3-6 条件平差估值的统计性质
测量平差期末总结
测量平差期末总结一、引言测量平差是地理信息系统(GIS)和工程测量领域非常重要的一部分，它涉及到对测量数据进行处理、分析和计算。
测量平差能够提高测量数据的准确性和精确度，使得测量结果更加可靠和可信。
本文将对测量平差的一些基本概念、方法和步骤进行总结和分析，以期加深对测量平差的理解和应用。
二、测量平差的基本概念1. 测量平差的定义测量平差是指通过一系列的数学模型和计算方法，对原始的测量数据进行处理和分析，以获取更加准确和精确的测量结果的过程。
测量平差的目的是消除测量误差，提高测量数据的可靠性和精度。
2. 测量平差的分类根据测量数据的性质和采集方式的不同，测量平差可以分为直接平差和间接平差。
直接平差是指对直接测量数据进行处理和分析，如经纬度测量、高程测量等；间接平差是指对间接测量数据进行处理和分析，如距离测量、角度测量等。
3. 测量平差的基本原理测量平差的基本原理是基于观测量的合理模型和模型的参数估计。
通过观测量的数学模型，利用最小二乘法或加权最小二乘法等方法，求解模型的未知参数，从而得到测量结果的最优估计。
三、测量平差的方法和步骤1. 校正平差校正平差是指对原始的测量数据进行检验和修正的过程。
校正平差的目的是通过剔除异常观测值和消除系统误差，得到更加准确和可靠的测量数据。
2. 数学模型的建立数学模型是测量平差的基础，它是通过观测量的几何关系和误差模型建立的。
数学模型可以根据测量任务的不同而定，常见的数学模型有三角形测量模型、高程测量模型等。
3. 参数估计参数估计是指根据观测量和数学模型，利用最小二乘法或其他的数学方法，求解模型的未知参数。
参数估计的目的是最小化观测量和模型的差异，得到最优估计。
4. 平差计算平差计算是指根据参数估计的结果，利用平差公式和计算方法，对测量数据进行处理和分析。
平差计算的目的是消除观测量和模型之间的差异，得到平差结果。
四、测量平差的应用1. 地理信息系统(GIS)测量平差在GIS中有广泛的应用。
测量平差第八章
• 令:
V T PV 2K T ( AV Bx转 W置) 后2K得ST (Cx WX )
x
2K
T
B
2K
T S
C
0
V QAT K
2V T P 2K T A 0 V
BT K CT KS 0
§8.2 基础方程和它的解
• 于是统一平差模型的基础方程为
(1) A V B xW 0
• 令:
V T
PV
2K T
( AV
B转x置 W后) 得2K
T S
(Cx
WX
)
x
2K
T
B
2K
T S
C
0
V QAT K
2V T P 2K T A 0 V
BT K CT KS 0
§8.2 基础方程和它的解
• 或者
N aa
cc
BT
uc
0
sc
B
cu
0
uu
C
su
0
cs
CT
us
0
ss
K
cn n1 cu u1 c1 c1
(2)
C
su
x
u1
WX
s1
0 s1
(3) V Q AT K n,1 n,n n,c c,1
(4) BT u,c
K CT
c,1 u,s
Ks
s1
0
u ,1
§8.2 基础方程和它的解
• （3）、若选u<t，且未知数参数独立，条件方程中含
未知参数x ，线性形式为A V B x。W 这0时基础方程（2）
多只能列出t个函数独立的参数。在不选择参数时，
一般条件方程数c等于多余观测数 ，r 若n又t选用了
测量程序设计_条件平差和间接平差
程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程： 将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作： 由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为
误差理论与测量平差基础第五章条件平差ppt课件.pptx
5-2 条件方程的列立
故有：
dA
1 ha
(dSa
cos CdS b
cos BdSc
)
将微分换成改正数，并将弧度换
成角度，得：
vA
ha (vSa
cos CvSb
cos BvSc
)
上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律：
任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻 边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的
3、几种非线性条件方程的线性形式
极条件： 在图5-4中，极条件为 线性化得：
sin aˆ1 sin aˆ2 sin aˆ3 sin bˆ1 sin bˆ2 sinbˆ3
1
sin(a1 va1 )sin(a2 sin(b1 vb1 )sin(b2
