行列式的几种计算方法与技巧

［ 分析］ 我们先把主对角线的数都减 １ ， 这样我们就可明显地看出第一行为 ｘ １ 与 ｘ １， ｘ ２，…，ｘ ｎ 相乘，第二行为 ｘ ２ 与 ｘ １ ， ｘ ２，…， ｘ ｎ 相乘，……，第 ｎ 行为 ｘ ｎ 与 ｘ １ ， ｘ ２ ，…，ｘ ｎ 与 相 乘 。这 样 就 知 道 了 该 行 列 式 每 行 有 相 同的因子 ｘ １ ， ｘ ２ ， …， ｘ ｎ ，从而就可考虑此 法。 解： （略） ［ 注意］ 加边法最大特点就是要找出每 行或每列相同的因子， 升 阶 后 ，就 可 利 用 行 列 式 的 性 质 把 大 部 分 元 素 化 为 零 ，然后 再化为三角形行列式， 这 样 就 简 化 了 计 算 果。 六、析因子法 对于元素均为个位整数的 ｎ 阶行列式 Ｄ ． 证明 Ｄ 可被某整数整除，一般证法为将 第 １ 列乘上 １０ ｎ－１ ，第 ２ 列乘上 １０ ｎ －２ ，…，第 ｎ － １ 列乘上 １ ０ ，都加到第 ｎ 列上，由第 ｎ 列 可被其数整除而证 Ｄ 可被整除。 例：已知 ２１９６，２３９４，１８００，１９８８ 能 被 １ ８ 整除，不计算行列式 Ｄ 的值，证明 Ｄ 可被 １ ８ 整除
科教论丛
行列式的几种计算方法与技巧
文⊙ 孙爱慧 （吉林师范大学数学学院 吉林四平）
摘要： 本文归纳研究了行列式的几种 计算方法， ． 通过这些方法能够提高我们对 行 列 式 的 认 识 ，这 将 对 以 后 的 学 习 带 来 一 定的帮助． 关键词： 行列式；三角形行列式；范德 蒙行列式 中图分类号：Ｏ １ ５ １ ． １ 行列式是讨论线性方程理论的一个有 力 工 具 ，在 数 学 的 许 多 分 支 中 有 着 极 为 广 泛 的 应 用 ，行 列 式 计 算 灵 活 多 变 ， 需要较 强的技巧． 常用方法如下： 一、定义法 应用 ｎ 阶行列式的定义计算其值的方 法， 称为定义法。 我们知道 ｎ 阶行列式 注：由于 ｎ 阶行列式 Ｄ 的 Ｋ 行所构造 的 Ｋ 阶子式有 Ｃ ｎ 个，此法对一般行列式能 降阶却不能减少计算量。 三、化三角形法 利用定义法可证上（下）三角形行列 式，对 角 形 行 列 式 的 值 都 等 于 主 对 角 线 上 元素之积。 即： 化三角形法是将原行列式化为上 （下）三角形行列式或对角行行列式计算 的 一 种 方 法 。这 是 计 算 行 列 式 的 基 本 方 法 的 重 要 方 法 之 一 。原 则 上 ，每 个 行 列 式 都 可利用行列式的性质化为三角形行列式， 但对于阶数高的行列式，在一般情况下， 计 算 往 往 较 繁 。因此，在 许 多 情 况 下 ，总 是先利用行列式的性质将其作为某种保值 变形，再将其化为三角形行列式。 应用行列式的性质， 造出元素“０ ”是 化 三 角 形 、对 三 角 形 行 列 式 的 关 键 。此法 计算一个 ｎ 阶数字式行列式要做次乘、除 法。当 ｎ 较大时，完全可以编程由计算机 计算。 例： 计算如下行列式的值
此时行列式的第 ４ 列 可被 １ ８ 整除， 所以 １ ８ 整除 Ｄ 。
