2003年兰州大学量子力学(含原子物理学)考研真题-考研真题资料
兰州大学2003年研究生入学考试 比较文学与世界文学 考研试题
1
招生专业：比较文学与世界文学
考试科目：文学概论和外国文学史
一简要解释：（每小题6分，共30分）
1、 艺术构思
2、变形
3、文学作品阅读中的“误解”
4、叙事的构成
5、社会历史批评的基本特征与原则
二、论述（共40分）
1、文学创作作为特殊的话语生产，其“话语”与日常话语、科学话语有什么区别？（10分）
2、文学“文本”分为文学话语、文学形象和文学意蕴三个层面，请联系实际，论述“文学形象”层面的基本特征？（15分）
3、联系实际，论文学风格的民族性，（15分）
（外国文学史部分）
三、简要解释题（每小题5分，共20分）
1、希腊神话
2、文艺复兴
3、多余人
4、超现实主义
四、简析题（每小题15分，共30分）
1、简析雪莱的抒情风格
2、简析《人间喜剧》的主要内容
五、论述题（30分）
论述“浮士德”的内涵与特征。
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？ (2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。
E 0
, z 0 (G 0) 中运动。 五、质量为 m 的粒子在一维势场 V ( z ) Gz , z 0 (1) 用变分法求基态能量，则在 z 0 区域中的试探波函数应取下列函数中的哪一 个？为什么？
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
ˆ ，证明能量表象中有 五、如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系 x, p
r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准关系估算基
En Em xnm
n
2
中科院量子力学考研真题及答案详解(19902010共40套真题)
1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型），00分。
、在，氢原子波函数为说明：共五道大题无选择题，计分在题尾标出，满分10t =100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。
忽略自旋和辐射跃迁。
投影-⎡⎤(1) 此系统的平均能量是多少？nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少？ 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明二()2∞00n nE E n x -=∑常数这里是哈密顿量n E 2ˆˆ()2p H V m=+x 的本征能量，相应的本征态为n 。
求出该常数。
、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。
利用测不准关系估算其（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非基态的能量。
四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。
今设在电子偶素的基态里，存在一8e p ˆˆˆ3H M M π和ˆpM '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )MS q ==e mc±量差，决定哪一个能量更低。
对普通的氢原子，基态波函数： 。
利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能221137e c 1002,,r a a me ψ-==一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r aV r V e V a -=>>所散射，用一级玻恩近似计算微分散射截面。
五、1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）分。
光电效应实验指出：当光照射到金属上，说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时，才有光电子发射出；b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关；c) 只要光的频率大于0ν，光子立即产生。
试述：a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。
南开大学《量子力学》考研真题详解
南开大学《量子力学》考研真题详解2021年南开大学《量子力学》考研全套目录•南开大学陈省身数学研究所《量子力学》历年考研真题汇编•全国名校量子力学考研真题汇编•2021年量子力学考研真题精解精析50题说明：本科目考研真题不对外公布（暂时难以获得），通过分析参考教材知识点，精选了有类似考点的其他院校相关考研真题，以供参考。
2．教材教辅•曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解•[预售]曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套题库【考研真题精选＋章节题库】说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。
•试看部分内容波函数与Schrödi nger方程1.1 复习笔记一、波函数的统计诠释1实物粒子的波动性de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m≠0的粒子，如电子）也具有波粒二象性（wave-p article duality）的假设，即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长λ和频率ν为并称之为物质波（matter wave）．2波粒二象性的分析（１）包括波动力学创始人Schrödi nger，de Brogli e等在内的一些人，他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种物质波包．物质波包的观点显然夸大了波动性一面，而实质上抹杀了粒子性一面，是带有片面性的．（２）与物质波包相反的另一种看法是：波动性是由于有大量电子分布于空间而形成的疏密波．它夸大了粒子性一面，而实质上抹杀了粒子的波动性一面，也带有片面性．然而，电子究竟是什么东西?是粒子?还是波?电子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一．但这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念中的粒子．3概率波，多粒子体系的波函数把粒子性与波动性统一起来．更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来的是M．