六年级数学重点内容 不定方程
六年级奥数第28讲：不定方程
简单的不定方程所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。
（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。
（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。
（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。
例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。
甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。
年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。
问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。
做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。
那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有31的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？做一做：一群猴子采摘水蜜桃。
猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。
问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。
已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？做一做：有一堆围棋子，白子颗数是黑子颗数的3倍。
六年级奥数不定方程
六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。
（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211x，11x－2能被3整除且x＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
小学六年级奥数第40讲 不定方程(含答案分析)
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
六年级不定方程
解:设需要大客车x辆，小客车y辆， 则 48x＋30y＝306 即 8x＋5y＝51， 可以变形为：y＝（51－8x）÷5， 由于y是自然数，所以51－8x应该是5的倍数， 我们不难找出：x＝2；y＝7。
5
例题精讲
例4、一个工人将99颗子弹装入两种盒子中，每个大盒子装12 颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，问这两种 盒子各有多少个？
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练习题
2、大旅游车有50个座位，小旅游车有21个座 位，现有284位乘客去八达岭旅游，要使每位 旅游者都有座位且车上没有空座位，共需多少 辆旅游车？
分析：没有空座，即 坐满，列出符合题意 的不定方程求解即可。
解:设大旅游车x辆，小旅游车y辆， 则50x＋21y＝284，变形得：x＝（ 284－21y）÷50 即284－21y是50的倍数，y只能取4 ，此时x＝4，即共需8辆旅游车 。
所以，解答这类方程，一定要 找出题中明显或隐含的限制条 件。亦可以根据整除知识，缩 小未知数的取值范围，然后试 算求解。
2
例题精讲
例1、求不定方程7x＋11y＝276的自然数解。
题中不定方程的限制条件就是x、y都是自然数。将不定方程7x＋11y＝ 276变形为：x＝（276－11y）÷7，由于x、y都是自然数，说明276－ 11y应该是7的倍数，y可以从最小的自然数1开始试验。经过试验，y可 取6、13、20，相对应，x＝30、19、8。
分析：题中已经告诉我们恰好装完，则大盒子与小盒子总量就 是99颗，且注意限制条件，所需的盒子数必须大于10 。列出 符合题意的不定方程求出解。
解: 设大盒有x只，小盒有y只，列方程得：12x＋ 5y＝99，且x＋y＞10，x，y都是整数。 变形得：x＝（99－5y）÷12，99－5y是12的倍 数，可得：x＝2时，y＝15，符合条件； x＝7，y＝3时，x＋y＝10，不符合条件。 所以大盒子有2只，小盒子有15只。
小学数学六年级(上)第07讲 不定方程(含答案)
一般地，如果 是 的一组解，那么 （当 时）也是 的一组解．这是因为 ．另外， （当 时）也是 的一组解，理由相同．
这条性质有什么用呢？我们以求 的自然数解为例，我们容易看出它有一组自然数解 ．应用上面的规律， 每次增加3， 每次减少2（只要 还是自然数），所得结果仍然是 的一组解，所以 、 、 、 、 都是 的自然数解．另外 每次减少3（只要 还是自然数）， 每次增加2，所得结果也是 的自然数解，所以 、 、 也都是 的自然数解．而且这样就已经求出了 的所有自然数解，它们是：
例5．我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？
「分析」题中有几个未知量？由这些未知量你能列出几个方程？
《张丘建算经》
张丘建，北魏清河（今山东邢台市清河县）人，中国古代数学家，著有《张丘建算经》．该书的体例为问答式，条理精密、文辞古雅，是中国古代数学史上少有的杰作．
《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决，某些不定方程问题的求解．百鸡问题就是其中一个著名的不定方程问题．
练习3、天气炎热，高思学校购置了大、小空调若干．每台大空调每天耗电38度，每台小空调每天耗电13度．已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之和少1度．请问：单位里最少购进了多少台空调？
例4．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分最少是多少厘米？
不定方程概念
不定方程概念
不定方程是一个含有未知数的方程，通常是一个非线性方程，其中未知数的数量大于方程中的已知系数的数量。
一个不定方程可能有多个解，而且通常没有一般的解析解。
不定方程的目标是找到满足方程的未知数的所有可能的取值。
不定方程的求解可以通过代数、数论、几何等方法进行。
代数方法通常包括代数运算和方程变形，以便将方程化简为已知数和未知数的关系。
数论方法通常使用数学的数论理论和性质，将方程的解限制在某些整数范围内。
几何方法通常使用几何图形和性质，将方程的解转化为几何问题的解。
不定方程在数学和工程领域中广泛应用，例如在密码学中的离散对数问题、模线性方程问题；在控制理论中的状态估计和参数辨识问题；在经济学中的最优化和均衡问题等等。
不定方程的求解方法和技巧因问题的不同而各异，需要灵活运用数学知识和解题技巧。
六年级数学第10讲：不定方程
目录第10讲不定方程 (1)兴趣篇 (1)拓展篇 (5)超越篇 (11)第10讲不定方程兴趣篇1、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。
问：大、小油桶各几个？【答案】大油桶3个，小油桶4个【分析】设大桶x个，，小桶y个，则8x+5y=44。
尾数判断：y必为偶数，8x尾数为4。
那么有8x=24 x=3y=（44-24）÷5=4答：有大油桶3个，小油桶4个。
2、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个。
问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？【答案】大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个【分析】设大盒子x个，小盒子y个，则12x+7y=150两边取7的模，有()53mod7x ≡x =2+7k （k N ∈）又x ≤15012.512=，故x 共有2个取值：2，9。
