2013年高考理科数学新课标1卷解析版

2013 年高考理科数学新课标1 卷解析版一、选择题（题型注释）1．已知集合 A=｛x|x2－2x ＞0｝，B=｛x| － 5 ＜x ＜ 5｝，则 () A 、A ∩B= B 、 A B=R C、B AD 、A B【答案】 B ； 【解析】依题意Ax x 0或x 2 ，由数轴可知，选 B.【考点定位】 本题考查集合的基本运算，考查学生数形结合的能力 . 2．若复数 z 满足(3 －4i)z ＝|4 ＋ 3i | ，则 z 的虚部为 ( )A 、－ 4 （B ）－【答案】 D ；45（ C ）4 （D ）45【 解 析 】设z a bi ， 故 ( 3 i 4 )a( b i ) 3a 3b i 4a i 4b 4， 所3i 以3b 4a 0 3a 4b 5，解得4 b.5【考点定位】 本题考查复数的基本运算，考查学生的基本运算能力.3．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调 查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男 女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样C 、按学段分层抽样D 、系统抽样【答案】 C ；【解析】不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照年段分层抽样 .【考点定位】 本题考查随机抽样，考查学生对概念的理解 .4．已知双曲线C:2 x 2a－ 2 y2b＝1(a ＞0， b ＞0) 的离心率为5 2，则 C 的渐近线方程为 ()A 、y=± 1 4x（B ）y=± 1 3x（C ）y=± 1 2x（ D ）y=±x【答案】 C ； 【 解 析 】e2 2c b 1aa5 2， 故2b2a1 4， 即b a1 2， 故 渐 近 线 方 程 为b 1 yxx.a 2【考点定位】 本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力 .5．执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[ －1，3] ，则输出的 s 属于 ()12 页1页，总试卷第A、[ －3,4] B 、[ －5,2] C、[ －4,3] D 、[ －2,5] 【答案】A；【解析】若t 1,1 ，则S 3t 3,3 ；若t1,3 ，2S 4t t 3,4 ；综上所述S3,4 .【考点定位】本题考查算法框图，考查学生的逻辑推理能力.6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A、50033 B、866cm33 C、1372cm33 D、2048cm33cm【答案】A；【解析】作出该球轴截面的图像如下图所示，依题意BE 2，AE CE 4 ，设D E x ，故AD 2 x ，因为AD2 AE2 DE 2 ，解得x 3，故该球的半径AD 5 ，所以4 5003V R .3 3试卷第 2 页，总12 页【考点定位】本题考查球体的体积公式，考查学生的空间想象能力.7．设等差数列{a n} 的前n 项和为S n，S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m＝( ) A、3 B 、4 C 、5 D 、6【答案】C；【解析】m(m 1)a 2,a 3 ，故d 1；因为S m 0 ，故ma1 d 0 ，故m m 12m 1a ，因为12 a a 1 5 ，故m ma a 1 2a1 (2m 1)d (m 1) 2m 1 5，即m 5 .m m【考点定位】本题考查等差数列的基本公式，考查学生的化归与转化能力. 8．某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A、16+8 B 、8+8C、16+16 D 、8+16【答案】A；【解析】上半部分体积为V1 2 2 4 16 ，下半部分体积12V 2 4 8 ，22故总体积V2 16 8 .【考点定位】本题考查三视图以及简单组合体的体积计算，考查学生的空间想象能力. 9．设m 为正整数，(x ＋y) 2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x ＋y) 2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝( )A、5 B 、6 C 、7 D、8【答案】B；【解析】ma C ，2mmb C ，因为2m 1m m13C 7C ，解得m=6.2m 2m 1【考点定位】本题考查二项式定理的应用以及组合数的计算，考查学生的基本运算能力.试卷第 3 页，总12 页10．已知椭圆2x 2a ＋2y 2b＝1(a>b>0) 的右焦点为 F(3,0) ，过点 F 的直线交椭圆于A 、B两点。

