八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优练习题(及答案
八年级初二数学 提高题专题复习勾股定理练习题及答案
八年级初二数学 提高题专题复习勾股定理练习题及答案一、选择题1．图中不能证明勾股定理的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．△ABC 的三边分别为,,a b c ，下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有（ ） ①222a c b -=;②2()()0a b a b c -++=;③ ∠A ＝∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3 ;⑤111,,345a b c ===;⑥10,a = 24,b = 26c = A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )A ．8B ．8.8C ．9.8D ．104．如图钢架中，∠A ＝15°，现焊上与AP 1等长的钢条P 1P 2，P 2P 3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为3 ）A ．16B ．15C ．12D ．105．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =30°，点E 为AB 的中点，DE ⊥AB ，交AB 于点E ，DE =3，BC =1，CD =13，则CE 的长是（ ）A ．14B ．17C ．15D ．136．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD 平分∠ABC ，E 是AB 中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．102B ．2C ．512+D ．327．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( )A ．3-B ．5-C ．13-D ．15-8．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( ) A ．4 B ．16 C ．34D ．4或34 9．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（ ）A ．6B ．32πC ．2πD ．1210．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c ===B ．5,5,52a b c ===C ．::3:4:5a b c =D ．11,12,13a b c ===二、填空题11．如图，在△中，，∠90°，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是__________．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．13．若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且2AC BD =，则AD 的长为__________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．15．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．16．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___17．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．18．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．19．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．20．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．23．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．24．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）则BC =____________cm ；（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．25．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB的值.26．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.27．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.28．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .（1）求证:CED ADB ∠=∠；（2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .29．2ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.30．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ．ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项．【详解】解：A 选项不能证明勾股定理；B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()22142a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ；C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式()22112222a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ； D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式222112222c ab a b ab +⨯=++⨯，可得222+=a b c ． 故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．2．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：∵222a c b -=，得222a b c =+，符合勾股定理逆定理，则①正确；∵2()()0a b a b c -++=，得到222a c b +=，符合勾股定理逆定理，则②正确； ∵∠A ＝∠B -∠C ，得∠B=∠A+∠C ，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=90°，故③正确；∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°， ∴318090123C ∠=︒⨯=︒++，故④正确； ∵222111()()()453+≠，则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误；∵222102426+=，则⑥能构成直角三角形，故⑥正确；∴能构成直角三角形的有5个；故选择：D.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形. 3．C解析：C【分析】由AP+CP=AC 得到AP BP CP ++=BP+AC ，即计算当BP 最小时即可，此时BP ⊥AC ，根据三角形面积公式求出BP 即可得到答案.【详解】∵AP+CP=AC ，∴AP BP CP ++=BP+AC ，∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值，设AH ⊥BC ，∵56AB AC BC ===，∴BH=3， ∴224AH AB BH =-=, ∵1122ABC SBC AH AC BP =⋅=⋅， ∴1164522BP ⨯⨯=⨯, ∴BP=4.8，∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8，故选：C.【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.4．D解析：D【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离即AP 5为3AP 1＝a ，作P 2D ⊥AB 于点D ，再用含a 的式子表示出P 1P 3，P 3P 5，从而可求出a 的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．【详解】解：如图，∵AP 1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P 1P 2A=15°，∴∠P 2P 1P 3=30°，∴∠P 1P 3P 2=30°，∴∠P 3P 2P 4=45°，∴∠P 3P 4P 2=45°，∴∠P 4P 3P 5=60°，∴∠P 3P 5P 4=60°，∴∠P 5P 4P 6=75°，∴∠P 4P 6P 5=75°，∴∠P 6P 5B=90°，此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条．设AP 1＝a ，作P 2D ⊥AB 于点D ，∵∠P2P1D＝30°，∴P2D=12P1P2，∴P1D＝32a，∵P1P2=P2P3，∴P1P3＝2P1D =3a，∵∠P4P3P5=60°，P3P4=P4P5，∴△P4P3P5是等边三角形，∴P3P5＝a，∵最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，∴AP5=a+3a+a＝4+23，解得，a＝2，∴所有钢条的总长为2×5＝10，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】连接BD，作CF⊥AB于F，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD，AE=BE，得出∠DBE=∠DAB=30°，由直角三角形的性质得出BD=AD=2DE=23，AE=BE=3DE=3，证出△BCD是直角三角形，∠CBD=90°，得出∠BCF=30°，得出BF=12BC=12，CF=3BF=32，求出EF=BE+BF=72，在Rt△CEF中，由勾股定理即可得出结果．【详解】解：连接BD，作CF⊥AB于F，如图所示：则∠BFC=90°，∵点E为AB的中点，DE⊥AB，∴BD=AD，AE=BE，∵∠DAB=30°，∴∠DBE=∠DAB=30°，BD=AD=2DE=23，AE=BE=3DE=3，∵BC 2+BD 2=12+（23）2=13=CD 2，∴△BCD 是直角三角形，∠CBD=90°，∴∠CBF=180°-30°-90°=60°，∴∠BCF=30°，∠BFC=90°，∴∠BCF=30°，∴BF=12BC=12，CF=3BF=3， ∴EF=BE+BF=72， 在Rt △CEF 中，由勾股定理得：CE=22731322⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． 6．A解析：A【解析】试题解析：如图，过D 作AB 垂线交于K ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠ABD∵∠C=∠DKB=90°，∴CD=KD ，在△BCD 和△BKD 中，CD KD BD BD ⎧⎨⎩＝＝ ∴△BCD ≌△BKD ，∴BC=BK=3∵E 为AB 中点∴BE=AE=2.5，EK=0.5，∴AK=AE-EK=2，设DK=DC=x，AD=4-x，∴AD2=AK2+DK2即（4-x）2=22+x2解得：x=3 2∴在Rt△DEK中，.故选A．7．D解析：D【分析】根据勾股定理求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答.【详解】由勾股定理得，AB==∴AC AB==∵点A表示的数是1∴点C表示的数是1-故选D.【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB的长是解题的关键.8．D解析：D【解析】试题解析：当3和5当5．故选D．9．A解析：A【分析】分别求出以AB、AC、BC为直径的半圆及△ABC的面积，再根据S阴影=S1+S2+S△ABC-S3即可得出结论．【详解】解：如图所示：∵∠BAC=90°，AB=4cm ，AC=3cm ，BC=5cm ，∴以AB 为直径的半圆的面积S 1=2π（cm 2）；以AC 为直径的半圆的面积S 2=98π（cm 2）； 以BC 为直径的半圆的面积S 3=258π（cm 2）； S △ABC =6（cm 2）；∴S 阴影=S 1+S 2+S △ABC -S 3=6（cm 2）；故选A ．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 10．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．【详解】解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；B 、因为52+52=()252，故能构成直角三角形； C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．二、填空题11．【解析】如图，过点作⊥于点，延长到点，使，连接，交于点，连接，此时的值最小．连接，由对称性可知∠45°，，∴ ∠90°.根据勾股定理可得．12．82【分析】根据S△PAD＝13S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．【详解】设△PAD中AD边上的高是h．∵S△PAD＝13S矩形ABCD，∴12AD•h＝13AD•AB，∴h＝23AB＝4，∴动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离．在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，DE22228882AE AD++=即PA+PD的最小值为2．故答案2．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．13．5【分析】在直角ABC中，依据勾股定理求出AC的长度，再算出BD，过点B作BE AC⊥于点E ，通过等面积法求出BE ，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE ED 、，两者相加即为AD 的长.【详解】解：如图，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒,∵直角ABC 中，90B ∠=︒，6AB =，8BC =， ∴22=10AC AB BC +=,又∵2ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅，2AC BD =∴6810BE ⨯=，5BD =,∴=4.8BE ,∵90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒ ∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=,∴5AD AE ED =+=.故答案为：5.【点睛】本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.14．75或6或94 【分析】当△ABP 为等腰三角形时，分三种情况：①当AB ＝BP 时；②当AB ＝AP 时；③当BP ＝AP 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2﹣AC 2＝7.52﹣4.52＝36，∴BC ＝6（cm ）；①当AB ＝BP ＝7.5cm 时，如图1，t ＝7.52＝3.75（秒）； ②当AB ＝AP ＝7.5cm 时，如图2，BP ＝2BC ＝12cm ，t ＝6（秒）；③当BP ＝AP 时，如图3，AP ＝BP ＝2tcm ，CP ＝（4.5﹣2t ）cm ，AC ＝4.5cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2+CP 2，所以4t 2＝4.52+（4.5﹣2t ）2，解得：t ＝94， 综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝3.75或t ＝6或t ＝94． 故答案为：3.75或6或94．【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.15．【分析】根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．【详解】∵AB ＝13，EF ＝7，∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202ab ⨯=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，∴a +b ＝17，∵a ﹣b ＝7，解得：a ＝12，b ＝5，∴AE ＝12，DE ＝5，∴AH ＝12﹣7＝5．故答案为：5．【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值． 16．5或13【分析】根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P +S Q =S K 为从而易求S K ．【详解】解：如下图所示，若A=S P=4．B=S Q=9，C=S K，根据勾股定理，可得A+B=C，∴C=13．若A=S P=4．C=S Q=9，B=S K，根据勾股定理，可得A+B=C，∴B=9-4=5．∴S K为5或13．故答案为：5或13．【点睛】本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．17．71-【分析】分别找到两个极端,当M与A重合时，AP取最大值，当点N与C重合时，AP取最小，即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M与A重合时，AP取最大值，此时标记为P1，由折叠的性质易得四边形AP1NB是正方形，在Rt△ABC中，2222--，AB=AC BC=54=3∴AP的最大值为A P1=AB=3如图所示，当点N与C重合时，AP取最小，过C点作CD⊥直线l于点D，可得矩形ABCD，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt△PCD中，2222PD=PC CD=43=7--，-∴AP的最小值为AD PD=47线段AP 长度的最大值与最小值之差为()1AP AP=347=71----故答案为71-【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.18．10【分析】首先作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值，易得△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∠N ′OM ′=90°，继而可以求得答案．【详解】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM ′=OM =6，ON ′=ON =8，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°．在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′=22''OM ON +=10． 故答案为10．【点睛】本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．19．12013【解析】 ∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，交AD 于E ，则CF=BE+FF 的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB ⋅CF=BC ⋅AD ，∴CF=BC AD AB ⋅=101213⨯=12013故答案为12013. 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF ⊥AB 时，CF 有最小值是解题的关键.20．17，144，145【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m ，则弦为m+1，所以有22217(1)m m +=+，解得144m =，1145m +=，即第8组勾股数为17，144，145.故答案为17，144，145.【点睛】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可． 三、解答题21．（12）150°；（3【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD ＝3； （2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE ===， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中，∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12， ∴AG ()2222113322AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．BF 的长为32【分析】先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．解：连接BF ．∵CA=CB ，E 为AB 中点∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ，∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3 ∴222232BF BD FD BD =+==【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．23．(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =73【分析】(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中,AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=+=∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=所以BC=2OC=273,在Rt △BCD 中,CD=()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.24．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【详解】（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =-=-=(cm )．故答案为：12；（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，∴PC = PA =t ，PB =16-t ．在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +-=（，解得：t =252． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132⨯-=(cm )；（3）分三种情况讨论：①当CQ =BQ 时，如图1所示，则∠C =∠CBQ ．∵∠ABC =90°，∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，∴∠A =∠ABQ ，∴BQ =AQ ，∴CQ =AQ =10，∴BC +CQ =22，∴t =22÷2=11(s )．②当CQ =BC 时，如图2所示，则BC +CQ =24，∴t =24÷2=12(s )．③当BC =BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯===， ∴CE 2222483612()55BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，∴CQ =2CE =14.4，∴BC +CQ =26.4，∴t =26.4÷2=13.2(s )．综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．25．（1）详见解析；（241；（33【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，3AB ，根据（1）思路得3AB .【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以222AB AC AC +因为AB AC =所以AE 2=又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠= 所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以3AB所以33AD AB AB==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.26．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =，∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．27．（1）①详见解析；（2）222222CD n n =+-（1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+- 又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD=+=∴22CD =2222n n =+-（1n >） （2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，理由如下：如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF ，AD=BF又∵∠DCF=90°∴由勾股定理得222DF CD CF CD =+=又DF=BF-BD=AD-BD∴2AD BD CD -=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.28．（1）见解析；（2）27BC =.【分析】（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．【详解】（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，∴△ABD 是等边三角形.∴60ADB ∠=︒.∵CE ∥AB ，∴60CED A ∠=∠=︒.∴CED ADB ∠=∠.（2）解：连接AC 交BD 于点O ，∵AB AD =，BC DC =，∴AC 垂直平分BD .∴30BAO DAO ∠=∠=︒.∵△ABD 是等边三角形，8AB =∴8AD BD AB ===，∴4BO OD ==.∵CE ∥AB ，∴ACE BAO ∠=∠.∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.∵60CED ADB ∠=∠=︒.∴60EFD ∠=︒.∴△EDF 是等边三角形.∴2EF DF DE ===,∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.在Rt △COF 中，∴OC ==.在Rt △BOC 中，∴BC === 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．29．(1)①见解析；②()22012x y x x-=<<-；（2）见解析 【解析】【分析】（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接DN 交AC 于点Q ，问题即得解决.【详解】（1）①证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CB=CD ，∠BCE =∠DCE =45°，又∵CE=CE ，∴△CBE ≌△CDE （SAS ），∴EB=ED ，∠CBE =∠1，∵∠BEC =90°，∠BCF =90°，∴∠EBC +∠EFC =180°，∵∠EFC +∠2=180°，∴∠EBC =∠2，∴∠1=∠2.∴ED=EF ，∴BE=EF .②解：∵正方形ABCD的边长为2，∴对角线AC =2.将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点A 与点C 重合，点E 落在点P 处，如图2， 则△BAE ≌△BCP ，∴BE =BP ，AE=CP=x ，∠BAE =∠BCP =45°，∠EBP =90°，由①可得，∠EBF =45°，∴∠PBG =45°=∠EBG ，在△PBG 与△EBG 中，PB EB PBG EBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.∴PG=EG =2－x －y ，∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2222x y x y +=--，化简，得()22012x y x x-=<<-. （2）如图3，作法如下：①延长BE 交AD 于点M ，②连接MO 并延长交BC 于点N ，③连接DN 交AC 于点Q ，④连接DE 、BQ ，则四边形BEDQ 为菱形.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.30．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）222133k k k k ++++. 【解析】【分析】（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可；ⅱ）求出四边形BGAE 的周长，△ABC 的周长即可；【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAE ＝∠C ＝60°，∵AE ＝CD ，∴△BAE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠CAD ．（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE 是平行四边形．理由：∵△ADG，△ABC都是等边三角形，∴AG＝AD，AB＝AC，∴∠GAD＝∠BAC＝60°，∴△GAB≌△DAC，∴BG＝CD，∠ABG＝∠C，∵CD＝AE，∠C＝∠BAE，∴BG＝AE，∠ABG＝∠BAE，∴BG∥AE，∴四边形AGBE是平行四边形，ⅱ）如图2中，作AH⊥BC于H．∵BH＝CH＝1 (1) 2k+∴1113 1(1),3(1) 2222DH k k AH BH k =-+=-==+∴222AH DH k k1AD=+=++∴四边形BGAE的周长＝22k k1k+++,△ABC的周长＝3（k+1），∴四边形AGBE与△ABC2221 k k k+++【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
