2016全国高中数学联赛试题及评分标准
2016年全国高中数学联合竞赛试题(A卷)与答案
币和 3 张 1 元纸币. 现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸
币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为
.
解答
A 中取出两张纸币的方法数 C32 + C21C31 + C22 = 10，对应面值之和为 2, 11, 20； B 中取出两张纸币的方法数 C32 + C41C31 + C42 = 21，对应面值之和为 2, 6, 10. 于是仅当 A 中取出两张纸币对应面值之和为 2 时满足题意.
|P F1| − |P F2| = |QF1| − |QF2|
⇒ |QF1| − |P F1| = |QF2| − |P F2|
⇒ |QB| − |P A| = |QF2| − |P F2|
⇒ |QD| − |P D| = |QF2| − |P F2|
⇒ |QD| − |QF2| = |P D| − |P F2|
.
解答
由于 (z + w)(z − w) = zz − ww −(zw − zw) = |z|2 −|w|2 − (zw − zw)
|z|2 − |w|2 = 7, 9 − |w|2 = 7,
|w|2 = 2,
= 7 + 4i ⇒ zw − zw = −4i ⇒ zw − zw = −4i ⇒ zw − zw = −4i,
⇒ −|DF2| = |DF2| ⇒ D 与 F2 重合.
注意到点 P 在以 F1F2 为直径的圆上，不妨
设点 P x在2 −第y一2 象=限1,，
Байду номын сангаас
x2
=
7 ,
联立
3
x2 + y2 = 4
⇒
y2
2016全国高中数学联赛江苏省预赛试题及答案word
2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛一、填空题（每小题7分，共70分））1.关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ，则ab 的值是 -3。
2.从1, 2,3.4.5.6.7.8. 9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率。
4/93.已知()x f 是周期为4的奇函数且当()2,0∈x 时()60162+-=x x x f ,则()102f 的值是。
-364.己知直线l 是函数()2ln 2x x x f +=图象的切线，当的斜率最小时l 的方程是。
034=--y x5.在平面直角坐标系XOY 中，如果直线l 将圆04222=--+y x y x 平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取位范围是。
[]2,06.己知等边△ABC 的边长为2,若()BC AP AQ AC AB AP 21,31+=+=,则△APQ 面积是。
337.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点P 在棱BC 上，点Q 为棱CC1的中点.若过点A,P .Q的平面截该正方体所得的截面为五边形.则BP 的取值范围为。
⎪⎭⎫ ⎝⎛1,218.己知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为1d 的等差数列，偶数项依次构成公差为2d 的等差数列.且对任意,*∈N n 都有.1+<n n a a 若,2,121==a a 且数列{}n a 的前10项和,7510=S 则=8a 119.己知正实数y x ,满足()()162222=+++x y y x 则=+y x 。
410.设M 表示满足下列条件的正整数n 的和:n 整除22016，且2016整除2n .那么M 的所有不同正因子几的个数为。
360二、解答题（每小题20分，共80分））11.已知,2,0,1235cos 1sin 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=+πθθθ求θtan 。
3/4或4/312.如图，点P 在△ABC 的边AB 上且 AB=4AP ，过点P 的直线MN 与△ABC 外接圆交于点M, N ，且点A 是弧M N 的中点.求证：(1)△ABN ≈△ANP 。
2016年全国高中数学联赛复赛（2）
2016年全国高中数学联赛复赛（2）2016 年全国高中数学联赛复赛复赛参考答案与评分细则一试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．已知集合 A＝{(x，y)|(x－2)2＋(y－1)2≤1}，B＝{(x，y)| 2|x－1|＋|y－1|≤a}，A B，则实数a的取值范围是．解：画图可知，要使 A B，则a＞0，且点(2，1)到直线2x＋y－3－a＝0的距离不小于1，|2－a|≥1，解得a≥2＋ 5，故 a 的取值范围是[2＋ 5，＋∞)．即 52．若不全相等的三个实数 a，b，c 满足 a ＋b ＋c ＝3abc，则 a ＋b＋c＝．3 3 3解：由a＋b＋c－3abc＝(a＋b)＋c－3a b－3ab －3abc3 3 3 3 3 2 2＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝2(a＋＋c)[(a－b)＋(b－c)＋(c－a) ]＝．1 2 2 2因为a，b，c为不全相等的三个实数，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c －a)2≠0，所以a＋b＋c＝0．3．已知 a，b 是实数．若二次函数 f(x)＝x ＋ax＋b 满足 f(f(0))＝f(f(1))＝0，且f(0)≠f(1)，2则f(2)的值是．解：由题设，f(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b是方程f(x)＝0的根，故x2＋ax＋b≡(x－b)(x－(1＋a＋b))，1即a＝－1－a－2b，b＝b(1＋a＋b)，解得a＝－2，b＝0．所以f(2)＝3．4．若小张每天的睡眠时间在 6 小时至 9 小时之间随机均匀分布，则小张连续两天平均睡眠时间不少于7小时的概率是．解：设小张连续两天睡眠的时间分别为x小时和y小时，x，y∈[6，9］，D C将可能出现的事件记作(x，y)， F其对应坐标平面中正方形ABCD边及其内的点． A E B 小张连续两天平均睡眠时间不少于7 小时，即x＋y≥14，(x，y)对应五边形 EBCDF 边及其内的点．S △AEF2 7因此所求事件的概率 1－S 正方形ABCD ＝1－9＝9．215．已知函数f(x)＝log a (ax －x ＋2)在区间 [1，2]上的值恒正，则实数a 的取值范围是．21解：当 a ＞1 时，函数 f(x)＝log a (ax －x ＋2)在区间［1，2］上单调递增，3故 f(1)＞0，即 a ＞2．121当2＜a ＜1 时，函数 f(x)＝log a (ax－x ＋2)在区间［1，2］上单调递减，51 5故 f(2)＞0，即 a ＜8，所以2＜a ＜8．11当 0＜a≤2时，则 a －1＋2≤0，即当 x ＝1 时，f(x)无意义．1 5 3所以 a 的取值范围为(2，8)∪(2，＋∞)．6．已知复数 z 1，z 2 满足|z 1＋z 2|＝20，|z 12＋z 22|＝16，则|z 13＋z 23|的最小值为．解：由|z 13＋z 23|＝|z 1＋z 2|·|z 12－z 1z 2＋z 22|3 2 2 12＝20×| 2(z 1 ＋z 2 )－2(z 1＋z 2) |3 2 ＋z 2 2 1 2≥20×| 2|z 1 |－2|z 1＋z 2| ||＝3520．而当 z 12＋z 22＝16，z 1＋z 2＝20，即 z 1＝10＋2 23i ，z 2＝10－2 23i 时，可取得等号．所以|z 13＋z 23|最小值为 3520．7．正四面体的棱长为 2 6，以其中心 O 为球心作球，球面与正四面体四个面相交所成曲线的总长度为4π，则球 O 的半径是．解：设球 O 的半径为 R ．若正四面体一个面截球如图（甲），则小圆周长为π，1所以小圆半径为2．21 25（第题图甲）又球心到四面体的面的距离为 1，故 R ＝ 1 ＋(2) ＝ 2 ；若正四面体一个面截球如图（乙），记 D 为 AC 的中点．由题意知，弧AB πO 1长为 3．π设小圆 O 1 的半径为 r ，则∠AO 1B ＝3r ．C2π1π π又∠BO C ＝ 3 ，∠AO D ＝2(∠BO C －∠AO B)＝3－6r ，O D ＝2，（第题图乙）π π 2所以 cos(3－6r )＝ r ． (*)π π2 ππ π 2令 f(r)＝cos(3－6r )－ r ，则f ′(r)＝－6r 2·sin(3－6r )＋ r 2 ＞0，故函数f(r)在(0，＋∞)单调增，且最多有一个零点，而f(2)＝0，所以方程(*)有唯一解 2，从而 R ＝ r 2＋1＝5．