拉普拉斯变换对照表
拉普拉斯变换表
序 号 拉氏变换 E(s)
时间函数 e(t)
1
1
2
1 1 − e−Ts
3
1
s
δ(t)
∞
δT (t) = ∑δ (t − nT ) n=0 1(t )
4
1
t
s2
Z 变换 E(z)
1
z z −1
z z −1
Tz (z − 1) 2
5
1
t2
s3
2
T 2 z(z + 1) 2(z − 1)3
6
1 s n+1
7
1
s+a
8
1 (s + a)2
9
a s(s + a)
10
b−a (s + a)(s + b)
11
ω
s2 +ω2
12
s
s2 +ω2
13
ω (s + a)2 + ω 2
14
s +a (s + a)2 + ω 2
tn n! e −at te −at 1 − e −at e −at − e −bt
sin ωt cos ωt
6 终值定理 7 初值定理
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
lim f (t) = lim sF (s)
t→0
s→∞
419
8 卷积定理
∫ ∫ L[
t 0
f1(t
−τ )
f2(τ )dτ ]
=
L[
t 0
f1 (t )
f2 (t
−τ )dτ ] =
F1(s)F2 (s)
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式11n 1n nn11m 1m mmas a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- （m n >）式中系数n1n 1a ,a ,...,a ,a-，m1m 1b ,b ,b ,b - 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n1i iinnii2211ss cs s c s s c s s c s s c )s (F 式中，Sn 2S 1S ，，， 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c is s i-=→或is s i)s (A )s (B c='=式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]t s n 1i i n 1i i i 11i e c s s cL )s (F L )t (f -==--∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())s s ()s s ()s s ()s (B s F n1r r 1---=+=nnii1r 1r 111r 11r r 1rss cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)s (F )s s (lim c r1s s r-=→)]s (F )s s ([dsdlim c -=)s (F )s s (dsd lim !j 1c -=)s (F )s s (dsdlim )!1r (1c --=原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=s s cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c L e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-= （F-6）。
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换的基本性质
由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域(即s域)中的推广，因而也具有与傅里叶变换的性质相应的一些性质。
这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系，利用这些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。
关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1中列出。
对于这些性质，由于读者在工程数学课中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复习有关的工程数学书籍。
表5-1 拉普拉斯变换的基本性质
利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数的拉
普拉斯变换式，如表5-2中所列。
利用此表可以方便地查出待求的像函数
或原函数
表5-2 拉普拉斯变换表
()()t U t f ()s F ()t f。
常用函数Laplace变换表
sa ( s a) 2 2
1 s (1 / T ) ln a
420
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行 反变换。设 F ( s ) 是 s 的有理真分式
B ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 F (s) A( s ) a n s n a n 1 s n 1 a1 s a 0
原函数 f (t ) 为
f (t ) L1 F (s)
cr c c cr 1 c1 c L1 r 1 i n r r 1 ( s s1 ) s s r 1 s si s sn ( s s1 ) ( s s1 )
（n m ）
式中系数 a0 , a1 ,..., an1 , an ， b0 , b1 ,bm1 , bm 都是实常数； m, n 是正整数。按代数定理可 将 F ( s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ①
A( s) 0 无重根
这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
式中， s1 为 F(s)的 r 重根， s r 1 ，…, s n 为 F(s)的 n-r 个单根；
421
其中， c r 1 ，…, c n 仍按式(F-2)或(F-3)计算， c r ， c r 1 ，…, c1 则按下式计算：
c r lim ( s s1 ) r F ( s )
1 e
at
ห้องสมุดไป่ตู้
ba ( s a)( s b)
e at e bt
sin t
z z aT ze z e bT
常用的拉普拉斯变换公式表
常用的拉普拉斯变换公式表常用的拉普拉斯变换公式表在数学和理论物理领域中，拉普拉斯变换是一种重要的数学工具。
它将一个函数从时间或空间域转换到复频域，这对于解决许多实际问题是很有用的。
在使用拉普拉斯变换时，人们通常需要使用一些常用的公式来简化计算。
在这篇文章中，我将列出一些常用的拉普拉斯变换公式，方便读者在实际应用中使用。
一、定义和性质拉普拉斯变换是一种线性变换，它将一个函数f(t) 映射到复平面上的函数 F(s) 。
具体而言，拉普拉斯变换可以表示为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,+∞) e^(-st) f(t) dt其中s是复变量，常常被看作是频域变量。
对于给定的函数f(t)，我们可以求出它在复平面上的拉普拉斯变换F(s)。
与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有一系列的性质和定理。
下面是一些重要的性质和定理：1. 线性性质：对于任意常数a、b和函数f(t)、g(t)，有L[af(t) + bg(t)] = aL[f(t)] + bL[g(t)]2. 移位定理：对于f(t)的拉普拉斯变换F(s)，有L[e^(-at) f(t)] = F(s+a)3. 初值定理：如果f(t)在t=0处有一个有限的极限，那么L[f(t)] =lim_(s->∞) sF(s)4. 终值定理：如果f(t)是一个有限长度的函数，那么L[f(t)] = lim_(s->0) sF(s)二、常用的拉普拉斯变换公式在实际应用中，常常需要用到一些标准的拉普拉斯变换公式。
