关于行列式计算方法的进一步探讨

关于行列式计算方法的进一步探讨引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的,它不论是在线性代数，多项式理论还是微积分中都有广泛应用，所以掌握行列式的计算是十分必要的. 为此，我在查阅部分参考资料的基础上,结合自己的学习实践,对行列式的计算总结了二十一种方法.常规做法都是用行列式的性质和相关定理来求解.以下是对一些典型类型的行列式的计算，以拓宽行列式的解题思路，下面依次说明其求解方法和过程.1.定义法n 阶行列式的定义展开式式中包含!n 项,当n 较大时，利用定义进行计算就会很麻烦，只有当行列式中0比较多时考虑利用定义算行列式，这样可以大大减少行列式展开的项数.例1计算000100002000010n n -.解 根据行列式的定义，行列式展开式的每一项都是n 个元素的乘积，这些元素来自行列式不同的行和不同的列，由于行列式中只有一个非零项!)1(21n n n =⋅-⋅ ，这一项的逆序数为1-n ，有计算可得!)1(1n D n n --=.2.化三角形法化三角形法主要是利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式.虽然每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式.但当行列式阶数较高时,计算往往较为复杂.因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作某种变形,再将其化为三角形行列式.上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积.例2 计算行列式 12311212332125113311231------=n n n n n n n n n n A .解 首先将行列式的第一行乘以()1-加到第n ,,3,2 行,再将其第1,2,,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列,则得()()()!110200132100001002000200010001231)1(12121-=-=---=----n n n n n n n A n n n n）（.3.降阶法可利用按一行(列)展开定理降低n 阶行列式的阶数并且使得行列式的计算较为简便的方法称为降阶法.降阶比较适合于行列式中某行或列中零元素比较多时.例3 计算行列式 nA 222232222222221=.解 首先应考虑A 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以()2-加到第n ,,3,2 行,数字反而复杂了,要使行列式尽可能多的出现“0”项,将该行列式的第一行乘以()1-加到第n ,,3,2 行,得2001010100012221-=n A.上式仍不是上（下）三角形行列式，我们可以用降阶法，注意第二行除了第一项是1， 后面的项都是0，我们按第二行展开，得()!2221222--=-=n n A. 4.加边法加边法就是将原来的行列式添加一行一列,且其值不变,所得的新行列式更容易求出其值.该方法适用于除主对角线上元素外,各行（或列）对应的元素分别相同的类型.例4 计算行列式nn n na a a a a a a a a a a a a a a a D 321321321321111+++=. 解 利用加边法将行列式添加一行一列，使其值保持不变.则有nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a D +++=1010101321321321321=1100101000111321---n a a a a =10001000001013211n ni ia a a a a ∑=+=∑=+ni i a 11=n a a a a +++++ 3211.加边法最大的特点是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就可以大大减少计算量.5.分解行列法(拆项法)如果行列式某行(列)是两行(列)之和,将行列式分解为两行列式的和,然后再利用性质进行计算.即分解行列法.例5 计算 nn n nn n n x n x x x n x x x n x x D ααααααααα+++++++++=212222111211212121.解 将行列式n D 分解为若干行列式的和,则当2>n 时,每个行列式至少有两列成比例,故0=n D ；当1=n 时，1111x D α+=.当2=n 时，()()212121112212222112112222112121αααααααααα--=+=++++=x x x x x x x x x x D .则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=--=+=.2,0,2),2)((,1,1212111n n x x n x D n ααα6.分解法利用矩阵乘积的性质可把行列式分解成若干个行列式乘积的方法称为分解法.如果矩阵A 分解为m A A A A A 321=，其中i A 都是n 阶方阵),,2,1(m i =,则.321m A A A A A =例6 计算行列式nn nn n n n nn n n nn n n nnn nn nn nnn n nn nn n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a D ------------------=111111111111111111221122222212121121211111. 解 首先用以前学过的公式化简行列式，然后再进行计算.