6.函数的单调性
函数的性质专题讲义
函数四大性质综合讲义1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值3.（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。
2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
高中数学《函数单调性》教学课件
又f(0.5-0.5)=f[0.5+(-0.5)]=f(0.5)+f(-0.5)-1 所以f(0)=2+f(-0.5)-1， f(-0.5)=f(0)-1=0.
函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n均有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且f(0.5)=2，又当x>-0.5 时，有f(x)>0。
即f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)=-x2+2x-3在区间[1，+∞)上 是减函数。
函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n均有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且f(0.5)=2，又当x>-0.5 时，有f(x)>0。
(1) 求f(-0.5)的值； (2) 求证：f(x)是单调递增函数。
5
当x1<x2时，f(x1)<f(x2) 这时我们就说函数f(x)
4
. 3
2
f(x1)
=x2在区间(0，+∞)上是增
1 . .x
函数。
-3-2 -1 0 1x12x32
判断以下函数的单调性和单调区间。〔a>0〕
y
y
6 y=ax+b
6 y=-ax+b
4
4
2
-4 -2 -2
2 46 x
2
-4 -2 -2
P(V1)-P(V2)= Vk1-
k V2
=k
V2-V1 V1V2
由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2>0
由V1<V2，得V2-V1>0 由k>0，于是P(V1)-P(V2)>0
2013届高考数学考点回归总复习《第六讲 函数的单调性与最大(小)值》课件
[反思感悟] (1)若函数f(x)是增函数,则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2,函 数不等式(或方程)的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符 号,化为一般不等式(或方程)求解,但无论如何都必须在定 义域内或给定的范围内进行. (2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将 不等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解, 导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄 清如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等 式进行转化.
类型四
Hale Waihona Puke 抽象函数的单调性与最值解题准备:抽象函数是近几年高考的热点,研究这类函数性质 的根本方法是“赋值”,解题中要灵活应用题目条件赋值 转化或配凑.
【典例4】 函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)1,并且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函 数､二次函数､反比例函数的单调性均可直接说出. 了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处: (1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;
(2)当f(x)恒为正或恒为负时,函数
单调性相反;
1 y f ( x)
与y=f(x)的
f ( x1 ) f ( x2 ) ③ 0; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ④ 0. x1 x2 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
答案:①③
函数单调性说课课件
本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引 导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境， 引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方 法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教 学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对 问题的理解和认识．
〖迁移练习2〗
已知函数f(x)在上是减函数，比较f（
3 与f( )的大小。 4
a a 1）
2
1、在知识层面上，引导学生 小结；
2、在方法层面上，引导学生 小结；
教材P46练习A—T4;教材P76—20(2)
一、创设情境，引入课题
问题1：观察图形，能得到什么信息？ 问题2：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？
1、观察引入
y=-2x
y
y=2x
o
x
2、步步深化
y
o
x
3、形成概念 注意： （1）变量属于定义域 （2）注意自变量x1、x2取值的任意性 （3）都有f(x1 )>f(x2 ) 或f(x1 )<f(x2 )成立(无一例外) （4）函数的单调性是函数在定义域某个区间上的局部 性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可以有 不同的单调性。
（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、 从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对 函数单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识 不断深入． （2）在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析，帮 助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤． （3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃 的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义 的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔
例1 证明函数f(x)=2x+1在上是增函数． 引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设 元、作差、变形、断号、定论．
函数单调性的题型和解题方法
函数单调性的题型和解题方法
函数单调性是指函数在定义域内的单调性，也就是说函数随着其自变量增加而增加或减少。
常见的单调性题型包括：
1.判断一个函数是单调增还是单调减
2.确定函数的极值
3.确定函数的单调区间
解题方法：
1.对于一个函数，首先要求出其导函数，然后
判断导函数的正负性，来确定原函数的单调
性。
2.求函数的极值，需要用到导函数的概念，求
出导函数的零点，并确定其是极大值还是极
小值。
3.确定函数的单调区间，需要分析导函数的正
负性和零点。
需要注意的是，这些方法都是针对连续可导函数，对于不连续不可导函数，需要采用其他方法分析。
对于判断一个函数是单调增还是单调减，我们可以通过求导函数来判断，如果导函数为正值，那么原函数就是单调增的，如果导函数为负值，那
么原函数就是单调减的。
而如果导函数为0，那么可能是函数的极值点。
对于求函数的极值，我们需要求出函数的导函数，并找到导函数的零点。
对于导函数为0的点，我们需要分析其二阶导函数的正负性来确定其是极大值点还是极小值点。
对于确定函数的单调区间，我们需要分析导函数的正负性和零点。
导函数为正值时，原函数在该区间内单调递增；导函数为负值时，原函数在该区间内单调递减；导函数为0时，原函数在该点可能是极值点。
需要注意的是，单调性和极值点的分析都是基于连续可导的函数，对于不连续不可导的函数，需要采用其他方法来分析。
高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用拉格朗日定理和函数的单调性课件
注 例3中的不等号可以成为严格的. 事实上, 当
0 a b 和 a b 0时, 显然不为零, 严格不等
式成立.
