三角函数的有关计算
《三角函数的有关计算》直角三角形的边角关系三角函数的有关计算
要点二
余切函数（cotangent function）
直角三角形中，任意非斜边与另一相邻非斜边的比值的 余数，记作cotA。
函数图像
正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数均有明显的周期 性，其图像呈现出“波浪形”的变化。
正弦函数和余弦函数的图像在同一坐标系中呈现出对称性， 如正弦函数的图像关于原点对称，余弦函数的图像关于y轴对 称。
两个直角三角形的关系
如果知道两个直角三角形的两个对应边成比例，则这两个三 角形相似。
03
正弦函数和余弦函数的有关计算
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为直角三角形中一个锐角的对 边与斜边的比值。记作sinA。
图像
在直角坐标系中，正弦函数的图像呈现周期性波动，取值范围在1到1之间，其中0表示直角。
正切函数
正切函数定义为直角三角形中一个锐角的对边与 邻边的比值。
角度与三角函数值
度数与三角函数
知道一个锐角的角度，可以计算出这个锐角的正弦、余弦和正切值。
特殊角度的三角函数值
对于一些特殊角度（如30度，45度和60度），其三角函数值是固定的。
边角关系转换
邻边、对边与角度的关系
在知道直角三角形中的两个边长和一个角度，可以计算出第 三个角的度数。
余切函数和角公式
$\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot(\alpha)\cot(\beta) - 1}{\cot(\alpha) + \cot(\beta)}$
05
复杂三角函数的有关计算
倍角公式
两倍角公式
$sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
求三角函数的运算的方法总结
求三角函数的运算的方法总结在数学中，三角函数是一个重要的概念。
它们在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
本文将总结三角函数的运算方法，包括加减法、乘法、除法和逆函数等。
一、三角函数的加减法1. 余弦函数的加减法：根据余弦函数的定义可知，cos(A ± B) = cosAcosB - sinAsinB。
这一公式可以用于计算任意两个角度的余弦函数之和或之差。
2. 正弦函数的加减法：根据正弦函数的定义可知，sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB。
这一公式可以用于计算任意两个角度的正弦函数之和或之差。
3. 切线函数的加减法：根据切线的定义可知，tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)。
这一公式可以用于计算任意两个角度的切线函数之和或之差。
二、三角函数的乘法和除法1. 余弦函数的乘法和除法：根据余弦函数的定义可知，cosAcosB = (1/2)[cos(A + B) + cos(A - B)]。
这一公式可以用于计算余弦函数的乘积。
同样地，我们可以得到cosA/sinA = cotA，cosA/cosB = secA。
2. 正弦函数的乘法和除法：根据正弦函数的定义可知，sinAsinB = (1/2)[cos(A - B) - cos(A + B)]。
这一公式可以用于计算正弦函数的乘积。
同样地，我们可以得到sinA/cosA = tanA，sinA/sinB = cscA。
三、三角函数的逆函数1. 余弦函数的逆函数：余弦函数的逆函数为反余弦函数，记作arccos(x) 或 acos(x)。
反余弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
2. 正弦函数的逆函数：正弦函数的逆函数为反正弦函数，记作arcsin(x) 或 asin(x)。
反正弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
三角函数的计算
三角函数的计算三角函数是数学中一类重要的函数，它们广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在本文中，将介绍如何计算三角函数、三角函数的实际应用以及一些常见的计算误差和解决方法。
