2017数学建模计算机仿真
计算机仿真-数学建模
§2 对偶理论与灵敏度分析
• 2.1 原始问题和对偶问题
1.对偶问题 考虑下列一对线性规划模型：
max cT x s.t. Ax b, x 0 (P) min bT y 和 s.t. AT y c, y 0 (D)
称（P）为原始问题，（D）为它的对偶问题。 不太严谨地说，对偶问题可被看作是原始问题的“行列转置”：原始
1.1 线性规划的实例与定义
例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润 分别为4000元与3000元。生产甲机床需用 机器加工， 加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用 三 种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于 加工的机器时数分别为 机器10小时、 机器8小时和 机器 7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润 最大？
为线性函数，故被称x为1,线x2性规0 划问题。
1.2线性规划的Matlab标准形式
• 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最
小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于
号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab中
规定线性规划的标准形式为
min cT x such that Ax b
问题中的第 列系数与其对偶问题中的第 行的系数相同；原始目标函数的 各个系数行与其对偶问题右侧的各常数列相同；原始问题右侧的各常数 列与其对偶目标函数的各个系数行相同；在这一对问题中，不等式方向 和优化方向相反。
对偶问题的基本性质
14、 可对行称解性是：最对优偶解问时题的的性对质偶：是设原问是题原。问题的可行解， 2是、对弱偶对问偶题性的：可若行解是，原当问题时的，可是行最解优，解是。对偶问题的可 行5、解对。偶则定存理在：。若原问题有最优解，那么对偶问题也有最 3优、解无；界且性目：标若函原数问值题相（同对。偶问题）为无界解，则其对偶 问6、题互（补原松问弛题性）：无若可分行别解是。原问题和对偶问题的最优解。
2017年全国研究生数学建模竞赛B题
2017年中国研究生数学建模竞赛B题（华为公司命题）面向下一代光通信的VCSEL激光器仿真模型随着互联网技术的快速发展，家庭固定网络速度从原来的2Mbps、10Mbps，快速发展到了今天的百兆（100Mbps），甚至千兆（1000Mbps）光纤宽带入户。
“光纤宽带入户”，顾名思义，就是采用光纤来传输信号。
光纤中传输的激光信号具有远高于电信号传输速率的特点(激光信号传输带宽远大于电信号传输带宽)，更适合于未来高速率的传输网络。
工程师们在光纤通信传输系统设计前，往往会通过计算机仿真的方式研究系统设计的指标，以便快速找到最适合的解决方案。
因此在进行系统仿真时，需要准确掌握系统中各个器件的特性以保证仿真模型的精度。
激光器作为光纤通信系统的核心器件是系统仿真中需要考虑的一个重要因素。
与我们生活息息相关的激光器种类繁多，其中的垂直腔面发射激光器（VCSEL: Vertical Cavity Surface Emitting Laser）具有使用简单，功耗较低等特点，一般VCSEL 的工作电流在6mA~8mA。
本题的主要任务，就是得到能准确反映VCSEL激光器特性的数学模型。
激光器输出的光功率强度与器件的温度相关，当器件温度（受激光器自身发热和环境温度的共同影响）改变后，激光器输出的光功率强度也会相应发生变化。
在进行建模时，我们既要准确反映VCSEL激光器特性，还要考虑：1.激光器输出的功率强度与温度的关系——即该激光器可以在多大的外界环境温度范围内使用；2.如何设计激光器参数可以使激光器具有更大的传输带宽（即S21曲线上纵坐标-10dB位置对应的横坐标频率值更大）——即可以实现更快的传输速率。
1问题1：VCSEL的L-I模型L-I模型，即激光器的工作电流与输出光功率强度关系模型（L：light，表示光功率强度，也可以表示为P ；I ：Intensity of current ，表示工作电流）。
激光器是将电能转换成光能的半导体器件，能量转换的过程，也是电子的电能转换为光子的光能的过程，在转换过程中，伴随着电子的运动，半导体器件会产生一定的热量。
非线性波动问题的数学建模和计算机仿真
非线性波动问题的数学建模和计算机仿真一、引言在自然界中，存在着许多现象和过程都具有非线性特性，其中常见的有气象学中的风暴、海洋学中的潮汐、力学中的震动、电路中的振荡等等。
这些非线性系统具有一些十分重要的特点，如非线性耦合、混沌、奇异性、不可逆性和分形等，极大地增加了它们的困难，让传统的线性方法无法奏效。