va2 )sin(a3 va3 ) vb2 )sin(b3 vb3 )
dV
dV
dV
VTP VTP
2V T P
5-1 条件平差原理
2.2 求偏导
2.3 法方程 改正数方程
d 2V T P 2K T A 0 dV
AP1 AT K W 0
V P1 AT K
举例
水准网如右图：观测值及其权阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
m1
yA yˆi yB 0 i 1
5-2 条件方程的列立
➢GIS数字化数据采集中，折角均为90度的N边形的条件 方程
1、观测值
观测值为N个顶点的坐标，其个数为n=2 N。
2、必要观测个数
t=N+1
h
3、多余观测个数
r=n-t=2N-N-1=N-1 4、条件方程的类型
《测量平差》学习概要论文
《测量平差》学习概要每一位同学拿到《测量平差》一书时，脑子里马上就有许多问题涌现：这是一门什么样的课程？学习这门课有什么用处呢？我应该怎样去学好它？……因此在这里，简单地向大家介绍一下本课程的基本情况。
《测量平差》是测绘类专业重要的专业基础课，主要讲授测量数据处理的基本理论和方法，是理论与实践并重的课程。
学生通过对本课程的学习，理解测量误差的来源、误差的分类、误差的性质、平差方法、平差结果的精度评定和统计性质，牢固地掌握测量数据处理的理论和方法，为后续专业课程的学习打下扎实的基础。
这对学习测绘其它专业课和从事测绘科研、生产工作都具有指导意义。
一、内容《测量平差》全书共有五章内容：1、绪论主要说明观测误差产生的和分类，测量平差法研究的内容以及本课程的任务。
观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。
建立有观测就有误差的理念。
2、误差理论与最小二乘原理本章是全书的基础知识，也是本书的重点。
重点是偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标；协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点是精度、准确度、精确度和不确定度等概念；权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
在学习观测误差与传播律的时候，要建立测量误差不可避免的理念和测量误差分类处理的思路，理解测量误差的性质，熟练掌握衡量精度的各种指标。
并且掌握广义传播律的理论，熟练掌握测绘中的应用方法。
要理解偶然误差的分布特性：(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值（界限性）。
(2) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大（小误差占优性）。
(3) 绝对值相等的正负误差出现的概率相等（对称性）。
要掌握两个重要概念：(1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值。
(2) 由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。
第三章 条件平差
xˆn1 xC 0 yˆ n1 yC 0
单一附合导线条件平差
1.方位角附合条件式
Tˆn1 T0 [ˆi ]1n1 (n 1) 180 T0 [i vi ]1n1 (n 1) 180
则方位角附合条件式可写为
v2
Lˆ n
Ln
vn
在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测
数为r。
条件平差原理
可以列出r个平差值线性条件方程
a1v1 a2v2 an vn wa 0
b1v1
b2v2 bn vn wb 0
r1v1 r2v2 rn vn wr 0
程中式的式中常中，数的ai、项系b。i数、相，…应、a0的、ri（改b0i、正= …1数,2、条,…r件0…为方n各）程平为式差各值平条差件值方条程件方式
E QAT
0
N 1 QAT N 1
0
N 1 AQ QAT N 1 AQ
0
0
0
Q
QAT
N
1
AQ
QLˆL
QLˆW
QLˆK
QLˆV
QLˆLˆ
由上式可见，平差值与闭合差W、联系数K、改 正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服 从正态分布的向量，所以与W、K、V也是相互 独立的向量。
平差值函数的协因数
单一附合导线条件平差