八年级数学人教版下册勾股定理的应用培优训练(附答案)(2022年最新)
1．解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝30°，
∵CD⊥BD，BC＝15米，
∴CD＝7.5米，
∵AB＝10米，
∴S△ABC＝ AB×CD＝ ×10×7.5＝37.5（平方米），
∵每平方米售价2a元，
∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），
19．一个矩形的抽斗长为12cm，宽为5cm，在抽斗底部放一根铁条，那么铁条最长可以是cm．
20．如图，已知点B在点A的北偏东32°，点C在点B的北偏西58°，CB＝12，AB＝9，AC＝15，则△ABC的面积为．
21．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．
2020-2021年度人教版八年级数学下册17.2勾股定理的应用培优训练（附答案）
1．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（ ）元．
A．75aB．50aC． aD．150a
2．如图，长为12cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B然后把中点C竖直向上拉升4.5cm至点D处，则拉长后橡皮筋的长为（ ）
（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．
故答案是： ．
八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题附解析
八年级初二数学数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题附解析一、选择题1．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（）A．（22）2013B．（22）2014C．（12）2013D．（12）20142．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm3．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（）A．8 B．9 C．10 D．124．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )A．3 B．154C．5 D．1525．如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A ．15--B ．15-C ．5-D ．15-+6．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）A ．AB 的中点B ．BC 的中点 C ．AC 的中点D ．C ∠的平分线与AB 的交点 7．已知△ABC 的三边分别是6，8，10，则△ABC 的面积是（ ） A ．24B ．30C ．40D ．48 8．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A ．1、2、3B ．2、3、4C ．1、2、3D ．4、5、6 9．长度分别为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm 五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，AB ＝1，BD ⊥BC ，BD ＝BC ，CF 平分∠BCD 交BD 、AD 于E 、F ，则EDC 的面积为（ ）A ．22﹣2B ．32﹣2C ．2﹣2D ．2﹣1二、填空题11．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，若点 M 、N 分别是线段 AC 、AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．13．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ∆的周长为_______________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．15．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.16．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BCA ＝30°，点D 在BC 上，点E 在△ABC 外，且AD ＝AE ＝CE ，AD ⊥AE ，则AB BD的值为____________．17．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．18．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．19．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）23．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．24．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．25．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；（2）设,BC m AC n ==①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.②若线段2AD EC =，求m n的值.26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.27．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．（1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.28．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．29．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).30．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分S n的值，根据数的变化找出变化规律“S n=(12)n−3”，依此规律即可得出结论．【详解】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察，发现规律：S1=22=4，S2=12S1=2，S3=12S2=1，S4=12S3=12，…，∴S n=(12)n−3．当n=2016时，S2016=(12)2016−3=(12)2013．故选：C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“S n=(12)n−3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．2．D解析：D【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，12OA AC=，12OB BD=，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解.【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC ⊥BD ，11622OA AC ==⨯=3cm ， 118422OB BD cm ==⨯= 根据勾股定理得，2222345cm AB OA OB =+=+= ，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm.故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记. 3．C解析：C【解析】【分析】要求DN ＋MN 的最小值，DN ，MN 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN ，MN 的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B 与点D 是关于直线AC 为对称轴的对称点，∴连接BN ，BD ，则直线AC 即为BD 的垂直平分线，∴BN ＝ND ∴DN ＋MN ＝BN ＋MN 连接BM 交AC 于点P ，∵点 N 为AC 上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N 运动到点P 时，BN ＋MN ＝BP ＋PM ＝BM ，BN ＋MN 的最小值为BM 的长度，∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ＝CD ＝8，CM ＝8−2＝6，BCM ＝90°，∴BM ＝＝10， ∴DN ＋MN 的最小值是10．故选：C ．【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N 的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理． 4．C解析：C【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，所以S2=x+4y=5，故答案为5．点睛：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，用x，y 表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=15求解是解决问题的关键．5．A解析：A【分析】首先根据勾股定理得出圆弧的半径,然后得出点A的坐标.【详解】解：22+12=5--∴由图可知：点A所表示的数为: 15故选：A【点睛】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数,属于基础题型.解决这个问题的关键就是求出斜边的长度.在数轴上两点之间的距离是指两点所表示的数的差的绝对值.6．A解析：A【分析】先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置．【详解】解：如图∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴活动中心P应在斜边AB的中点．故选：A．本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形．7．A解析：A【解析】已知△ABC的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC是直角三角形，两直角边是6，8，所以△ABC的面积为12×6×8=24，故选A．8．A解析：A【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.【详解】A、12+）2=2∴以1,故本选项正确;B、22+32≠42∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;C、12+22≠32∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;D、42+52≠62∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;故选A..【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键. 9．B解析：B【解析】试题分析：解：∵92=81，122=144，152=225，362=1296，392=1521，∴81+144=225，225+1296=1521，即92+122=152，152+362=392，故选B．考点：勾股定理的逆定理点评：本题难度中等，主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容．10．C解析：C【分析】先过点E作EG⊥CD于G，再判定△BCD、△ABD都是等腰直角三角形，并求得其边长，最后利用等腰直角三角形，求得EG的长，进而得到△EDC的面积．解：过点E 作EG ⊥CD 于G ，又∵CF 平分∠BCD ，BD ⊥BC ，∴BE ＝GE ，在Rt △BCE 和Rt △GCE 中CE CE BE GE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BCE ≌Rt △GCE ，∴BC ＝GC ，∵BD ⊥BC ，BD ＝BC ，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴∠BDC ＝45°，∵AB//CD ，∴∠ABD ＝45°，又∵∠A ＝90°，AB ＝1，∴等腰直角三角形ABD 中，BD ＝2211+＝2＝BC ，∴Rt △BDC 中，CD ＝()()2222+＝2，∴DG ＝DC ﹣GC ＝2﹣2，∵△DEG 是等腰直角三角形，∴EG ＝DG ＝2﹣2，∴△EDC 的面积＝12×DC×EG ＝12×2×（2﹣2）＝2﹣2． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形EDG 进行求解．二、填空题11．8【解析】如图作点B 关于AC 的对称点B ′，连接B ′A 交DC 于点E ，则BM+MN 的最小值等于的最小值作交于，则为所求；设,,由，，h+5=8，即BM+MN的最小值是8.点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．12．2【分析】根据S△PAD＝13S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．【详解】设△PAD中AD边上的高是h．∵S△PAD＝13S矩形ABCD，∴12AD•h＝13AD•AB，∴h＝23AB＝4，∴动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离．在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，DE＝2222+=+= ,AE AD8882即PA+PD的最小值为82．故答案82．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．13．32或42【分析】根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案【详解】当△ABC是钝角三角形时，∵∠D=90°，AC=13，AD=12，∴2222=-=-=,CD AC AD13125∵∠D=90°，AB=15，AD=12，∴2222=-=-=,BD AB AD15129∴BC=BD-CD=9-5=4，∴△ABC的周长=4+15+13=32；当△ABC是锐角三角形时，∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，∴2222CD AC AD-=-=，13125∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，∴2222=-=-，BD AB AD15129∴BC=BD-CD=9+5=14，∴△ABC的周长=14+15+13=42；综上，△ABC的周长是32或42，故答案为：32或42.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.14．75或6或9 4【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP 时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【详解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝7.52﹣4.52＝36，∴BC＝6（cm）；①当AB＝BP＝7.5cm时，如图1，t＝7.52＝3.75（秒）；②当AB＝AP＝7.5cm时，如图2，BP＝2BC＝12cm，t＝6（秒）；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝2tcm，CP＝（4.5﹣2t）cm，AC＝4.5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以4t2＝4.52+（4.5﹣2t）2，解得：t＝94，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝3.75或t＝6或t＝94．故答案为：3.75或6或94．【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.15．3．【分析】作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【详解】如图，作点B关于AD的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，∴BM+MN=B′M+MN=B′N，由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴33即BM+MN3．3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．1662 +【解析】【分析】过A点作BC的垂线，E点作AC的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a，332)a，31)a，231)a,代入计算即可.【详解】过A 点作AM ⊥BC 于M 点，过E 点EN ⊥AC 于N 点.∵∠BCA ＝30°，AE=EC∴AM=12AC ，AN=12AC ∴AM=AN 又∵AD=AE∴R t∆ADM ≅ R t∆AEN (HL)∴∠DAM=∠EAN 又∵∠MAC=60°，AD ⊥AE∴∠DAM=∠EAN=15°在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°设DM=a,则 DG=AG=2a ，根据勾股定理得：GM=3a,∵∠ABC ＝45°∴AM=BM=(32)a +∴BD=(31)a +，AB=2(32)a +,∴()()62262231a AB BD a++==+ 故答案为：62+【点睛】本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.17．4或2510【分析】分三种情况讨论：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ；③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ．分别画图，并求出BD ．【详解】①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°．又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=2222⨯=．在Rt△BAC中，BC2222=+=22，∴BD22222222BE DE（）（）=+=++= 25；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=AC sin45°=2222⨯=．又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°．又∵在Rt△ABC中，BC2222=+=22，∴BD222222210BC CD=+=+=（）（）．故BD的长等于4或510．故答案为4或510．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，18．106232【解析】∵（x-6）2=9，∴x-6=±3，解得：x 1=9，x 2=3，∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，∴当x=3时，x 、y 都为直角三角形的直角边，则斜边为223332+=； 当x=9时，x 、y 都为直角三角形的直角边，则斜边为2293310+= ；当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.故答案为：310，62或32.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．19．355【详解】 四边形DEFA 是正方形，面积是4； △ABF，△ACD 的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE 的面积是：12×1×1=12． 则△ABC 的面积是：4﹣1﹣1﹣12=32． 在直角△ADC 中根据勾股定理得到：AC=222+1=5．设AC 边上的高线长是x ．则12AC•x=5x=32， 解得：x=355．355. 20．22-【分析】根据已知条件，添加辅助线可得△EAC ≌△DAM （SAS ），进而得出当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，转化成求DM 的最小值，通过已知值计算即可．解：如图所示，在AB 上取AM=AC=2，∵90ACB ∠=，2AC BC ==，∴∠CAB=45°，又∵45EAD ∠=，∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°，∴∠EAC =∠DAB ，∴在△EAC 与△DAB 中AE=AD ，∠EAF =∠DAB ，AC =AM ，∴△EAC ≌△DAM （SAS ）∴CE=MD ，∴当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，∵AC=BC=2， 由勾股定理可得2222AB AC BC =+=，∴222=-BM ， ∵∠B=45°，∴△BDM 为等腰直角三角形，∴DM=BD ，由勾股定理可得222+BD DM =BM∴DM=BD=22-∴CE=DM=22-故答案为：22-【点睛】本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE 最小时的状态，化动为静．三、解答题21．（132）150°；（313【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD ＝3； （2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE ===， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中，∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12，∴AG ＝()222211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG ＝13．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）见解析；（2）CD ＝2AD +BD ，理由见解析；（3）CD ＝3AD +BD【分析】（1）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ；（2）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ，可得BD ＝CE ，由直角三角形的性质可得DE ＝2AD ，可得结论；（3）由△DAB ≌△EAC ，可知BD ＝CE ，由勾股定理可求DH ＝32AD ，由AD ＝AE ，AH ⊥DE ，推出DH ＝HE ，由CD ＝DE +EC ＝2DH +BD ＝3AD +BD ，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；（2）CD ＝2AD +BD ，理由如下：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，∴DE ＝2AD ，∵CD ＝DE +CE ，∴CD ＝2AD +BD ；（3）作AH ⊥CD 于H ．∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ，∴∠ADH ＝30°，∴AH ＝12AD ，∴DH 2AD ， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD +BD ，故答案为：CD +BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.23．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，24l +≤<．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．24．（1）作图见解析，20DBC ∠=︒；（2）作图见解析，35BAC ∠=︒；（3）∠A =45°或90°或90°－2α或1452α︒-，或α＝45°时45°＜∠BAC ＜90°．【分析】（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC 分成90°角和20°角即可；（2）可以画出∠A=35°的三角形；（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：（1）ABC ∆关于点B 的二分割线BD 如图4所示，20DBC ∠=︒；故答案为：20°；（2）如图所示：∠BAC=35°；（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角， ∴∠DBC ＝∠C ＝α．当∠A ＝90°时，△ABC 存在二分分割线；当∠ABD ＝90°时，△ABC 存在二分分割线，此时∠A ＝90°－2α；当∠ADB ＝90°时，△ABC 存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A ＜90°；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，当∠DBC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时1809014522A αα︒-︒-∠==︒-； 当∠BDC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时∠A ＝45°，综上，∠A =45°或90°或90°－2α或1452α︒-，或α＝45°时，45°＜∠BAC ＜90°．【点睛】本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．25．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512m n = 【分析】（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案； ②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.【详解】（1）解：作图，如图所示：（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.理由如下：依题意得， BD BC m ==，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒222BC AC AB ∴=+22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+222AD m AD n ∴+-)()2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-0=；∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ==== 2AD EC =2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=222BC AC AB ∴+=22223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493m n n mn m +=++ 25493n mn = 512m n ∴= 【点睛】本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．26．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.【分析】（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.【详解】解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×12ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，即 a 2+b 2= c 2．（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,∴ 2ab=12.∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.【点睛】本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.27．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，∴∠PAD=α，AB=AD ，∵90BAC ∠=︒，∴902DAC α∠=︒-，又∵AB=AC ，∴AD=AC ，∴∠ADC=1[180(902)]2α⨯︒-︒-=45α︒+；（3）如图，连接BE，由（2）知：∠ADC=45α︒+，∵∠ADC=∠AED+∠EAD，且∠EAD=α，∴∠AED=45°，∵点B与点D关于直线AP对称，即AP垂直平分BD，∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE，∴∠BED=90°，∴△BED是等腰直角三角形，∴22222BD BE DE DE=+=，∴2BD DE=.【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.28．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=12（c-a），AG=12（a+c），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，∴ab+a2＝c2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，∴ab+b2＝a2+b2，∴ab＝a2，∴a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，∴∠ABC＝64°，根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，∵∠ABC＝64°，∴∠BCD＝∠BDC＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，∴∠BDC＝52°，∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，∴∠BCD＝52°，∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A图3作CG⊥AB于G，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，∵∠B＝2∠A，∴∠CDB＝∠B，∴CD＝CB＝a，∵∠ACD＝∠A，∴AD＝CD＝a，∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，∵CG⊥AB，∴DG＝BG＝12（c﹣a），∴AG＝AD+DG＝a+12（c﹣a）＝12（a+c），在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[12（c+a）]2，在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2﹣[12（a+c）]2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2＝ac+a2，∴△ABC是“类勾股三角形”．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．29．（1）见解析；（2）26；（3+ 【分析】（1）由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ，再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ，即可得到AD=BE ；（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12DE ，同（1）可证△ACD ≌△BCE ，得到AD=BE ，然后可求AE 的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB 的长；（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.【详解】证明：（1）∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∵CM ⊥DE ，∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点∴CM=12DE ， ∴DE=2CM=14，∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE。
八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题含答案
一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90BAC ︒∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )A ．4B ．6C ．8D ．9 2．直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线为 d ，则这个三角形周长为 （ ） A ．22d S d ++ B ．2d S d --C ．22d S d ++D ．()22d S d ++ 3．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6cm ，8cm ，则这个菱形的周长为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．14cmD ．20cm4．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．一艘渔船从港口A 沿北偏东60°方向航行至C 处时突然发生故障，在C 处等待救援．有一救援艇位于港口A 正东方向2031）海里的B 处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C 处救援．则救援艇到达C 处所用的时间为（ ）A ．3小时B ．23小时C ．223 小时D ．232+小时 6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）A ．200mB ．300mC ．400mD ．500m8．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( )A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间9．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形D．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°10．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则BC的长是（）A．32B．2 C．22D．10二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm．12．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,以AC为斜边向外作等腰直角三角形COA，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB的长为__________.14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F，交 AC 于 E，交 BA 的延长线于 G，若 EG＝3，则 BF 的长是______．15．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．16．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．17．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．18．如图，Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，D 为斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则EF 的最小值是_____．19．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．20．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.三、解答题21．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．22．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．24．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.25．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)26．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0．（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．27．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.28．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．29．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，用a 、b 、c 分别表示'A BC ，'AB C △，'ABC △的面积，再利用Rt ABC 得b 2+c 2=a 2，求得c 值代入即可求得的面积'ABC △的面积.【详解】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，由题意得'A BC 的面积=13102a a ⋅=， 'AB C △的面积=1342b ⋅= ∴24033a = 21633b =在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，b 2+c 2=a 2， ∴c 2=a 2-b 24016338333=∴'ABC △的面积=21224c c c ⋅⋅==64= 故此题选B【点睛】 此题考察勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积2．D解析：D【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可。
八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题及答案
八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题及答案一、选择题1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．600m B．500mC．400m D．300m2．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（）A．4 B．5 C．7 D．63．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D 的边长为( )A．3cm B．14cm C．5cm D．4cm4．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是()A．13 cm B．4cm C．4cm D．52 cm5．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（）A．813B．28 C．20 D．1227．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（）A．49B．25C．12D．108．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，则点D到AB的距离是（）A．3 B．4 C．7(21)D．7(21)9．下列命题中，是假命题的是( )A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：4：3，则△ABC 是直角三角形10．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对二、填空题11．如图，∠MON ＝90°，△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时，同时点B 在ON 上运动，连接OC ．若AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则OC 的长度的最大值是________．12．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________13．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．14．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ∆的周长为_______________．15．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．17．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，BD 是高，则点BD 的长为_____．19．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．20．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12315S S S ++=，则2S 的值是__________．三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .24．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =DB ，DA .（1）直接写出BC=__________，AC=__________；（2）求证：ABD∆是等边三角形；（3）如图，连接CD，作BF CD⊥，垂足为点F，直接写出BF的长；（4）P是直线AC上的一点，且13CP AC=，连接PE，直接写出PE的长.25．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a，b，c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．26．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．27．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．28．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．29．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．（1）如图1，若m＝8，求AB的长；（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．（1）AE＝（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是度；（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；（4）连结BE，当CE＝AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．【详解】解：如右图所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=BC=300m，在Rt△ABC中，AC=22=500m，AB BC∴CE=AC-AE=200，从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，∴最近的路程是500m．故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法．2．D解析：D【解析】【分析】先利用勾股定理计算BC的长度，然后阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积.【详解】解：在中∵，,∴,∴BC=3,∴阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积=6.故选D.【点睛】 本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积. 3．B解析：B【解析】【分析】先求出S A 、S B 、S C 的值，再根据勾股定理的几何意义求出D 的面积，从而求出正方形D 的边长.【详解】解∵S A =6×6=36cm 2，S B =5×5=25cm 2，Sc=5×5=25cm 2，又∵1010A B C D S S S S +++=⨯ ，∴36+25+25+S D =100，∴S D =14，∴正方形D 的边长为14cm.故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.4．D解析：D【解析】【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】如图，由图可知，彩带从易拉罐底端的A 处绕易拉罐4圈后到达顶端的B 处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm ，∵∵易拉罐底面周长是12cm ，高是20cm ，∴x 2=(12×4)2+202∴x 2=(12×4)2+202，所以彩带最短是52cm．故选D．【点睛】本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，5．C解析：C【解析】试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE．∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE．本结论正确．②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE．∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°．∴BD⊥CE．本结论正确．③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2．∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE=2AD，即DE2=2AD2．∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2．而BD2≠2AB2，本结论错误．综上所述，正确的个数为3个．故选C．6．C解析：C【解析】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.详解：如图所示，将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′，连接A′B,则A′B即为最短距离，A′B2222'++ (cm)=1216A D BD故选C.点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF 的对称点A ′是解题的关键.7．C解析：C【解析】试题解析：如图，∵大正方形的面积是25，∴c 2=25，∴a 2+b 2=c 2=25，∵直角三角形的面积是（25-1）÷4=6， 又∵直角三角形的面积是12ab=6， ∴ab=12．故选C. 8．C解析：C【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据角平分线的性质定理，可得：DE ＝DC ＝x ，则BE ＝2x ，进而可得到AE ＝AC ＝7，在Rt △BDE 中，应用勾股定理即可求解．【详解】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则∠AED ＝90°，AE ＝AC ＝7，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴BC ＝AC ＝7，AB 22AC +BC =72在Rt △AED 和Rt △ACD 中，AE ＝AC ，DE ＝DC ，∴Rt △AED ≌Rt △ACD ，∴AE ＝AC ＝7，设DE ＝DC ＝x ，则BD ＝7－x ，在Rt △BDE 中，222BE +DE =BD ， 即：()()222277-x x +=， 解得： 21)x =-，故选：C ．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，运用方程思想是解题的关键．9．C解析：C【分析】一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.【详解】A. △ABC 中，若∠B=∠C －∠A ，则∠C =∠A+∠B ，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；B. △ABC 中，若a 2=(b+c)(b －c)，则a 2=b 2－c 2，b 2= a 2+c 2，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；C. △ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误； D. △ABC 中，若a ∶b ∶c=5∶4∶3，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形． 10．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD △是直角三角形.再利用勾股定理求出A C ，可得出AB=AC ，即可判断.【详解】解：由已知可得CD=BD=5,22251213+=即222BD AD AB +=,ABD ∴是直角三角形，90ADB ∠=︒，90ADC ∴∠=︒222AD CD AC ∴+=22∴=+=AC51213AB AC∴==13故ABC是等腰三角形.故选C【点睛】本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握定理是解题关键.二、填空题11．5【解析】试题分析：取AB中点E，连接OE、CE，在直角三角形AOB中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，所以CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以OC的最大值为OE+CE，即OC的最大值=AB=5．考点：勾股定理的逆定理，12．310或10【详解】分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2=AC2-OC2=52-32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2=OB2+OC2=92+32=90，∴10；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2=AC 2-DC 2=52-32=16，∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1．在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=12+32=10，∴10 ；综上可知，这个等腰三角形的底的长度为1010．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．13．163【分析】延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出43AE =．同理，在Rt DEC ∆中求出283CE CD ==2212DE CE CD =-=，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．【详解】解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，∴60C ∠=°，∴30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，∴28BE AB ==，2243AE BE AB ∴-=．在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，43CD =283CE CD ∴==2212DE CE CD ∴=-， ∴1443832ABE S ∆=⨯⨯= 143122432CDE S ∆=⨯= 24383=163CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=四边形． 故答案为：3【点睛】本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．32或42【分析】根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案【详解】当△ABC是钝角三角形时，∵∠D=90°，AC=13，AD=12，∴2222=-=-=,CD AC AD13125∵∠D=90°，AB=15，AD=12，∴2222=-=-=,15129BD AB AD∴BC=BD-CD=9-5=4，∴△ABC的周长=4+15+13=32；当△ABC是锐角三角形时，∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，∴2222-=-=，CD AC AD13125∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，∴2222=-=-，15129BD AB AD∴BC=BD-CD=9+5=14，∴△ABC的周长=14+15+13=42；综上，△ABC 的周长是32或42，故答案为：32或42.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键. 15．15 【分析】 根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案【详解】∵8,AB AC AD BC ==⊥∴点B 与点C 关于AD 对称过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥∴BD=2在Rt △A BC 中， 222282215AD AB BD =-=-= ∵S △ABC=1122BC AD AB CE ⋅⋅=⋅⋅ ∴42158CE ⨯=得15CE =故此题填15【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题16．4【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF，即可求出FG，再求出BF=FG即可【详解】∵AC的垂直平分线FG，∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，∵∠BAC=120°，∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC）=30°，∴∠B=∠G，∴BF=FG，∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3，∴AG=2AE，即（2AE）2=AE2+32，∴即同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF，（2EF）2=EF2+2，∴EF=1（负值舍去），∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，故答案为4．【点睛】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．17【分析】作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【详解】如图，作点B关于AD的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，∴BM+MN=B′M+MN=B′N，由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴B′N=2×323即BM+MN3．3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．18．48 5【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得111012822BD⨯⨯=⨯⨯，解得BD=485.19．7 8【解析】试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC，而∠DAC=∠ACB，则∠D′AC=∠ACB，所以AE=EC，设BE=x，则EC=4-x，AE=4-x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理可计算出BE的长即可．试题解析：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，∴∠DAC=∠D′AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=78， 即BE 的长为78． 20．5【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可．【详解】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=，∴得出18S y x ，24S y x ，3S x =， 12331215S S S x y ，故31215x y， 154=53x y ， 所以245S x y ， 故答案为：5．