这个游戏，求他们“心有灵犀”的概率。

18. (本题满分16分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过椭圆C 左焦点1F 的直线L 与y 轴和椭圆分别交于点M 、N ，使得MN =21NF,求直线L 的方程；(3)若1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，问能否在椭圆C 上找到一点P ，使点P 到右准线的距离PQ 是1PF 和2PF 的等比中项？若存在求出P 点坐标;若不存在，说明理由。

19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：111,1,22,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，且22,n n b a n N *=-∈·（1）求2a ，3a ，4a ； （2）求数列{}n b 通项公式；（3）记数列{}n b 的前n 项和为n S ，是否存在正整数m ，n ，使14142n n S m S m ++<+成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，说明理由.20．（本题满分16分）已知函数()ln f x x =，)0(21)(2≠+=a bx ax x g （1）若2-=a 时，函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； （2）在（1）的结论下，设]2ln ,0[,)(2∈+=x be ex x xϕ，求函数)(x ϕ的最小值；（3）证明对一切),0(+∞∈x ，都有12()x f x e ex>-。

答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1、R x ∈∀，均有x 2+ x +1≥0 2、三 34、28y x =-5、3π26、1327、（1，1）8、-669、7910、70 11、8 12、{(1,1]- 13、()()()()bf b af b bf a af a >>> 14、①④二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（1）证明：111 ABC A B C - 是直三棱柱，∴ 平面11.ABC A ABB ⊥平面 AC BC =，点D 是AB 的中点，CD AB ∴⊥，又面ABC 面11A ABB AB =，CD ABC ⊂面11 CD A ABB ∴⊥平面． ……………………7分（2）证明：连结1BC ，设1BC 与1B C 的交点为E ，连结DE ．D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1 //.DE AC ∴ABCDA 1B 1C 1E111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面， 平面，11 //.AC CDB ∴平面 …………………14分16. 解：3)62sin(2cos 222sin 3)(2++=++=⋅=πx x x x f(1)最小正周期ππ==22T 当)](232,22[)62(Z k k k x ∈++∈+πππππ时，函数f(x)单调递减 ∴函数f(x)单调递减区间)](32,6[Z k k k ∈++ππππ…………………………7分 （2）43)62sin(2)(=++=πA A f ∴21)62sin(=+πA ∵),0(π∈A ∴3π=A又23sin 21==∆A bc S ∴c=2 ∴3cos 222=-+=A bc c b a ……………………………………14分17.（1）基本事件共有6×6=36个（列表） x y ⋅是3的倍数包含的基本事件共20个 所以x y ⋅是3的倍数的概率是205369=……………………………………6分 （2）925……………………………………14分18.(1)依题意有12c e a == 又2a = ∴2221,3c b a c ==-= 故椭圆C 的方程是22143x y += ……………………………………3分（2）椭圆C 的左焦点为1F （-1，0）设直线L 的方程为(1)y k x =+，00(,)N x y令0,y x k ==则，∴(0,)M k 00(,)MN x y k =- ，100(1,)NF x y =---由MN =21NF 得023x =-，03y k = ，即23(,)3N k- ∵23(,)3N k -在椭圆C 上，代入椭圆C 方程22143x y +=中解得k =±∴所求直线L的方程为1)y x =±+ ……………………………………10分（3）由椭圆第二定义有2PF e PQ=，∴2PF e PQ =又122PF PF a +=，∴12PF a e PQ =-若满足条件的点P 存在，则212PQ PF PF = ∴2(2)PQ e PQ a e PQ =-又PQ ≠0，∴212228211514ae PQ e ⨯⨯===++ 由于椭圆C 上的点到右准线最距离是椭圆右顶点到右准线的距离即2422a a c-=-= ，而825PQ =<，故点P 不存在 …………………………16分19解：（1）当232a =，352a =-，474a =， ……………………………………3分（2）21212222211212(4)21222222n n n n n n n n a n a n n b a b a a a +++++--+--===---22111222n n a a -==- 又12122b a =-=-∴数列{}n b 是公比为12的等比数列，且1111()()()222n nn b -=-⨯=-．（3） 由（2）得11[1()]122()11212n n n S --==-- ……………………………………10分 原不等式即21)211(4)211(41<----+mm n n 要求得6)4(22n <-<m ……………………………12分 假设存在正整数m ，使得其成立. 由于2n为偶数，4－m 为整数，则只能是4)4(2=-m n⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=∴14422422m m n n 或因此存在正整数m=2，n=1，或m=3，n=2，使211<--+m S m S n n . ………………………………………………………16分20解：（1）依题意：.ln )(2bx x x x h -+=()h x 在（0,+∞）上是增函数，1()20h x x b x'∴=+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立， 12,0b x x x∴≤+> ，则12x x+≥b ∴的取值范围是(-∞.………………………………………………………4分 （2）设].2,1[,,2∈+==t bt t y e t x则函数化为22().24b b y t =+-当12b-≤，即2b -≤≤y 在[1,2]上为增函数， 当1t =时，min 1y b =+；,]2,1[4,22;42,24,2212min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b bb ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-< 当2t =时，min 42y b =+.综上所述：21,2(),42442, 4.b b bx b b b ϕ⎧+-≤≤⎪⎪=--<<-⎨⎪+≤-⎪⎩……………………………………10分（3）等价于：e ex x x x2ln ->，（0>x ）； 记()ln p x x x =，利用导数可求得min 11()()p x p ee ==-，当且仅当ex 1=时取到； 记()q x =e ex x2-，利用导数可求得max 1()(1)q x q e ==-，当且仅当1=x 时取到， 从而对一切),0(+∞∈x ，都有12()x f x e ex>-成立。