若 AB 的中点坐标为 (1 ，－ 1) ，则E 的方程为()A 、2x 45＋2y 36＝1 B 、2x 36＋2y 27＝1C 、2x 27 ＋2y 18 ＝1 D 、2x 18 ＋2y 9＝1【答案】 D ；【解析】设A( x , y ) 、 B( x 2 ,y 2 )，所以1122x y 11 22 a b 2 2xy2 222 ab1 1，运用点差法，所以直线AB 的斜 率 为k2 2b a， 设 直 线 方 程 为2by 2 (x 3) a，联立 直 线 与椭圆 的 方 程222224(ab )x6b x 9b a0 ，所以26b xx1222a b2 ；又因为 2 2 9a b，解得29, 2 18 ba .【考点定位】 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.11．已知函数 f(x) ＝22 0 xxxln(x 1)x 0，若| f(x)| ≥ ax ，则a 的取值范围是( )A 、（－∞， 0]B 、（－∞， 1]C、[ －2，1]D、[ － 2，0]【答案】 D ；【解析】作出函数图像， f (x) 在点（ 0,0 ）处的切线为制定参数的标准；当 x 0 时，2g( x) f (x) x2x ， g x x ， ' ( ) 2 2 ' ( ) 2 2 g ， 故 a 2 ； 当 x 0 时 ，'(0) 2'(0) 2'1 g( x) f ( x) ln( x 1，)g (x) x1，由于 g( x) 上任意一点的切线斜率都要大于a ，故 a 0 ，综上所述， 2 a 0【考点定位】 本题考查导数的几何意义，考查学生数形结合的能力.12．设△ A n B n C n 的三边长分别为 a n ,b n ,c n ，△ A n B n C n 的面积为 S n ，n=1,2,3, , 若 b 1＞c 1，b 1 ＋c 1＝2a 1， a n ＋1＝a n ，b nA 、{S n } 为递减数列＋1＝ca nn 2， c n ＋1＝ b a nn 2，则( )B 、{S n } 为递增数列C 、{S 2n －1} 为递增数列， {S 2n } 为递减数列D、{S2n－1} 为递减数列，{S2n} 为递增数列【答案】B；【解析】因为 b c ，不妨设1 14a 2a1 1b ,c，1 13 31 3p (a b c) a ；2 2试卷第4页，总12 页故3a a a5a1511112S a；1122661224a a a a11511733a a，b a，c a，21212126263a a2a a611112S a；2122336显然S2S1；同理，a a，3154a a119b a，212834a a117c a，31283a a3a5a352 1111S a，显然S3S2.31228816【考点定位】本题考查创新型数列，在解题的过程中构使用海伦秦九韶公式进行计算，考查学生特殊到一般的数学思想.二、双选题（题型注释）三、判断题（题型注释）四、连线题（题型注释）五、填空题（题型注释）13．已知两个单位向量a，b的夹角为60，c ta(1t)b，若b c0，则t_____。

【答案】2；t【解析】ta b(1t)b b0，故(1t)0，故t2.2【考点定位】本题考查向量的数量积运算，考查学生的基本运算能力.14．若数列{a n}的前n项和为S n＝23a n＋13，则数列{a n}的通项公式是a n=______.【答案】n1a(2)；n22【解析】当n1时，a11；当n2时，11a S S a a，故n n n n n33anan12；所以n1a(2).n【考点定位】本题考查数列的前n项和与通项公式之间的关系，考查学生的化归与转化能力.15．设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______25【答案】；5试卷第5页，总12页【解析】cos 225 55.【考点定位】本题考查三角恒等变换，考查学生对概念的理解16．若函数f(x)=(1－x2)(x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.【答案】16；【解析】依题意，f(x2)为偶函数，22f(x2)(x4x3)x(a4)x42a b展开式中3x的系数为8a，故a8，x的系数为284b11a，故b15，令f x，得'()0'()0362720x x x，由对称轴为-2可知，将该式分解为2(x2)(x4x1)0，可知其在52和52处取到最大值，带入f(x)，可知最大值为16.【考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.六、综合题（题型注释）七、探究题（题型注释）八、解答题17．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=1，P为△ABC 内一点，∠BPC＝90°12(1)若PB=，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA【答案】（1）因为1PB，所以2CBP60，所以PBA30，由余弦定理得：227 PA PB BA2PB BA cos PBA；2（2）设PBA，由已知得PB sin，由正弦定理得3sin00sin150sin(30)，试卷第6页，总12页化简得 3 cos 4sin ，故tan 34 .【解析】（1）利用余弦定理可以求出PA；（2）在PBA 中使用正弦定理可以得到3 sin0 0sin150 sin(30 )，进而化简，得到结论.【考点定位】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数形结合的能力以及转化与化归能力.18．（本小题满分12 分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60° .（Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1 C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。