2011年导航数学模拟考试(数学一)

∫
x
0
sin t ⋅ f (t )dt （C） ∫ f (sin t )dt （D） ∫ [sin t + f (t )]dt
0 0
x
x
解 选择 B. 由题设知， sin t ⋅ f (t ) 为偶函数，故
∫
x
0
sin t ⋅ f (t ) dt 为奇函数.
1 ⎧ x 1 + e ⎪ , x ≠ 0, ⎪ 1 2.设 f ( x) = ⎨ 则 x = 0 是 f ( x) 的（）. x ⎪1 − e ⎪ x = 0, ⎩1,
2
∑a
n =0
n
cos nx ，则 a2 =
.
解 答案为 1 .x = 1 π ∫0
3
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12.设 S 为锥面 z =
x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ 1) 外侧，则 ∫∫ y dydz =
16. （本题满分 10 分）
t n
设 f ( x) 在 (−∞, +∞) 上连续，且
∫
x
0
f ( x − t ) e dt = cos x .
∞
⑴求 f ( x) ；⑵ 设 an = f (0) ，求级数 1 +
∑2
n =1
0
an
n +1
的和.
解 ⑴令 u = x − t ，则
∫
x
0
t
f ( x − t ) e n dt = − ∫ f (u ) e
= 1 − P { X < 0} P {Y < 0} = 1 − Φ 2 (0) =
三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本题满分 9 分）设 u = f ( x, z ) ，而 z = z ( x, y ) 是由方程 z = x + yϕ ( z ) 所确定的隐函 数，其中
n − r ( A) = 1 且 AA* = A E = O ，故 A* 的列向量 (1,1,L ,1)T 是 Ax = 0 的基础解系.
14.设随机变量 X 与 Y 相互独立， 且都服从正态分布 N (0,1) ， 则 P {max( X , Y ) ≥ 0} = 解 答案为
.
3 . P {max( X , Y ) ≥ 0} = 1 − P {max( X , Y ) < 0} = 1 − P { X < 0, Y < 0} 4 3 . 4
的跳跃间断点. 3.若函数 f ( x) 与 g ( x) 在 (−∞, +∞) 内可导，且 f ( x) < g ( x) ，则必有（）. （A） f (− x) > g ( − x) （B） f ′( x) < g ′( x )
（C） lim f ( x ) < lim g ( x ) （D）
x → x0 x → x0
n →∞ n →∞
σ 2 k = a1 + a2 + L + a2k
= (a1 − a2 + a3 − a4 + L + a2 k −1 − a2 k ) + 2( a2 + a4 + L + a2 k ) = s2 k + 2 Sk ，
故 lim σ 2 k = lim( s2 k + 2 S k ) = a + 2b ， lim σ 2 k +1 = lim(σ 2 k + a2 k +1 ) = a + 2b ，
f 具有连续偏导数，而 ϕ 具有连续导数，求 du .
dx + ϕ ( z ) dy ， 1 − yϕ ′( z )
解 取全微分 du = f x dx + f z dz ， dz = dx + ϕ ( z ) dy + yϕ ′( z ) dz ⇒ dz =
故 du = ( f x +
fz fϕ )dx + z dy . 1 − yϕ ′ 1 − yϕ ′
nX ~ t (n − 1) （ D ） S
nX 12
n
~ F (1, n)
∑X
i =1
2 i
解
2 1
选 择 D. 由 一 个 正 态 总 体 的 抽 样 分 布 知 A ， B ， C 都 正 确 ，
n
2 2 i 2
X ~ χ (1), ∑ X ~ χ (n) ，但是它们不独立，不能推出
i =1
nX 12
⑵ an = f (0) = −
∞
s( x) = 1 − ∑
n =1
x ∞ x 1 x n+1 = 1 − x ∫ ∑ x n −1dx = 1 − x ∫ dx = 1 + x ln(1 − x), x < 1 0 0 1− x n n =1
1+ ∑
an 1 1 = s ( ) = 1 − ln 2 . n +1 2 2 n =1 2
k →∞ k →∞ k →∞ k →∞
∞
所以 lim σ n = a + 2b ，级数
n →∞
∑a
n =1
n
收敛，和为 a + 2b .