【点睛】 此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，再利用12315S S S ++=求出是解决问题的关键．三、解答题21．（12）150°；（3【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD ＝3； （2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE ===， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中， ∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12， ∴AG ()222211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）132）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可； （2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=，90B ∠=︒， 222246213()PQ BQ BP cm =+=+=； （2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =； 即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒，90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示：过B 点作BE AC ⊥于点E ， 则68 4.8()10AB BC BE cm AC ⨯=== 22 3.6CE BC BE cm ∴=-=，27.2CQ CE cm ∴==，13.2BC CQ cm ∴+=，13.22 6.6t ∴=÷=秒．由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．23．作图见解析，325【分析】作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，连接AN ，首先用等积法求出AH 的长，易证△ACH ≌△A'NH ，可得A'N=AC=4，然后设NM=x ，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，A'M 的长即为AN+MN 的最小值．【详解】如图，作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，最小值为A'M 的长．连接AN ，在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，∴2222AB AC =84=45++ ∵11AB AC=BC AH 22⋅⋅ ∴8545∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，∴CA ∥A 'M∴∠C=∠A 'NH ，由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH 和△A'NH 中，∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）∴A'N=AC=4=AN ，设NM=x ，在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x在Rt △AA'M 中，165，A 'M=A 'N+NM=4+x ∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()221654-+⎝⎭x ∴()2221654=16-+-⎝⎭x x 解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325 【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．24．（1）2，232）证明见解析（3221（423221【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长； （2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；（3）由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，∴122BC AB ==，∴22=23AC AB BC =-； （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，在Rt △BDE 中，∵122BE AE AB ===，23DE =， ∴22=4BD BE DE =+，∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，∴ABD ∆为等边三角形；（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4，∴22=27CD AC AD =+，∵BCD ACD ACBD S SS =+四边形， ∴111()222BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =； （4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1，∵=23AC ，∴=3CQ QA =， ①若点P 在线段AC 上，则23=333PQ CQ CP =--=， ∴2223=PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上， 则253=333PQ CQ CP =++=， ∴22221=3PE PQ EQ =+； 综上，PE 的长为23或221. 【点睛】 本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF 的长，二是对点P 的位置要分情况进行讨论.25．（1）假；（2）∠A ＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a 2=c 2，再由勾股定理得a 2+b 2=c 2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a ，AD=CD=a ，DB=AB-AD=c-a ，DG=BG=12（c-a ），AG=12（a+c ），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，假设Rt △ABC 是类勾股三角形，∴ab +a 2＝c 2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据勾股定理得，a 2+b 2＝c 2，∴ab +b 2＝a 2+b 2，∴ab ＝a 2，∴a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，∴∠ABC＝64°，根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，∵∠ABC＝64°，∴∠BCD＝∠BDC＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，∴∠BDC＝52°，∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，∴∠BCD＝52°，∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A图3作CG ⊥AB 于G ，∴∠CDB ＝∠ACD +∠A ＝2∠A ，∵∠B ＝2∠A ，∴∠CDB ＝∠B ，∴CD ＝CB ＝a ，∵∠ACD ＝∠A ，∴AD ＝CD ＝a ，∴DB ＝AB ﹣AD ＝c ﹣a ，∵CG ⊥AB ，∴DG ＝BG ＝12（c ﹣a ）， ∴AG ＝AD +DG ＝a +12（c ﹣a ）＝12（a +c ）， 在Rt △ACG 中，CG 2＝AC 2﹣AG 2＝b 2﹣[12（c +a ）]2， 在Rt △BCG 中，CG 2＝BC 2﹣BG 2＝a 2﹣[12（c ﹣a ）]2， ∴b 2﹣[12（a +c ）]2＝a 2﹣[12（c ﹣a ）]2， ∴b 2＝ac +a 2，∴△ABC 是“类勾股三角形”．【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．26．（1131710，112；（2）图见解析；7． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．【详解】解：（1）如图1中，AB 22AE BE +2232+13BC 22BD CD +2214+17AC 22AF CF +2213+10，S△ABC＝S矩形DEFC﹣S△AEB﹣S△AFC﹣S△BDC＝12﹣3﹣32﹣2＝112，故答案为13，17，10，112．（2）△PMN如图所示．S△PMN＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案为7．【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.27．（1）,CM ME CM EM=⊥；（2）见解析；（3）25CM=【解析】【分析】(1)证明ΔFME≌ΔAMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC，EM，由（1）（2）可知，△CME是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）结论：CM＝ME，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM＝∠HBM，在△FME和△BMH中，EFM MBHFM BMFME BMH∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△FME≌△BMH（ASA），∴HM＝EM，EF＝BH，∵CD＝BC，∴CE＝CH，∵∠HCE＝90°，HM＝EM，∴CM＝ME，CM⊥EM．（2）如图2，连接BD，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形，∴45,45FDE CBD ︒︒∠=∠=∴点B E D 、、在同一条直线上，∵90,90BCF BEF ︒︒∠=∠=，M 为BF 的中点， ∴12CM BF =，12EM BF =，∴CM ME =， ∵45EFD ∠=︒，∴135EFC ∠=︒，∵CM FM ME ==，∴,MCF MFC MFE MEF ∠=∠∠=∠∴135MCF MEF ∠+∠=︒，∴36013513590CME ∠=︒-︒-︒=︒，∴CM ME ⊥．（3）如图3中，连接EC ，EM ．由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，∵22EC 26210+=∴CM ＝EM ＝25【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．28．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）2221k k k +++. 【解析】【分析】（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可；ⅱ）求出四边形BGAE的周长，△ABC的周长即可；【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，∵AE＝CD，∴△BAE≌△ACD，∴∠ABE＝∠CAD．（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE是平行四边形．理由：∵△ADG，△ABC都是等边三角形，∴AG＝AD，AB＝AC，∴∠GAD＝∠BAC＝60°，∴△GAB≌△DAC，∴BG＝CD，∠ABG＝∠C，∵CD＝AE，∠C＝∠BAE，∴BG＝AE，∠ABG＝∠BAE，∴BG∥AE，∴四边形AGBE是平行四边形，ⅱ）如图2中，作AH⊥BC于H．∵BH＝CH＝1 (1) 2k+∴1113 1(1),31) 222DH k k AH BH k =-+=-==+∴222AH DH k k1AD=+=++∴四边形BGAE的周长＝22k k1k+++,△ABC的周长＝3（k+1），∴四边形AGBE与△ABC的周长比＝2221 k k k+++【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．29．（1）AB＝45；（2）见解析；（3）CD+CF的最小值为47.【分析】（1）根据勾股定理可求AB的长；（2）过点D作DF⊥AO，根据等腰三角形的性质可得OF＝EF，根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质可得AF＝DF，设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，根据勾股定理用参数x表示DE，CE的长，即可证CE＝2DE；（3）过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，根据锐角三角函数可得∠ABO＝30°，根据轴对称的性质可得AC＝AO＝4，BO＝BC ＝43，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，根据“SAS”可证△ACF≌△BMD，可得CF＝DM，则当点D在CM上时，CF+CD的值最小，根据直角三角形的性质可求CN，BN的长，根据勾股定理可求CM的长，即可得CF+CD的最小值．【详解】（1）∵点A（0，4），B（m，0），且m＝8，∴AO＝4，BO＝8，在Rt△ABO中，AB＝2245AO BO+=（2）如图，过点D作DF⊥AO，∵DE＝DO，DF⊥AO，∴EF＝FO，∵m＝4，∴AO＝BO＝4，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，∵点C，O关于直线AB对称，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AO＝AC＝OB＝BC＝4，∴∠CAO＝∠CBO＝90°，∵DF⊥AO，∠BAO＝45°，∴∠DAF＝∠ADF＝45°，∴AF＝DF，设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，∴AF＝DF＝4﹣x，在Rt △DEF 中，DE ＝()2222242816EF DF x x x x +=+-=-+ 在Rt △ACE 中，CE ＝()()2222164222816AC AE x x x +=+-=-+ ∴CE ＝2DE ， （3）如图，过点B 作BM ⊥OB ，在BM 上截取BM ＝AO ，过点C 作CN ⊥BM ，交MB 的延长线于点N ，∵m ＝3，∴OB ＝3∴tan ∠ABO ＝3343AO BO ==， ∴∠ABO ＝30°∵点C ，O 关于直线AB 对称，∴AC ＝AO ＝4，BO ＝BC ＝3，∠ABO ＝∠ABC ＝30°，∠OAB ＝∠CAB ＝60°， ∴∠CAF ＝120°，∠CBO ＝60°∵BM ⊥OB ，∠ABO ＝30°，∴∠ABM ＝120°，∴∠CAF ＝∠ABM ，且DB ＝AF ，BM ＝AO ＝AC ＝4，∴△ACF ≌△BMD （SAS ）∴CF ＝DM ，∵CF +CD ＝CD +DM ，∴当点D 在CM 上时，CF +CD 的值最小，即CF +CD 的最小值为CM 的长，∵∠CBO ＝60°，BM ⊥OB ，∴∠CBN ＝30°，且BM ⊥OB ，BC ＝3∴CN ＝3BN 3CN ＝6，∴MN ＝BM +BN ＝4+6＝10，在Rt △CMN 中，CM 2247CN MN +=，∴CD +CF 的最小值为7.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形。
八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题及解析
一、选择题1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )A．121 B．110 C．100 D．902．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（）A．4 B．5 C．7 D．63．如图，已知圆柱的底面直径6BCπ=，高3AB=，小虫在圆柱侧面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为（）A．18 B．48 C．120 D．724．如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A ．cmB ．cmC ．cmD ．9cm5．圆柱形杯子的高为18cm ，底面周长为24cm ，已知蚂蚁在外壁A 处（距杯子上沿2cm ）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm ），则蚂蚁从A 处爬到B 处的最短距离为（ ）A ．813B ．28C ．20D ．1226．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =，3BC =．设AB 长是m ，下列关于m 的四种说法：①m 是无理数；②m 可以用数轴上的一个点来表示；③m 是13的算术平方根；④23m <<．其中所有正确说法的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③④ 7．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）A ．30,40,60B ．7,12,13C ．6,8,10D ．3,4,6 8．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=︒正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ）A ．6B ．2C ．8D ．109．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米10．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（ ）A ．7B ．254C ．6D ．112二、填空题11．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．12．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________13．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.14．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．16．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_____．17．如图，正方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，D是BC边上的一点，BD=2，将△ACD沿直线AD翻折，点C刚好落在AB边上的点E处.若P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是________．19．如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，且AB=3，BC=5．①线段OA的取值范围是______________；②若BD-AC=1，则AC•BD= _________．20．如图，直线423y x=+与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段OA上的一点，若将ABC∆沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的'A处，则点C的坐标为______.三、解答题21．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②求AB 的长．22．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．23．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点E 的运动时间为t :（秒）（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）（2）当1t =时，将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设MBN ∆的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．24．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB的值.25．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)26．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P是直线AC上的一点，且13CP AC，连接PE，直接写出PE的长.27．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．图1 图2 备用图28．已知：四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAP＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，请直接判断△AEF的形状是．（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．29．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图1，求∠BGD的度数；（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．（1）AE＝（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是度；（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；（4）连结BE，当CE＝AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，则四边形OALP 是矩形． 90CBF ∠=︒，90ABC OBF ∴∠+∠=︒， 又直角ABC ∆中，90ABC ACB ∠+∠=︒，OBF ACB ∴∠=∠，在OBF ∆和ACB ∆中，BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OBF ACB AAS ∴∆≅∆，AC OB =∴，同理：ACB PGC ∆≅∆，PC AB ∴=，OA AP ∴=，所以，矩形AOLP 是正方形，边长347AO AB AC =+=+=，所以，3710KL =+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110⨯=，故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．2．D解析：D【解析】【分析】先利用勾股定理计算BC 的长度，然后阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直径的半圆面积. 【详解】 解：在中 ∵，, ∴,∴BC=3, ∴阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直径的半圆面积=6.故选D.【点睛】 本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积. 3．D解析：D【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A ，C 的最短距离为线段AC 的长.∵已知圆柱的底面直径6BC π=， ∴623AD ππ=⋅÷=， 在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒ ，3CD AB ==，∴22218AC AD CD =+=，∴从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程的平方为()222472AC AC ==.故选D.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．4．C解析：C【解析】【分析】本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．蚂蚁爬的是一个长方形的对角线．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．【详解】解：如图1，当爬的长方形的长是(4+6)=10，宽是3时，需要爬行的路径的长==cm；如图2，当爬的长方形的长是(3+6)=9，宽是4时，需要爬行的路径的长==cm；如图3，爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是6时，需要爬行的路径的长==cm.所以要爬行的最短路径的长cm.故选C.【点睛】本题考查平面展开路径问题，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线.5．C解析：C【解析】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.详解：如图所示，将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′，连接A ′B ,则A ′B 即为最短距离，A ′B 2222=1216A D BD '++ (cm )故选C. 点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A 关于EF 的对称点A ′是解题的关键.6．C解析：C【分析】根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，∴在Rt ABC 中，m ＝AB 22AC BC +13故①②③正确，∵m 2＝13，9＜13＜16，∴3＜m ＜4，故④错误，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理及算术平方根、无理数的估算，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 7．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【详解】A 、∵222304060+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；B 、∵22271213+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；C 、∵2226810+=，∴该选项的三条线段能构成直角三角形；D 、∵222346+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；故选：C .【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理的计算法则及正确计算是解题的关键. 8．A解析：A【分析】设CF=x，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x，再由AB2+AC2=BC2得到62+（x+2）2=（x+4）2，解方程即可．【详解】设CF=x，则AC=x+2，∵正方形ADOF的边长是2，BD=4，△BDO≌△BEO，△CEO≌△CFO，∴BD=BE，CF=CE，AD=AF=2，∴AB=6，BC=6+x，∵∠A=90°，∴AB2+AC2=BC2，∴62+（x+2）2=（x+4）2，解得：x=6，即CF=6，故选：A．【点睛】考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．9．A解析：A【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．详解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：12×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．10．B解析：B【分析】由折叠的性质得出AD=BD，设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ACD中根据勾股定理列方程即可得出答案．【详解】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴AD=BD，设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ACD中，∵AC2+CD2=AD2，∴62+（8-x）2=x2，解得x= 25 4∴BD=254．故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．二、填空题11．45【分析】如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD. ABC ACB DAC∠+∠=∠，只需证△ADC是等腰直角三角形即可【详解】如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络，555BC=5，∴5其中BD、DC、BC边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵AD=DC∴△ADC是等腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：45°【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA，构造处△ABC的外角∠CAD12．