下面是一些常用公式：1. 常数函数：L[1] = 1/s2. 单位阶跃函数：L[u(t)] = 1/s3. 二次函数：L[t] = 1/s^24. 指数函数：L[e^(at)] = 1/(s-a)5. 余弦函数：L[cos(at)] = s/(s^2+a^2)6. 正弦函数：L[sin(at)] = a/(s^2+a^2)7. 阻尼振荡函数：L[e^(-at) sin(bt)] = b/(s+a)^2+b^28. 阻尼振荡函数：L[e^(-at) cos(bt)] = (s+a)/(s+a)^2+b^2以上是一些常用的拉普拉斯变换公式，它们的应用非常广泛，可以用于研究电路、控制系统和信号处理等领域。
完整版拉普拉斯变换表
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是探究信号和系统之间关系的重要工具，它在工程和科学领域中得到广泛应用。
本文将为读者详细介绍完整的拉普拉斯变换表，并讨论其应用。
拉普拉斯变换表如下所示：1. 常数函数L{1} = 1/s2. 单位阶跃函数L{u(t)} = 1/s3. 单位冲激函数L{δ(t)} = 14. 指数函数L{e^at} = 1/(s-a)5. 正弦函数L{sin(ωt)} = ω/(s^2+ω^2)6. 余弦函数L{cos(ωt)} = s/(s^2+ω^2)7. 常数乘以函数L{c*f(t)} = c*F(s)8. 函数相加L{f(t)+g(t)} = F(s) + G(s)9. 函数乘以指数L{e^at*f(t)} = F(s-a)10. 函数的积分L{∫f(t)dt} = F(s)/s11. 函数的导数L{df(t)/dt} = sF(s)-f(0)12. 积分的拉普拉斯变换L{∫F(s)ds} = f(t)13. 周延函数L{f(t)} = F(s)|s=jω14. 高斯函数L{e^(-a^2t^2)} = √π/a*e^(-(s^2)/(4a^2))15. 狄利克雷函数L{D(t-a)} = e^(-as)16. 波尔图-特拉潘函数L{e^(-as)/s} = 1/(s+a)拉普拉斯变换表是通过将函数从时间域转换到复频域来描述信号的性质。
每个函数在拉普拉斯域中都具有一个对应的表达式，使得我们可以分析和处理各种复杂的信号和系统。
接下来，我们将讨论拉普拉斯变换的一些应用。
1. 系统分析拉普拉斯变换可用于对线性时不变（LTI）系统进行分析。
通过将输入信号和系统的响应转换到拉普拉斯域，我们可以通过观察系统函数的性质来预测系统的输出。
这对于控制系统和信号处理中的滤波器设计非常有用。
2. 解决微分方程拉普拉斯变换也可用于求解线性常微分方程（ODEs）。
通过将微分方程转换为代数方程，我们可以通过求解代数方程得到原始微分方程的解。
(完整版)拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质12．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni iin n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ （F-1）式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2） 或is s i s A s B c ='=)()(（F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts ni i i e c -=∑1(F-4)4② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r r s s s s s s s B s F ---=+Λ=n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r ss r -=→ )]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
完整版拉普拉斯变换表
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它能将时间域上的函数转换为频率域上的函数，为信号处理、电路分析等领域的数学建模和分析提供了极大的便利。
下面是完整版的拉普拉斯变换表，列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式。
1. 常数函数：f(t) = 1，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s2. 单位阶跃函数：f(t) = u(t)，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s3. 指数函数：f(t) = e^-at，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/(s + a)4. 正弦函数：f(t) = sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/(s^2 + ω^2)5. 余弦函数：f(t) = cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = s/(s^2 + ω^2)6. 指数衰减正弦函数：f(t) = e^-at sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+a)^2 + ω^2 )7. 指数衰减余弦函数：f(t) = e^-at cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+a)/( (s+a)^2 + ω^2 )8. 阻尼正弦函数：f(t) = e^-αt sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+α)^2 + ω^2 )9. 阻尼余弦函数：f(t) = e^-αt cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+α)/( (s+α)^2 + ω^2 )10. 给定函数f(t)的导数Laplace变换：f'(t) 的Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= s*F(s) - f(0)11. 给定函数f(t)的不定积分Laplace变换：∫f(t)dt 的 Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= 1/s*F(s)12. Laplace变换与乘法定理：L{f(t) g(t)} = F(s)G(s)13. Laplace变换与移位定理：L{f(t-a) u(t-a)} = e^-as F(s)14. Laplace变换与初值定理：f(0+) = lims→∞ sF(s)f'(0+) = lims→∞ s^2F(s) - sf(0+)f''(0+) = lims→∞ s^3F(s) - s^2f(0+) - sf'(0+)15. Laplace变换与终值定理：limt→∞ f(t) = lims→0 sF(s)limt→∞ f'(t) = lims→0 s^2F(s) - sf(0+)limt→∞ f''(t) = lims→0 s^3F(s) - s^2f(0+) -sf'(0+)这是完整版的拉普拉斯变换表，其中列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式，以及常见的拉普拉斯变换定理和公式。