⎛ 1 0 −1⎞ ⎜ ⎟ 5.设矩阵 A 与 B = 0 2 0 相似，则 r ( A) + r ( A − 2 E ) = （）. ⎜ ⎟ ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠
) = E ( X e− X ) − EXE e− X = 0 ，
ρ XY = 0 .
8. 设 X 1 ,L , X n 是取自正态总体 N (0,1) 一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.
（A）
n X ~ N (0,1) （ B ） (n − 1) S 2 ~ χ 2 (n − 1) （ C ）
(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
解 选择 A. 矩阵 A 与 B 相似，则 A − 2 E 与 B − 2 E 相似， 故 r ( A) + r ( A − 2 E ) = r ( B) + r ( B − 2 E ) = 2 + 1 = 3 . 6. 设 3 阶 方 阵 A 的 特 征 值 是 1, 2,3 ， 它 们 所 对 应 的 特 征 向 量 依 次 为 α1 , α 2 , α 3 ， 令
∫
x
0
f (t )dt < ∫ g (t )dt
0
x
解
选择 C. 由函数 f ( x) 与 g ( x) 在 (−∞, +∞) 内可导知， f ( x) 与 g ( x) 在 (−∞, +∞) 内连
续， lim f ( x ) = f ( x0 ) ， lim g ( x ) = g ( x0 ) ，而 f ( x0 ) < g ( x0 ) ，故 lim f ( x ) < lim g ( x ) .
x
x −u n
x
du = e n
∫
x
0
f (u ) e n du ，
−
u
4
圆圆工作室 内部版本：仅供学习，禁止传播！
故e
x n
∫
x
0
f (u ) e du = cos x ，即 ∫ f (u ) e du = e cos x ，
0
−
u n
x
−
u n
−
x n
f x ( x, 2 x 2 − 3x + 4) + f y ( x, 2 x 2 − 3x + 4) ⋅ (4 x − 3) = 1 ，
令 x = 1 ，得 f x (1,3) + f y (1,3) = 1 ，故 f y (1,3) = −1 . 10.微分方程 y′ + (e − x − 1) y = 1 的通解为 .
（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点
解
f ( x ) = lim 选择 B. lim − −
x →0 x →0
1+ e 1− e
1 x 1 x
= 1 ， lim f ( x) = lim + +
x →0 x →0
1+ e 1− e
1 x 1 x
= −1 ，故 x = 0 是 f ( x)
n
~ F (1, n) .
∑X
i =1
2 i
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，把答案填在题中横线上） 9.设函数 f ( x, y ) 具有连续偏导数，且 f ( x, 2 x 2 − 3 x + 4) = x ， f x (1,3) = 2 ，则 f y (1,3) = . 解 答案为 −1 . 方程 f ( x, 2 x 2 − 3 x + 4) = x 两边对 x 求导，得
x → x0 x → x0 x → x0 x → x0
∞
∞
∞
4.已知级数
∑ (−1)
n =1
n −1
an 和 ∑ a2 n 分别收敛于 a, b ，则级数 ∑ an （）.【C】
n =1 n =1
(A)不一定收敛 (C)必收敛，和为 a − 2b
∞
(B) 必收敛，和为 2a + b (D) 必收敛，和为 a + 2b
上式两边对 x 求导，得 f ( x) e
−
x n
x − 1 −x = − e n cos x − e n sin x ， n
即 f ( x) = −
1 cos x − sin x . n
∞ ∞ a 1 1 ，级数 1 + ∑ nn = 1 − ， ∑ +1 n +1 n n =1 2 n =1 n 2