310或10【详解】分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2=AC2-OC2=52-32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2=OB2+OC2=92+32=90，∴BC=310；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-DC2=52-32=16，∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=12+32=10，∴10；综上可知，这个等腰三角形的底的长度为1010．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．13．5【分析】设绳索x尺，过点B向地面及AO作垂线BE、BC，构成直角三角形OBE，利用勾股定理求出x的值【详解】如图，过点B作BC⊥OA于点C，作BD垂直于地面，延长OA交地面于点D由题意知AD=1，BE=5，BC=10设绳索x尺，则OA=OB=x∴OC=x+1-5=x-4在Rt△OBC中，OB2=OC2+BC2∴222(4)10x x =-+得x=14.5（尺）故填14.5 ,【点睛】此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 14．71-【分析】分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--， ∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71--71【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.15．4【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF，即可求出FG，再求出BF=FG即可【详解】∵AC的垂直平分线FG，∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，∵∠BAC=120°，∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC）=30°，∴∠B=∠G，∴BF=FG，∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3，∴AG=2AE，即（2AE）2=AE2+32，∴即同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF，（2EF）2=EF2+2，∴EF=1（负值舍去），∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，故答案为4．【点睛】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．16．4或【分析】分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．【详解】①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°．又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=2222⨯=．在Rt△BAC中，BC2222=+=22，∴BD22222222BE DE（）（）=+=++= 25；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=AC sin45°=222⨯=．又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°．又∵在Rt△ABC中，BC2222=+=22，∴BD222222210BC CD=+=+=（）（）．故BD的长等于4或510．故答案为4或510．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，17．5【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】展开图如图所示：由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，∴蚂蚁爬行的最短路径长=PQ=2222105PD QD +=+=55（cm ），故答案为：55．【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．18．222+【分析】连接CE ，交AD 于M ，根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和D 重合时，PE+BP 的值最小，此时△BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE ，先求出BC 和BE 长，代入求出即可．【详解】如图，连接CE ，交AD 于M ，∵沿AD 折叠C 和E 重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE ，∠CAD=∠EAD ，∴AD 垂直平分CE ，即C 和E 关于AD 对称，BD=2，∴2，∴当P 和D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时△BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE ，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠ABC=45°，∴∠B=45°，∵DE=2， ∴BE=2，即BC=2+2，∴△PEB 的周长的最小值是BC+BE=2+2+2=2+22．故答案为2+22．【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置．19．①1＜OA ＜4． ②672． 【解析】(1)由三角形边的性质5-3<2OA <5+3,1＜OA ＜4.(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE ,由题意知，22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()24CE +， ()()222225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-，2AC ∴+ 2BD=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68，BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD =1， ∴AC •BD =672.20．（0，34）. 【分析】由423y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122OA '=-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在423y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2）当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32-,0), 在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=32,∴52AB ===, ∴53122OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）由翻折得ABC A BC '≌，∴2A C AC m '==-，在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,∴222(2)1m m -=+，解得m=34， ∴点C 的坐标为（0，34）. 故答案为：（0，34）. 【点睛】此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC '≌是解题的关键，得到OC 与A’C 的数量关系，利用勾股定理求出点C 的坐标. 三、解答题21．（1）BC−AC ＝AD ；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，证△ACD ≌△ECD 得DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，据此∠CED ＝2∠CBA ，结合∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE 得出∠CBA ＝∠BDE ，即可得DE ＝BE ，进而得出答案；（2）①在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，先证△ADC ≌△AMC ，得到∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ，结合CD ＝BC 知CM ＝CB ，据此得∠B ＝∠CMB ，根据∠CMB ＋∠CMA ＝180°可得；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由CB ＝CM 知BN ＝MN ＝a ，CN 2＝BC 2−BN 2＝AC 2−AN 2，可得关于a 的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC ＝AD ．理由如下：如图（a ），在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠ECD ，又CD ＝CD ，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，∴∠CED ＝2∠CBA ，∵∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE ，∴∠CBA ＝∠BDE ，∴DE ＝BE ，∴AD ＝BE ，∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ，∴BC−AC ＝AD ．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠MAC ，∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ），∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，∵CD ＝BC ＝12，∴CM ＝CB ，∴∠B ＝∠CMB ，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝， 则22221216(8)a a --+＝， 解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．22．（1）AE=BD 且AE ⊥BD ；（2）6；（3）PQ 为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE ⊥BD ； （2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长； （3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC ，可得AE ⊥BD ，由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长．【详解】解：（1）AE=BD ，AE ⊥BD ，理由如下：∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，∴∠EAC+∠CAB=90°，∴AE ⊥BD ；（2）∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；（3）如图3，若点D 在AB 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；如图4，若点D 在BA 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE ⊥BD 是本题的关键．23．（1）6-t ，t+23；（2）D(1，3)，y=34-x+154；（3）1515215()4215215()2b b S b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【分析】（1）根据点E ，F 的运动轨迹和速度，即可得到答案；（2）由题意得：DF=OF=53，DE=OE=5，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，根据勾股定理得DG=4，进而得D(1，3)，根据待定系数法，即可得到答案； （3）根据题意得直线直线MN 的解析式为：34y x b =-+，从而得M(443b -，3)，分2种情况：①当点M 在线段DB 上时， ②当点M 在DB 的延长线上时，分别求出S 与b 之间的函数关系式，即可．【详解】∵(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，∴OA=6，OC=3，∵AE=t×1= t ， ∴OE =6-t ，OF =(t+23)×1=t+23， 故答案是：6-t ，t+23； （2）当1t =时，OE =6-t=5，OF =t+23=53， ∵将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，∴DF=OF=53，DE=OE=5， 过点E 作EG ⊥BC 于点G ，则EG=OC=3，CG=OE=5，∴4=，∴CD=CG-DG=5-4=1，∴D(1，3)，设直线DE 的解析式为：y=kx+b ，把D(1，3)，E(5，0)代入y=kx+b ，得350k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：34154k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线DE 的解析式为：y=34-x+154； （3）∵MN ∥DE ，∴直线直线MN的解析式为：34y x b =-+，令y=3，代入3 4y xb=-+，解得：x=443b-，∴M(443b-，3)．①当点M在线段DB上时，BM=6-(443b-)=4103b-+，∴1143(10)223S BM AB b=⋅=⨯⨯-+=215b-+，②当点M在DB的延长线上时，BM=443b--6=4103b-，∴1143(10)223S BM AB b=⋅=⨯⨯-=215b-，综上所述：1515215()4215215()2b bSb b⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握勾股定理与一次函数的待定系数法，是解题的关键．24．（1）详见解析；（241；（33【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS证△ACE≌△ABD可得；（2）连接BD，证1302FEA AED∠=∠=，证△ACE≌△ABD可得30FEA BDA∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE∠=∠=，利用勾股定理得AE2AB=，3AB，根据（1）思路得3AB.【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以222AB AC AC +因为AB AC =所以AE 2=又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠=所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB所以33 AD ABAB AB==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.25．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD的周长为m+2【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt △CDB 中，CD 2+CB 2=BD 2，x 2+62=（8-x ）2，解得：x=74， AD=8-74=164； （3）∵△ABC 的面积为m+1， ∴12AC •BC=m+1， ∴AC •BC=2m+2， ∵在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，∴CA 2+CB 2+2AC •BC=BA 2+2AC •BC ，∴（CA+BC ）2=m 2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB ，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD 的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．26．（1）2，2）证明见解析（3（4【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长； （2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；（3）由（1）（2）可知，AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，∴122BC AB ==，∴AC = （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，在Rt △BDE 中，∵122BE AE AB ===，DE =∴22=4BD BE DE =+，∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，∴ABD ∆为等边三角形；（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4， ∴22=27CD AC AD =+， ∵BCD ACD ACBD S SS =+四边形， ∴111()222BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =； （4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1， ∵=23AC ，∴=3CQ QA =，①若点P 在线段AC 上， 则23=333PQ CQ CP =-=， ∴2223PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上， 则253333PQ CQ CP =+=， ∴22221=3PE PQ EQ =+； 综上，PE 23221. 【点睛】 本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF的长，二是对点P的位置要分情况进行讨论.27．（1）见详解；（2）①t值为：103s或6s；②t值为：4.5或5或4912．【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，在Rt△ACD中，AC=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，∴S△ABC=12×5x×4x=40cm2，而x＞0，∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．由运动知，AM=10-2t，AN=t，①当MN∥BC时，AM=AN，即10-2t=t，∴103t ；当DN∥BC时，AD=AN，∴6=t，得：t=6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为103s或6s．②存在，理由：Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形Ⅲ、当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，∴DE=12AC=5当DE=DM，则2t-4=5，∴t=4.5s；当ED=EM，则点M运动到点A，∴t=5s；当MD=ME=2t-4，如图，过点E作EF垂直AB于F，∵ED=EA，∴DF=AF=12AD=3，在Rt△AEF中，EF=4；∵BM=2t，BF=BD+DF=4+3=7，∴FM=2t-7在Rt△EFM中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，∴t=49 12．综上所述，符合要求的t值为4.5或5或49 12．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．28．（1）△AEF是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F到BC的距离为3﹣．【解析】【分析】（1）连接AC，证明△ABC是等边三角形，得出AC＝AB，再证明△BAE≌△DAF，得出AE ＝AF，即可得出结论；（2）连接AC，同（1）得：△ABC是等边三角形，得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再证明△BAE≌△CAF，即可得出结论；（3）同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，得出AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，证明△BAE≌△CAF，得出BE＝CF，AE＝AF，证出△AEF是等边三角形，得出∠AEF ＝60°，证出∠AEB＝45°，得出∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，作FH⊥BC于H，在△CEF 内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，则GE＝GF，∠FGH＝30°，由直角三角形的性质得出FG＝2FH，GH＝FH，CF＝2CH，FH＝CH，设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，得出EH＝4+x＝2x+3x，解得：x＝﹣1，求出FH＝x ＝3﹣即可．【详解】（1）解：△AEF是等边三角形，理由如下：。
八年级初二数学数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题及解析
八年级初二数学数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题及解析一、选择题1．如图，点A 的坐标是(2)2，，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）A ．（2，0）B ．（4，0）C ．（－22，0）D ．（3，0）2．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm ．A ．25B ．20C ．24D ．105 3．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE a =，则下列说法正确的是（ ） ①DC '平分BDE ∠；②BC 长为()22a +；③BCD 是等腰三角形；④CED 的周长等于BC 的长．A ．①②③B ．②④C ．②③④D ．③④4．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，P 是BC 上一点，且DB ＝DC ，过BC 上一点P ，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥DC 于F ，已知：AD ：DB ＝1：3，BC ＝46，则PE+PF 的长是（ ）A ．6B ．6C ．42D ．265．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（）A．37B．13C．37或者13D．37或者137 6．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（）A．5B．8C．10D．127．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（）A．49B．25C．12D．108．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（）A．34B．35C．45D．1259．在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=6 B．a=5，b=6，c=7 C．a=6，b=8，c=9 D．a=7，b=24，c=25 10．如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9 B．10C．326+D．12二、填空题11．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB∠+∠=__________°（点A，B，C是网格线交点）．12．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上．若3AE =，7AD =，则AC 的长为_________13．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．14．在△ABC 中，若222225,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．16．在ABC ∆中，10AB cm =，17AC cm =，BC 边上的高为8cm ，则ABC ∆的面积为______2cm ．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．18．在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，过点C 作直线l AB ，F 是l 上的一点，且AB AF =，则FC =__________．19．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________20．如图，Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，D 为斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则EF 的最小值是_____．三、解答题21．如图，,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ︒∆∠===是边上的两点，点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 沿B C A →→运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求线段PQ 的长；（2）求点Q 在BC 上运动时，出发几秒后，PQB 是等腰三角形；（3）点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．22．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．23．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）24．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．25．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB的值.26．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝，BC＝，AC＝．△ABC 的面积是．（2）已知△PMN中，PM＝17，MN＝25，NP＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积．27．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足6m ＋（n﹣12）2＝0．（1）求直线AB的解析式及C点坐标；（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．28．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.29．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ＝()()()()a b c a b c a c b b c a +++-+-+-． （1）（举例应用）已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为 ；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB ＝（26+42）m ，BC ＝5m ，CD ＝7m ，AD ＝46m ，∠A ＝60°，求该块草地的面积．30．如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG ≌△BDF ；(2)请你连结EG,并求证:EF=EG ；(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；(4)求线段EF 长度的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【详解】解：（1）当点P在x轴正半轴上，①以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，OA=22，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A 的坐标是（2，2），∴OA= 22， ∴OA=AP=22∴P 的坐标是（-22，0）．故选D ．2．A解析：A【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB ；把右侧面展开到正面上，连结AB ，；把向上的面展开到正面上，连结AB ；然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB ，再进行大小比较．【详解】把左侧面展开到水平面上，连结AB ，如图1()2210205925537AB =++==把右侧面展开到正面上，连结AB ，如图2()()222010562525AB =++== 把向上的面展开到正面上，连结AB ，如图3()()2210205725529AB =++==925725625>>∴53752925>>∴需要爬行的最短距离为25cm故选：A ．