2021年高三数学上学期第三次模拟考试试题 理(含解析)新人教A版

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【试卷综述】全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、立体几何、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出．至于实践能力和创新意识方面也在努力体现.

一．选择题（本题共十二小题，每题5分，共60分）

【题文】1.集合则等于（ ）

【知识点】集合.A1

【答案】【解析】B 解析：因为0,1,4,3,2,1,0,1,2,3,4,PM所在正确选项为B.

【思路点拨】根据集合的概念可知两个集合的交集，注意自变量的取值.

【典例剖析】集合问题关键要注意代表元素的取值范围.

【题文】2.若,其中则（ ）

A. B. C. D.

【知识点】复数的概念.L4

【答案】【解析】C 解析：根据复数的概念，可知实部与实部相等，虚部与虚部相等所以112121,12aiibiaibiab，所以

【思路点拨】根据复数的概念求出实部与虚部，再求出复数的模.

【题文】3.若，则有（ ）

A. B. C. D.

【知识点】指数对数的概念.B6,B7 精品文档

实用文档 【答案】【解析】A 解析：由函数的性质可知0.502211221,0log3log1,log1222abc，A为正确选项.

【思路点拨】比较大小问题主要根据函数的性质进行比较，找出中间介量也是关键.

【题文】4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ）

A. B. C. D.

【知识点】双曲线的概念.H6

【答案】【解析】C 解析：由题意可知双曲线的顶点为，渐近线方程为，利用点到直线的距离公式.

【思路点拨】由双曲线的概念可知渐近线方程，再根据点到直线的距离公式可求出结果.

【题文】5.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（ ）

A． B． C． D. 63

【知识点】程序框图.L1

【答案】【解析】D 解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

A B 是否继续循环

循环前 1 1/

第一圈 2 3 是

第二圈 3 7 是

第三圈 4 15 是

第四圈 5 31 是

第三圈 6 63 否

则输出的结果为63．

故答案为：63．

【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算B值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案.

【题文】6.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）

A.1 B. C. D.

【知识点】三视图.G2 精品文档

实用文档 【答案】【解析】C 解析：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为

因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为

因此可知：A，B，D皆有可能，而，故C不可能．

故选C．

【思路点拨】由三视图可知原图的数据，再根据面积的取值找出正确结果.

【题文】7.60,,,,ACBAcbaABC的对边且分别为角中，已知,

,则的周长等于（ ）

B.14 C. D.18

【知识点】正弦定理，余弦定理.C8

【答案】【解析】A解析：在△ABC中，角A=60°，∵5sinB=3sinC，故由正弦定理可得 5b=3c，

再由可得 bc=15，∴b=3，c=5．

再由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bc•cosA=19，

故三角形的周长a+b+c=，

故答案为：．

【思路点拨】由条件利用正弦定理可得5b=3c，再由，求得bc，从而求得b和c的值．再由余弦定理求得a，从而得到三角形的周长．.

【题文】8.从6名学生中选3名分别担任数学、物理、化学科代表，若甲、乙2人至少有一人入选，则不同的选法有（ ）

A.40种 B.60种 C.96种 D.120种

【知识点】排列组合.J2

【答案】【解析】C 解析：从6名学生中选3名分别担任数学、物理、化学科代表，没有限制条件是由=120种，

甲、乙都没入选相当于从4人中选3人，有=24，

故甲、乙2人至少有一人入选，则不同的方法有120-24=96．

故选：C．

【思路点拨】根据排列组合的方法分别求出种数，注意排列数的计算.

【题文】9.设函数)2,0)(cos()sin()(xxxf的最小正周期为，且则（ ）

B.

D.

【知识点】三角函数的图像.C3

【答案】【解析】D解析：由题意可知函数可化为2sin2cos4fxxx又因为函数为偶函数，所以，所以，所以D为正确选项.

【思路点拨】由三角函数的性质可知正确选项.

【题文】10.已知直线，且(其中O为坐标原点)，则实数的值为（ ）

A.2 B. C.2或-2 D.

【知识点】向量的运算.F2 精品文档

实用文档 【答案】【解析】C 解析：以，为邻边作平行四边形，则所以平行四边形为距形，又，所以四边形为正方形，∵a＞0，∴直线x+y=a经过点（0，2），

∴a=2．

故答案为：2

【思路点拨】以OA、OB为邻边作，由已知得为正方形，由此能求出a=2.