所以球 O 的半径是 25或 5．8．在8×6 的方格表中，每个方格被染上红，蓝，黄，绿四种颜色之一．若每个2×2 的子方格表包含每种颜色的格都是1 个，则称之为“均衡”的染法．则所有不同的“均衡”的染法有种．解：“均衡”染法如图．若第一个2×2 的子方格表中 4 格分别染①，②，③，④色，则第 3 列上面两格只能染①，③色．若第 3 列第 1 格染③色，则第 3 列第 2 格染①色，然后第 3行第 2 格中只能染②色，第 3 行第 1 格中只能染①色，第 3行第 3 格中只能染③色，……，如此类推，则在“均衡”① ② ③③ ④ ①① ② ③的染法中，每列（或每行）中仅有两色交错出现，且其相邻的两列（或行）中另两色交错出现．当每列中两色交错出现时，第一列选两色，然后C 2·28C 2·26每列选首色，共有4 种染法；当每行中两色交错出现时，同理有4 种染法；重复A 4=24 C 2·28 C 2·26 24 1896的情况有 4 种，故不同的染法种数有 4 ＋ 4 －＝．二、解答题（本题满分 16 分）已知函数 f(x)＝ax －bx 2，其中 a ，b 为正数．（1）若对任意x ∈R ，都有f(x)≤1，证明a≤2 b ；（2）当 b ＞1 时，证明：对任意x ∈［0，1］，｜f(x)｜≤1 成立的充要条件是 b －1≤a≤2 b ．证明：（1）因为f(x)≤1 恒成立，所以 f(x)max ＝f( a)＝a · a －b ·a 22≤1，2b 2b4ba 2即4b ≤1．因为 b ＞0，所以 a 2≤4b ，即a≤2 b ．…………………… 5 分（2）(i)必要性：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1，。
2016年全国高中数学联赛（B卷）一试试题及答案
12016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为．的值为．2.设{}|12A a a =-££，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =Î+³的面积为．的面积为． 3.已知复数z 满足22z z z z +=¹（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为．的所有可能值的积为．4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为．的值为．5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．盒子的概率为．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为．的方程为．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为．所成角的余弦值为．8.设正整数n 满足2016n £，且324612n n n n ìüìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a 的值．的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ×+×=×（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．成立．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：满足：（1）221,1,2,,2016k k x y k +== ； （2）122016y y y +++ 是奇数．是奇数． 求122016x x x +++ 的最小值．的最小值．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <£三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，的重心，点点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ^^证明：AG 平分.PAQ Ð四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =ι求B 的元素个数的最小值．素个数的最小值．QGP D CBA2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为．的值为．答案：6． 解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.a a += 另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因又因()()()()()22252132********2223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=×+×+=+××+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =-££，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =Î+³的面积为．的面积为． 答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为如图中阴影部分所示，其面积为 133227.2MRS MNPQ S S -=´-´´=正方形3.已知复数z 满足22z z z z +=¹（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为．的所有可能值的积为． 答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+Î由22z z z +=知，知，222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ¹知0b ¹，从而有，从而有230,a +=即32a =-，进而23.2b a a =±+=±于是，满足条件的复数z 的积为3333i i 3.2222æöæö-+--=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为．的值为．答案：2016.解：由条件知解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +=++= ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知，结合①知，()()()()22400 2.f g f g --=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =´=另解：因为另解：因为()()391x f x g x x +=++， ① 所以所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以对称，所以()()2.f x f x =- ③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x éù-++=-++ëû，从而，从而()()2 4.g x g x =--- ④ 将③、④代入①，再移项，得将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++ ⑤ 在⑤式中令0x =，得，得()()22 6.f g -= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．盒子的概率为．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为 223560.C P ´=过所求的概率为6012.12525p ==6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为．的方程为．答案：2450.x y -+=解：12,C C 的标准方程分别为的标准方程分别为()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++-=-由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a =->解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O -直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M æö-ç÷èø，由此可得直线l 的方程是2450.x y -+= 7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为．