高中数学竞赛教案讲义(7)解三角形

第七章 解三角形一、基础知识在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2cb a p ++=为半周长。

1．正弦定理：CcB b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。

推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 21sin 21sin 21B ca A bc C ab ==推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足)sin(sin a ba a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。

先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 21；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理BbA a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 21-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。

2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bca cb A 2cos 222-+=⇔，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq qp qc p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠，所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ①同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq qp qc p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.222222a c b AD -+=（2）海伦公式：因为412=∆ ABC S b 2c 2sin 2A=41b 2c 2 (1-cos 2A)= 41b 2c 2 1614)(1222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里.2cb a p ++=所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---二、方法与例题1．面积法。

例 1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O 点发出的三条射线满足βα=∠=∠QOR POQ ,，另外OP ，OQ ，OR 的长分别为u, w, v ，这里α，β，α+β∈(0,π)，则P ，Q ，R 的共线的充要条件是.)sin(sin sin wv u βααβ+=+2．正弦定理的应用。

例2 △ABC 内有一点P ，使得∠BPC-∠BAC=∠CPA-∠CBA=∠APB-∠ACB 。

求证：AP ·BC=BP ·CA=CP ·AB 。

例3 △ABC 的各边分别与两圆⊙O 1，⊙O 2相切，直线GF 与DE 交于P ，求证：PA ⊥BC 。

3．一个常用的代换：在△ABC 中，记点A ，B ，C 到内切圆的切线长分别为x, y, z ，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.例4 在△ABC 中，求证：a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤3abc.4．三角换元。

例5 设a, b, c ∈R +，且abc+a+c=b ，试求131212222+++-+=c b a P 的最大值。

例6 在△ABC 中，若a+b+c=1，求证: a 2+b 2+c 2+4abc<.21三、基础训练题1．在△ABC 中，边AB 为最长边，且sinAsinB=432-，则cosAcosB 的最大值为__________. 2．在△ABC 中，若AB=1，BC=2，则C ∠的取值范围是__________. 3．在△ABC 中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+33=tanCtanB ，则△ABC 的面积为__________.4．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则C ∠=__________. 5．在△ABC 中，“a>b ”是“sinA>sinB ”的__________条件.6．在△ABC 中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角A 的取值范围是__________.7．在△ABC 中，sinA=53，cosB=135，则cosC=__________. 8．在△ABC 中，“三边a, b, c 成等差数列”是“tan 312tan 2=⋅C A ”的__________条件.9．在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则三角形形状是__________.10．在△ABC 中，tanA ·tanB>1，则△ABC 为__________角三角形.11．三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12π，求这个三角形的面积。

12．已知锐角△ABC 的外心为D ，过A ，B ，D 三点作圆，分别与AC ，BC 相交于M ，N 两点。

求证：△MNC 的外接圆半径等于△ABD 的外接圆半径。

13．已知△ABC 中，sinC=BA BA cos cos sin sin ++，试判断其形状。

四、高考水平训练题 1．在△ABC 中，若tanA=21, tanB=31，且最长边长为1，则最短边长为__________. 2．已知n ∈N +，则以3，5，n 为三边长的钝角三角形有________个.3．已知p, q ∈R +, p+q=1，比较大小：psin 2A+qsin 2B__________pqsin 2C.4．在△ABC 中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC ，则△ABC 为__________角三角形.5．若A 为△ABC 的内角，比较大小：A Acot 8cot-__________3.6．若△ABC 满足acosA=bcosB ，则△ABC 的形状为__________. 7．满足A=600，a=6, b=4的三角形有__________个.8．设θ为三角形最小内角，且acos22θ+sin 22θ-cos 22θ-asin 22θ=a+1，则a 的取值范围是__________.9．A ，B ，C 是一段笔直公路上的三点，分别在塔D 的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km ，求塔与公路AC 段的最近距离。

10．求方程xy x y y x =-+-11的实数解。

11．求证：.20720sin 310<< 五、联赛一试水平训练题1．在△ABC 中，b 2=ac ，则sinB+cosB 的取值范围是____________.2．在△ABC 中，若BA CA CB cos 2cos cos 2cos sin sin ++=，则△ABC 的形状为____________. 3．对任意的△ABC ，2cot 2cot 2cot CB A T ++≤-(cotA+cotB+cotC)，则T 的最大值为____________.4．在△ABC 中，C B Asin sin 2sin的最大值为____________. 5．平面上有四个点A ，B ，C ，D ，其中A ，B 为定点，|AB|=3，C ，D 为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。

记S △ABD =S ，S △BCD =T ，则S 2+T 2的取值范围是____________.6．在△ABC 中，AC=BC ，080=∠ACB ，O 为△ABC 的一点，010=∠OAB ，∠ABO=300，则∠ACO=____________.7．在△ABC 中，A ≥B ≥C ≥6π，则乘积2cos 2sin 2cos C B A 的最大值为____________，最小值为__________.8．在△ABC 中，若c-a 等于AC 边上的高h ，则2cos2sinCA A C ++-=____________. 9．如图所示，M ，N 分别是△ABC 外接圆的弧AB ，AC 中点，P 为BC 上的动点，PM 交AB于Q ，PN 交AC 于R ，△ABC 的内心为I ，求证：Q ，I ，R 三点共线。

10．如图所示，P ，Q ，R 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP 。

求证：AB+BC+CA ≤2（PQ+QR+RP ）。

11．在△ABC 外作三个等腰三角形△BFC ，△ADC ，△AEB ，使BF=FC ，CD=DA ，AE=EB ，∠ADC=2∠BAC ，∠AEB=2∠ABC ，∠BFC=2∠ACB ，并且AF ，BD ，CE 交于一点，试判断△ABC 的形状。

六、联赛二试水平训练题1．已知等腰△ABC ，AB=AC ，一半圆以BC 的中点为圆心，且与两腰AB 和AC 分别相切于点D 和G ，EF 与半圆相切，交AB 于点E ，交AC 于点F ，过E 作AB 的垂线，过F 作AC 的垂线，两垂线相交于P ，作PQ ⊥BC ，Q 为垂足。

求证：θsin 2EFPQ =，此处θ=∠B 。

2．设四边形ABCD 的对角线交于点O ，点M 和N 分别是AD 和BC 的中点，点H 1，H 2（不重合）分别是△AOB 与△COD 的垂心，求证：H 1H 2⊥MN 。

3．已知△ABC ，其中BC 上有一点M ，且△ABM 与△ACM 的内切圆大小相等，求证：)(a P P AM -=，此处21=P (a+b+c), a, b, c 分别为△ABC 对应三边之长。

4．已知凸五边形ABCDE ，其中∠ABC=∠AED=900，∠BAC=∠EAD ，BD 与CE 交于点O ，求证：AO ⊥BE 。

5．已知等腰梯形ABCD ，G 是对角线BD 与AC 的交点，过点G 作EF 与上、下底平行，点E和F 分别在AB 和CD 上，求证：∠AFB=900的充要条件是AD+BC=CD 。