由于 )1)(1()(11122111111--++++-=-n n n b a b a b a b a b a ， 则有∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=-=-==1010211121022101210110211011n k knk n n k k k n n k k k n n k k nk n k k k n k k k n k k n k n k k k n k k k n b a b abab abab ab a b a b aD=112112222121121222211211111.111------n nn n n n n n n n n n b b b b b b b b b a a a a a a aaa=∏≤≤≤--nj i i j i jb b a a1))((.7.拆元法把某一行或列的元素写成两个数的和的形式，再利用行列式的性质将其写成两个行列式的和，以简化计算.例7 计算行列式xm m m m xmm m mx m mm mxD n ------=.解xm m m m xmm m m xm mm m x D n ------=xm m m m xmm m m x m mm mm------=xm m mm xmmm m x m mm m mx -------+11)()(---++=n n D m x m x m (1)由于n nD D =' ，即将n D 中的m 换成m -，行列式的值不变，故 11)()(--++--=n n n D m x m x m D (2)（1））（m x +⨯122)()()(--++=+n n n D m x m x m D m x（2）)(m x -⨯122)()()(--+--=-n n n D m x m x m D m x则])()[(21)()()()(n n n n n m x m x m x m x m x m m x m D --+=--+-++=.8.析因子法所谓析因子法就是当行列式为零时,求得方程的根,从而将行列式转化为其因子的积,这样会大大减少计算量,该方法适用于主对角线上含多项式的类型.对于一个n 次多项式,当最多找到r 个因子使其行列式值为零时,就要把它画成一个r 次多项式与一个r n -次多项式的乘积.但一般找到的使其行列式为零的个数与行列式的次数相差太多时，不适用本方法.例8 计算 1321121311321+++=x n x n x n D n.解 令(),n D x f =当1,,2,1-=n i 时，()0=i f ，即()()()1,,2,1+---n x x x 是()x f 的因子且它们互质.故()∏-=-11n i i x 是()x f 的因子，比较1-n x的系数知()=x f ()n n i D i x =-∏-=11.9.分块矩阵法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00通过分块若能化为对角矩阵或下（上）三角矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0,那么行列式BA 00=BCA 0B A ⋅=，其中阶可逆矩分别是r s B A ,,s r C ⨯是阶矩阵，r s ⨯是0阶矩阵.可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题，通过矩阵分块转换为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=rr r rsr r s sr s ss s r s b b c c b b c c d d a a d d a a G1111111111111111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B C D A ， 其中，B A ,分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，s r C ⨯是阶矩阵, r s D ⨯是阶矩阵,则有下面公式成立.C DB A B B CD A G 1--⋅==或C D B A BC DA G 1A --⋅==. 下面推导公式，事实上当0≠A 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----B C D A E DB E D BCA D A B C D A E A E000111⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-B C CDB A 01. 上面两式两边同时取行列式即可得出上面的公式.例9计算 8710650143102101=D . 解法1 0440440043102101871650143102101===原式. 若用前面介绍的公式则可以直接得出结果.解法2 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8765B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321D ， 则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001'A ,由公式知原行列式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-⋅==-432110011001876510011D CA B A B CD A 04444432187651==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=，这道题目还有一个特点，那就是C A =,如果我们把公式变形， 即D ACA AB D CA B A D CA B A BC DA 111)(----=-=-⋅=. 当C A =时CD AB D CAA AB D ACA AB -=-=---11.所以当C A =时CD AB BC DA -=, 这类题就可以直接写出答案了.解法3 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8765B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321D . 