参考文献 ［１］ 许甫华， 张贤科． 高等代数解题方法［Ｍ］．清 华大学出版社， ２ ０ ０ １ ： １ ４ ７ — １ ６ ２ ［２］ 北大数学系．高等代数［Ｍ］北京高等教育出 版社，１９８８ 年 １１ 月：５５ — ７ ４ ［３］ 赵凯宏． ｎ 阶行列式的计算方法［Ｊ］． 玉溪 师范学院学报 ， ２ ０ ０ ３ ， （ ０ ６ ） ．
解：２ ， １ ０ 加到第 ４ 列上得：
其中 Ａ ｉ ｊ 为 Ｄ 中的元素 ａ ｉ ｊ 的代数余子 式． 行 列 式 按 一 行（列）展 开 能 将 高 阶 行 列 式 转 化 为 若 干 个 较 低 阶 行 列 式 计 算 ，此 为 降 阶 法 ，这 是 一 种 计 算 数 字 行 列 式 的 常 用 方 法 ，值 得 注 意 的 是 在 使 用 时 应 先 用 行 列 式 的 性 质 将 某 行（列）元 素 尽 可 能 多 的 消成零，然后再展开，计算才能更方便，对 一些特殊构造的行列式可利用拉普拉斯定 理降阶计算。 例：计算：
证明：将 １ ，２，３ 列分 ［ 分析］ 显然若直接化为三角形行列式 计 算 很 繁 ，所 以 我 们 要 充 分 利 用 行 列 式 的 性质． 注意到从第 １ 列开始；每一列与它一 列中有 ｎ － １ 个数是差 １ 的，根据行列式的 性质，先从第 ｎ － １ 列开始乘以 － １ 加到第 ｎ 列，第 ｎ － ２ 列乘 － １ 加到第 ｎ － １ 列，一直 到第一列乘以 － １ 加到第 ２ 列． 然后把第 １ 行乘以 － １ 加到各行去，再将其化为三角 形行列式，则计算简化了。 解： （略） 四、化三角形法递推法 利用行列式的性质，将给定的 ｎ 阶行 列式变成具有相同结构的较低阶的行列式 表示（即寻找递推关系式） ，然后由递推关 系 式 及 某 个 低 阶 初 始 行 列 式（ 比 如 二 阶 或 一阶行列式）的值，使可递推求得所给 ｎ 阶 行 列 式 的 值 ，这 种 计 算 行 列 式 的 方 法 称 为递推法。 用此方法一定要看到行列式是否具有 较 低 阶 的 相 同 结 构 如 果 没 有 的 话 ，即很难 找出递推关系式，从而不能使用此方法。 五、化三角形法升阶法（加边法） 有些行列式适当地升高一阶反而易求 其值，这种方法称为升阶法，又称加边法。 一般说来此法为保持行列式值不变的 情 况 下 增 加 一 行 一 列（ 增 加 的 一 行 一 列 的 元素一般由 １ 和 ０ 组成）以利于计算。当 然加边法不是随便加一行一列就可以了， 那么加边法在何时才能应用呢？关键是观 察每行或每列是否有相同的因子。如下 题： 例：计算 ｎ 阶行列式：
表示对所有 ｎ 阶排列求和，由定 义可知 ｎ 阶行列式的展开式有 ｎ ！ 项，计算 量 很 大 ，一 般 情 况 下 不 用 此 法 ， 但 如 果 行 列 式 中有许多零元素， 可 考 虑 此 法 。值得 注 意 的 是：在 应 用 定 义 法 求 非 零 元 素 乘 积 项时，不 一 定 从 第 一 行 开 始 ， 哪 行 非 零 元 素最少就从哪行开始。不举例说明了。 二、定义法按行（列）展开法（降阶 法） Ｎ 阶行列式 Ｄ 等于它的任何一行（列） 各 元 素 与 其 对 应 代 数 余 子 式 乘 积 的 和 ，即