所成角的余弦值为．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OV的方向为,,x y z 轴的正向，建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V ---- 由条件知111112,,,,,222333M N æöæö--ç÷ç÷èøèø，因此，因此311442,,,,,.222333AM BN æöæö==-ç÷ç÷èøèø 设异面直线,AM BN 所成的角为q ，则，则 111cos .111122AM BNAM BNq ×-===×´V DN yxOzMCB A8.设正整数n 满足2016n £，且324612n n n n ìüìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．的最大整数．解：由于对任意整数n ，有，有135113,2461224612n n n n ìüìüìüìü+++£+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ等号成立的充分必要条件是()1mod12n º-，结合12016n ££知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =-= 共有168个．个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()m o d x y m º，则.x y m m ìüìü=íýíýîþîþ这是因为，当()mod x y m º时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++ìüéùéùéùéùìü=-=-=+-+=-=íýíýêúêúêúêúîþëûëûëûëûîþ因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n º时，时，11112222.2461224612n n n n n n n n ìüìüìüìüìüìüìüìü+++=+++íýíýíýíýíýíýíýíýîþîþîþîþîþîþîþîþ容易验证，当正整数满足112n ££时，只有当11n =时，等式324612n n n n ìüìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ才成立．而201612168=´，故当12016n ££时，满足324612n n n n ìüìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分）分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程是方程()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a 的值．的值．解 对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.k ka a --=因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t --=的两个不同实根，从而的两个不同实根，从而 ()505150511lg lg lg ,100a aaa =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()501501001210050511010.a a a a a æö===ç÷èø10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ×+×=×（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．的最小值．解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB AC cb A +-×==同理得，222222,.22a c b a b c BA BC CA CB +-+-×=×= 故已知条件化为故已知条件化为 ()()22222222223,b c a a c b a b c +-++-=+-即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得）由余弦定理及基本不等式，得()2222222123cos 2222,36363a b a b a b c C ab ab a b a b b a b a +-++-===+³×=等号成立当且仅当::3:6: 5.a b c =因此cos C 的最小值为2.311.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．成立．解 过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C 交于点()()2200,1,,1P a a Q a a ---（注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S -由条件知20000212a PQ R S -===，解得 2.a = 这意味着符合条件的a 只可能为 2.下面验证2a =符合条件．符合条件．事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，中有某条直线斜率不存在时，则可设则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设的斜率都存在，不妨设()()()121:2,:20,l y k x l y x k k=-=--¹注意这里1k ¹±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）．联立1l 与C 的方程知，()222210,x kx ---=即()2222122210,kx k x k ----=这是一个二次方程式，其判别式为2440k D =+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,R S 由弦长公式知，由弦长公式知，2222244112.11k k PQ k k k++=+×=×--用1k-代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k --+-+=×=---于是.PQ RS =综上所述，2a =为符合条件的值．为符合条件的值．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +== ； （2）122016y y y +++ 是奇数．是奇数． 求122016x x x +++ 的最小值．的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k kx y k ££= 于是（注意0i x ³）()2016201620162016201622211111120162016.kkkk k k k k k k x xyy y =====³=-=-³-ååååå① 不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>£££ 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+£-£-åå若11m k k y m =>-å，并且201612015,k k m y m =+->-å令2016111,2015,mk k k k m y m a y m b ==+=-+-=-+åå则0,1,a b <<于是于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=-+--+=-+-ååå由条件（2）知，20161k k y =å是奇数，所以a b -是奇数，这与0,1a b <<矛盾．矛盾．