高考理科数学压轴题及答案汇编
高考理科数学压轴题
(21)（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (I)求椭圆C 的标准方程;
(II)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.
(22)（本小题满分14分）设函数2
()ln(1)f x x b x =++,其中0b ≠. (I)当1
2
b >
时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (II)求函数()f x 的极值点;
(III)证明对任意的正整数n ,不等式2
3111
ln(1)n n n
+>-都成立.
(21)解：(I)由题意设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>
3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b === 22
1.43
x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214
3y kx m
x y =+??
?+=??得
222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->.
2121222
84(3)
,.3434mk m x x x x k k -+=-?=++
222
2
121212122
3(4)
()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k
-?=+?+=+++=+ Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，
1212122
x x ∴
?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k --+++=+++，
2271640m mk k ++=，解得
1222,7
k m k m =-=-
，且满足22
340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；
当27k m =-时，2:()7
l y k x =-，直线过定点2(,0).7
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2
(,0).7
(22)
解：(I) 函数2
()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.
222'()211
b x x b
f x x x x ++=+=++，
令2
()22g x x x b =++，则()g x 在1,2??-
+∞ ???上递增，在11,2?
?-- ??
?上递减，
min 11
()()22
g x g b =-=-+.
当12b >时，min 1
()02
g x b =-+>，
2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立. '()0,f x ∴>
即当1
2
b >
时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增。 （II ）分以下几种情形讨论：
（1）由（I ）知当1
2
b >
时函数()f x 无极值点. （2）当12b =时，2
12()2'()1
x f x x +=+， 11,2x ?
?∴∈-- ??
?时，'()0,f x >
,2x ∈-+∞ ???
时，'()0,f x >
1
2
b ∴=
时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。
（3）当12
b <
时，解'
()0f x =得两个不同解112x -=212x -+=.
当0b <时，1112x -=
<-，2112
x -+=>-，
()()121,,1,,x x ∴?-+∞∈-+∞
此时()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点212
x -+=.
当1
02
b <<
时，()12,1,,x x ∈-+∞ '()f x 在()()121,,,x x -+∞都大于0 ，'()f x 在12(,)x x 上小于0 ，
此时()f x 有一个极大值点112x --=
和一个极小值点212
x -+=.
综上可知，0b <时，()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点212
x -+=
；
1
02
b <<
时，()f x 有一个极大值点112x -=和一个极小值点212x -+=；
1
2
b ≥
时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。 （III ） 当1b =-时，2
()ln(1).f x x x =-+ 令3
3
2
()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则
32
'
3(1)()1
x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正，
()h x ∴在[)0,+∞上单调递增，当()0,x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=.
即当()0,x ∈+∞时，有3
2
ln(1)0,x x x -++>2
3
ln(1)x x x +>-，
对任意正整数n ，取1x n =
得23111ln(1)n n n
+>-
（21）（本小题满分12分） 已知函数1
()ln(1),(1)n
f x a x x =
+--其中n ∈N*,a 为常数.
（Ⅰ）当n =2时，求函数f (x )的极值；
（Ⅱ）当a =1时，证明：对任意的正整数n , 当x ≥2时，有f (x )≤x -1.
(22)(本小题满分14分) 如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y = -2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B . （Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在
抛物线2
2(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB
=+u u u r u u u r u u u r
（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
（21）
（Ⅰ）解：由已知得函数f (x )的定义域为{x |x ＞1}，
当n =2时，2
1
()ln(1),(1)
f x a x x =
+-- 所以 2
3
2(1)().(1)
a x f x x --'=- （1）当a ＞0时，由()0f x '=得
121x a =+
＞1，221x a
=-＜1， 此时 123
()()
()(1)a x x x x f x x ---'=
-.
当x ∈（1，x 1）时，()0,()f x f x '<单调递减； 当x ∈（x 1+∞）时，()0,()f x f x '>单调递增.
（2）当a ≤0时，()0f x '<恒成立，所以f (x )无极值. 综上所述，n =2时，
当a ＞0时，f (x )在1x =+处取得极小值，极小值为2
(1(1ln ).2a f a
+
=+ 当a ≤0时，f (x )无极值. （Ⅱ）证法一：因为a =1,所以1
()ln(1).(1)
n
f x x x =+-- 当n 为偶数时，
令1
()1ln(1),(1)n
g x x x x =--
---
则 11
12()10,(2)11(1)(1)n n n x n
g x x x x x x ++-'=+
-=+>≥----.