【点睛】本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．3．B解析：B【分析】根据折叠前后得到对应线段相等，对应角相等判断①③④式正误即可，根据等腰直角三角形性质求BC 和DE 的关系．【详解】解：根据折叠的性质知，△C ED CED '≅∆，且都是等腰直角三角形，∴90BDE ∠<︒，45C DE ∠'=︒，∴12C DE BDE ∠'≠∠ ∴DC '不能平分BDE ∠①错误；45DC E DCE ∴∠'=∠=︒，C E CE DE AD a '====，2CD DC a ='=，2AC a a ∴=，2(22)BC a ==，∴②正确；2ABC DBC ∠=∠，22.5DBC ∴∠=︒，45DCB ∠=︒，112.5BDC ∴∠=︒，BCD ∴∆不是等腰三角形，故③错误；CED∴∆的周长(2CE DE CD a a a BC=++=+==，故④正确．故选：B．【点睛】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②等腰直角三角形，三角形外角与内角的关系，等角对等边等知识点．4．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的面积判断出PE+PF的长等于AC的长，这样就变成了求AC的长；在Rt△ACD 和Rt△ABC中，利用勾股定理表示出AC，解方程就可以得到AD的长，再利用勾股定理就可以求出AC的长，也就是PE+PF的长．【详解】∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，∴S△BCD=12BD•PE+12CD•PF=12BD•AC，∴PE+PF=AC，设AD=x，BD=CD=3x，AB=4x，∵AC2=CD2-AD2=（3x）2-x2=8x2，∵AC2=BC2-AB2=（）2-（4x）2，∴x=2，∴，∴故选C【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．5．C解析：C【分析】如图1或图2所示，分类讨论，利用勾股定理可得结论．【详解】当如图1所示时，AB=2，BC=3，∴AC=22+；23=13当如图2所示时，AB=1，BC=6，∴AC=221+6=37；故选C．【点睛】本题主要考查图形的拼接，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．6．C解析：C【解析】分析：通过切线的性质表示出EC的长度，用相似三角形的性质表示出OE的长度，由已知条件表示出OC的长度即可通过勾股定理求出结果.详解：如图：连接BC，并连接OD交BC于点E：∵DP⊥BP，AC为直径；∴∠DPB=∠PBC=90°.∴PD∥BC,且PD为⊙O的切线.∴∠PDE=90°=∠DEB,∴四边形PDEB为矩形，∴AB∥OE，且O为AC中点，AB=6.∴PD=BE=EC.∴OE=1AB=3.2设PA=x，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC，EC=PD=6-x..在Rt△OEC中:222+=,OE EC OC即：()()222363x x +-=+，解得x=2.所以AC=2OC=2×（3+x ）=10.点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理. 7．C解析：C【解析】试题解析：如图，∵大正方形的面积是25，∴c 2=25，∴a 2+b 2=c 2=25，∵直角三角形的面积是（25-1）÷4=6， 又∵直角三角形的面积是12ab=6， ∴ab=12．故选C. 8．D解析：D【解析】在Rt △ABC 中 ∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB=5，设点C 到AB 的距离为h ，即可得12h×AB=12AC×BC ，即12h×5=12×3×4，解得h=125，故选D. 9．D解析：D【解析】A 选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；B 选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；C 选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；D 选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确． 故选D ．10．B解析：B【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．【详解】解：如图，AB 22(24)2210++=．故选：B．【点睛】此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．二、填空题11．45【分析】∠+∠=∠，只需证△ADC是如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD. ABC ACB DAC等腰直角三角形即可【详解】如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络，555BC=5，∴5其中BD、DC、BC边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵AD=DC∴△ADC是等腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：45°【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA，构造处△ABC的外角∠CAD 125【分析】由题意可知，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，求出∠ACE ＝∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD＝3，∠ADB ＝90°，由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长．【详解】解：如图所示，连接BD ，∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，且∠ACE ＝∠BCD ＝90°-∠ACD ，在ACE 和BCD 中，AC=BC ACE=BCD CE=CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD 3E ＝∠BDC ＝45°，∴∠ADB ＝∠ADC+∠BDC ＝45°+45°＝90°，∴AB 22AD +BD =7+3=10， ∵AB=2BC ，∴BC ＝2AB=525【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．13．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．【分析】题中没有指明△ODP 的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P 的坐标．【详解】解：（1）OD 是等腰三角形的底边时，P 就是OD 的垂直平分线与CB 的交点，此时OP ＝PD ≠5；（2）OD 是等腰三角形的一条腰时：①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点，在直角△OPC 中，CP ＝22OP OC -＝2254-＝3，则P 的坐标是（3，4）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 过D 作DM ⊥BC 于点M ，在直角△PDM 中，PM ＝22PD DM -＝3，当P 在M 的左边时，CP ＝5﹣3＝2，则P 的坐标是（2，4）；当P 在M 的右侧时，CP ＝5+3＝8，则P 的坐标是（8，4）．故P 的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.14．125【分析】 解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.【详解】解：∵222225,7a b a b +=-=，将两个方程相加得：2232a =，∵a ＞0，∴a=4代入得：22425b +=，∵b ＞0，∴b=3，∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，∴△ABC 是直角三角形，如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，1122ABC SAC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ， 即：1134522CD ⋅⋅=⋅⋅， 解得：CD=125， 故答案为：125. 【点睛】 本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.15．75或6或94 【分析】当△ABP 为等腰三角形时，分三种情况：①当AB ＝BP 时；②当AB ＝AP 时；③当BP ＝AP 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2﹣AC 2＝7.52﹣4.52＝36，∴BC ＝6（cm ）；①当AB ＝BP ＝7.5cm 时，如图1，t ＝7.52＝3.75（秒）； ②当AB ＝AP ＝7.5cm 时，如图2，BP ＝2BC ＝12cm ，t ＝6（秒）；③当BP ＝AP 时，如图3，AP ＝BP ＝2tcm ，CP ＝（4.5﹣2t ）cm ，AC ＝4.5cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2+CP 2，所以4t 2＝4.52+（4.5﹣2t ）2，解得：t ＝94， 综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝3.75或t ＝6或t ＝94． 故答案为：3.75或6或94．【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.16．36或84【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况分别求出BC的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵BC边上的高为8cm，∴AD=8cm，∵AC=17cm，由勾股定理得：22221086BD AB AD=-=-=cm，222217815CD AC AD=-=-=cm，如图1，点D在边BC上时，BC=BD+CD=6+15=21cm，∴△ABC的面积=12BC AD=12×21×8=84cm2，如图2，点D在CB的延长线上时，BC= CD−BD=15−6=9cm，∴△ABC的面积=12BC AD=12×9×8=36 cm2，综上所述，△ABC的面积为36 cm2或84 cm2，故答案为：36或84．【点睛】本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．17．4【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE 和EF ，即可求出FG ，再求出BF=FG 即可【详解】∵AC 的垂直平分线FG ，∴AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，∵∠BAC=120°，∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，∵∠BAC=120°，AB=AC ，∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC ）=30°， ∴∠B=∠G ，∴BF=FG ，∵在Rt △AEG 中，∠G=30°，EG=3，∴AG=2AE ，即（2AE ）2=AE 2+32，∴AE=3（负值舍去）即CE=3，同理在Rt △CEF 中，∠C=30°，CF=2EF ，（2EF ）2=EF 2+（3）2，∴EF=1（负值舍去），∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，故答案为4．【点睛】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．18．31+或31-【解析】如图，l AB ，2AC =，作AD l ⊥于点D ，∴1AD =，∵2AF AB ===，且F 有2个，∴12DF DF ===∵1DC AD ==，∴111CF CD DF =+=221CF DF CD =-=．点睛：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答，考查了学生的空间想象能力．19．等腰直角三角形【解析】根据非负数的意义，由()22220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角形是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.20 【解析】试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA ＝90°，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，证得四边形CEDF 是矩形，连接CD ，则CD=EF ，当CD⊥AB 时，CD 最短，即EF=CD=5.故答案为5. 点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．三、解答题21．（1）出发2秒后，线段PQ 的长为2）当点Q 在边BC 上运动时，出发83秒后，△PQB 是等腰三角形；（3）当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形.【分析】（1）由题意可以求出出发2秒后，BQ 和PB 的长度，再由勾股定理可以求得PQ 的长度； （2）设所求时间为t ，则可由题意得到关于t 的方程，解方程可以得到解答； （3）点Q 在边CA 上运动时，ΔBCQ 为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答．【详解】(1)BQ=2×2=4cm ，BP=AB−AP=8−2×1=6cm ，∵∠B=90°，由勾股定理得：PQ=22224652213BQ BP +=+==∴出发2秒后，线段PQ 的长为213；(2)BQ=2t ，BP=8−t由题意得：2t=8−t解得：t=83 ∴当点Q 在边BC 上运动时，出发83秒后，△PQB 是等腰三角形； (3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，∴AC=2268+=10.①当CQ=BQ 时(图1)，则∠C=∠CBQ ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ ，∴BQ=AQ ，∴CQ=AQ=5，∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒；②当CQ=BC 时(如图2)，则BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒③当BC=BQ 时(如图3)，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，∴BE=6824105AB BC AC ⋅⨯==， 所以22BC BE -=185=3.6， 故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，∴t=13.2÷2=6.6秒.由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形.【点睛】本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键．22．BF 的长为32【分析】先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．【详解】解：连接BF ．∵CA=CB ，E 为AB 中点∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5°在△BFD中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD⊥AD，∠D=90°∴△BFD为等腰直角三角形，BD=FD=3∴222232BF BD FD BD=+==【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．23．（1）见解析；（2）CD＝2AD+BD，理由见解析；（3）CD＝3AD+BD【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE＝2AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝3AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD＝2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ，∴∠ADH ＝30°，∴AH ＝12AD ，∴DH 2AD ， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD +BD ，故答案为：CD +BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.24．（1）①见解析；②DE ＝297；（2）DE 的值为 【分析】（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．【详解】（1）①如图1中，∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，∴△BAE ≌△CAF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，∵∠BAC ＝90°，∠EAD ＝45°，∴∠CAD +∠BAE ＝∠CAD +∠CAF ＝45°，∴∠DAE ＝∠DAF ，∵DA ＝DA ，AE ＝AF ，∴△AED ≌△AFD （SAS ）；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∵∠ABE＝∠ACF＝45°，∴∠DCF＝90°，∵△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF＝x，∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，∴x2＝（7﹣x）2+32，∴x＝297，∴DE＝297；（2）∵BD＝3，BC＝9，∴分两种情况如下：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∵AE＝AD，AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，∴∠EBD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，∴DE＝35；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，∴DE＝317，综上所述，DE的值为35或317．【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．25．（1）详见解析；（2）41；（3）3.【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，BE=3AB ，根据（1）思路得AD=BE=3AB .【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以AE=222AB AC AC +=因为AB AC =所以AE 2AB =又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠= 所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB 所以33AD AB AB ==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.26．（1131710，112；（2）图见解析；7． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积． （2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．【详解】解：（1）如图1中，AB 22AE BE +2232+13BC 22BD CD +2214+17AC 22AF CF +2213+10，S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣32﹣2＝112， 131710，112． （2）△PMN 如图所示．S△PMN＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案为7．【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.27．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，0）；（3）点P的坐标（143-，643）【分析】（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；（2）画出图象，由CD⊥AB知1AB CDk k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.【详解】解：（16m-n﹣12）2＝0，∴m＝6，n＝12，∴A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则有1260bk b=⎧⎨+=⎩，解得212kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，∵直线AB过点C（a，a），∴a＝－2a＋12，∴a＝4，∴点C坐标（4，4）．（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，设直线CD解析式为y＝12x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，∴直线CD解析式为y＝12x＋2，∴点D坐标（－4，0）．（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，图2∵直线EC解析式为y＝32x－2，直线CF解析式为y＝－23x＋203，∵32×（－23）＝－1，∴直线CE⊥CF，∵EC＝13CF＝13∴EC＝CF，∴△FCE是等腰直角三角形，∴∠FEC＝45°，∵直线FE解析式为y＝－5x－2，由21252y xy x=-+⎧⎨=--⎩解得143643xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为（1464,33-）. 【点睛】 本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121k k =-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F （－2，8）是解题的突破口.28．（1）(0，；（2）DF OE =；（3）9+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出OA ==A 的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得12DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，OA === ∴点A 的坐标为(0，；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，AO =3·sin 606392AG OA ∴=︒=⨯=， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点，11633322DG OF ∴==⨯=， ADG ∴∆的周长93233AG AD DG =++=++．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．29．（1）46（2）（123+24+510）m 2【分析】（1）由已知△ABC 的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．【详解】（1）解：△ABC 的面积为S ＝()()()()a b c a b c a c b b c a +++-+-+-＝(457)(457)(475)(574)+++-+-+- ＝46 故答案是：46；（2）解：如图：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接BD （如图所示）在Rt △ADE 中，∵∠A ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴AE＝12AD＝∴BE＝AB﹣AE＝﹣＝DE==∴BD==∴S△BCD=∵S△ABD＝1124 22AB DE⋅=⨯⨯=∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD＝24+答：该块草地的面积为（24+m2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法.此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键.30．(1)见解析(2) 见解析(3) 见解析（4）5【解析】【分析】（1）由D是AB中点知AD=BD，结合DG=DF，∠ADG=∠BDF即可得证；（2）连接EG．根据垂直平分线的判定定理即可证明．（3）由△ADG≌△BDF，推出∠GAB=∠B，推出∠EAG=90°，可得EF2=（8-x）2+y2，EG2=x2+（6-y）2，根据EF=EG，可得（8-x）2+y2=x2+（6-y）2，由此即可解决问题．（4）由EF知x=4时，取得最小值．【详解】解：（1）∵D是边AB的中点，∴AD=BD，在△ADG和△BDF中，∵AD BDADG BDF DG DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG≌△BDF（SAS）；（2）如图，连接EG．∵DG =FD ，DF ⊥DE ，∴DE 垂直平分FG ．∴EF =EG ．（3）∵D 是AB 中点，∴AD =DB ，∵△ADG ≌△BDF ，∴∠GAB =∠B∵AB =10,BC =6,AC =8.∴2AB = 2BC + 2AC∴∠ACB =90°，∴∠CAB +∠B =90°，∠CAB +∠GAB =90°，∴∠EAG =90°，∵AE =x ，AC =8，∴EC =8-x ，∵∠ACB =90°，∴EF 2=（8-x ）2+y 2，∵△ADG ≌△BDF ，∴AG =BF ，∵CF =y ，BC =6，∴AG =BF =6-y ，∵∠EAG =90°，∴EG 2=x 2+（6-y ）2，∵EF =EG ，∴（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，∴y =473x -，（74＜x ＜254）． （4）∵EC =8-x ，CF =y =43x -73， ∴EF 22EC CF +=2247(8)()33x x -+-== ∵（x -4）2≥0， ∴225(4)259x -+≥25， ∴当x =4时，EF 取得最小值，最小值为5．故线段EF 的最小值为5．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。
初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)-