因此必有11mk k y m =£-å，或者201612015,k k m y m =+-£-å则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=-£ååå于是结合①得201611.kk x=³å又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ========== 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++ 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <£证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<£是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<£是偶数，则,2A B n =Æ 的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A Î，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k £，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k £，即2d B Î，故.A B £反过来，对d B Î，设2d d ¢=，则|d n ¢，d ¢是奇数，又2kd k ¢£<，故,d A ¢Î从而.B A £ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立． 三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，的重心，点点,P Q 在直线BD上，使得,.GP PC GQ QC ^^证明：AG 平分.PAQ Ð解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，点G 在线段AC 上．上．由于90GPC GQC Ð=Ð=，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知圆．由相交弦定理知QGP D CBAGMQPOD CBAPM MQ GM MC ×=× ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有故有1,2OC GC AG ==因此,G O 关于点M 对称．于是对称．于是.GM MC AM MO ×=× ②结合①、②，有PM MQ AM MO ×=×，因此,,,A P O Q 四点共圆．四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO Ð=Ð，即AG 平分.PAQ Ð四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =ι求B 的元素个数的最小值．素个数的最小值．解：先证明17.B ³考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．中没有负数．设1211a a a <<< 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ³>于是于是 1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ³情况二：A 中至少有一个负数．中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设中的全部负元素．不妨设 110,l k c c b b <<<£<<其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ³，故 6.k ³于是有于是有 111212,k k l k c b c b c b c b c b >>>>>>它们是B 中的110k l +-=个元素，且非正数；又有个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<<它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ³+=由此可知，17.B ³另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =-±±±±±-是个17元集合．元集合． 综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。
全国高中数学联赛江苏赛区2016年初赛试题答案
2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛考试时间：2016年5月8日（星期日） 上午8∶00－10∶00试题构成：解题建议：试题正文与答案：一、填空题（每小题7分，共70分）1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<，则ab 的值是． 解析 由题设0b >，不等式x a b +<等价于a b x a b --<<-+，从而24a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，所以3ab =-．故填3-．2．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是．解析 取出两数之和为偶数（两数均为奇数或均为偶数）的概率为225429C C 4C 9+=．故填49． 3．已知()f x 是周期为4的奇函数，且当()0,2x ∈时，()21660f x x x =-+，则(f 的值是．解析<，即67<，所以()80,2-，所以(()8f f =(836f =--=-．故填36-． 评注 因为()()284f x x =--或()()1660x f x x =-+．(()2888436f --=-=-+-或(()8886036f ⎡⎤--=---+=-⎣⎦．学会观察，选用合适的方法进行计算． 4．已知直线l 是函数()22ln f x x x =+图象的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是． 解析 由题意从而()224f x x x+'=…，当且仅当1x =时等号成立． 所以直线l 的斜率最小值为4，此时切点为()1,1，切线方程为430x y --=．故填430x y --=． 5．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是．解析 圆的标准方程为()()22125x y -+-=，由题设直线l 过点()1,2，其方程为()21y k x -=-，即2y kx k =+-，注意到l 不经过第四象限，则020k k ⎧⎨-⎩……，解得02k 剟．故填[]0,2． 6．已知等边ABC △的边长为2，若()13AP AB AC =+ ，12AQ AP BC =+，则APQ △的面积是．解析 由()13AP AB AC =+ 得点P 是等边三角形ABC的中心，所以AP =， 又由12AQ AP BC =+ 得12PQ BC = ，且AP PQ ⊥，因此APQ △的面积为3．故填3．2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛JC2016T06D评注 若找不到方向，此题也可以建系考查．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在棱BC 上，点Q 为棱1CC 的中点．若过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP 的取值范围为．解析 先作出基本图形如下图左所示，假设能构成五边形， 我们需要通过延长和连线的作图方法法得到相应的交点，如下图右所示，连接AP 与CD 的延长线交于点W ，连接WQ 并延长与11C D 交于R ， 则R 是所截五边形的第三个顶点． （注：作图方法不唯一）JC2016T07D通过同样的方法，可以作出其余的点，如下图所示，JC2016T07D若存在这样的五边形，则每个顶点都存在， 设BP t =，通过相似可以得11tRC CW t-==， 从而只需01101t t t <<⎧⎪-⎨<<⎪⎩，解得112t <<．故填1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．BCQ PQ ABCDA 1B 1C 1D 1D 1C 1B 1A 1DC BAQ PR WWAA评注如下图所示，由于是正方体，也可采用极端思想，需要几何动态的观点．JC2016T07D当点为BC 中点时，有1PQ AD ∥，即12BP =时，截面为四边形1APQD ； 当P 移向C 时，W 远离C ，X 点向D 点靠拢，此时可形成五边形， 即当102BP <<时，截面为四边形；当112BP <<时，截面为五边形． 因此BP 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故填1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 8．