一、三角函数的计算公式三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），它们的计算公式如下：1. 正弦函数（sin）的计算公式：sin(x) = 对边 / 斜边2. 余弦函数（cos）的计算公式：cos(x) = 临边 / 斜边3. 正切函数（tan）的计算公式：tan(x) = 对边 / 临边其中，x 为角度，对边为与该角度相对的边长，临边为与该角度相邻的边长，斜边为三角形的斜边长。
二、三角函数的计算方法1. 计算已知角度的三角函数值：可以通过计算公式直接计算已知角度的三角函数值。
例如，若要计算角度为 30°的正弦值，则可以使用 sin(30°) = 对边 / 斜边的计算公式得到结果。
2. 使用计算器：大多数计算器或科学计算器都内置了三角函数的计算功能，可以直接输入角度值并选择对应的三角函数，计算器将给出准确的结果。
3. 利用三角函数表：三角函数表中记录了一些角度的三角函数值，可以通过查表的方式寻找所需的数值。
然而，表格中的数值通常是有限的，不够精确，且需要手动查找，因此不如使用计算器方便快捷。
三、三角函数的实际应用三角函数的应用广泛，其中一些常见的应用包括：1. 几何学：三角函数在几何学中是不可或缺的工具，可以用于计算各种角度和边长的关系，帮助解决各种几何问题。
2. 物理学：三角函数在物理学中有着广泛的应用，例如在力学中，可以利用三角函数计算物体在斜面上的受力分解和运动情况；在波动学中，可以利用三角函数描述周期性运动。
3. 工程学：在建筑、土木工程等领域，三角函数可用于计算建筑物的倾斜角度、吊杆或斜杆的长度等问题，为实际工程提供数值计算支持。
四、计算误差与解决方法尽管三角函数的计算公式和计算器能够提供较高的精度，但在实际计算中，由于计算机表示数字的精度有限，可能会产生误差。
3.三角函数的有关计算
解：如图，由题意得
AB=20m ∠CAB=50°∠DAB=56°
∵DB=ABtan56° ≈20×1.4826=29.652 CB=ABtan50° ≈ 20×1.1918=23.836 ∴DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82
所以避雷针的长度约5.82米.
3.如图,物华大厦离小伟家60m,小伟从自家的窗中眺望 大厦,并测得大厦顶部仰角是45°,而大厦底部的俯角是 37°,求该大厦的的高度(结果精确到0.1m).
b tan B . a
4、互余两角之间的三角函数关系:
5、同角之间的三角函数关系: sin A 2 2 sin A+cos A=1 tan A . cos A
三角函数
锐角α
正弦sinα
余弦cosα
正切tanα
300
1 2
2 2 3 2
450
600
3 2 2 2
3 3
1
3
1 2
1、如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了 200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°, 那么缆车垂直上升的距离是多少?（参考数据： sin16°≈0.2756，cos16°≈0.9945，tan16°≈0.2867）
解:如图,由题意得
AC=6.3 BC=9.8
AC 6.3 tan B 0.6429 . BC 9.8
∴∠B≈32.6° 因此,射线的入射角度约为32.6°.
7、如图,为某小区的两幢10层住宅楼,由地面向上依次为第1层、 第2层……第10层，每层的高度为3m，两楼间的距离AC=30m. 现需了解在某一时段内，甲楼对乙楼的采光的影响情况。假设 某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼上的影子长EC=h，太阳光线与水平线 的夹角为α . （1）用含α 的式子表示h； （2）当α =30o时，甲楼楼顶B的 影子落在乙楼的第几层？从此时 算起，若α 每时增加10o，多久 后，甲楼的影子刚好不影响乙楼 的采光？ F h 30m
三角函数的有关计算
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,BC= 3 ,则 3 A tan = 。
2
3
4 2, 在△ABC中，∠C = 90 ，sinA = , BC = 20, 5 求△ABC的周长和面积。 60， 150
0
3．等腰三角形底角为30°，底边长为 2 3 ，则腰长为 ( C ) A.4 B. 2 3 C.2
AD 10 tan ACD 0.5208 , CD 19.2
∴∠ACD≈27.50 .
∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50 =550.
∴V型角的大小约550.