Bo rn（1926）提出的概率波．表征在r点处的体积元中找到粒子的概率．这就是Born提出的波函数的概率诠释．它是量子力学的基本原理之一．根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和为1，即要求波函数ψ（r）满足下列条件这称为波函数的归一化（normalization）条件．归一化条件就可以简单表示为（ψ，ψ）=14动量分布概率动量分布概率密度即．5不确定性原理与不确定度关系不管粒子处于什么量子态下，它的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这就是Hei senberg的不确定性原理，上式是它的数学表示式，它是波粒二象性的反映．6力学量的平均值与算符的引进令称为动量算符．l是一个矢量算符．它的三个分量可以表示为一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出是与力学量A相应的算符．如波函数未归一化，则与经典Hamilton量H=T+V相应的算符表示为7统计诠释对波函数提出的要求统计诠释赋予了波函数确切的物理含义．根据统计诠释，究竟应对波函数ψ（r）提出哪些要求?（1）根据统计诠释，要求|ψ（r）|2取有限值似乎是必要的，即要求ψ（r）取有限值．（2）按照统计诠释，一个真实的波函数需要满足归一化条件（平方可积）但概率描述中实质的问题是相对概率．因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数．（3）按照统计诠释，要求|ψ（r）|2单值．是否由此可得出要求ψ（r）单值?否．（4）波函数ψ（r）及其各阶微商的连续性．2021年量子力学考研真题精解精析50题1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。
免费的南大历年《量子力学》的真题,真题
免费的南⼤历年《量⼦⼒学》的真题,真题南京⼤学1998年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学专业: 理论物理、粒⼦物理与光学(⼀) 20分有半壁⽆限⾼势垒的⼀维阱 ()ax a x x V x V ><<∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在⼀个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中⾄少有⼀个束缚态的存在的充要条件是什么？（⼆）20分⼀个取向⽤⾓坐标θ和?确定的转⼦，作受碍转动，⽤下述哈密顿量描述：()?2cos ??22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2?L 是⾓动量平⽅算符，试⽤⼀级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在⼀维⽆限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒⼦的动量分布⼏率()2p n φ。
（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成⽴，试写出正确的结果：（1）i j x i p jx i peee21-?+???=? ？式中i ?和j ?分别是x 和y ⽅向的单位⽮量。
（2）()[])(,?'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ??= ? ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=µ2??2 ，设()r n ?是归⼀化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p µ=（五）20分碱⾦属原⼦处在z ⽅向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H 1+= ，其中S L dr dV r c H ls??=12122µ ，()Z Z B S L c eB H 22+=µ ，当外磁场很弱时，那些⼒学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算⽐较简单，为什么？注： ()()()()?θπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=南京⼤学1999年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学专业: 理论物理、粒⼦物理与光学(20分) ⼀、 t ＝0时，粒⼦的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的⼏率，并计算动量的平均值。
华南师范大学2003年物理化学真题-考研试题文档资料系列
华师2003年招收研究生入学考试试题考试科目：物理化学适用专业：有机化学，物理化学，高分子化学与物理一、选择题（每小题2分，共50分）1．在等温等压且不做非体积功时，符合下面哪个条件的过程肯定可以自发进行（）。
A、ΔH>0，ΔS<0B、ΔH>0，ΔS>0C、ΔH<0，ΔS>0D、ΔH<0，ΔS<02．等温化学反应的ΔH和ΔU的相对大小恒为（）。
A、ΔH>ΔUB、ΔH<ΔUC、ΔH=ΔUD、上述三种结论都不对3．如图所示，一理想气体经过（1）恒压，（2）恒温，（3）绝热三个可逆过程，从同一始态（A）到体积相同的终态，则有（）。
A、Q1>Q2，Q2>Q3B、Q1>Q2，Q2<Q3C、Q1<Q2，Q2>Q3D、Q1<Q2，Q2<Q34．体系按下列途径构成循环Ⅰ绝热不可逆Ⅱ绝热可逆Ⅲ等温可逆Ⅰ；现欲逆上述途径，经相同的中间态从Ⅰ等温可逆Ⅲ绝热可逆Ⅱ绝热不可逆Ⅰ，则后一循环过程（）。
A、不可以实现B、可以实现C、有时可以，有时不可以D、无法确定5．反应C(s)+2H2(g)→CH4(g)在873K时，Δr H m=-85kJ/mol，为了获得CH4更大的平衡产率，问温度和压力如何选择（）。
A、降低温度，减少总压B、升高温度，减少总压C、升高温度，增加总压D、降低温度，增加总压6．在298K，NH3(g)的标准吉布斯自由能为-16.64kJ/mol，若反应为N2(g)+3H2(g)==2NH3(g)，则压力平衡常数是（）。
A、681806kPaB、681806(atm)-2C、7.0×109(kPa)2D、66.41(kPa)-27．在101.325kPa的压力下，I2在液态水与CCl4中的溶解已达到平衡（无固体碘存在），此体系的自由度为（）。
A、1B、2C、3D、08．进行水蒸气蒸馏的必要条件是什么（）。
2003年考研数学三真题及答案
断点. (2)【答案】A 【 解 】 可 微 函 数 f(x,y) 在 点 ( x0 , y 0 ) 取 得 极 小 值 ， 根 据 取 极 值 的 必 要 条 件 知
f y′ ( x 0 , y 0 ) = 0 ，即 f ( x0 , y ) 在 y = y 0 处的导数等于零, 故应选 A.