因为C A =，所以原行列式0432187654321100187651001=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=CD AB .10.递推法应用行列式的性质,把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式,这种关系式称为递推关系.根据递推关系式及某个低阶初始行列式的值,便可递推求得所给行列式的值,这种计算行列式的方法称为递推法.注意 用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构，如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法. （1） 1-=n n kD D 类例10 计算行列式 2n D =d cd c b a ba.解 将2n D 按第1行展开可得()0100122cd dc b a bab dc d c b a b a aD n n+-+=()()阶阶2222---=n n dcdc b a ba bcdc d c b a b a ad22--=n D bc ad ）（.所以 422222)()(---=-=n n n D bc ad D bc ad D n n bc ad D bc ad )()(22-=-==- . （2） 2211--+=n n n D k D k D 类例11 计算带形行列式1111n D αβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=++.解 将n D 按第一行展开可得，211)(111)(----+=+++-+=n n n n D D D D αββαβααββααββααβαββα所以12()n n n D D D αβαβ--=+-，112n n n n D D D D αβαβ----=-， 112()n n n n D D D D αβα----=-，223()n n D D βα--=- …………332()n D D βα-=-.2233311αββαβαβααββααββα+++=+++=D αββαβααββα++=++=2221D 323βα=-D D333132()n n n n n D D D D αβαβββ----=-==，同理可得 1n n n D D βα--=，联立解得 1n nn D αβαβ--=-，因此 11n n n D αβαβ++-=-.11.构造代数方程组法当所求行列式是由几个元素组成的,若用曾经求解过的行列式作系数行列式,构造一个n 元线性方程组,所求行列式中可作为线性方程组解的组成部分.例12 计算 n nn nn n n n nnn a a a a a a a a a a a a D21222212222121111---=. 解 如果使用常规的方法,解这道题是非常复杂的,而且困难的是因为n D 不是范德蒙行列式,若我们用刚刚介绍的代数方程组法求解这道题就变得十分容易了,因为n D 类似于范德蒙行列式,我们构造一个n 阶的范德蒙行列式()∏≤<≤----==nj i i jn nn n n n a aa a a a a a a a a D 1112112222121111.于是当j i a a ≠时，比值DD n是线形方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---.,,121212221111211nn n n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 的解中的n x 值，又这个方程组x t x t x t n n n =-----121 可以看作是()是未知数t 有n 个根：n a a a ,,,21 .于是由高次方程与系数的关系有n n a a a x +++= 21， 因此，()()∏≤<≤-+++==nj i i jn n n a aa a a D x D 121 .12.数学归纳法数学归纳法多用于证明题.用数学归纳法计算n 阶行列式，需要对同结构的低阶行列式进行计算,从中发现规律并得出一般性结论,然后用归纳法证明其正确性.例13 证明αααααn cos cos 2100cos 210001cos 21001cos = .证明 第二数学归纳法.2=n 时,ααcos 211cos 2=D =αα2cos 1cos 22=-.结论成立.假设对级数小于n 的行列式,结论成立,则21cos 2---=n n n D D D α,由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n ,代入前一式得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D n=αααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---. 故对一切自然数n 结论成立.13.辅助行列式法辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同.解题程序1）在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ，使新行列式*D 除主对角线外，其余元素均为0；2）计算*D 的主对角线各元素的代数余子式);,,2,1(n i A ii = 3)∑-*-=nij ij A x D D 1 .例14 求下列n 阶行列式的值.111212112111 n n n D n ---=.解 在n D 的各元素上加上(1)-后，则有n n n n n nn n)1()1(000101001000)(D 2)1(-⋅-=---=-* ，又(1)1212,11(1)(1)n n n n n n A A A n ---====-⋅- ，其余的为零.