不定方程有2组正整数解：218x y =⎧⎨=⎩，96x y =⎧⎨=⎩答：需要2个大盒子，18个小盒子或9个大盒子，6个小盒子。
3、小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。
若是早晨见面，小花狗叫2声，波斯猫叫1声；若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声。
细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声。
问：波斯猫至少叫了多少声？【答案】27声【分析】依题意，猫狗早晨见面，共叫了3声，晚上见面，共叫了5声，设它们15天中白天见面x 次，晚上见面y 次，显然x ，y ≤15，那么3x +5y =61，两边取5的模，有：31(mod5)25()x x k k N ≡⇒=+∈有3组解：211x y =⎧⎨=⎩，78x y =⎧⎨=⎩，125x y =⎧⎨=⎩ 对应的小猫分别叫了：35，31，27次，故最少叫27声。
4、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天恰好吃4个馒头。
6年级-2-不定方程-难版
第2讲 不定方程在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数典型例题知识梳理⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
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六年级数学重点内容不定方程
专题简析：
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：
x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6
………
y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
例1．
求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x
4。
可列表试验求解：
X=1 x=5 Y=5 y=2 练习一
1、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
例2
求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①
3x－y－6z＝2 ②
由①×2+②，得13x+13y＝52
X+y＝4 ③
把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.
当x＝1时，y＝3
当x＝2时，y＝2
当x＝3时，y＝1
把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.
所以，原方程组的正整数解为 x＝1
y＝1
z＝1
练习2
求下面方程组的自然数解。
1、－2z＝7
2、 7x+9y+11z＝68
3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52
4、5x+7y+4z＝26
3x－y－6z＝2
例3
一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。
设大盒子有x个，小盒子有y个，则
12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）
y＝（99－12y）÷5
经检验，符合条件的解有： x＝2 x＝7
y＝15 y＝3
所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
练习3.
1、某校6（1）班学生48人到公园划船。
如果每只小船可坐3人，每只大船可
坐5人。
那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）
2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种
不同的铅笔共几枝？
3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝
和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
例题4
买三种水果30千克，共用去80元。
其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。
问三种水果各买了多少千克？
设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。
根据题意得：
4x+3y+2×（30－x－y）＝82
x＝10－y 2
由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、
14、16、18。
因此，原方程的解如下表：
练习4
1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，
蓝皮球有多少只？
2、用10元钱买25枝笔。
已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。
问每种笔各买几枝？（每种都要买）
3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸
每张2角。
她一共用了一元两角两分钱。
那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？
例5
某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。
原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。
后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。
问：一、二、三等奖的学生各有几人？
设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。
则
6x+3y+2z＝22 ①
9x+4y+z＝22 ②
由②×2－①，得12x+5y＝22
y ＝22－12x
5
x＝1
x只能取1。
Y＝2，代入①得z＝5，原方程的解为 y＝2
z＝5 所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。
练习5
1、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。
他命中10环、7
环和5环各几发？
2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。
已知煮蛋每个0.60元，茶
叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。
问篮子里最多有几个皮蛋？
3、一头猪卖31
2
个银币，一头山羊卖1
1
3
个银币，一头绵羊买
1
2
个银币。
有人用
100个银币卖了这三种牲畜100头。
问猪、山羊、绵羊各几头？
答案：
练1
1、 x＝1 x＝3 x＝5 x＝7
y＝11 y＝8 y＝5 y＝2
2、 x＝3 x＝8
y＝11 y＝1
4、 x＝5
y＝3
练2
1、x＝1
y＝3
z＝3
2、 x＝3 x＝4
y＝4 y＝2
z＝1 z＝2
3、 x＝3
y＝1
z＝1
练3
1、设需要小船x只，大船y只。
则3x+5y＝48，y＝48－3x
5
根据题意，x可取1、
6、11，
方程的解是 x＝1 x＝6 x＝11 y＝9 y＝6 y＝3
2、设买甲级笔x枝，乙级笔y枝，则7x+3y＝60，y＝60－7x
3。
x≤。