(3) 【答案】B 【解】 若
1 n 2 ∑ X i 依概率收敛于 ＿＿＿. n i =1
二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f ′(0) 存在，则函数 g ( x) = (A) 在 x=0 处左极限不存在. (C) 在 x=0 处右极限不存在.
2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 f ( x ) = ⎨
1 ⎧ λ ⎪ x cos , 若x ≠ 0, 其导函数在 x=0 处连续，则 λ 的取值范围是＿. x 若 = 01 n 1 1 n 2 依概率收敛于 X EX i2 = . ∑ ∑ i 2 n i =1 n i =1
二、
选择题
(1)【答案】D 【解】 显然 x=0 为 g(x)的间断点，且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有
lim g ( x) = lim
x →0 x →0
f ( x) f ( x) − f (0) = lim = f ′(0) 存在，故 x=0 为可去间 x → 0 x x−0
故
(3)【答案】 a 【解】
2
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案
2003年全国硕士研究生入学统一测试数学一试题解析一、填空题(此题共6小题,每题4分,总分值24分.)12~71 2Tln(1 x )(1)㈣(cos x) =.1【答案】【考点】两个重要极限【难易度】★【详解】此题涉及到的主要知识点：- lim对于1型不定式,可以采取lim(1 ) lim(1 ) e x 0( 0, ),进而转化为0 ,0,—,通过等价无穷小或洛必达法那么来计算.1x21 1 1 cosx 1 q 1--- 丁 ---- - (cosx1) 亍lim2 lim_2_ _ln(1 x2) cosx 1 ln(1 x2) x 01n(1 x2) x 0 x2 2 解析：1im o(cosx) (1im(1 cosx 1) () e () e x e 22 2,(2)曲面z x y与平面2x 4y z 0平行的切平面的万程是 .【答案】2x 4y z 5【考点】曲面的切平面【难易度】★★【详解】解析：令F(x, y,z) z x2 y2,贝U F x2x , F y 2y , F z 1 .设切点坐标为小.力...),那么切平面的法矢量为{ 2X O, 2y0,1},其与平面2x 4y z 0平行,因此有30 30 —,可解得X O1, y0 2,相应地有Z O x2 y2 5.2 4 1故所求的切平面方程为2(x 1)4(y 2) (z 5) 0,即2x 4y z 5.(3)设x2a n cosnx(冗x 力,那么a2 =【考点】函数在［0,1］上的余弦级数 【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点:将f(x)( x )展开为余弦级数f(x) a n cosnx( x ),其系数计算公式 n 042为 a n — ° f (x) cos nxdx .解析：根据余弦级数的定义,有= -[x 2sin2x0 Sin2x 2xdx【考点】向量空间及其相关概念 【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点:a 2 - x 2 cos2xdx 212 ,x dsin2xo(4)从R 2到基-xdcos2x -[xcos2x到基 ° cos2xdx]的过渡矩阵为n 维向量空间中,从基2,n 到基n 的过渡矩阵P 满足n ］P,因此过渡矩阵P 为:P=[ 1, 2 , , n ] [ 1 , 2 ,,一 ___ 一.1 11解析：根据7E 义,从 R 的基12到基10 ,1 11 的过渡矩阵为22]11 11 11.=112 0(5)设二维随机变量(X ,Y)的概率密度为f (x, y)6x, 0 x y 1, 0,其他,那么P{ X Y 1} =.- 1【答案】14【考点】二维连续型随机变量【难易度】★【详解】此题涉及到的主要知识点:二维随机变量(X, Y)的概率密度f(x, y),求满足一定条件的概率P{g(X,Y) z0},一般可转化为二重积分P{g(X,Y) z o}= f(x, y)dxdy进行at算.g(x,y) Z01 1 (1 x 一2 1解析：P{X Y 1} f(x, y)dxdy ： dx * 6xdy= 2 (6x 12x )dx .4x y 1(6)一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布N( ,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm),那么的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值(1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)【答案】(39.51,40.49)【考点】区间估计的概念【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点：X①方差___________________,1 ,对正态总体的数学期望进行估计,可根据—-------- N(0,1),由nu } 1 确定临界值u ,进而确定相应的置信区间.