所以当x ∈[2,+∞]时，g(x)单调递增， 又 g (2)=0 因此1
()1ln(1)(1)
n
g x x x x =--
---≥g(2)=0恒成立， 所以f (x )≤x-1成立.
当n 为奇数时， 要证()f x ≤x-1,由于
1
(1)n
x -＜0，所以只需证ln(x -1) ≤x -1,
令 h (x )=x -1-ln(x -1), 则 12
()111
x h x x x -'=-
=
--≥0（x ≥2）, 所以 当x ∈[2，+∞]时，()1ln(1)h x x x =---单调递增，又h (2)=1＞0， 所以当x ≥2时，恒有h (x ) ＞0,即ln （x -1）＜x-1命题成立.
综上所述，结论成立. 证法二：当a =1时，1
()ln(1).(1)
n
f x x x =
+-- 当x ≥2，时，对任意的正整数n ，恒有1
(1)n
x -≤1，
故只需证明1+ln(x -1) ≤x -1.
令[)()1(1ln(1))2ln(1),2,h x x x x x x =--+-=---∈+∞
则12()1,11
x h x x x -'=-
=-- 当x ≥2时，()h x '≥0，故h (x )在[)2,+∞上单调递增， 因此 当x ≥2时，h (x )≥h (2)=0，即1+ln(x -1) ≤x -1成立.
故 当x ≥2时，有1
ln(1)(1)
n
x x +--≤x -1. 即f （x ）≤x -1.
(22)
（Ⅰ）证明：由题意设22
12
12120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p
-＜
由2
2x py =得22x y p =，则,x
y p
'=
所以12,.MA MB x x k k p p
=
=
因此直线MA 的方程为1
02(),x y p x x p +=
- 直线MB 的方程为2
02().x y p x x p
+=
-
所以211102(),2x x
p x x p p
+=-
①
222202().2x x
p x x p p
+=- ②
由①、②得
2
12
120,2
x x x x x +=+- 因此 12
02
x x x +=
，即0122.x x x =+ 所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得： 22
11440,x x p --=
22
22440,x x p --=
所以 x 1、x 2是方程22
440x x p --=的两根，
因此2
12124,4,x x x x p +==-
又22
210122122,2AB
x x x x x p p k x x p p
-
+===-
所以2.AB k p
=
由弦长公式得
AB ==
又AB = 所以p =1或p =2，
因此所求抛物线方程为2
2x y =或2
4.x y =
（Ⅲ）解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),
则CD 的中点坐标为123123
(
,),22
x x x y y y Q ++++
设直线AB 的方程为0
11(),x y y x x p
-=
-
由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212
(,)22
x x y y ++也在直线AB 上，
代入得0
33.x y x p
=
若D （x 3,y 3）在抛物线上，则2
330322,x py x x ==
因此 x 3=0或x 3=2x 0.
即D (0，0)或20
02(2,).x D x p
（1）当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意.
（2）当00x ≠，对于D (0，0)，此时22
12
22
22
12
12000
2(2,),,224CD
x x x x x x p
C x k p
x px +++==
又0
,AB x k p
=
AB ⊥CD ， 所以2222
012122
01,44AB CD
x x x x x k k p px p
++===-g g 即222
124,x x p +=-矛盾.
对于2002(2,),x D x p 因为2212
0(2,),2x x C x p
+此时直线CD 平行于y 轴， 又0
0,AB x k p
=
≠ 所以 直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意.
（21）（本小题满分12分）
两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧
上选择一点C 建造
垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.
（I ）将y 表示成x 的函数；
（Ⅱ）讨论（I ）中函数的单调性，并判断弧
上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。 （22）（本小题满分14分）
设椭圆E: 22
221x y a b +=（a,b>0）过M （22） ，6,1)两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥u u u r u u u r
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
(21) 解:（1）如图,由题意知AC ⊥BC,22400BC x =-,
224(020)400k
y x x x =
+<<-
其中当x =时，y=0.065,所以k=9
所以y 表示成x 的函数为22
49(020)400y x x x =+<<-
设2
2
,400m x n x
==-,则
400
m n +=,
49
y m n
=
+,所以
494914911()[13()](1312)40040040016m n n m y m n m n m n +=
+=+=++≥+=当且仅当
49n m m n =
即240
160n m =??=?时取”=”.