已知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为1d 的等差数列，偶数项依次构成公差为2d 的等差数列，且对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<． 若11a =，22a =，且数列{}n a 的前10项和1075S =，则8a =．解析 分析知()()10121251075S a a d d =+++=，即126d d +=， 从此点无法解决根本，按照题目的设想，可求出12,d d ． 首先，可以得到该数列的奇偶项表达式（分段通项）， 设*n ∈N ，则()21111n a n d -=+-，()2221n a n d =+-，其次，因为对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<，即只需满足21221n n n a a a -+<<（或22122n n n a a a ++<<），因此()()()121112111n d n d n d +-+-++<<对*n ∈N 恒成立，分析左边，若需()()1211n d d --<，则必须满足120d d -…◆；分析右边，若需()()12111n d n d -->+，即()121215n d d d d ->--=-， 则必须满足120d d -… ． 因此分析得12d d =．最后，123d d ==，822311a a d =+=．故填11．评注◆若不然，若120d d ->，则令()()1211n d d --=，解得1211n d d =+-，X ()D 1C 1B 1A 1DCB AQ PW2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛若令012111n d d ⎡⎤=++⎢⎥-⎣⎦，则有()()01211n d d -->与题意矛盾．的理由同 类似．事实上，在解决问题“不等式210ax ax ++…对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．”的时候，就没将问题讲清楚，而是直接根据主观论断，否定0a <的情形，本质上否定就是寻找一个0x ，使得20010ax x ++<，这跟函数的零点以及单调性有关．①当0a =时，10…恒成立，符合题意； ②当0a >时，只许满足2040a a a >⎧⎨∆=-⎩…，从而04a <…； ③当0a <时，易知240a a ∆=->，易知方程210ax ax ++=的两根为1x =2x =，又()21f x ax ax =++对称轴12x =-，所以在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增， 又1212x x <-<，()10f x =，所以01x x ∃<， 使()()2000110f x ax x f x +<+==，与题意矛盾．综上所述：实数a 的取值范围是[]0,4．这种思想与高考卷或模拟卷中找寻零点个数或极值点（变号零点）个数的思想是一致的． 9．已知正实数,x y 满足()()222216x y yx+++=，则x y +=．分析 ,x y 若不是以整体x y +的形式求出，则必定分别求出，这类问题涉及到对代数式变形． 解析 解法一：将题设条件式通分并整理，得()()2222160x x y y xy +++-=，整理得()()()2222280x x y y x y -+-+-=，因此2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法二：因为为,x y 正实数，所以()()22228816x y x yyxy x++=++…816⋅=…， 等号成立的条件为2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法三：因为()()()22222416x y x y yxx y++++=++…，所以()()()216816x y x y x y +++++…，即()240x y +-…，所以4x y +=．故填4．解法四：由()()2222x y yx+++224444x y x y yx y x y x ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12244442416x y y x y x ⎛⎫⨯⋅⋅⋅+⨯= ⎪⎝⎭…，等号成立的条件是2x y ==，所以4x y +=．故填4．评注常见的不等式链“调和平均数n H …几何平均数n G …算术平均数n A …幂平均数n Q ”， 简记为调几算幂，设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个正实数，则1212111n nna a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+?． 10．设M 表示满足下列条件的正整数n 的和：n 整除22016，且2016整除2n ，那么M 的所有不同正因子的个数为．解析 因为22016n ，22016n ，所以n 与2016的素因子相同，而522016237⋅⋅=，故可设52237n =⋅⋅．这样我们由题设条件可得1042x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………，且252221x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………，从而有3101412x y z ⎧⎪⎨⎪⎩剟剟剟， 故()()()34102342222333377M =++⋅⋅⋅+⋅+++⋅+()3822134056=⋅-⋅⋅⋅333255132527=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅922235717=⋅⋅⋅⋅，所以，M 的所有不同正因子的个数为()()()()()9121211111360+++++=．评注 算术基本定理：若不计素因数的次序，则每一个大于1的整数n 都可以唯一分解成素因数乘积的形式，即1212k knp p p ααα= ，其中12,,,k p p p 均为素数，12,,,k ααα 为自然数．有结论如下：（1）n 的约数个数为()()()()12111k f n ααα=++⋅⋅⋅+； （2）n 的所有约数之和为()()()12222111222111k k k k p pp p p p p p p ααα+++++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++++ ； （3）欧拉（Euler ）函数()n ϕ表示不大于n 且与n 互质的数的个数为()12111111k n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知1135sin cos 12θθ+=，0,2θ⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan θ． 解析 解法一：由题设知()12sin cos 35sin cos θθθθ+=，令sin cos t θθ+=，则(t ∈，且21sin cos 2t θθ-=，则2112352t t -=⨯，即23524350t t --=，解得75t =或57t =-（舍），即有7sin cos 5θθ+=，12sin cos 25θθ=． 所以4sin 5θ=，3cos 5θ=或3sin 5θ=，4cos 5θ=，从而4tan 3θ=或34． 解法二：由题设可得222351112sin cos θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22112sin cos sin cos θθθθ=++()222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ+++=++ ()222211tan 2tan tan tan θθθθ+=+++211tan 2tan tan tan θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 注意到tan 0θ>，解得125tan tan 12θθ+=（舍负），进一步解得4tan 3θ=或34． 12．如图，点P 在ABC △的边AB 上，且4AB AP =，过点P 的直线MN 与ABC △的外接圆交于点,M N ，且点A 是弧MN 的中点． 求证： （1）ABN ANP △△∽； （2）2BM BN MN +=．JC2016T10解析 （1）因为点A 是弧MN 的中点，所以AMN ANM ∠=∠， 又AMN ABN ∠=∠，所以ABN ANP ∠=∠，又因为BAN NAP ∠=∠，所以ABN ANP △△∽． （2）由（1）知，AB AN BNAN AP NP==，又4AB AP =， 所以2AN AP =，从而2BNNP=，即2BN NP =， 同理2BM MP =．