万万②在单个正态总体方差条件下,求期望值的置信区间为 & u /2-j=其中P{U u } 1 ,U : N(0,1). 万解析：方法1：由题设,1 0.95,可见0.05.查标准正态分布表知u 1.96.此题2二、选择题(此题共 6小题,每题4分,总分值24分.每题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)内连续,其导函数的图形如下图,那么 f(x)有()(A) 一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点. 【答案】C【考点】函数的极值 【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点： ①根据导函数的符号,确定原函数的单调性； ②可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点；解析：根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有 3个,而x 0那么是导数不存在的点.三 个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致, 必为极值点,且两个极小值点,一个极大值 点；在x 0左侧一阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见 x 0为极大值点,故f(x)共有 两个极小值点和两个极大值点.⑵设a n , b n , g 均为非负数列,且lim a n 0,limb n 1,limg ,那么必有() n nnn 16, X 40,因此,根据 P{ 1.96} 0.95,有0.95,即 P{39.51,40.49} 0.95 ,故的置信度为0.95的置信区间是 (39.51,40.49).方法2: 由题设,0.95,P{U u } P{ u22(u ) 1 0.95,2(u ) 0.975查得 u 1.96.221, n 16, x 40代入(xu2「n ,x u得置信区间(39.51,40.49).(1)设函数f (x)在(【考点】数列极限的性质 【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点:①极限只研究n 时的情况,前面的情况不能确定;根据所给条件无法判断点 (0,0)是否为f(x, y)的极值点.【考点】多元函数的极值 【难易度】★★(4)设向量组I: 1, 2,, 「可由向量组II : 1, 2,, s 线性表示,那么()(A)当r s 时,向量组II 必线性相关. (B)当r s 时,向量组II 必线性相关. (C)当r s 时,向量组I 必线性相关.(D)当r s 时,向量组I 必线性相关.D(A) a n b n 对任意n 成立. (B) b n C n 对任意n 成立.(C)极限lim a n c n 不存在.n(D)极限lim b n C n 不存在.n②类似函数极限,不定式的结果是不确定的, 常见不定式包括：0,—,0 0解析：由知识点①知, A, B 不正确,由知识点②知, C 不正确,应选,1 ,D .(3)函数f (x, y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且limx 0 y 0f(x,y) xy22、2(x y )1,那么((A) 点(0,0)不是f(x, y)的极值点. (B) 点(0,0)是f (x,y)的极大值点.(C) 点(0,0)是f (x,y)的极小值点.,00;(D) 【详解】解析：由 xlim y f(x, y) xy0 / 22\2(x y )1知, 分子的极限必为零,从而有f(0,0) 0,且f(x, y)xy : (x 2y 2)2 (x,y 充分小时),于是 f(x, y) f(0,0) : xy可见当y x 且x 充分小时,f (x, y) f (0,0)2 一 4 一 ... ...... x 4x 0 ；而当yx 且x 充分小时,f(x, y) 一一一2f(0,0) : x 4x 4 0.