北师大版必修5高中数学第二章解三角形的实际应用举例word教案1
§3 解三角形的实际应用举例
教学目标
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。
2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
3、培养和提高分析、解决问题的能力。 教学重点难点
1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。
2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。 教学过程 一、复习引入 1、正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
=== 2、余弦定理：,cos 22
2
2
A bc c b a -+=?bc a c b A 2cos 2
22-+=
C ab b a c cos 22
2
2
-+=，?ab
c b a C 2cos 2
22-+=
二、例题讲解
引例：我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。
解：0
60=A 0
75=B ∴0
45=C
由正弦定理知
045
sin 10
60sin =BC 6545
sin 60sin 100
==?BC 海里 例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设
计时需要
计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为
/02060，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）．
分析：这个问题就是在ABC ?中，已知AB=1.95m ，AC=1.4m,
750
600
C
B
A
求BC 的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC 。 解：由余弦定理，得 答：顶杠BC 长约为1.89m.
解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。 2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。
3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。
练1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A 处看灯塔S 在船的北偏东0
20, 30分钟后航行到B 处,在B 处看灯塔S 在船的北偏东0
65方向上,求灯塔S 和B 处的距离.（保留到0.1） 解：16=AB
由正弦定理知
020
sin 45sin BS
AB = 7.745
sin 20
sin 100
≈=
BS 海里 答：灯塔S 和B 处的距离约为7.7海里
例2.测量高度问题
如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的C ，D 两处，
测得烟囱的仰角分别是0
45=α和0
60=β, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m.
求烟囱的高。
图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？ 分析：因为B A AA AB 11+=，又m AA 5.11=
所以只要求出B A 1即可 解：在11D BC ?中，
0001112060180=-=∠C BD ，00011154560=-=∠BD C
D C
B
A
1.40m
1.95m
6020/
600
?S
B A
1150
450
650200
A 1α
β
D 1C 1D
C
B
A
由正弦定理得：
1
11
1111sin sin C BD BC BD C D C ∠=∠
从而： m BC B A 392.2836182
2
11≈+==
因此：m AA B A AB 89.29892.295.1392.2811≈=+≈+= 答：烟囱的高约为m 89.29
练习：在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角0
60=α，在塔底C 处测得点A 的俯角045=β，已知铁塔BC 部分高32米，求山高CD 。
解：在△ABC 中，∠ABC=30°， ∠ACB =135°，
∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC) =180°－(135°+30°)=15° 又BC=32, 由正弦定理
ABC
AC
BAC BC ∠=
∠sin sin 得：m BAC ABC BC AC )26(164
2
61615
sin 30sin 32sin sin 0
+=-==∠∠=
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为：
画图形
数学模型
解三角
形
检验（答）
数学模型的解
实际问题的解
实际问题
?
32
β=450
α=600
D
C
B
A