故 ∑=*+=nj i ij n n A D D 1,)(=∑=+--+-⋅-ni i n i nn n A n 11,2)1()1()1(=12)1(2)1()1()1()1()1(----⋅⋅-+-⋅-n n n nn n n n n=1)1(2)1()1(--⋅--n n n n . 若知道辅助行列式法的解题程序，用此法就可轻松地解出此题.但根据该行列式的特点，我们也可以用加边法，把大部分元素化为零，再化为三角形行列式也可轻易解出该行列式.14.利用拉普拉斯展开法拉普拉斯定理的四种特殊情形1）0nn nn mm mnmmA ABC B =⋅2）0nn nm nn mm mm A C A B B =⋅3）0(1)nn mnnn mm mmmnA AB BC =-⋅ 4）(1)0nm nn mn nn mm mmC A A B B =-⋅例15 计算n 阶行列式n D ,其中aba b ab ab aa a a D nββββββββββββλ=.解 如果从第三行开始每一行都减去第二行,再从第三列开始每一列都加上第二列， 使行列式种更多的元素为零.先按上述分析对行列式进行变换βββββββββλ------=a aa a a a ab aa a a D n00000000βββββββλ----+-=a a a n a b aaaan00000000)2()1()2()2(2200000)2(1-⨯-⨯---⋅-+-=n n a a a n a ba n ββββλ）（2)()]1()2([--⋅---+=n a n ab n a ββλλ.15.利用范德蒙行列式例16 计算行列式1+n D ,其中111)()1()()1(1111---+----=n n n nnnn n a a a n a a a D .解 该行列式与范德蒙行列式类似,我们可以先利用行列式的性质把它变成范德蒙行列式在进行计算.通过相邻两行的交换,先把最后一行交换至第一行（交换n 次）,再将新的最后一行交换至第二行（交换1-n 次）继续下去,经过2/)1(-n n 次交换以后,原行列式变成范德蒙行列式.由范德蒙行列式的性质得nn n n n n n a a a na a a D )()1(1111)1(2)1(1-----=++=∏∏≤<≤≤<≤--=----ni j ni j n n j i j a i a 002)1()()]()[()1(.推论 （超范德蒙行列式法）超范德蒙行列式法就是考察1+n 阶范德蒙行列式)(x f ,利用行列式n D 与)(x f 中某一元素余子式的关系来计算行列式的方法.这种方法适用于n D 具有范德蒙行列式形式的题型.例17 计算行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=. 解 1+n 阶范德蒙行列式为)(x f =∏≤<≤-------=ni j j i n n nn nn n n n nnx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 12121112112222121)()())((111由分析知n D 就是行列式)(x f 中元素1-n x 的余子式1,+n n M ，即1,1,++-==n n n n n A M D （1,+n n A 为代数余子式）， 又由)(x f 的表达式及根与系数关系知)(x f 中1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+++-ni j j in x xx x x 121 .即1,+n n A =()()∏≤<≤-+++-ni j j in x xx x x 121 .所以 =n D ()()∏≤<≤-+++ni j j in x xx x x 121 .16.利用矩阵行列式公式引理 设A 为n m ⨯型矩阵，B 为m n ⨯型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有)det()det(AB E BA E m n ±=±.例18 计算下行列式的值.ba a a a ab a a a a a b a a a a a b a n n n n n ++++=321321321321D .解 令矩阵 A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=b a a a a a b a a a a a b a a a a a b a n n n n321321321321则可得A ),,,(11121321321321321n n n n n n n a a a bE a a a a a a a a a a a a a a a a bE⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n C B bE ⨯⨯+=11.其中 ()n n T n a a a C B ,,,,)1,,1,1(2111 ==⨯⨯， 那么根据上面所提到的引理可得111D ⨯⨯-+=+=n n n n n B C b b BC bE .又()∑=⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ni i n n n a a a a B C 12111111，故)(11b a bD ni i n n +=∑=-.17.利用方阵特征值与行列式的关系例19 计算下行列式的值 ba a a a ab a a a a a b a a a a a ba D n n n n n ++++=321321321321.解 令矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=b a a a a a ba a a a ab a a a a a ba A n n n n321321321321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a bE321321321321n n A bE +=，显然 ,n bE 的n 个特征值为b b b ,,, .