故点(0,0)不是f (x, y)的极值点【考点】向量组的秩、向量组的线性相关【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点：① r(A m n) m,r(A m n) n ,类似地,向量组的秩不大于向量的个数或维数；②向量组的秩<向量的个数向量组线性相关解析：由题干易知：r(I) r,r(II) s,由于向量组I可由向量组II线性表示,所以r(I) r(II) s(A)当r s时, r(II) s；(B)当r s时, r(II) s(C)当r s时, r(I) r ；(D)当r s时,r(I) r(II) s r r(I) r( 5)设有齐次线性方程组Ax 0和Bx 0,其中A,B 均为m n 矩阵,现有4个命题：①假设Ax 0的解均是Bx 0的解,那么秩(A);^<(B)；②假设秩(A) n秩(B),那么Ax 0的解均是Bx 0的解；③假设Ax 0与Bx 0同解,那么秩瓜)=秩(8)；④假设秩6)=秩(8),那么Ax 0与Bx 0同解.以上命题中正确的选项是( )(A)①②.(B)①③.(C)②④.(D)③④【答案】B【考点】线性方程组的公共解、同解【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点：①齐次线性方程组Ax 0解向量的秩为n r(A) ；②向量组A可由向量组B表示,那么有r(A) r(B)；③向量组等价,即向量组的极大无关组等价,有r(A) r(B).解析：①假设Ax 0的解均是Bx 0的解,即方程组Ax 0的解向量可由方程组Bx 0的解向量表示,所以n r(A) n r(B),即秩(A) ＞秩(B),反之不一定成立;③假设Ax 0与Bx 0同解,即方程组 Ax 0的解向量与方程组 Bx 0的解向量等价,所 〜一——一 一一、,1 以n r(A) n r(B),即秩(A)=秩(B),反之不一定成立；如A那么秩(A 尸秩(B )=1 ,但AX 0与BX 0不同解.(1)求D 的面积A;(2)求D 绕直线x e 旋转一周所得旋转体的体积V .【考点】平面曲线的切线、定积分的几何应用 【难易度】★★ 【详解】解析:(6) 设随机变量X ~ t(n)(n(A)2(n) .(B)2(n 1).(C) Y~ F(n,1). (D) Y~ F(1,n) .【考点】2分布、F 分布【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点:① x 2 x 22 2,x n ~ (n),其中 x i (i 1,2, ,n)~ N(0,1)且相互独立;② F (m, n)2(m)m 2(n) n解析：由题设知,X —U =,其中U ~ N(0,1),V2(n),于是Y 」Y I 2 X 2% U 2这里U 2 ~212(1),根据F 分布的定义知Y —X 2F(n,1).故应选(C).、(此题总分值10分)过坐标原点作曲线 y lnx 的切线,该切线与曲线y lnx 及x 轴围成平面图形(1)设切点的横坐标为 X o ,那么曲线y ln x 在点(x o , ln X o )处的1 . ——(XX o ).由该切线过原点知X o1 2x ................................. arctan 展开成x 的帚级数,并求级数 1 2x【考点】初等函数的骞级数展开式、简单骞级数的和函数的求法 【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点: ①哥级数展开一般通过适当的恒等变形、 求导或积分等,转化为可利用哥级数展开的情形.11②函数的哥级数展开1 X x 2x n1 X1 X2 1 1解析：由于 f(x)22 ( 1)n 4n x 2n ,x (1,1).又 f(0)-,1 4x2 no2 24X X _所以 f (x) f (0) f (t)dt 2 [( 1)n 4n t ]dt 04n 0n n(1) 4 2n 1---------- X , X n o 2n 1切线方程是y ln X oIn X o 10 ,从而 X o e.所以该切线的方程为(2)切线y1 ____ _ ______ 1 yy -x.平面图形D 的面积 Ao(e y ey)dye“1-X 与X 轴及直线X e 所围成的三角形绕直线 Xe e 旋转所得的圆锥体 旋转体体积为 e 2.曲线y Inx 与x 轴及直线x e 所围成的图形绕直线x e 旋转所得的1V 2 o (e e y ) dy,因此所求旋转体的体积为V V 1 V 2四、(此题总分值 1 2e312分)(e e y )2dy -(5e 2 12e 3).将函数f (x)o 羽的和•,1 ................................... 