因此，非线性问题的数学建模和计算机仿真成为了一个重要的研究领域。
二、求解非线性波动问题的数学建模1.非线性方程描述非线性波动问题的数学模型可以用非线性偏微分方程来描述，其部分数学表达式如下：（1）非线性波动方程（NLE）：$\begin{cases}u_{tt}-\Delta u -r(t) f(u)=0, \qquad (x,t) \in \mathbb{R}^3 \times [0,T],\\u(x,0)= u_0(x), \quad u_t(x,0)= u_1(x),\end{cases}$其中，$u(x,t)$为波幅，$\Delta$为拉普拉斯算子，$r(t)$为强度因子，$f(u)$为非线性函数。
当$f(u)= u$时，NLE可以化简为线性波动方程。
（2）广义KdV方程（gKdV）：$\begin{cases}u_t+6uu_x+u_{xxx}=0, \qquad (x,t) \in \mathbb{R} \times [0,T],\\ u(x,0)= u_0(x).\end{cases}$其中，$u(x,t)$为波幅。
2.数值方法求解非线性偏微分方程一般很难求得精确解，通常需要采用数值方法进行求解。
其中比较常见的方法有有限差分法、有限体积法、有限元法、谱方法等，这里以有限差分法为例来讲解非线性波动问题的数值求解过程。
（1）离散化对于偏微分方程，需要对数值解进行离散化。
有限差分法将空间和时间分别离散化，采用前向和后向Euler法对时间一阶离散化，采用中心差分近似算子对空间二阶离散化，可得：$$\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta t^2} -\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Delta x^2}-r_j f(u_{i,j})=0$$其中$i,j$分别为空间和时间步点的下标，$\Delta x$和$\Deltat$分别为空间和时间步长，$r_j$为时间步$j$时的强度因子。
2017全国数学建模B题
题目纲要1问题的重述鉴于挪动互联网的自助式劳务众包平台，为公司供给各样商业检查和信息收集，对比传统的市场检查方式能够大大节俭检查成本，并且有效地保证了检查数据真切性，缩短了检查的周期。
对于整个过程中间，任务的订价问题成为了中心重点。
当订价过高时，商家所付出的代价太大；当订价过低时，会员拒接此类任务，最后致使商品检查（任务）失败。
请议论以下问题 :问题一依据对所给的附件一已结束项目任务数据的研究，研究（找出）项目任务的订价规律，同时剖析部分任务未达成的原由。
问题二依据问题一的状况为附件一中的项目设计一个新的任务订价方案，并且与原方案进行比较。
问题三考虑到实质状况中，绝大多半用户会争相竞争选择地点比较集中的多个任务，所以，商家（平台）考虑将这些任务联合在一同打包公布。
鉴于这种条件，对问题二的订价模型进行相应的改正并且剖析此类情况对最后任务的达成状况有什么影响。
问题四依据前三问剖析所成立出来的订价模型给出附件三中新项目的任务订价方案，并且评论该方案的实行成效。
2问题剖析“摄影赚钱” 的任求实质上就是经过劳务众包的方式进行工作，所谓众包就是将本来由公司内部职工达成的任务，以开放的形式外包给未知的且数目宏大的集体来达成。
在此题所波及到的自助式劳务众包平台，公司将所需收集的信息通过 APP这个平台，展此刻大众眼前，大众依据自己状况来对一系列任务进行选择性的达成，最后获取相应的奖金。
问题一中对于任务悬赏金额量确实定是由一系列要素决定的，包含任务公布者所希望获取的作品数目、同期不同公布商所给的悬赏金、任务的难易程度、任务的限期等，对于问题一我们能够将这些要素都考虑进去，发掘出各要素对于订价的影响规律，最后确立项目任务的订价规律，在综合剖析实质状况和用户的信用程度影响，来概括出任务未达成的原由。
问题二中对于任务未达成状况的再剖析，在问题一成立的模型的基础上，再考虑任务量，交通便利性等要素，将这些要素考虑进去以后，充足考虑任务点四周会员的信用值状况，议论任务未达成跟低信用会员之间有什么关系，成立新的任务订价模型再给出新的任务订价方案，最后结共计算机对任务进行模拟仿真，获取在新任务订价条件下的各地区任务达成率和总达成率，将这个指标与以前的指标进行比较，可判断新任务订价方案能否优于模型一。
数学建模之计算机仿真PPT课件
件下，利用数学运算模拟系统的运行过程．连
续系统模型一般是微分方程，它在数值模拟中
dy
f (t , y )
最基本的算法是数值积分算法．例如有一系统
dt
y(t ) y
可用微分方程来描述:
0
始条件
0
已知输出量y的初
，现在要求出输出量y随时间变化
的过程y(t)。
n3=poissrnd(4),n=n1+n2+n3
(2) 由排队论知识,敌机到达规律服从泊松分布等价
•注：如果单位时间发生的次数（如到达的人数）服从参数为r的
泊松分布,则任连续发生的两次时间的间隔时间序列服从参数为r
于敌机到达港口的间隔时间服从参数为1/4的指数分布,
的指数分布!