如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤，在接受放射性 治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线 必须从侧面照射。已知肿瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右 侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度。
解：在Rt△CBD中， ∠CBD=30°
设CD=x，则BD= 3 x 在Rt△CAD中， ∵∠CAD=45°
C
AD CD x
由AD-BD=AB，得
x
° 45 D 30° A 30 B
3x x 30
∴ x 15 3 15 答：河宽CD为 15 3 15 米。
已知：如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼 底D处测得塔顶A的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精 确到0.01米）．（参考数据：2 ＝1.41421…； 3＝1.73205…） 解：由题意，在Rt△ABD中，BD＝80（米），∠BDA=60°
15 D. 2
C.18
一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动 时，摆角恰好为600，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位 置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到0.01m）
《三角函数的有关计算》直角三角形的边角关系
体育比赛
在某些体育比赛中，例如 射箭、投掷等，三角函数 用于计算角度和距离，以 提高比赛成绩。
04
特殊直角三角形的边角关系
等腰直角三角形
01
总结词
等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其两个锐角相等，均为45°
，且两条直角边长度相等。
02 03
详细描述
在等腰直角三角形中，由于两条直角边长度相等，因此斜边长度是直角 边长度的√2倍。同时，锐角45°对应的对边与邻边的比值为1，即 tan(45°) = 1。
公式
假设直角边长度为a，则斜边长度为2a；假设较长的直角 边长度为b，则b = √3a。
45°-45°-90°三角形
总结词
45°-45°-90°三角形是 一种特殊的直角三角形 ，其两个锐角均为45° ，且两条直角边长度相 等。
详细描述
在45°-45°-90°三角形 中，由于两个锐角均为 45°，因此斜边与直角 边的比值为√2:1。同时 ，45°对应的正切值和 余切值都为1，即 tan(45°) = 1和cot(45°) = 1。
公式
假设直角边长度为a， 则斜边长度为√2a；假 设对角线长度为d，则d = a√2。
THANKS
谢谢您的观看
03
三角函数的应用
在几何学中的应用
确定直角三角形各边的长度
通过已知的边长或角度，利用三角函数计算其他边的长度。
计算角度
已知直角三角形两边长度，利用三角函数求形是锐角、直角还是钝角三角形 。
在物理学中的应用
力的合成与分解
在物理中，力的合成与分解需要 使用三角函数。例如，在斜面上 推力或拉力，需要使用三角函数
边与角的关系
边长与角度的关系
三角函数有关公式
三角函数有关公式三角函数是数学中重要的一类函数，以正弦、余弦、正切、余切等为主要代表。
在解决三角函数方程、计算三角函数值、分析波动现象等领域都起到了重要的作用。
本文将介绍三角函数的一些重要公式，包括基本关系、和差角公式、倍角公式、半角公式、和降幂公式等，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
一、基本关系在直角三角形中，正弦、余弦、正切的定义如下：正弦：sinθ = 对边 / 斜边余弦：cosθ = 邻边 / 斜边正切：tanθ = 对边 / 邻边根据勾股定理可得到以下重要关系：sin²θ + cos²θ = 11 + tan²θ = sec²θ（sec表示 secant）1 + cot²θ = cosec²θ（cosec表示cosecant）二、和差角公式1、sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB2、cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB3、tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / （1 ∓ tanA·tanB）三、倍角公式1、sin2θ = 2sinθcosθ2、cos2θ = cos²θ - sin²θ= 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ3、tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)四、半角公式1、sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)2、cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)3、tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))其中正负号的选择根据θ的范围确定。