在X 一处右边级数成为由于级数21)n n o2n 1 1%收敛,左边函数f(x)连续,所以成立范围sin ysinxsin ysin x ।白xe y dy ye dx 臼xe dy ye dx;L L sin ysinx2(2)oxe dy ye dx 2 冗L【考点】第二类曲线积分的计算、格林公式 【难易度】★★★ 【详解】 解析:方法1 :一」sin ysinxsinx sinx 、(1)左边=0 e dy e dx =0 (e e )dx ,0 sin ysin xsin x sin x 、右边=0 e dy e dx =(e e )dx,sin ysin xsin ysin x ।所以；xe dy ye dx ：xedy ye dx .(2)由于 e s1nx e sinx 2,故由(1)得sin ysin x sin x sin x 2\xedy ye dx 0 (e e )dx 2 .方法2:(1)根据格林公式,得sin y sin x sin y sin x 、 °Lxe dy ye dx (e e )dxdy, D sin ysin xsin ysin x 、xe dy ye dx (e e )dxdy .D由于D 具有轮换对称性,所以sin y sin x sin ysin x 、(e e )dxdy = (e e)dxdy,m11可扩大到x —处.而在x—处,右边级数虽然收敛,但左边函数2 2,,-1 1立范围只能是x (--].2’2f (x)不连续,所以成,1 1 令 x 一,得 f (一)22_ 2 [( 1)4n 1 ] _ ( 1)n4 n 0 2n 1 22n 14 n o 2n 1一 , 1 ( 1)n 1 再由 f (-) 0,得■(一)- — f (-)—.2no2n 1424五、(此题总分值10分)平面区域D (x,y)0 x ,0 y山为D 的正向边界.试证:故xe sin y dy ye sin x dx xe siny dy ye sinx dx.(2)由(1)知sin y sin x sin y sin x、L xe dy ye dx (e e )dxdyDsin y sinx=e dxdy e dxdyD D=e sinx dxdy e sinx dxdy (利用轮换对称性)D Dsin x sin x 2= (e e ) dxdy 2dxdy 2 .D D六、(此题总分值10分)某建筑工程打地基时, 需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k 0),汽锤第一次击打将桩打进地下a(m) .根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0 r 1).问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深？(2)假设击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深？( 注：m表示长度单位米.)【考点】定积分的物理应用、数列极限的定义及其性质【难易度】★★★【详解】解析：(1)设第n次击打后,桩被打进地下x n,第n次击打时,汽锤所作的功为W n(n 1,2,3,).由题设,当桩被打进地下的深度为x时,土层对桩的阻力的大小为kx ,xx2) ;2(x f a2).1 k 2k 2&k 2所以皿° kxdx —x1 —a , W2 x kxdx —(x2由川2 rW1 可彳x x2 a2 ra2即x2 (1 r)a2.W3 x'kxdx ^(x12x2) ；[x2 (1 r)a2]. 由川3 rW2 r2W1 可得x； (1 r)a2 r2a2,从而x3 V1 r r2a,即汽锤击打3次后,可将桩打进地下W r r2am.(2)由归纳法,设x n V1 r r2r n 1a,那么x n 1k 2 2k 2n 1 2W nix kxdx -(X 21 xn2) =-[x 2i (1 r r )a 2]. x n2 2由于 W n 1rW n r 2W n 1r n W 1,故得 x 2 1 (1 r r n1)a 2 r n a 2,---------------------------- n1 r n 1从而 x n 1.. 1 r r a ----------------------- a.:1 r于是lim x 11L a ,即假设击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下J —a m .n 11 r . 1 r七、(此题总分值12分) )内具有二阶导数,且 y 0,x x(y)是y y(x)的反函数.j d 「, 、 、▼ d 2x (1)试将x x( y)所满足的微分方程d-4 ( y dy 2分方程;3(2)求变换后的微分万程满足初始条件 y( 0) 0, y (0)-的解.