故可由指数分布模拟每架飞机的到达时刻.
况.
•
表1
•
Xk
•
pk
10分钟内顾客到达柜台的情况
0
1
2
0.4 0.3 0.3
• 分析:因为每分钟到达柜台的人数是随机的,所以可用计算
机随机生成一组(0,1)的数据,由X的概率分布情况,可认为
随机数在(0,0.4)范围内时没有顾客光顾,在[0.4,0.7)时,有
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2 离散型随机变量的模拟
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1 理论介绍
• 最直观的想法是：首先将时间离散化，令
•
hk tk 1 tk
，称为第k步的计算步距
（一般是等间距的），然后按以下算法计算状态
tk 1
y(tk 1 ) yk 1 y上的近似值:
变量在各时刻
k f (tk , yk )(tk 1 tk )
2017年全国大学生数学建模A题
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 2017年全国大学生数学建模A题1 C CT T 系统参数标定及成像摘要二十世纪中期，CT 理论的提出给科学界带来了重大影响，而伴随着科技的发展与进步，作为处理断层成像问题的 CT 系统也越来越完善。
本文通过研究典型的二维平行束CT 成像系统，标定出了具体的参数信息，并对未知样品进行了成像处理。
针对问题一，首先对附件 2 中的数据进行筛选，发现部分数据只与小圆有关，因此利用 Excel 对此部分数据进行填色处理，并且得出每列填色数据所占的表格数都为 29，继而依据圆的特性，可得出探测器单元之间的距离。
然后，根据椭圆长轴和短轴旋转 90时的数据组的个数来查找中间的旋转次数，再计算出每次旋转的角度，并且据此找到终止位置，从而可得起始位置。
接下来，应用 Matlab 对附件 2 中的数据进行灰度处理整合，作出相关的投影分布图像，明显可看出灰度处理过的图像中圆的图像为正弦线。
根据投影图找到椭圆中心对应于探测器的位置，运用 Matlab 程序运算得到此发射-接收装置的旋转中心。
最终得到CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置为（-9.2734,5.5363）；探测器单元之间的距离为 0.2857mm；起始位置与水平方向 x 轴方向呈 -61或 119，且逆时针每次旋转 1，共旋转1 / 22了 180 次。
针对问题二，通过 Matlab 整合附件 3 的数据得出未知介质的灰度图像，再与附件 2中的数据得出来的图像进行比较，初步判断未知介质的几何特征，然后根据傅里叶切片定理以及滤波反投影 CT 图像重建的方法，利用 Matlab 软件中的滤波反投影函数进一步精确地求出该介质的位置信息以及几何形状信息。
数学建模计算机模拟
数学建模计算机模拟数学建模和计算机模拟是现代科学研究中非常重要的工具。
这两种技术能够以精确和有效的方式解决各种实际问题，从自然科学到社会科学，从工程学到金融学。
本文将探讨数学建模和计算机模拟的基本概念，以及它们在实际问题中的应用和未来的发展趋势。
一、数学建模数学建模是一种将现实问题转化为数学模型的过程。
它涉及到建立、使用和改进数学模型，以解释现象、预测行为、优化决策等。
数学建模的主要步骤包括：理解问题、建立模型、验证模型、应用模型和评估模型。
在自然科学中，数学建模被广泛应用于物理学、化学、生物学等学科。
例如，在物理学中，我们可以通过建立微分方程来描述物体的运动和力之间的关系；在化学中，我们可以通过建立量子力学模型来预测分子的结构和化学反应的速率；在生物学中，我们可以通过建立基因网络模型来理解生物体的复杂行为。
在社会科学中，数学建模也被广泛应用于经济学、社会学、心理学等学科。
例如，在经济学中，我们可以通过建立计量经济学模型来预测市场的走势和解释经济现象；在社会学中，我们可以通过建立人口统计学模型来预测人口的变化和规划社会政策；在心理学中，我们可以通过建立认知心理学模型来理解人类的学习和行为。
二、计算机模拟计算机模拟是一种利用计算机来模拟现实世界中的现象和过程的技术。
它涉及到对现实问题的数学建模、编程、运行模拟、分析和解释结果等步骤。
计算机模拟可以用来预测行为、优化决策、测试假设等。