而n A 的n 个特征值为0,,0,0,1∑=ni i a .故A 的特征值为11,,,,-=∑+n ni i b b b a b .由矩阵特征值与对应行列式的关系知)(11∑=-+==ni i n n b a bA D .18.乘以已知行列式例 20 计算行列式abc db a dc cd a bd c b aD ------=4. 解 直接计算这种行列式比较困难.所给行列式易于利用行列式乘法公式求得4424D D D '=，再确定4D 的符号即可求出4D .根据行列式的乘法公式有 4424D D D '==abc db a dc cd a b d c b a------ab c d b a d c cd a b d c b a ------=22222222222222220000000d c b a d c b a d c b a d c b a ++++++++++++=42222)(d c b a +++,所以4D = 22222)(d c b a +++±.根据行列式的定义可知,4D 的展开式中有一项为444332211)1234()1(a a a a a =-τ，故4D = 22222)(d c b a +++.19.递推方程组方法例21 求行列式的值xz zzy x z zyy x zyy y xD n = . (3) 解 从）（1的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，…，第1-n 列减第n 列，得,00000000000xxz y y x y y x x z y y x x z y y x D n -------=(4)上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是)(y x -乘一个1-n 阶行列式，这个1-n 阶行列式和（4）中的n 阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为1)(--n D y x ；展开的另一项是111)1(1)()()1(00000000000)1(--+-+-=--=-------n n n n n z x y x z y x z x z y x x z y x xz y故递推式,)()(11---+-=n n n z x y D y x D （5）若y z =，则上式化为,)()(11---+-=n n n y x y D y x D （6）类似地有;)()(;)()(223221y x y D y x D y x y D y x D n n n -+-=-+-=---又))((2y x y x xy yx x xy y yx D +-==--=. 故可对（4）式递推计算如下：11)()(---+-=n n n y x y D y x D=(y x -)[]122)()()(----+-+-n n n y x y y x y D y x =1332)(2])()[()(----+-+--n n n y x y y x y D y x y x =133)(3)(---+-n n y x y D y x])1([)()()2())(()()()2()(112122y n x y x y x y n y x y x y x y x y n D y x n n n n n -+-=--++--=--+-==-----上面得到原行列式当y z =时的值.下面讨论y z ≠的情形.把（5）的行列式的z y 与对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变.于是z y 与对调后，1,-n n D D 的值不变，这时（5）式变为11)()(---+-=n n n y x z D z x D （7）从（5）与（7）（递推方程组）消去1-n D ，即（3）式乘以z x -，（5）乘以)(y x -，相减得n n n y x z z x y D y x z x )()()]()[(---=---)()()(y z zy y x z z x y D nn n ≠----=当注: 当y z =时，行列式n D 也可以用极限计算zy y x z z x y nn y z ----→)()(lim(固定y ) 1)()(lim 1----⋅-=-→nn y z y x z x n y (用罗必达法则)])1([)()()(1y n x y x y x y x ny nn n -+-=-+-=-又行列式n D 当y z =时可以用余式定理来做.推广 其实上述行列式我们仅仅能看见主对角线相等的情况，那么对于主对角线不等的我们更进一步考虑用函数来解决.()()()()()x x x x x f ba a bfb af x bbba xb baa xb aa a x D n n--=--==1321其中，b a ≠. 证明 作()xx xb xb xb x a x x x b xb x a x a x x xb x a xa x a xx x D n ++++++++++++++++=321. 可见()()())(,b f b D a f a D =-=-，又据行列式的性质，可知()x D 是x 的一次多项式，所以可令()d cx x D +=，又因D D d ==)0(，所以)()(),()(b f D cb b D a f D ca a D =+-=-=+-=-.故()()ba a bfb af D --=.20.导数在计算行列式中的应用1.行列式的求导法则定理1 设)(x f ij （n j i ,,2,1, =）为可导函数，则有行列式求导法则)()()()(11111x f Vf M Mf V x f M M x f V x f dxdnn n in i n =∑=ni nn n in i n x f Vf M M f dx dV x f dx dM Mx f Vx f 111111)()()()(. 即行列式的导数是数个项之和，其项数等于行列式的阶数，第一项是把原行列式的第一行（或第一列）的各元变成相应的导数，其余各行（或列）不变。