【考点】反函数的求导法那么、简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点：2dx 11d xd ,dx 、 d , 1、dxy 1y ①一 二=一,—r——(——)=一(—)—=2-dy dyy dy dy dy dx y dy y y(y)dx②二阶常系数非齐次线性微分方程y py q f(x)的通解为：二阶常系数齐次线性微分方程y py q 0的通解加二阶常系数非齐次线性微分方程 解.一 , ........ ........ ,, dx 1 一, 解析：(1)由反函数的求导公式知 dx 工,于是有dy y代入原微分方程得 y y sin x.设函数y y(x)在(dx osin x)(——)0&i 换为dyy y(x)满足的微y py q f(x)的特d 2x dy 2dy(dy)嗫中dx dyy (y)3.(2)方程(* )所对应的齐次方程y y0的通解为Y xC2 eC〔e x*1设方程〔* 〕的特解为y Acosx Bsinx,代入方程〔* 〕,求得A 0, B故y *1 . … -sinx ,从而 y y2 …、_. . . . _ _ * _ V _sinx 的通解是 y Y y C 1e C 2e 2,一一 sinx. 2X⑼e y 由 x ey12分) 2c, 11c得31.故所求初值问题的解为 八、〔此题总分值 设函数f 〔x 〕连续且恒大于零, F(t)f(x 2 Q(t) 其中 (t) (x,y,z)x 2 (1) 讨论F 〔t 〕在区间〔0, (2) 证实当t 0时,F 〔t 〕【考点】二重积分的计算、 【难易度】 ★★★★ 解析:〔1〕 F (t) 所以在〔0, (2) 要证实ty 2 z 2)dV 2—2 --------------------- ,G(t) f(x y )d D(t)f(x 2 y 2)dD(t) t 2 t f(x 2)dx t 2 ,D(t) (x,y)x 2 〕内的单调性. 2 -G(t).冗 t 2重积分的计算、积分上限的函数及其导数 2d 由于F(t) — d 0_ 2 d. 2t . 2tf(t 2) 0 f(r 2)r(t r)dr t 2 2 [0 f (r )rdr ] -2 2f (r )r sin dr_ t _2 22 ° f(r )r dr-2f(r )rdr-2f (r )rdr)± F (t) 0,故 F(t)在(0, 〕内单调增加._ 2 f (r )rdr - 2f(r )dr2 _ 一0时F(t) —G(t),只需证实t一 一 2 一 一.0时,F(t) —G(t) 0,即-2 2 t - 2 t -2f (r )r dr f (r )dr [ f (r )rdr]20.入t 2 2t _ 2 令 g(t) 0 f(r )r dr 0 f (r )drt L 22[0f(r )rdr],那么 g (t) f(t 2) f(r 2)(t r)2dr 0,故 g(t)在(0,由于g(t)在t 0处连续,所以当 t 0时,有g(t))内单调增加g(0) .又g(t) 0,故当 t 0 时,g(t) 0,因此,当t 0时,F(t) 2 -G(t). 九、(此题总分值 10分) 设矩阵A 向量,其中A 为A 的伴随矩阵, P ,求B 2E 的特征值与特征E 为3阶单位矩阵 【考点】矩阵的特征值的计算、矩阵的特征向量的计算【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点: 设B P 1AP, 假设是A 的特征值,对应特征向量为 B 与A 有相同的特征值,但对应特征向量不同, B 对应特征值的特征向量为解析:方法1: 经计算可得 A* 2EE (B 2E) 9)2(3)故B 2E 的特征值为29, 3.121当12 9时,解〔9E A 〕x 0 ,得线性无关的特征向量为k 1 *2是不全为零的任意常数.当3 3时,解〔3E A 〕x 0 ,得线性无关的特征向量为31 1所以属于特征值 33的所有特征向量为k 3 3卜3 1 ,其中k 30为任意常数1方法2：设A 的特征值为,对应特征向量为,即 A0.又因A* A AE,故有A*一,,1、 1.,1、 A,1、1A 于是有 B(P ) P A*P(P ) —(P ), (B 2E)P(— 2)P因此,四 2为B 2E 的特征值,对应的特征向量为 P3 2 223 2 ( 1)2( 7), 223故A 的特征值为121,3 7.1 21时,对应的线性无关特征向量可取为当37时,对应的一个特征向量为31 .