罗尔定理与拉格朗日定理
当 a 0 b 时，
存在 1 (0, b), 2 (a , 0), 使得
arctan b arctan a arctan b arctan 0 arctan 0 arctan a
x x0
x x0
罗尔定理与拉格朗日定理
证 分别按左右极限来证明.
(1) 任取 x U ( x0 ), f ( x ) 在 [ x0 , x] 上满足拉格朗日
定理条件， 则存在 ( x0 , x ), 使得
f ( x ) f ( x0 ) f ( ). x x0
多项式, 所以 p( x )在[x1 , x2 ]上满足罗尔定理的条件，
从而存在 (a, b), 使得 p( ) 0, 这与条件矛盾. 又若 p( x ) 有一个 k 次重根 x0 , 则
p( x ) ( x x0 )k p1 ( x ), k 2.
( x ), 因为 p( x ) k ( x x0 )k 1 p1 ( x ) ( x x0 )k p1
3.若 f (x) 在(a, b) 上可微, [a, b] 上连续, 则对于任意
x (a , b], 存在 (a , x ), 使
f ( x ) f (a ) f ( )( x a ),
当 x a 时, 必有 a . 从等式
由于x0 x , 因此当x x0 时，随之有 x0 ,
对上式两边求极限，便得
f ( x ) f ( x0 ) lim lim f ( ) f ( x0 0). x x0 x x0 x x0
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法在数学中，判断函数的单调性是一个非常重要的问题。
单调性是指函数在定义域内的增减性质，它在数学建模和解决实际问题中有着广泛的应用。
在这篇文档中，我们将介绍判断函数单调性的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
一、导数法。
判断函数的单调性最常用的方法之一就是使用导数。
导数代表了函数在某一点的变化率，通过导数的正负性可以判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某一区间上的导数始终大于零，那么函数在这个区间上是单调递增的；如果导数始终小于零，那么函数在这个区间上是单调递减的。
如果导数在某一区间上恒为零，则函数在这个区间上是常数函数。
二、二阶导数法。
除了使用一阶导数外，我们还可以通过函数的二阶导数来判断函数的单调性。
如果函数在某一点的二阶导数大于零，那么函数在这一点附近是上凸的，也就是说函数在这一点上是单调递增的；如果二阶导数小于零，那么函数在这一点附近是下凸的，函数在这一点上是单调递减的。
三、零点和极值点法。
除了导数法和二阶导数法外，我们还可以通过函数的零点和极值点来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某一区间上的导数始终大于零，并且在这个区间的端点上函数的值相对于这个区间内的值是最大或最小的，那么函数在这个区间上是单调递增或单调递减的。
四、拐点法。
拐点是函数图像上的一个特殊点，它是函数由凹转凸或由凸转凹的点。
通过判断函数的拐点，我们也可以间接地判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某一点的二阶导数存在，且二阶导数在这一点发生了跳跃，那么这一点就是函数的拐点，函数在这一点附近可能发生了单调性的变化。
五、实例分析。
为了更好地理解判断函数单调性的方法，我们接下来通过一些具体的实例来进行分析。
我们将选取一些常见的函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，通过导数、二阶导数、零点和极值点、拐点等方法来判断它们的单调性。
通过这些实例分析，相信大家能够更加深入地理解和掌握判断函数单调性的方法。
2016届高三第一轮第6讲 函数的单调性与最值
诸城一中高三数学一轮复习第6讲函数的单调性与最值班级： 姓名： 命题人：谭玉邦 审核人：孙建鹏 2015-06-18 教师寄语：反复印象深刻、反思思维灵活！一、 高考要求：1、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2、会运用函数的图象理解和研究函数的性质. 【2016年高考预测】1．考查求函数单调性和最值的基本方法． 2．利用函数的单调性求单调区间．3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．．二、知识点梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义2．函数的最值说明：1、函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 2、设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 3、两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． (3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．三、双基自测1．设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )＜0的解集为( )． A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)2．(2011·湖南)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)3．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )． A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______．5．若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．考向一 函数的单调性的判断【例1】►试讨论函数f (x )＝xx 2＋1的单调性． [审题视点] 可采用定义法或导数法判断．【训练1】 讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．考向二 利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)【例2】►已知函数f (x )＝x 2＋ax (a >0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．[审题视点] 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性．【训练2】 函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3总结：已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．考向三 利用函数的单调性求最值【例3】►已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[审题视点] 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形．反思：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等．【训练3】 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．考向四 不等式恒成立问题在恒成立的条件下，如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容，近年来在新课标地区的高考命题中，由于三角函数、数列、导数知识的渗透，使原来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度，因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置.【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题，或者区间根的分布问题，进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解，常用方法还有函数性质法，分离参数法等.例4、已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．利用函数性质求f (x )的最值，从而解不等式f (x )min ≥a ，得a 的取值范围．解题过程中要注意a 的范围的讨论．