所以2BM BN MN +=．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线C交于,A B 两点． 若OF AB FA FB ⋅=⋅，求双曲线C 的离心率e ．解析 解法一（参数方程法）：因为双曲线C 的右焦点F 的坐标为(),0c ，设直线l 的倾斜角为α， 则直线l 的方程即为cos sin x c t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．代入双曲线方程，并整理得()222224cos 2cos 0c atb c t b αα-+⋅+=，则有412222cos b t t c a α=-，12t t -=22222cos ab c a α=-， 因为OF AB FA FB ⋅=⋅，则有242222222cos cos ab c b c a c aαα=--， 从而22ac b =，即2210e e --=，因为1e >，故1e =解法二（普通计算法）：①当AB 斜率不存在时，由OF AB FA FB ⋅=⋅得2222b b c a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+②当AB 斜率存在时，设斜率为k ，记()11,A x y ，()22,B x y ，则由OF AB FA FB⋅=⋅，得122x x x -=--，即()2121212c x x c x x x x -=-++．()222222y k x c b x a y a b⎧=-⎨-=⎩，消y 整理得()2222222222220b a k x a ck x a c k a b -+--=， 故()()()2222222222224a ckb a k ac k a b ∆=+-+()2222422244a b c k a b k a b =-+()242244a b k a b =+2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛且222221221222222222a ck a k a c k a x x b k x x b b a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，由()2121212c x x c x x x x -=-++，得222c b a k=-，整理得= 从而2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+14．已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值λ．若九个内角中有一个角等于120︒，试求常数λ的值．解析 九个内角中任选5个，记为12345,,,,x x x x x ，其余4个记为1234,,,y y y y ， 由题意123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos x x x x x y y y y λ=++++++++， 且123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos y x x x x x y y y λ=++++++++， 所以1111sin cos sin cos x y y x +=+，即1111sin cos sin cos x x y y -=-，()()114545x y -︒=-︒，即11y x =或114545180y x -︒+-︒=︒，即有11y x =或11270y x =︒-．设1120y =︒，由内角的任意可交换性可知，九个角的度数只有两种：120︒和150︒． 设有k 个120︒，9k -个150︒，则由内角和公式知()()120915092180k k ⋅︒+-⋅︒=-⋅︒， 解得3k =．所以5sin150cos1503cos1201λ=︒+︒+︒=-．。
2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案
2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分） 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24aa +的值为．答案：6． 解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.aa +=另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因()()()()()22252132********2223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而24a a+>，从而24 6.aa +=2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.2MRSMNPQS S -=⨯-⨯⨯=正方形3.已知复数z 满足22z z z z+=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ．答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =-，进而23b a a =+=于是，满足条件的复数z 的积为3333 3.22⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391xf xg x x +=++，则()()22f g 的值为 ．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +=++= ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知，()()()()22400 2.f g f g --=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =⨯= 另解：因为()()391x f x g x x +=++， ①所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以()()2.f x f x =- ③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x ⎡⎤-++=-++⎣⎦，从而()()2 4.g x g x =--- ④将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++ ⑤在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g = 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ． 解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ⨯=过所求的概率为6012.12525p == 6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C xy a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C xy x ay ++-+=则直线l 的方程为 ．答案：2450.x y -+=解：12,C C 的标准方程分别为 ()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++-=-由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a=->解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O -直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此可得直线l 的方程是2450.x y -+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN=，则异面直线,AM BN所成角的余弦值为 ．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OVu u u r u u u r u u u r 的方向为,,x y z 轴的正向，V DN yxOzMCBA建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V ----由条件知111112,,,,,222333M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此 311442,,,,,.222333AM BN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则111cos 112AM BN AM BNθ⋅-===⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数． 