【题文】11.已知数列满足,2sin)2cos1(,2,122221nanaaann则该数列的前18项和为（ ）

A.2101 B.1067 C.1012 D.xx

【知识点】数列的求和.D4

【答案】【解析】B解析：∵数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2）an+sin2，

∴∴a3=（1+cos2）a1+sin2=a1+1=2，

a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．

一般地，当n=2k﹣1（k∈N*）时，

a2k+1=[1+cos2]a2k﹣1+sin2=a2k﹣1+1，

即a2k+1﹣a2k﹣1=1．

∴数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，

∴a2k﹣1=k．

当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k．

∴数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，

∴a2k=2k．

∴数列的前18项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32+6+64+7+128+8+256+9+512=1067．

故选：D．

【思路点拨】由已知条件推导出数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，由此能求出数列的前18项的和．.

【题文】12.已知函数的定义域的导函数，为且，)()(,2)6(3-xfxff的图象如图所示,若正数则的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

【知识点】线性规划.E5

【答案】【解析】A 解析：如图所示：f′（x）≥0在[-3，+∞）上恒成立

∴函数f（x）在[-3，0）是减函数，（0，+∞）上是增函数，

又∵f（2a+b）＜2=f（6）

∴ 精品文档

实用文档 画出平面区域

令表示过定点（2，-3）的直线的斜率

如图所示：故选A

【思路点拨】由题意可利用数形结合的方法求出范围，再根据所求值的几何意义求出结果.

【典例剖析】线性规划问题要注意数形结合的运用，同时要注意几何意义.

【题文】二．填空题（本小题共四小题，每题5分，共20分）

【题文】13.在等差数列134111073,4,8Saaaaaan则中，_________.

【知识点】等差数列.D2

【答案】【解析】156 解析：由题意可知11371041137104773212aaaaaaaaaaaa，又因为

【思路点拨】本题由等差数列的性质可求出数列的各项和.

【题文】14.若的展开式中项的系数为20，则的最小值为__________.

【知识点】二项式定理.J3

【答案】【解析】2 解析：的展开式中x3项的系数为20，

所以，

令12-3r=3，∴r=3，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．a2+b2的最小值为：2．

故答案为：2．

【思路点拨】根据特定项的求法可求出a,b的值，再由基本不等式求出结果.

【题文】15.正四面体ABCD的外接球的体积为，则正四面体ABCD的体积是_____.

【知识点】几何体的体积.G2

【答案】【解析】 解析：设正四面体的棱长为x，则底面三角形的高为，即有，棱锥的高为，由于外接球的体积为，在直角三角形得，则正四面体的体积为所以答案为

【思路点拨】由几何体的体积公式可求出其体积.

【题文】16.定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“的相关函数”。有下列关于“的相关函数”的结论：（1）是常值函数中唯一一个“的相关函数”;

(2)是一个“的相关函数”；（3）“的相关函数”至少有一个零点。其中结论正确的是__________.

【知识点】函数的性质.B1

【答案】【解析】(3) 解析：①∵f（x）=0是一个“λ的相关函数”，则0+λ•0=0，λ可以精品文档

实用文档 取遍实数集，因此f（x）=0不是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”，故①不正确；

②用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ的相关函数”，则（x+λ）2+λx2=0，

即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，

∴λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，

∴f（x）=x2不是一个“λ的相关函数”，故②不正确；

③令x=0得：若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；

若211100,00000222ffffff又因为f（x）的函数图象是连续不断，∴f（x）在上必有实数根．因此任意的 相关函数”必有根，即任意的相关函数”至少有一个零点，故③正确．综上所述，其中正确结论的个数是1个．

故选：A．

【思路点拨】由函数的性质可分析每一种说法的正误情况，最后做出判断.

【题文】三．解答题（本题共五小题，每题12分，共60分）

【题文】17.已知函数

（1）设

（2）在，的面积为且，中，23,13)(1ABCCfABABC

求的值。

【知识点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用.C7,C8

【答案】【解析】(1) (2) 解析：(1)由已知，223cos2sincos2cos32226xxxfxx由得，于是2,632226kkZ或

（2）由f（C）=+1得f（C）=2cos=+1

sinC﹣cosC=﹣1 …2分

sin（C﹣）=﹣ …4分

所以C﹣=﹣，C= 又因为的面积为，所以可得，由余弦定理得，所以由正弦定理得sinsinsin13sinsin122ABCABabc

【思路点拨】利用已知条件f（C）=+1，函数f（x）=2cos，通过两角差的正弦函数，求出C的三角函数，求出C的值．.

【题文】18.某市准备从7名报名者（其中男4人，女3人）中选3人参加三个副局长职务竞选.

（1）设所选3人中女副局长人数为X，求X的分布列及数学期望；

（2）若选派三个副局长依次到A,B,C三个局上任，求A局是男副局长的情况下，B局是女副局长的概率。

【知识点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率.K6,K7

【答案】【解析】(1)略(2) 解析：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3．