【训练4】当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 四、高考真题在线1、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1) 2、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)3、[2014·天津卷] 函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 4、函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． 5、设正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当z xy 取得最大值时，z y x 212-+的最大值为 (A ）0 （B ）1 （C ）49(D ）3函数的单调性与最值双基训练一、选择题1、下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是 ( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋42、函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则 ( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－123、(教材习题改编)函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是 ( )A.45B.54C.34D.434、(2010·北京高考)给定函数①y ＝12x；②)1(log 21+=x y ；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5、(2012·广东六校第二次联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是 ( )A ．y ＝x 3B ．y ＝ln|x |C ．y ＝1x2 D ．y ＝cos x6、(2012·长沙模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k 取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为 ( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)7、(2012·长春模拟)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1(4－a2)x ＋2 ，x ≤1 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)8、已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0, 则a 的取值范围是( ) A.(22，3) B.(3，10) C.(22，4) D.(－2，3)二、填空题9、(教材习题改编)x x x f 2)(2-= (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 10、已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫|1x |<f (1)的实数x 的 取值范围是________． 11、(2012·枣庄模拟)函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．12、函数f (x )＝1x －1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．13、(2012·汉中模拟)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，若f (x ) 在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2， 则a ＝__________.14、函数[]x x y -=的最小值为__________15、已知偶函数)(x f 的定义域为R ，且在)0,(-∞上是增函数，则)43(-f 与)1(2+-a a f 的大小为________。
函数的单调性练习题
函数的单调性练习题高一数学同步测试（6）—函数的单调性1.在区间(0.+∞)上不是增函数的函数是：B。
y=3x^2+1.2.函数f(x)=4x^2-mx+5在区间[-2.+∞]上是增函数，在区间(-∞。
-2)上是减函数，则f(1)等于：C。
17.3.函数f(x)在区间(-2.3)上是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是：A。
(3.8)。
4.函数f(x)=(ax+1)/(x+2)在区间(-2.+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是：B。
(0.+∞)。
5.已知函数f(x)在区间[a。
b]上单调，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a。
b]内：A。
至少有一实根。
6.已知函数f(x)=8+2x-x^2，如果g(x)=f(2-x^2)，那么函数g(x)：B。
在区间(0.1)上是减函数。
7.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0.-1)、B(3.1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x+1)|<1的解集的补集是：D。
(-∞。
-1)∪[2.+∞)。
8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞。
5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么下列式子一定成立的是：C。
f(9)<f(-1)<f(13)。
9.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是：B。
(-∞。
]。
[1.+∞)。
10.已知函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞。
4]上是减函数，则实数a的取值范围是：C。
[-1.1]。
1.已知函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，实数 $a,b\in \mathbb{R}$ 且 $a+b\leq 0$，则下列不等式中正确的是（）A。
$f(a)+f(b)\leq -f(a)+f(b)$B。
$f(a)+f(b)\leq f(-a)+f(-b)$C。
$f(a)+f(b)\geq -f(a)+f(b)$D。
函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法-【题型分类归纳】
函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法一、单调性定义的等价形式（1）函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .（2）函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、定义法判断函数奇偶性判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数； 如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 三、利用单调性、奇偶性解不等式原理 1、解()()<f m f n 型不等式（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“f ”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；（2）若不等式一边没有函数符号“f ”，而是常数（如()<f m a ），那么我们应该将常数转化带有函数符号“f ”的函数值再解。
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1.函数单调性的定义：一般地，设函数y ＝f （x ）地定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中地任意两个值x 1、x 2，则当改变量△x ＝x 1－x 2＞0时，有△y ＝f （x 1）－f （x 2）_______，那么就称函数y ＝f （x ）在区间M 上是增函数；当改变量△x ＝x 1－x 2＞0时，有△y ＝f （x 1）－f （x 2）_______，那么就称函数y ＝f （x ）在区间M 上是减函数.如果一个函数在某个区间M 上是增函数或者是减函数，就说函数在区间M 上具有_______，区间M 叫做____________.