设AB边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已知值为TCD、 计算值为Tn+1，B点坐标的已知值为(,)或者(x1, y1)，C点坐 标的已知值为(,)、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有 一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。
平差重点知识点
2.8.1 边角网按条件平差(1) 边角网中的条件边角网的建网方法有四种，即在测角网的基础上加测部分边;在测边网的基础上加测部分角;观测部分边和部分角;观测全部边长和角度。
由于边角网既测边长又测角度，因此它具有三角网条件，测边网条件及由边、角两类观测量共同组成的边角条件，具体有以下几种：a. 独立三角网条件用角度组成的三角网图形、圆周闭合和极三种条件;b.独立测边网条件用边长组成的测边网的图形条件;c.边、角条件由观测边长和观测角度共同组成的正弦条件或余弦条件;d. 附合网条件它包括测角网或测边网中的坐标方位角(固定角)、坐标及基线(固定边)(测边网除外)三种条件。
在以上条件中，a、b、d三类条件分别在测角网、测边网及导线网中做了讨论，现讨论C种条件式的组成。
①正弦条件方程式的组成正弦条件是指平差图形中观测角和观测边的平差值应满足正弦定理。
在图2.8-1中，测角网中加测了边长Dcd。
则其正弦条件为：其线性形式为：(2.8-4)式中：很显然，边角网中正弦条件同三角网中基线条件式是相似的，所不同的是在基线条件式的基础上，增加了边长改正数这一项，因此边角网中正弦条件式是三角网中基线条件式的扩展。
在图2.8-1中，如果边长ab也是观测边，那么在(2.8-4)式中还要加一项VDab，其条件方式程形式为：图2.8-1 边角条件基本图形(2.8-5)作为特例，当在一个边角网三角形中(见图2.8-1)，显然有两个正弦条件式，其形式为：(2.8-6)式中：式(2.8-6)亦可写成下列形式：(2.8-7)式中：W1＝D1sinβ2-D2sinβ1W2＝D2sinβ3-D3sinβ2在特殊情况下，如果在测三条边及两个角的三角形中，此时显然有两个正弦条件，其中一个与式(2.8-6)或(2.8-7)式中第一式相同，而第二个条件式则不同，设β3＝180°-β1-β2，其条件方程式形式为：(2.8-8)式中：或表达为：(2.8-9)式中：W=D2sin(β1+β2)-D3sinβ2。
《测量平差基础》课件
平差模型是描述测量数据与未知参数之间关系的数学模型，通过建立 合适的平差模型，可以对测量数据进行处理和分析。
参数估计
平差中的参数估计是通过对测量数据的处理和分析，求解出未知参数 的最估计值的方法。
误差传播
平差中的误差传播是研究误差对测量结果的影响，以及如何减小误差 的方法。
02
测量误差理论
误差的来源与分类
来源
仪器误差、观测者误差、外界条件误差
分类
系统误差、偶然误差、粗差
误差的传播与处理
误差传播定律
描述观测值之间误差关系的规律
误差处理方法
消除法、替代法、组合法
《测量平差基础》ppt课件
目 录
• 测量平差基础概述 • 测量误差理论 • 平差计算方法 • 平差应用实例 • 平差软件介绍
01
测量平差基础概述
平差的概念与意义
平差的概念
平差是通过对测量数据的处理，消除 或减小误差，提高测量精度的方法。
平差的意义
通过对测量数据的平差处理，可以提 高测量成果的可靠性和精度，为各种 工程和科学研究提供准确的数据支持 。
平差的分类与目的
平差的分类
根据处理方法和目的的不同，平差可 以分为多种类型，如参数平差、条件 平差、最小二乘法平差等。
平差的目的
平差的主要目的是减小或消除测量误 差，提高测量精度，确保测量成果的 可靠性和准确性。
平差的基本原理
数学基础
平差的基本原理基于数学中的最小二乘法、线性代数和概率统计等知 识。
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§3-6 条件平差估值的统计性质
2学时
在条件平差中，根据最小二乘原理，求出了平差值（观测量的最或然值）L
ˆ和单位权中误差0σ。
本节我们用数理统计理论来讨论这些平差结果的统计性质。
一、观测量平差值L
ˆ具有无偏性 根据数理统计理论，要证明L ˆ的无偏性，就是证明L ˆ的数学期望等于相应的真值L ~，即：
L L E ~)ˆ(=
(3-6-1)
根据（3-1-6）、（3-1-14）和（3-1-19）式，得
)
()()(ˆ01111111A AL A AP A P L W A AP A P L K A P L V L L
T T T T T +-=+=+=+=-------
两边取期望得：
))(()()())()(()ˆ(01110
111A L AE A AP A P L E A AL A AP A P L E L E T T T T +-=+-=------
由于L L E ~)(=，且
0~
0=+A L A ，得 L L L E ~0~)ˆ(=+=