五、和降幂公式1、sin³θ = 3sinθ - 4sin³θ2、cos³θ = 4cos³θ - 3cosθ3、tan²θ = sec²θ - 14、cot²θ = cosec²θ - 15、cos²θ =（1 + cos2θ）/ 26、2sinθcosθ = sin2θ7、1 + tan²θ = sec²θ8、1 + cot²θ = cosec²θ以上公式在解决三角函数方程、计算三角函数值时起到了重要的作用。
三角函数的计算
三角函数的计算三角函数是数学中重要的一部分，它们在几何学、物理学以及工程学等领域中广泛应用。
本文将介绍三角函数的计算方法，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的计算公式及其应用。
一、正弦函数的计算正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。
它表示的是一个角的对边与斜边之比。
正弦函数的计算公式为：sinθ = 对边 / 斜边其中，θ为角度，对边指的是与角度θ相对的边的长度，斜边为与角度θ相邻的斜边的长度。
例如，假设一个直角三角形，已知斜边的长度为5，对边的长度为3，我们可以通过正弦函数的计算公式来计算该角的正弦值：sinθ = 3 / 5 ≈ 0.6二、余弦函数的计算余弦函数也是三角函数中常用的函数之一。
它表示的是一个角的邻边与斜边之比。
余弦函数的计算公式为：cosθ = 邻边 / 斜边其中，θ为角度，邻边指的是与角度θ相邻的边的长度，斜边为与角度θ相邻的斜边的长度。
例如，假设一个直角三角形，已知斜边的长度为5，邻边的长度为4，我们可以通过余弦函数的计算公式来计算该角的余弦值：cosθ = 4 / 5 = 0.8三、正切函数的计算正切函数也是三角函数中重要的函数之一。
它表示的是一个角的对边与邻边之比。
正切函数的计算公式为：tanθ = 对边 / 邻边其中，θ为角度，对边指的是与角度θ相对的边的长度，邻边为与角度θ相邻的边的长度。
例如，假设一个直角三角形，已知对边的长度为3，邻边的长度为4，我们可以通过正切函数的计算公式来计算该角的正切值：tanθ = 3 / 4 = 0.75四、三角函数的应用除了上述基本的计算公式之外，三角函数还有许多其他的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 三角函数在几何学中可以用来计算三角形的面积、周长以及角度的大小。
2. 三角函数在物理学中可以用来描述波动、振动等现象。
例如，正弦函数可以用来描述周期性变化的物理量。
3. 三角函数在工程学中可以用来计算力学系统中的力的大小及方向，以及测量物体的高度、距离等。
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解：如图，在Rt△ABC中，
AC＝6.3 cm，BC=9.8 cm
∴tanB= AC 6.3 ≈0.642 9
∴∠B≈ 3B2C4491.38
因此，射线与皮肤的夹角约为
。
324413
随堂练习： 1.求图中避雷针DC的长度(结果精确到0.01m).
随堂练习P260
知识的运用
驶向胜利 的彼岸
1. 已知sinθ=0.82904,求∠θ的大小.
3.如图，工件上有一V形槽，测得它的 上口宽20mm，深19.2mm，求V形角 (∠ACB)的大小.(结果精确到1°)
解：∵tan∠ACD= AD 10 ≈0.520 8 CD 19.2 ∴∠ACD≈27.5° ∴∠ACB＝∠ACD ≈ 2×27.5° ＝55°
4.如图，一人得肿瘤。在接受放射性治疗时， 防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤。已知 肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm 的B处进入身体，求射线与皮肤的夹角.
cos A
特殊角300,450,600角的三角函数值.
问：当α为锐角时，各类三角函数 值随着角度的增大而做怎样的变 化?
Sinபைடு நூலகம்，tanα随着锐角α的增 大而增大；
Cosα随着锐角α的增大而减 小．
1.如图,当登山缆车的吊箱经过点A到 达点B时,它走过了AB=BD=200m.已知缆 车行驶的路线与水平面的夹角为 ∠α=160 ∠B=420,那么缆车垂直上升的 距离是多少?
怎样
2. 一梯子斜靠在一面墙上,已
做？
知梯子长4m,梯子位于地面上的
一端离墙壁2.5m,求梯子与地面
所成的锐角.
老师期望: 先将实际问题数学化,然后运用所学 知识予以解答.
独立
作业
知识的升华
P21 习题1.5 1,2,题;
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
1.2三角函数的有关计算(1) 由角求三角函数值
锐角三角函数
sin A cosB a , c
tanA= a
b
cosA sin B b , c
互余两角之间的三角函数关系: A sinA=cosB,tanA.tanB=1.
B
c
a
┌
b
C
同角之间的三角函数关系: sin2A+cos2A=1.
tan A sin A .
2. 随着人民生活水平的提高，私家小轿车越来 越多，为了交通安全及方便行人推车过天桥，某市 政府要在10 m高的天桥两端修建40m长的斜道。 请问 这条斜道的倾斜角是多少?（如下图所示）
在Rt△ABC中，sinA＝ BC 10 1 AC 40 4
∠A是多少度呢？
-------可以借助于科学计算器.