2.基本初等函数的单调性：
（1）一次函数f （x ）＝kx ＋b ：当_________，f （x ）单调递增；当_________，f （x ）单调递减.
（2）二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ：当a>0时，f （x ）在区间_________上是增函数，在区间_________上是减函数；当a<0时，f （x ）在区间_________上是增函数，在区间_________上是减函数.
（3）反比例函数x
k )x (f =：k>0时，f （x ）在区间______________上是______函数 k<0时，f （x ）在区间______________上是______函数
（4）指数函数y ＝a x ：当_________，f （x ）单调递增；当_________，f （x ）单调递减.
（5）对数函数y ＝log a x ：当_________，f （x ）在区间_________上单调递增；
当_________，f （x ）在区间_________上单调递减.
3.复合函数y ＝f ［)x (ϕ］的单调性：若y ＝f （μ）和μ＝)x (ϕ在相应的区间内具有相同的单调性，则y ＝f ［)x (ϕ］在这个区间上是__________；若y ＝f （μ）和μ＝)x (ϕ在相应的区间内具有相反的单调性，则y ＝f ［)x (ϕ］在这个区间上是__________.
4.增减函数的性质：
（1）增（减）函数＋增（减）函数为_________函数；
（2）增（减）函数－减（增）函数为_________函数；
（3）y ＝f （x ）与y ＝kf （x ）（k ≠0），当k>0时，增减性_________；当k<0时，增减性_________；
（4）当f （x ）恒为正或恒为负时，)
x (f 1y =与y ＝f （x ）的单调性_________. 【基础知识检测】
1.函数y ＝x ＋x
1的递增区间是__________.
2.函数1
x 11y --= （ ） A.在（－1，＋∞）上单调递增 B.在（－1，＋∞）上单调递减
C.在（1，＋∞）上单调递增
D.在（1，＋∞）上单调递减
3.函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)是单调函数的充要条件是 （ ）
A.b≥0
B.b≤0
C.b>0
D.b<0
4.已知函数y ＝f （x ）是定义在（－∞，＋∞）上的增函数，则方程f （x ）＝0的根 （ ）
A.有且只有一个
B.有2个
C.至多有1个
D.有2个以上
【典型例题探究】
例1.求证：f （x ）＝－x 3＋1在（－∞，＋∞）上是减函数.
例2. 指出函数)x 2x (log )x (f 2
21-=的单调区间.
例3.已知奇函数)x (f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)1m 2(f )1m (f >-+-，求实数m 的取值范围.
例4.设函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx （x ∈R ），已知g （x ）＝f （x ）－f ˊ（x ）是奇函数.
（1）求b 、c 的值 （2）求g （x ）的单调区间.
【巩固练习】
A 组
1.若函数f(x)=1
21x +, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值
C. 单调递增无最大值
D. 单调递增有最大值
2.函数f （x ）（x ∈R ）的图像如图，则函数
g （x ）＝f （log a x ）（0＜a ＜1）的单调递减区间是 A.]21,0[ B. ]1,a [ C.),21
()0,(+∞-∞ D. ]1a ,a [+ 3.设函数f （x ）＝log a ｜x ｜在（－∞，0）上是单调递增，则f （a ＋1）与f （2）的大小关系是
（ ）
A. f （a ＋1）＝f （2）
B. f （a ＋1）<f （2）
C. f （a ＋1）>f （2）
D. 不确定
4.有下列四个命题：
（1）y ＝2x 2＋x ＋1在（0，＋∞）上不是增函数；
（2）函数1
x 1y +=在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数； （3）函数2x x 45y ---=的单调递增区间为[－2，＋∞)；
（4）已知f （x ）在R 上增函数，若a ＋b ＞0,则f （a ）＋f （b ）＞f （－a ）＋f （－b ）， 其中正确命题的序号是__________________.
5.函数3x 2x y 2-+=的单调减区间是________________.
6.函数y ＝－（x －3）｜x ｜的递增区间是_______________.
7.证明:x 1x )x (f +=
在（0，1］上是减函数.
B 组
1.设函数f(x)=,a
ax x c 22
++其中a 为实数. (1)若f(x)的定义域为R,求a 的取值范围; (2)当f(x)的定义域为R 时，求f(x)的单调递减区间.
2.定义在R 上的函数y ＝f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有 f （a ＋b ）＝f （a ）·f （b ）.
（1）证明：f （0）＝1； （2）证明：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0
（3）证明：f （x ）在R 上是增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.。