下面证明函数
49
400y m m =
+
-在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设0 1211224949()400400y y m m m m -= +-+-- 12124499 ( )()400400m m m m =-+---211212124()9()(400)(400)m m m m m m m m --=+-- 21121249 ()[ ](400)(400)m m m m m m =----12122112124(400)(400)9()(400)(400)m m m m m m m m m m ---=---, 因为0 12(400)(400) m m -->4×240×240 9 m1m2<9×160×160所以1212 12124(400)(400)90 (400)(400)m m m m m m m m --->--, 所以 12122112124(400)(400)9() 0(400)(400)m m m m m m m m m m ---->--即12y y >函数 49400y m m =+-在(0,160)上为减函数. 同理,函数 49400y m m = + -在(160,400)上为增函数,设160 1211224949 ()400400y y m m m m -= +-+--12122112124(400)(400)9()(400)(400)m m m m m m m m m m ---=--- 因为1600 12(400)(400) m m --<4×240×240, 9 m1m2>9×160×160 所以1212 12124(400)(400)90 (400)(400)m m m m m m m m ---<--, 所以 12122112124(400)(400)9() 0(400)(400)m m m m m m m m m m ----<--即12y y <函数 49400y m m =+-在(160,400)上为增函数. 所以当m=160即410x =时取”=”,函数y 有最小值, 所以弧 上存在一点，当410x =A 和城B 的总影响度 最小. 【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. (22) 解:（1）因为椭圆E: 22 221x y a b +=（a,b>0）过M （22） ，6,1)两点, 所以2222421611a b a b +=+=???????解得22 11 8114a b ?=????=??所以2284a b ?=?=?椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且 OA OB ⊥u u u r u u u r ,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22 184x y y kx m +==+?????得 222()8x kx m ++=,即 222(12)4280k x kmx m +++-=, 则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即 22840k m -+> 1222 12241228 12km x x k m x x k ?+=-??+?-?=?+? , 2222222 2 21212121222 2 (28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥u u u r u u u r ,需使12120x x y y +=,即222 2228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=, 所以22 3808m k -=≥又22 840k m -+>, 所以22238m m ?>?≥? ,所以283m ≥, 即 63m ≥ 或6 3m ≤-, 因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 21m r k = +， 2 22 22 8 3813 18m m r m k == = -++ ， 26r =， 所求的圆为 228 3x y += ，此时圆的切线y kx m =+都满足 63m ≥或63m ≤- ，而当切线的斜率不存在时切线为63x =±与椭圆22 1 84x y +=的两个交点为266(33±或626()33- ±满足OA OB ⊥u u u r u u u r ，综上，存在圆心在原点的圆2283x y += ，使得该圆的任 意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r . （21）（本小题满分12分） 如图，已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的离心率 为 2 2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点21,F F 为顶点的三角形的周长为)12(4+，一等轴双曲线 的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于项点 的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、 B 和C 、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121=?k k ； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得CD AB CD AB ?=+λ恒成立？若存在，求λ的值； 若不存在，请说明理由. （22）（本小题满分14分） 已知函数)(111)(R a x a ax nx x f ∈--- -=. （Ⅰ）当2 1 ≤ a 时，讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）设4 1.42)(2 =+-=a bx x x g 当时，若对任意)2,0(1∈x ，存在]2,1[2∈x ，使 )()(21x g x f ≥，求实数b 的取值范围. （21）本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质，考查直线和椭圆的位置关系， 考查坐标第、定值和存在性问题，考查数形结合思想和探求问题的能力。 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ， 由题意知 221)2 c a c a =+=+ 所以2a c == 又2 2 2 a b c =+，因此 2.b = 故椭圆的标准方程为22 184 x y += 由题意设等轴双曲线的标准方程为22 221(0)x y m m m -=>， 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点， 所以2m = 因此双曲线的标准方程为22 144 x y -= （Ⅱ）设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y 则00 1200,22 y y k k x x = =+- 因为点P 在双曲线2 2 4x y -=上， 所以22 00 4.x y -= 因此0001220001224 y y y k k x x x =?