初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)一．选择题（共8小题）1．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．D．2．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c23．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm4．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+6．一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米，若梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（）A．1.5米B．0.9米C．0.8米D．0.5米7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A．2 B．2.6 C．3 D．48．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169二．填空题（共5小题）9．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是．10．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为米．11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于．12．观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是（只填数，不填等式）13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=，c=．三．解答题（共27小题）14．a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．15．如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积．16．如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来．17．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．18．如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响．（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？19．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC 边上的动点，点P从点A开始沿A⇒B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．20．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为．（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是m2．21．（1）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积．请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）已知△ABC三边的长分别为a（a＞0），求这个三角形的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出相应的△ABC，并求出它的面积．类比创新：（3）若△ABC三边的长分别为（m＞0，n ＞0，且m≠n），求出这个三角形的面积．如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m，n，请在网格中画出相应的△ABC，用网格计算这个三角形的面积．22．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？23．（拓展创新）在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S′+S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S 的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S′+S″与S的关系（如图3）．24．如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C（a，b）和D（b，﹣a）（a、b均大于0）；（1）连接OD、CD，求证：∠ODC=45°；（2）连接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度数；（3）若a=b，在线段OA上有一点E，且AE=3，CE=5，AC=7，求△OCA的面积．25．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远？26．（1）先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x=10．（2）已知，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．（3）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图：①从点A出发在图中画一条线段AB，使得AB=；②画出一个以（1）中的AB为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长．27．[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c 的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明＜，其证明步骤如下：∵BC=a+b，AD=又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即∴．28．观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．29．超速行驶容易引发交通事故．如图，某观测点设在到公路l的距离为100米的点P处，一辆汽车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，是判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：=1.41，=1.73）30．中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C 处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．31．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：m 2 3 3 4…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b4 6 1224 …c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣32…其中m、n为正整数，且m＞n．（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a=，b=，c=．（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．32．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）．（1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度；（2）当t为多少时．△PQB是以BP为底的等腰三角形．33．阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）理解：①根据“奇异三角形”的定义，请你判断：“等边三角形一定是奇异三角形”吗？（填是或不是）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形（是或不是）奇异三角形．（2）探究：若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2，则第三边的长为，且这个直角三角形的三边之比为（从小到大排列，不得含有分母）．（3）设问：请提出一个和奇异三角形有关的问题．（不用解答）34．观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，…用你的发现解决下列问题：（1）填空：112=+ ；（2）请用含字母n（n为正整数）的关系式表示出你发现的规律：；（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．35．小明爸爸给小明出了一道题：如图，修公路AB遇到一座山，于是要修一条隧道BC．已知A，B，C在同一条直线上，为了在小山的两侧B，C同时施工．过点B作一直线m（在山的旁边经过），过点C作一直线l与m相交于D点，经测量∠ABD=130°，∠D=40°，BD=1000米，CD=800米．若施工队每天挖100米，求施工队几天能挖完？36．如图，把一块等腰直角三角形零件（△ABC，其中∠ACB=90°），放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE=∠BED=90°，测得AD=5cm，BE=7cm，求该三角形零件的面积．37．如图，四边形ABCD的三边（AB、BC、CD）和BD的长度都为5厘米，动点P从A出发（A→B→D）到D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发（D→C→B→A）到A，速度为2.8厘米/秒．5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时△APQ的形状．38．一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B 处，且AB=100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．39．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．40．如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？1．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．7+C．12或7+D．以上都不对2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）A．B．C．D．3．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．如图，带阴影的正方形面积是．5．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD=．6．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2016秋•吴江区期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．D．【分析】首先根据勾股定理，得：斜边==13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．【解答】解：由题意得，斜边为=13．所以斜边上的高=12×5÷13=．故选D．【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．2．（2016春•抚顺县期中）下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；故选C．【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，只有斜边的平方才等于其他两边的平方和．3．（2016春•临沭县期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．【解答】解：如图，由题意得：AC=15×5=75cm，BC=30×6=180cm，故AB===195cm．故选A．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．4．（2015春•青山区期中）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2=（x+1）2，解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），故选D．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．5．（2016春•南陵县期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA=OB=，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．【解答】解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．∵在直角△BOC中，OC=2，BC=1，则根据勾股定理知OB===，∴OA=OB=，∴a=﹣1﹣．故选A．【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴．找出OA=OB是解题的关键．6．（2015春•蓟县期中）一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米，若梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（）A．1.5米B．0.9米C．0.8米D．0.5米【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C 的长，进而可得出结论．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=2.5m，BC=0.7m，∴AC===2.4（m）．∵梯子的顶端下滑了0.4米，∴A′C=2m，∵在Rt△A′B′C中，A′B′=2.5m，A′C=2m，∴B′C==1.5m，∴BB′=B′C﹣BC=1.5﹣0.7=0.8m．故选C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．7．（2015春•罗田县期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A．2 B．2.6 C．3 D．4【分析】根据勾股定理求出AB的长即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB==13，又∵AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，∴AM=12，BN=5，∴MN=AM+BN﹣AB=12+5﹣13=4．故选D．【点评】本题综合考查了勾股定理的应用，找到关系MN=AM+BN﹣AB是关键．8．（2016春•重庆校级期中）如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（a+b）2的值．【解答】解：（a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（13﹣1）=25．故选C．【点评】考查了勾股定理的证明，注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．二．填空题（共5小题）9．（2016春•固始县期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是7cm≤h≤16cm．【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h=24﹣8=16cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB==17，∴此时h=24﹣17=7cm，所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．故答案为：7cm≤h≤16cm．【点评】本题考查了勾股定理的应用，求出h的值最大值与最小值是解题关键．10．（2015春•汕头校级期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（1+）米．【分析】根据题意利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案．【解答】解：由题意得：在直角△ABC中，AC2+AB2=BC2，则12+22=BC2，∴BC=，∴则树高为：（1+）m．故答案为：（1+）．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键．11．（2016春•高安市期中）已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于24cm2．【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出ab的值，即可确定出直角三角形的面积．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，∴由勾股定理得：a2+b2=c2，即（a+b）2﹣2ab=c2=100，∴196﹣2ab=100，即ab=48，则Rt△ABC的面积为ab=24（cm2）．故答案为：24cm2．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．12．（2016春•嘉祥县期中）观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是15，112，113（只填数，不填等式）【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数．【解答】解：∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113．故答案为：15，112，113．【点评】此题考查的知识点是勾股数，属于规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．13．（2009春•武昌区期中）观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=84，c=85．【分析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题．【解答】解：在32=4+5中，4=，5=；在52=12+13中，12=，13=；…则在13、b、c中，b==84，c==85．【点评】认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键．三．解答题（共27小题）14．（2016春•黄冈期中）a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．【分析】现对已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）=0，即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，由非负数的性质可得：，解得，∵52+122=169=132，即a2+b2=c2，∴∠C=90°，即三角形ABC为直角三角形．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、完全平方公式、非负数的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15．（2016秋•永登县期中）如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积．【分析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以判定△ACD为直角三角形，（1）根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；（2）根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．【解答】解：（1）连接AC，∵AB⊥CB于B，∴∠B=90°，在△ABC中，∵∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2，又∵AB=CB=，∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，∵CD=，DA=1，∴CD2=5，DA2=1，AC2=4．∴AC2+DA2=CD2，由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；（2）∵∠DAC=90°，AB ⊥CB 于B ，∴S △ABC =，S △DAC =，∵AB=CB=，DA=1，AC=2， ∴S △ABC =1，S △DAC =1而S 四边形ABCD =S △ABC +S △DAC ，∴S 四边形ABCD =2．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD 是直角三角形是解题的关键．16．（2016春•邹城市校级期中）如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来．【分析】直接利用网格结合勾股定理求出答案．【解答】解：如图所示：△ABC 即为所求．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确借助网格求出是解题关键．17．（2015春•平南县期中）如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．【分析】根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．【解答】解：∵AD∥BE∴∠ABE=∠DAB=60°∵∠CBE=30°∴∠ABC=180°﹣∠ABE﹣∠CBE=180°﹣60°﹣30°=90°，在Rt△ABC中，∴==200，∴A、C两点之间的距离为200km．【点评】本题考查勾股定理的应用，先确定是直角三角形后，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长，且求出∠DAC的度数，进而可求出点C在点A的什么方向上．18．（2015秋•新泰市期中）如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响．（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？【分析】（1）过A作AE⊥BD于E，线段AE的长即为台风中心与气象台A的最短距离，由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果；（2）根据题意得出线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，求出CD的长，即可得出结果．【解答】解：（1）过A作AE⊥BD于E，如图1所示：∵台风中心在BD上移动，∴AE的长即为气象台距离台风中心的最短距离，在Rt△ABE中，∠ABE=90°﹣60°=30°，∴AE=AB=160，即台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是160km．（2）∵台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响，∴线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，连接AC，如图2所示：在Rt△ACE中，AC=200km，AE=160km，∴CE==120km，∵AC=AD，AE⊥CD，∴CE=ED=120km，∴CD=240km．∴台风影响气象台的时间会持续240÷20=12（小时）．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出CD是解决问题（2）的关键．19．（2015春•阳东县期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿A⇒B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．【分析】（1）我们求出BP、BQ的长，用勾股定理解决即可．（2）△PQB形成等腰三角形，即BP=BQ，我们可设时间为t，列出方程2t=8﹣1×t，解方程即得结果．（3）直线PQ把原三角形周长分成相等的两部分，根据勾股定理可知AC=10cm，即三角形的周长为24cm，则有BP+BQ=12，即2t+（8﹣1×t）=12，解方程即可．【解答】解：（1）出发2秒后，AP=2，BQ=4，∴BP=8﹣2=6，PQ==2；（3分）（2）设时间为t，列方程得2t=8﹣1×t，解得t=；（6分）（3）假设直线PQ能把原三角形周长分成相等的两部分，由AB=8cm，BC=6cm，根据勾股定理可知AC=10cm，即三角形的周长为8+6+10=24cm，则有BP+BQ=×24=12，设时间为t，列方程得：2t+（8﹣1×t）=12，解得t=4，当t=4时，点Q运动的路程是4×2=8＞6，所以直线PQ不能够把原三角形周长分成相等的两部分．（10分）【点评】本题重点考查了利用勾股定理解决问题的能力，综合性较强．20．（2014秋•江阴市期中）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．。
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八年级初二数学数学勾股定理的专项培优练习题(及答案一、选择题1．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或332．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（）cm．A．9 B．10 C．18 D．203．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5,AC=53，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短长为（）53A．5B．53C．53D．4．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直 ．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足线b的距离为3，AB230MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（）A．6 B．8 C．10 D．125．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )A．3 B．154C．5 D．1526．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm7．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，B C'交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3 B．154C．5 D．1528．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A和点B为圆心，线段AB的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C．再以原点O为圆心，OC为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M，则点M对应的数为（）A．3．5 B．3C13D369．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A ．5B ．6C ．8D ．1010．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，AB ＝1，BD ⊥BC ，BD ＝BC ，CF 平分∠BCD 交BD 、AD 于E 、F ，则EDC 的面积为（ ）A ．22﹣2B ．32﹣2C ．2﹣2D ．2﹣1二、填空题11．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，若点 M 、N 分别是线段 AC 、AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．12．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．13．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．14．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．15．如图，Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =，DE AC ⊥，13CD BC =，13CE AC =，P 是直线AC 上一点，把CDP 沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是__________16．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BCA ＝30°，点D 在BC 上，点E 在△ABC 外，且AD ＝AE ＝CE ，AD ⊥AE ，则AB BD的值为____________．17．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°18．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，BD是高，则点BD的长为_____．20．如图，直线423y x=+与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段OA上的一点，若将ABC∆沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的'A处，则点C的坐标为______.三、解答题21．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．22．定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O．（1）“距离坐标”为(1，0)的点有个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．23．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．24．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；（2）设,BC m AC n ==①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.②若线段2AD EC =，求m n的值.25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合．(1)若∠A＝35°，则∠CBD的度数为________；(2)若AC＝8，BC＝6，求AD的长；(3)当AB＝m(m>0)，△ABC的面积为m＋1时，求△BCD的周长．(用含m的代数式表示) 26．如图1, △ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a，且点A、D、E在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 试求AB的长.(3)如图3,若a=120°, CM⊥AE于E, BN⊥AE于N, BN=a, CM=b,直接写出AE的值(用a, b 的代数式表示).27．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n6m n﹣12）2＝0．