解：由于对任意整数n ，有 135113,2461224612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++≤+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡-，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =-=L 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧⎫=-=-=+-+=-=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=+++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭才成立．而201612168=⨯，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分） 9.（16分）已知{}na 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a L 的值．解 对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.kka a --=因此，5051lg ,lg aa 是一元二次方程210020tt --=的两个不同实根，从而()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.aa =由等比数列的性质知，()501501001210050511010.a a aa a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭L 10.（20分）在ABC中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB AC cb A +-⋅==u u u r u u u r 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +-+-⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 故已知条件化为()()22222222223,b c a a c b a b c +-++-=+-即22223.ab c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得()2222222123cos 2223636a b a b a b c C ab ab a b a b b a b a +-++-===+≥⋅等号成立当且仅当::36 5.a b c =因此cos C 的最小值211.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C的方程为221xy -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解 过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C 交于点((22001,,1P a a Q a a ---（注意这里1a >），2l 与C交于点()()001,0,1,0,R S -由条件知20000212a PQ R S -===，解得 2.a =这意味着符合条件的a 2.下面验证2a事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:2,:20,l y k x l y x k k==-≠ 注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l与C 只有一个交点）． 联立1l 与C 的方程知，(222210,x k x ---=即()2222122210,k x k x k ----=这是一个二次方程式，其判别式为2440k∆=+>．故1l与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2222244112.11k k PQ k k k ++=+=⋅--用1k-代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k --+-+=⋅=---于是.PQ RS =综上所述，2a =加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x L 和实数122016,,,y y yL 满足：（1）221,1,2,,2016kk xy k +==L ；（2）122016y yy +++L 是奇数．求122016x xx +++L 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,kk xy k ≤≤=L 于是（注意0ix ≥）()2016201620162016201622211111120162016.kkkkk k k k k k x xy yy =====≥=-=-≥-∑∑∑∑∑ ① 不妨设112016,,0,,,0,02016,mm y yy y m +>≤≤≤L L 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤-≤-∑∑若11m kk ym =>-∑，并且201612015,kk m ym =+->-∑令 2016111,2015,mkk k k m ym a y m b ==+=-+-=-+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=-+--+=-+-∑∑∑由条件（2）知，20161kk y =∑是奇数，所以a b -是奇数，这与0,1a b <<矛盾． 因此必有11m kk ym =≤-∑，或者201612015,kk m ym =+-≤-∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=-≤∑∑∑于是结合①得201611.kk x=≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x xx x y y y y ==========L L 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++L 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤ 证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅I 的不超过k 的正约数的集合是.A B U 若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d '=，则|d n '，d '是奇数，又2k d k '≤<，故,d A '∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠Q GPDBA 解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，GM Q PODB A点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠=o，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知 .PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OC GC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<<L 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<L L 上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b L 是A 中的全部非负元素，12,,,lc c c L 是A 中的全部负元素．不妨设110,l kc c b b <<<≤<<L L 其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l kc b c b c b c b c b >>>>>>L L 它们是B 中的110k l +-=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+= 由此可知，17.B ≥另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =-±±±±±-L 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。