==+-- 即12 1.k k = （Ⅲ）由于PF 1的方程为1(2)y k x =+，将其代入椭圆方程得 2222111(21)8880k x k x k +-+-= 由违达定理得221112122 2 11888 ,2121 k k x x x x k k -+==++ 所以||AB = = 1= 同理可得2||CD = 则22 12 2212212111()||||11 k k AB CD k k +++=+++ 又121k k = 所以222211112221112 12 1 2121211()()1||||1111k k k k AB CD k k k k +++++=+=+= ++++ 故||||||||8 AB CD AB CD += ? 因此，存在8 λ= ， 使||||||||AB CD AB CD λ+=?恒成立。 （22）本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、 数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。 解：（Ⅰ）因为1()ln 1a f x x ax x -=-+ - 所以222 111()(0,)a ax x a f x a x x x x --+-'=-+=∈+∞ 令2 ()1,(0,)h x ax x a x =-+-∈+∞ （1）当0,()1,(0,)a h x x x ==-+∈+∞时 所以，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><时此时，函数()f x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0,f x '>函数f(x)单调递 （2）当0a '≠时,由f (x)=0 即2 10ax x a -+-=，解得121 1,1x x a ==- ①当1 2 a = 时，12,()0x x h x =≥恒成立， 此时()0f x '≤，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减； ②当11 0,1102a a << ->>时 (0,1)x ∈时，()0,()0,()h x f x f x '><此时函数单调递减； 1 (1,1)x a ∈-时，()0,()0,()h x f x f x '<>此时函数单调递增； 1 (1,),()0x h x a ∈-+∞>时，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； ③当0a <时，由于1 10a -< (0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增。 综上所述： 当0a ≤时，函数()f x 在（０，１）上单调递减； 函数()f x 在（１，＋∞）上单调递增； 当1 2a = 时，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减； 当1 02 a <<时，函数()f x 在（0，1）上单调递减； 函数()f x 在1 (1,1)a -上单调递增； 函数1 ()( 1,)f x a -+∞在上单调递减， （Ⅱ）因为11 (0,)22 a =∈，由（Ⅰ）知， 121,3(0,2)x x ==?，当(0,1)x '∈时,f (x)<0， 函数()f x 单调递减；当(1,2)x ∈时，()0f x '> 函数()f x 单调递增，所以()f x 在（0，2）上的最小值为1(1)2 f =- 由于“对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,2]x ∈，使12()()f x g x ≥”等价于 “()g x 在[1，2]上的最小值不大于()f x 在（0，2）上的最小值1 2 -” （*） 又22 ()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈，所以 ①当1b <时，因为min [()](1)520g x g b ==->，此时与（*）矛盾； ②当[1,2]b ∈时，因为2 min [()]40,g x b =-≥，同样与（*）矛盾； ③当(2,)b ∈+∞时，因为min [()](2)84g x g b ==- 解不等式1842 b -≤- ，可得17.8b ≥ 综上，b 的取值范围是17 [,).8 +∞ 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2 组距 分数 0.0350.0250.0150005 100 9080 70605040全国百套高考数学模拟试题分类汇编 10概率与统计 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试一)6位身高不同的同学拍照，要求分成两排，每排3人，则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_________。 答案：18 2、(皖南八校高三第一次联考)假设要考查某企业生产的袋装牛奶质量是否达标，现以500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样本时，先将500袋牛奶按000，001，┉，499进行编号，如果从随机数表第８行第４列的数开始按三位数连续向右读取，请你依次写出最先检测的５袋牛奶的编号____________________________________________；答案：163，199，175，128，395； 3、(蚌埠二中高三8月月考)设随机变量ξ的概率分布规律为*,)1()(N k k k c k p ∈+==ξ，则 ) 2 5 21(<<ξp 的值为___________答案：2 3 4、(巢湖市高三第二次教学质量检测)从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是. 答案：15 5、(北京市东城区高三综合练习二)从某区一次期末考试中随机抽取了100 个学生的数学成绩，用这100个数据来估计该区的总体数学成绩，各分数段的人数统计如图所示. 从该区随机抽取一名学生，则这名学生的数学成绩及格（60≥的概率为；若同一组数据用该组区间的中点 （例如，区间[60，80)的中点值为70)表示，则该区学生的数学成绩 的期望值为. 答案：0.65，67 6、(北京市宣武区高三综合练习二)某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4， 现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号的产品有16件，那么此样本容量n= 答案：72 7、(东北三校高三第一次联考)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1—— 160编号。按编号顺序平均分成20组（1—8号，9—16号，……153—160号），若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是________。 答案：6 8、(揭阳市高中毕业班高考调研测试)统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不 低于80分为优秀，则及格人数是；优秀率为。 答案：由率分布直方图知，及格率＝10(0.0250.03520.01)0.8?++?=＝80％， 及格人数＝80％×1000＝800，优秀率＝100.020.220?==％. 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
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