所以属于特征值29的所有特征向量为k 1 1 k 21k 1 1 02 k 2 0 ,其中 1由于A 7 0 ,所以由于 E A1全为零的任意常数;十、(此题总分值8分)平面上三条不同直线的方程分别为11 : ax 2by 3c 0, l 2：bx 2cy 3a 0, l 3:cx 2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a b c 0.【考点】线性方程组有解和无解的判定 【难易度】★★【详解】此题涉及到的主要知识点: 三条直线相交于一点,相当于对应线性方程组有唯一解ax 2by3 c, 解析:方法1：必要性：设三条直线11,12,13交于一点,那么线性方程组bx 2cy 3a, (*) cx 2ay 3b,a 有唯一解,故系数矩阵 Abc 2ba 2b 2c 与增广矩阵Ab 2c 2ac 2a3c2223a 6( a b c)[a b c ab ac bc] 3b3(a b c)[( a b)2 (b c)2 (c a)2] 0,0,那么a b c,三条直线相同,故 a b c 0.0,得 P 1 11 因此,B 2E 的三个特征值分别为 9, 9, 3.对应于牛I 征值9的全部特征向量为 k 1P k 2P k 1k 2 1,其中k 1,k 2是不1对应于牛I 征值3的全部特征向量为k 3 1 1其中 k 3是不为零的任意常数3c3a 的秩均为2,于是 3ba 2b A| b 2c c 2a假设(a b)2 (b c)2 (c a)2…a2b 22123 2 由于2(ac b )2[a(a b) b ] = 2[(a 一 b) —b [ 0,b 2c24故秩(A) 2.于是,秩(A 尸秩(A) =2.因此方程组(*)有唯一解,即三直线11,12,13交1 点.X oax 2by 3c,充分性：考虑线性方程组bx 2cy 3a, cx2ay3b,将方程组(*)的三个方程相加,并由 a b c0.可知,方程组(*)等价于方程组22222[a(a b) b ] =- [a b (a b) ] 0,故方程组(* *)有唯一解,所以方程组(*)有唯一解,即三直线l i 」2/3交于一点.卜一、(此题总分值10分)有3件合格品.从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数 X 的数学期望；充分性：由a b c 0,那么从必要性的证实可知,0,故秩(A) 3. 方法2:必要性：设三直线交于一点(x o ,y .),那么y .为AX 0的非零解,其中a 2b 3c A b 2c 3a. c2a 3b a 2b 3c于是A b 2c 3a c2a 3b6( a bc)[ a 2 b 2 c 2 ab ac bc]3( a bc )[( a b )2 (b c )2 (c a)2] 0,假设(a b)2(b c)22(c a) 0 ,那么 ab c,三条直线相同,故 a bc 0.ax 2by3G bx 2cy3a.(* *)(*)由于 a 2b 2(ac b 2)甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【考点】随机变量的数学期望、离散型随机变量的概率分布【难易度】★★★解析：(1)X的可能取值为0, 1, 2, 3,X的概率分布为因此(2 ){Xk 3 kP{X k} C7VC6EXc 1/ 9 c 9 c 10——1——2——3——20202020k=0,1,2,3.设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品〞3｝构成完备事件组,因此根据全概率公式,有3P(A) P{Xk 0k}P{AX3k}= P{Xk 0,由于｛X0},{X 1} ,{X 2},3kP{X k}k 01EX6十二、(此题总分值8分)设总体X的概率密度为2e 2(xf(x)0,其中0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X i,X2,(1)(2)(3)min( X i,X2, ,X n)求总体X的分布函数F (x)；求统计量的分布函数F?(x)；如果用作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.【考点】连续型随机变量分布函数的计算、随机变量的分布函数的概念、估计量的无偏性【难易度】★★★【详解】此题涉及到的主要知识点:作为无偏性估计量就是E()x 1 e 2(x) x解析：(1) F(x) f(t)dt , '0, x .(2) F?(x) P{? x} P{min(X i,X2, ,XJ x}=1 P{min(X「X2, ,X n) x)=1 P{X i x,X2 x, ,X n x)=1 [1 F(x)]n2n(x )e ,x0, x一、dF?(x) 2ne2n(x),x ,f ?(x)dx 0, x .由于E? xf ?(x)dx 2nxe 2n(x)dx= —2n 所以？作为的估计量不具有无偏性。