计算机模拟广泛应用于各个领域，包括物理学、化学、生物学、社会科学等。
例如，在物理学中，我们可以通过计算机模拟来模拟物体的运动和力之间的关系；在化学中，我们可以通过计算机模拟来预测分子的结构和化学反应的速率；在社会学中，我们可以通过计算机模拟来模拟社会系统的动态行为。
三、应用案例让我们以一个具体的案例来说明数学建模和计算机模拟的应用。
假设我们想要设计一座桥梁，我们需要考虑桥梁的结构、材料、施工方法等因素。
为了优化设计，我们可以使用数学建模和计算机模拟。
数学建模和计算机仿真
模拟试验有两种结果，每种结果出现的概率都是1/2． 投掷1枚硬币的方式予以确定： 当硬币出现正面时为指示正确，反之为不正确．
（2）当指示正确时，我方火力单位的射击结果情况
模拟试验有三种结果：毁伤1门火炮的可能性为 1/3(即2/6)，毁伤两门的可能性为1/6，没能毁伤敌 火炮的可能性为1/2(即3/6)． 可用投掷骰子的方法来确定： 如果出现的是１、２、３点，则认为没能击中敌人； 如果出现的是４、５点，则认为毁伤敌人一门火炮； 若出现的是６点，则认为毁伤敌人两门火炮．
简单的例子——数学仿真
2. 符号假设
i： 要模拟的打击次数； k1：没击中敌人火炮的射击总数； k2：击中敌人一门火炮的射击总数；
k3：击中敌人两门火炮的射击总数．
E： 有效射击比率； E1：20次射击平均每次毁伤敌人的火炮数．
简单的例子——数学仿真
3. 模拟框图
初始化:i=0, k1=0, k2=0, k3=0 i=i+1 Y
初始化:i=0,k1=0，k2=0,k3=0
i=i+1
Y R2<3/6 R1<=0.5 N
k1=k1+1
R2=? R2>5/6 其它 k2=k2+1 k3=k3+1
k1=k1+1
Y i＜20? N E=(k2 k3 ) E1= 0×k1 +1 × k2 +2 × k3 20 20 20 20 停止
简单的例子——计算机仿真
投掷硬币的计算机模拟 1．产生服从U（0，1）的随机数R1 2．将区间[0，1]等分： 若 0 R1 0.5，则对应硬币正面
若 0.5 R1 1 ，则对应硬币反面
简单的例子——计算机仿真
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可以说计算机仿真的适用于几乎所有的社会生活领域！
计算机仿真的核心思想方法
过程明确，机理清晰 连续问题离散化 蒙特卡洛方法 遍历
产生模拟随机数的计算机命令
在MATLAB软件中，可以直接产生满足各种分布的 随机数，命令如下：
1．产生m×n阶［a，b］上均匀分布U（a，b）的随机数矩阵： unifrnd (a,b,m, n)
系统演变仿真——河堤垮塌后洪水蔓延程度仿真，海 啸蔓延程度仿真，种群生长仿真，战争推演仿真……
蒙特卡洛方法——不规则图形的面积、体积，圆周率 的计算，电脑围棋……核心：生成随机数，……被列 为20世纪最伟大的10大算法之首。
离散事件仿真——企业经营策略…… 有些仿真需要一些设备工具甚至人的参与，这里不涉
计算机仿真
一个问题
我们做一个实验：把 一个硬币掷一万次， 统计两个面出现的次 数。这样做很简单但 却需要大量时间，有 没有一种较快的办法 把这个实验完成呢？
利用计算机可以实现这一想法
生成一个在 [ 0, 1] 中的随机数a， 如果a<0.5，则认为是掷硬币出现了正面，
给计数变量k1增加1； 如果，则认为是掷硬币出现了反面，给
计算机仿真案例2
计数变量k2增加1。 将该过程循环一万次即可。
上面就是一个计算机仿真最简单的例子！
计算机仿真的定义
计算机仿真就是根据已知的信息和知识， 利用计算机模拟现实情况或系统演变过 程，发现新的知识和规律，从而解决问 题的一种方法。
计算机仿真被称为独立于理论研究和实 验研究的第三种方法。
计算机仿真的特点
f
(x0 , x0
y0
)
n i 1
f
(x0 , y0
y0
)
n i 1
Qi (xi x0 )
0
((xi x0 )2 ( yi y0 )2
Qi ( yi x0 )
0
Байду номын сангаас
((xi x0 )2 ( yi y0 )2
2、数值计算方法
3、计算机仿真： 离散化，遍历！
(2)指一个单位时间内平均到达0.1个顾客
计算机仿真案例1
模型建立：由于本题要求使从搅拌中心到各个工地运输混凝土 的总的吨公里数最少，所以，该问题的目标函数是
n