2016年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及答案
2016年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分 1．设实数a 满足||1193a a a a <-<，则a 的取值范围是2．设复数w z ,满足3||=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，w z ,分别表示w z ,的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为3．正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为 4．袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 5．设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC ∠=90°，M 为AP 的中点．若AB =1，AC =2，2=AP ，则二面角M —BC —A 的大小为6．设函数10cos 10sin)(44kxkx x f +=，其中k 是一个正整数．若对任意实数a ，均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<，则k 的最小值为7．双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是 8．设4321,,,a a a a 是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）在ABC ∆中，已知CB CA BC BA AC AB ∙=∙+∙32．求C sin 的最大值．10．（本题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x xf =-． 求+++)981()31()991()21()1001()1(f f f f f f …)511()501(f f +的值．11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点．以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C ．设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与轴相切．求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值．2016年全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分40分）设实数,,21a a …2016,a 满足,2,1(11921=>+i a a i i …)2015,。
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2016全国高中数学联赛试题及评分标准
9月将至，开学的同时，每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道高中联赛的前世今生吗？从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。
1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。
1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。
竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。
各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。
在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。
经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。
为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学
的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。
对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。
为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。
各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。
☆ 试题模式自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。
各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。
一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。
一试考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。
试题分填空题和解答题两部分，满分120分。
其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。
加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。
试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。
试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。
依据考试结果评选出各省级赛区级一、二、三等奖。
其中一等奖由各省负责阅卷评分，然后将一等奖的考卷寄送到主办方（当年的主办方），由主办方复评，最终由主管单位（中国科协）负责最终的评定并
公布。
二、三等奖由各个省自己决定。
各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加中国数学奥林匹克（CMO）。
☆ 知识范围一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
加试（二试）全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外
的内容，所增加内容是：1．平面几何西姆松定理；三角形
旁心、费马点、欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2．代数周期函数，
带绝对值的函数；三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；第二数学归纳法；均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。
3．初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，
无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。
4．组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；组合计数，组合几何；抽屉原理；容斥原理；极端原理；图论问题；集合的划分；覆盖；平面凸集、凸包及应用*。
（有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考）☆ 2016联赛试卷及答案【往期内容】是否存在2017个小正方形能拼成一个大正方形第十六届中国女子奥林匹克数学竞赛试题2017北大数学营（第一天&第二天）证明sin1°和√2+√3+√5+√7是无理数史上最短高考题：tan1°是有理数吗？数学竞赛学习方法漫谈如何理解记忆数学公式浙沪新高考改革试点的问题“探究式教学法”是一种垃圾教学法数学，是一场游戏2017全国各地高考分数线录取线及难度分析从七宝的题看七宝的突飞猛进2017年上海高考本科普通批次投档线……。