二、观测值平差值的方差最小（有效性）
根据矩阵的迹的定义，要证明L
ˆ具有最小方差，需要证明平差值方差的迹tr (L L D ˆˆ)为最小即可。
而根据方差的定义L L L L Q D ˆˆ2
0ˆˆσ=，也可以证明平差值协因数阵的迹tr (L L
Q ˆˆ)为最小，即
tr (
L L D ˆˆ) = min 或 tr (L L Q ˆˆ) = min
(3-6-2)
可以用反推法求L ~的具有最小方差的无偏估计量是L
ˆ。
为此，仿照平差值表达式W A AP A P L K A P L V L L T T
T
1
1
1
1
)(ˆ
----+=+=+=，另设函数：
GW L L
+='ˆ (3-6-3)
式中G 为待求系数
先证明L 'ˆ是L ~的无偏估计：
对（3-6-3）式两端取数学期望，得
)()()()ˆ(W GE L E GW L E L E +=+='
由于L L E ~
)(=，而W = -（AL+A 0），则上式写为
L A L A G L A AL E G L E L E ~)~(~)()()ˆ(00
=+⋅-=+⋅-=' 即，无论系数G 为什么值，L 'ˆ都是L ~的无偏估计，L ~的无偏估计不唯一。
将（3-6-3）式写为
00)()(ˆGA L GA E A AL G L L --=+⋅-='
(3-6-4)
按协方差传播规律，得估计量L
'ˆ的方差阵为 T LL L L GA E D GA E D )()(ˆˆ--=''
=T
T LL LL T T LL LL G A GAD GAD G A D D +--
(3-6-5)
为求使tr (
L L D ˆˆ) = min 的G 的值，可对（3-6-5）式两端求迹后，再对G 求偏导，得
)()()()()(ˆˆT T LL LL T T LL LL L L G A GAD tr GAD tr G A D tr D tr D tr +--='' (3-6-6)
G G A GAD tr G GAD tr G G A D tr G D tr G
D tr T T LL LL T T LL LL L L ∂∂+
∂∂-∂∂-∂∂=∂∂'')
()()()()(ˆˆ (3-6-7)
其中
G D tr LL ∂∂)
(=0， G G A D tr T T LL ∂∂)(= D LL A T ， G GAD tr LL ∂∂)
(= D LL A T ， G G A GAD tr T T LL ∂∂)(= 2GAD LL A T
代入（3-6-7）式，并使其为零，得
22)(ˆˆ=+-=∂∂''T LL T LL L L A GAD A D G
D tr
而
D LL = σ02Q ，代入上式，整理得
GAQA T - QA T
= 0 (3-6-8) 即 GN – QA T = 0
(3-6-9) 则
G = QA T N –1
(3-6-10)
将上式代入(3-6-3)式，得
L V L W N QA L GW L L T ˆˆ1=+=+=+='-
(3-6-11)
可见L ˆ是L ~的方差最小的无偏估计，即是L ~的最优无偏估计。
三、单位权方差的无偏性
单位权方差的无偏性是指单位权方差20σ的估值2
0ˆσ
是其无偏估计量，即要证明： E (20ˆσ) = 2
0σ
(3-6-12)
估值的计算式
r PV V T =
2
ˆσ
对于改正数向量V ，其数学期望为E (V )，方差阵为D VV ，相应的权阵为P （P 为对称可逆阵），根据数理统计理论，V 向量的任一二次型的数学期望可表达成下式：
)()()()(V PE V E PD tr PV V E T VV T +=
(3-6-13)
式中，E (V ) = 0，D VV = 2
0σQ VV ，则（3-6-13）式可写为
)()(2
0VV T PQ tr PV V E σ=
(3-6-14)
由（3-1-29）知Q VV = AQ N QA T 1
-，代入上式，得
)()()()(12
012020AQ N A tr AQ N PQA tr PQ tr PV V E T T VV T --===σσσ
(3-6-15)
由于(A T N –1)和(AQ )都是方阵，根据矩阵的迹的性质，有：
tr (A T N –1AQ ) = tr (AQA T N –1) = tr (NN –1) = r (3-6-16)
上式代入（3-6-15）式后，根据单位权中误差的计算公式，得
2
2
02
)()()ˆ(σσσ=⋅===r r r PV V E r PV V E E T T (3-6-17)
从而可得，单位权方差20σ的估值2
0ˆσ
是其无偏估计量。
对于附有参数的条件平差结果的统计性质，证明方法要略微复杂些，这里不再详细介绍。
作业：习题集3.1,3.3,3.5,3.6,3.7。