min f ( x0 , y0 ) Qi ( xi x0 )2 ( yi y0 )2 i 1
求解方法： 1、高数中的方法
•机械加工得到的零件尺寸的偏差、射击命中点与目标的偏差、 各种测量误差、人的身高、体重等，都可近似看成服从正态 分布．
4．产生 m n 阶期望值为 的指数分布的随机数矩阵：exprnd ( ,m, n )
•若连续型随机变量X的概率密度函数为
et
f (x)
0
其中 >0为常数，则称X服从参数为 的 指数分布．
产生一个［a，b］均匀分布的随机数：unifrnd (a,b) 当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不知道
（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在何处取值的 概率小，就只好用U（a，b）来模拟它． 2．产生m×n阶［０，１］均匀分布的随机数矩阵：
rand (m, n) 产生一个［０，１］均匀分布的随机数：rand
•指数分布的期望值为 1
x0 x0
•排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、故障
率为常数时零件的寿命都服从指数分布．
•指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用．
•注意：MATLAB中，产生参数为 的指数分布的命令为 1
exprnd( )
例 顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指数分布 指数分布的均值为1/0.1=10．
k!
其中 >0为常数，则称X服从参数为的泊松分布．
•泊松分布的期望值为
•泊松分布在排队系统、产品检验、天文、物理等领域有 广泛应用．
指数分布与泊松分布的关系：
•如相继两个事件出现的间隔时间服从参数为 的指数分布， 则在单位时间间隔内事件出现的次数服从参数为 的泊松分
布．即单位时间内该事件出现k次的概率为：
描述计算机仿真模型要包括两个内容，一是对 系统关键数据计算方法的清晰表述，二是对仿 真的程序流程的描述，可以用算法步骤的形式， 也可以用算法流程图。
计算机仿真要靠一个计算机程序来实现，然而 程序代码是不能作为模型，而且由于选择的系 统语言不同，表述上也会有较大差异。
计算机仿真的分类
物理系统仿真——电系统、机械系统等的仿真，大坝 承受力仿真，原子弹爆炸威力……
3.产生 m n 阶均值为 ，方差为 的正态分布的随机数矩阵： normrnd ( , ,m, n)
产生一个均值为 ，方差为 的正态分布的随机数： normrnd ( , )
•当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每 一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态 分布．
P( X k) ke , k 0,1, 2,L ,
k!
反之亦然．
例 (1)顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指数分布
(2)该商店在单位时间内到达的顾客数服从参数为0.1的泊松分布
(1)指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个单位时间.即平均10 个单位时间到达1个顾客.
指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个单位时间.即平均10个 单位时间到达1个顾客. 顾客到达的间隔时间可用exprnd(10)模
拟．
5．产生 m n 阶参数为 的泊松分布的随机数矩阵： poissrnd ( ,m, n)
•设离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,…,且取各个值的 概率为 P( X k) ke , k 0,1, 2,L ,
代价小，时间短，可重复，参数设置灵 活
是一种独特的“数”学模型。 是一种求解许多实际问题和数学模型的
简单方法，由于它不需要太多的数学知 识，非常适合各类工程技术人员。 计算机仿真仿的是“象”、是“数”， 要忽略许多具体的事物特征。
如何把计算机仿真的过程作为 一个“数学模型”表述出来呢？