（1）求直线AB的解析式及C点坐标；（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．28．已知n组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．29．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图1，求∠BGD的度数；（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．30．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．（1）如图1，若m＝8，求AB的长；（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE2DE；（3）如图3，若m＝3AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】存在2种情况，△ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在△ABC的内部和外部【详解】情况一：如下图，△ABC是锐角三角形∵AD是高，∴AD⊥BC∵AB=15，AD=12∴在Rt△ABD中，BD=9∵AC=13，AD=12∴在Rt△ACD中，DC=5∴△ABC的周长为：15+12+9+5=42情况二：如下图，△ABC是钝角三角形在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9∴BC=4∴△ABC的周长为：15+13+4=32故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.2．C解析：C【分析】将容器侧面展开，建立A 关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B 的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 即为最短距离， 根据题意：'15A B cm =，12412BD AE cm =-+=，2222'15129A D A B BD ∴--'==．所以底面圆的周长为9×2=18cm.故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．3．C解析：C【分析】在CB 的反向延长线上取一点B ’，使得BC =B ’C ，连接AB ’，易证△AB ’D ≌△ABE ，可得∠ABE =∠B ’=60°，因此点E 的轨迹是一条直线，过点C 作CH ⊥BE ，则点H 即为使得BE 最小时的E 点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．【详解】解：在CB 的反向延长线上取一点B ’，使得BC =B ’C ，连接AB ’，∵∠ACB =90°，∠ABC =60°，∴△AB ’B 是等边三角形，∴∠B ’=∠B ’AB =60°，AB ’=AB ，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠B’AD+∠DAB=∠DAB+∠BAE，∴∠B’AD=∠BAE，∴△AB’D≌△ABE（SAS），∴∠ABE=∠B’=60°，∴点E在直线BE上运动，过点C作CH⊥BE于点H，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，∠CBH=180°-∠ABC-∠ABE=60°，∴∠BCH=30°，∴BH=12BC=52，∴CH=22BC BH=53．即BE的最小值是53．故选C．【点睛】本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E的运动轨迹是直线是解决此题的关键．4．B解析：B【解析】【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．【详解】过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．∵AE＝2+3+4＝9，AB230=，∴BE2239AB AE=-=．∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B22=+=8．'A E BE所以AM+NB的最小值为8．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．5．C解析：C【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，所以S2=x+4y=5，故答案为5．点睛：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，用x，y 表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=15求解是解决问题的关键．6．D解析：D【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF=A'B=20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE=A'E=DG=4cm，∴BD=16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：22201612-=cm∴则该圆柱底面周长为24cm．故选：D．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．7．B解析：B【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．【详解】解：设ED=x，则AE=6-x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC；由题意得：∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED=x；由勾股定理得：BE2=AB2+AE2，即x2=9+（6-x）2，解得：x=154，∴ED=154．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．8．B解析：B【分析】如图，作CD ⊥AB 于点D ，由题意可得△ABC 是等边三角形，从而可得BD 、OD 的长，然后根据勾股定理即可求出CD 与OC 的长，进而可得OM 的长，于是可得答案．【详解】解：∵点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2，∴OB=2，OA=4，如图，作CD ⊥AB 于点D ，则由题意得：CA=CB=AB=2，∴△ABC 是等边三角形，∴BD=AD=112AB =， ∴OD=OB+BD=3，223CD BC BD =-=， ∴()22223323OC OD CD =+=+=，∴OM=OC=23，∴点M 对应的数为23．故选：B ．【点睛】本题考查了实数与数轴、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD 的长，即可得出BC 的长.【详解】在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BC=2BD.∴∠ADB=90°在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：=4∴BC=2BD=2×4=8.故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.10．C解析：C【分析】先过点E 作EG ⊥CD 于G ，再判定△BCD 、△ABD 都是等腰直角三角形，并求得其边长，最后利用等腰直角三角形，求得EG 的长，进而得到△EDC 的面积．【详解】解：过点E 作EG ⊥CD 于G ，又∵CF 平分∠BCD ，BD ⊥BC ，∴BE ＝GE ，在Rt △BCE 和Rt △GCE 中CE CE BE GE=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BCE ≌Rt △GCE ，∴BC ＝GC ，∵BD ⊥BC ，BD ＝BC ，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴∠BDC ＝45°，∵AB//CD ，∴∠ABD ＝45°，又∵∠A ＝90°，AB ＝1，∴等腰直角三角形ABD 中，BD＝BC ，∴Rt △BDC 中，CD 2，∴DG ＝DC ﹣GC ＝2∵△DEG 是等腰直角三角形，∴EG ＝DG ＝2，∴△EDC 的面积＝12×DC×EG ＝12×2×（2）＝2 故选：C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形EDG进行求解．二、填空题11．8【解析】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值作交于，则为所求；设,,由，，h+5=8，即BM+MN的最小值是8.点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．12．96 25【分析】将△B´CF的面积转化为求△BCF的面积，由折叠的性质可得CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B´CF，CE⊥AB，可证得△ECF是等腰直角三角形，EF＝CE，∠EFC＝45°，由等面积法可求CE的长，由勾股定理可求AE的长，进而求得BF的长，即可求解．【详解】根据折叠的性质可知，CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B´CF，CE⊥AB，∴∠DCE＋∠B´CF＝∠ACE＋∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，且CE⊥AB，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∵S△ABC＝12AC•BC＝12AB•CE，∴AC•BC＝AB•CE，∵根据勾股定理求得AB＝10，∴CE＝245，∴EF＝245，∵AE 185，∴BF＝AB−AE−EF＝10－185－245＝85，∴S△CBF＝12×BF×CE＝12×85×245＝9625，∴S△CB´F＝96 25，故填：96 25．【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．13．5【分析】作AD′⊥AD，AD′=AD构建等腰直角三角形，根据SAS求证△BAD≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt△AD′D和Rt△CD′D应用勾股定理即可求解．【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，∴∠BAD=∠C AD′，在△BAD 与△CAD′中，{BA CABAD CAD AD AD =∠=∠=''，∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得22()4AD AD +='，∵∠D′DA+∠ADC=90°，∴由勾股定理得22(')5DC DD +=，∴BD=CD′=5故答案为5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键．14．15厘米【分析】要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A 和C 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB =39π=厘米，矩形的宽BC =12厘米． ∴蚂蚁需要爬行最短路程222212915AC BC AB =++厘米．故答案为：15厘米【点睛】求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短．15．53或203 【分析】 根据折叠后点C 的对应点H 与AC 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理求出各边的长，再根据折叠的性质与勾股定理列出对应的方程即可求出结论．【详解】解：①当折叠后点C 的对应点H 在AC 的下方时，如下图所示∵Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =，根据勾股定理可得2210AB AC += ∵13CD BC =，13CE AC =， ∴13CD BC ==103，13CE AC ==83 ∵DE AC ⊥根据勾股定理可得222CD CE -=由折叠的性质可得：DH=CD=103，CP=PH ∴EH=DH －DE=43设CP=PH=x，则EP=CE－CP=83－x在Rt△PEH中，EP2＋EH2=PH2即（83－x）2＋（43）2=x2解得：x=5 3即此时CP=53；②当折叠后点C的对应点H在AC的上方时，如下图所示根据折叠的性质可得DH=CD=103，CP=PH∴EH=DH＋DE=16 3设CP=PH=y，则EP= CP－CE =y－8 3在Rt△PEH中，EP2＋EH2=PH2即（y－83）2＋（163）2=y2解得：y=20 3即此时CP=203．综上所述：CP=53或203．故答案为：53或203．【点睛】此题考查的是勾股定理和折叠问题，掌握利用勾股定理解直角三角形、折叠的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．16．62 2【分析】过A 点作BC 的垂线，E 点作AC 的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a ，GM=3a,AM=BM=(32)a +，BD=(31)a +，AB=2(31)a +,代入计算即可.【详解】过A 点作AM ⊥BC 于M 点，过E 点EN ⊥AC 于N 点.∵∠BCA ＝30°，AE=EC∴AM=12AC ，AN=12AC ∴AM=AN又∵AD=AE∴R t∆ADM ≅ R t∆AEN (HL)∴∠DAM=∠EAN 又∵∠MAC=60°，AD ⊥AE∴∠DAM=∠EAN=15°在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°设DM=a,则 DG=AG=2a ，根据勾股定理得：GM=3a,∵∠ABC ＝45°∴AM=BM=(32)a +∴BD=(31)a +，AB=2(32)a +,∴()()6226231a AB BD a++==+ 故答案为：62+【点睛】本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.17．①②③【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，60ABC ∴∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，∴△BPQ 是等边三角形，①正确.∴PQ =BP =4，2222224325,525PQ QC PC +=+===，222PQ QC PC ∴+=，90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.∵△BPQ 是等边三角形，60PBQ BQP ∴∠=∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠APB =∠B QC ，6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，90PQC PQ QC ∠=≠，，45QPC ∴∠≠，即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.18．355【详解】 四边形DEFA 是正方形，面积是4； △ABF，△ACD 的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE 的面积是：12×1×1=12． 则△ABC 的面积是：4﹣1﹣1﹣12=32． 在直角△ADC 中根据勾股定理得到：222+1=5设AC 边上的高线长是x ．则125x=32， 解得：355．355. 19．485【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC 边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得111012822BD ⨯⨯=⨯⨯，解得BD=485. 20．（0，34）. 【分析】 由423y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122OA '=-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在423y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2） 当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32-,0), 在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=32, ∴2222352()22AB OA OB =+=+=, ∴53122OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）由翻折得ABC A BC '≌，∴2A C AC m '==-，在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,∴222(2)1m m -=+，解得m=34，∴点C 的坐标为（0，34）. 故答案为：（0，34）. 【点睛】 此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC ≌是解题的关键，得到OC 与A’C 的数量关系，利用勾股定理求出点C 的坐标.三、解答题21．(1) 出发10s 后，△BMN 为等边三角形；(2)出发6s 或15s 后，△BMN 为直角三角形．【分析】（1）设时间为x ，表示出AM=x 、BN=2x 、BM=30-x ，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=12BM 列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=12BN 列方程求解可得． 【详解】解 (1)设经过x 秒，△BMN 为等边三角形，则AM ＝x ，BN ＝2x ，∴BM ＝AB －AM ＝30－x ，根据题意得30－x ＝2x ，解得x ＝10，答：经过10秒，△BMN 为等边三角形；(2)经过x 秒，△BMN 是直角三角形，①当∠BNM ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BMN ＝30°，∴BN ＝12BM ，即2x ＝12(30－x)， 解得x ＝6；②当∠BMN ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BNM ＝30°，∴BM ＝12BN ，即30－x ＝12×2x ， 解得x ＝15， 答：经过6秒或15秒，△BMN 是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.22．(1)2；(2)32q p =；(3)27OM = 【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =-=即可解决问题；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个，故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =，∴1122NO MO p ==， ∴223MN MO NO p =-=， ∴32q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形，∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =， ∴2MF =，23ME =，∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒，在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =，在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=，∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．23．（1）作图见解析，20DBC ∠=︒；（2）作图见解析，35BAC ∠=︒；（3）∠A =45°或90°或90°－2α或1452α︒-，或α＝45°时45°＜∠BAC ＜90°．【分析】（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC 分成90°角和20°角即可；（2）可以画出∠A=35°的三角形；（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：（1）ABC ∆关于点B 的二分割线BD 如图4所示，20DBC ∠=︒；故答案为：20°；（2）如图所示：∠BAC=35°；（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角， ∴∠DBC ＝∠C ＝α．当∠A ＝90°时，△ABC 存在二分分割线；当∠ABD ＝90°时，△ABC 存在二分分割线，此时∠A ＝90°－2α；当∠ADB ＝90°时，△ABC 存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A ＜90°； 第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，当∠DBC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时1809014522A αα︒-︒-∠==︒-； 当∠BDC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时∠A ＝45°，综上，∠A =45°或90°或90°－2α或1452α︒-，或α＝45°时，45°＜∠BAC ＜90°．【点睛】本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．24．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512m n = 【分析】（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案； ②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.【详解】（1）解：作图，如图所示：（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.理由如下：依题意得， BD BC m ==，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒222BC AC AB ∴=+22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+222AD m AD n ∴+-)()2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-0=；∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ==== 2AD EC =2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=222BC AC AB ∴+=22223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493m n n mn m +=++ 25493n mn = 512m n ∴= 【点睛】本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．25．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD 的周长为m+2 【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x= 74，AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1，∴12AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．26．（1）见解析；（2）26；（3+ 【分析】（1）由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ，再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ，即可得到AD=BE ；（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12DE ，同（1）可证△ACD ≌△BCE ，得到AD=BE ，然后可求AE 的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB 的长；（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.【详解】证明：（1）∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∵CM ⊥DE ，∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点∴CM=12DE ， ∴DE=2CM=14，∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE∴AE=AD+DE=24如图，设AE，BC交于点H，在△ACH和△BEH中，∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH，而∠CAH=∠EBH，∴∠BEH=∠ACH=90°，∴△ABE为直角三角形由勾股定理得2222AB=AE BE=2410=26++（3）由（1）（2）可得△ACD≌△BCE，∴∠DAC=∠EBC，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM，∴CD=CE=2CM，3CM∴33∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°，∴∠NBE=30°，∴BE=2EN，3EN∵BN=a∴23=AD∴2323+b【点睛】本题考查全等三角形的旋转模型，掌握此模型的特点得到全等三角形是关键，其中还需要用到等腰三角形三线合一与30度所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本知识点是关键. 27．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，0）；（3）点P的坐标（143-，643）【分析】（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；（2）画出图象，由CD⊥AB知1AB CDk k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.【详解】解：（1）∵6m-＋（n﹣12）2＝0，∴m＝6，n＝12，∴A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则有1260bk b=⎧⎨+=⎩，解得212kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，∵直线AB过点C（a，a），∴a＝－2a＋12，∴a＝4，∴点C坐标（4，4）．（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，设直线CD解析式为y＝12x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，∴直线CD解析式为y＝12x＋2，∴点D坐标（－4，0）．（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，图2∵直线EC 解析式为y ＝32x －2，直线CF 解析式为y ＝－23x ＋203， ∵32×（－23）＝－1， ∴直线CE ⊥CF ，∵EC ＝CF ＝∴EC ＝CF ，∴△FCE 是等腰直角三角形，∴∠FEC ＝45°，∵直线FE 解析式为y ＝－5x －2，由21252y x y x =-+⎧⎨=--⎩解得143643x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 的坐标为（1464,33-）. 【点睛】本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121k k =-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F （－2，8）是解题的突破口.28．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.【分析】（1）根据题意可知，这n 组正整数符合规律m 2-1，2m ，m 2+1（m≥2，且m 为整数）．分三种情况：m 2-1=71；2m=71；m 2+1=71；进行讨论即可求解；（2）由于（m 2-1） 2+（2m ） 2=m 4+2m 2+1=（m 2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．【详解】（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．理由如下：根据题意可知，这n 组正整数符合规律21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）． 若2171m -=，则272m =，此时m 不符合题意；若271m =，则35.5,m =，此时m 不符合题意；若2171m +=，则270m =，此时m 不符合题意，所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．。