抛物线的焦点弦问题
焦点弦公式
焦点弦公式引言焦点弦公式是解决椭圆、双曲线和抛物线相关问题的重要公式之一。
它通过求取曲线的焦点坐标和弦长以及焦点与弦的垂直距离的关系，为解决相关问题提供了便利。
本文将详细介绍焦点弦公式的推导过程以及应用场景，并给出一些实际问题的例子来帮助读者更好地理解焦点弦公式。
焦点弦公式的推导焦点弦公式的推导涉及到椭圆、双曲线和抛物线三种常见曲线的方程及其性质。
在这里，我们以椭圆为例进行推导。
椭圆的定义和性质椭圆是一个平面上所有点到两个焦点的距离之和等于常数的轨迹。
设椭圆的焦点坐标分别为F1和F2，椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，则椭圆的方程可以表示为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1椭圆的焦点与直径的关系可以表示为：2ae = d其中e为离心率，d为焦点之间的距离。
焦点弦公式的推导过程我们考虑椭圆上一点P(x,y)到焦点F1的距离为r1，到焦点F2的距离为r2，焦点与弦的垂直距离为h，弦的长度为2c。
根据椭圆的定义，我们可以得到以下两个方程：r1 + r2 = 2ar1 - r2 = 2h通过解以上方程组，我们可以求解出r1和r2的值：r1 = a + hr2 = a - h根据勾股定理，可以得到焦点弦公式：c^2 = r1^2 - r2^2 = (a + h)^2 - (a - h)^2 = 4ah焦点弦公式的应用焦点弦公式在解决椭圆、双曲线和抛物线相关问题中有广泛的应用。
下面我们将介绍一些实际问题，展示焦点弦公式的具体应用。
问题一：求解椭圆的焦点坐标已知椭圆的方程为(x^2/4) + (y^2/9) = 1，求解焦点坐标。
根据椭圆的方程，可以得到a^2 = 4和b^2 = 9，因此a = 2，b = 3。
根据焦点与直径的关系，可以求得ae = 2ae = 4，因此e = 2，焦点之间的距离为d = 2ae = 4。
由于焦点到直径的距离等于焦点与弦的垂直距离，可以得到焦点与弦的垂直距离h = d/2 = 2。
利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题
利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题kuing近几日，在群内连续两次出现抛物线焦点弦问题，且我发现两题很相似，都可以用一些常用的熟知结论，几何化地去解决，不需要麻烦的代数化去解。
现整理如下。
先以引理结出这些常用结论，其详细证明这里略去，有兴趣可以自己试试证。
引理一：过抛物线焦点F 的直线交抛物线于两点A 、B 两点，过这两点分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，则有：（1）AM BM ⊥；（2）FM AB ⊥；（3）点M 必在抛物线的准线上；引理二：（光学性质——抛物线）过抛物线焦点F 的光线经抛物线反射后的光线必定平行于抛物线的对称轴；引理三：过离心率为e ，焦准距为p 的圆锥曲线的焦点F 作两条互相垂直的直线，若这两条直线分别交圆锥曲线于A 、B 及C 、D ，且F 在A 、B 之间，F 在C 、D 之间，则有：21122e AB CD ep−+=； 引理四：梯形ABCD 中，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点P ，过P 作与梯形两底边平行的直线交梯形两腰于E 、F ，则有211EF AD BC=+。
（注：前三个引理我均在人教论坛中某收集解释几何常用结论的贴中结出过；引理三我在论坛中贴过详细证明，用的是极坐标方法，搜索我的主题可以找到；引理四是初中内容）题一：解：（I ）如图所示：由引理一，可知AMB ∆为直角三角形，M 为直角，点M 在准线上，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，取AB 的中点G ，连结GM 。
由于AMB ∆为直角三角形且M 为直角且GM 为其斜边上的中线，于是易得12∠=∠，引理二，可知234∠=∠=∠，因此得到14∠=∠，于是易知GM 也与准线垂直，即GM 为直角梯形AA 1B 1B 的中位线，所以显然A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列，得证。
（II ）由引理一，可知FM AB ⊥，因此由引理三以及抛物线离心率是e=1以及本题中易知焦准距为p=2，代入即知1114AB CD +=， 又易知四边形ABCD 的面积为12S AB CD =⋅，又由基本不等式有4111AB CD AB CD AB CD≥⋅+===+， 即得32S ≥，且等号成立当且仅当AB=CD 可取到，即四边形ABCD 的面积的最小值为32。
抛物线焦点弦的弦长公式
抛物线焦点弦的弦长公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1关于抛物线焦点弦的弦长公式在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：(1)已知：抛物线的方程为px y 22=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y -=)2(πθ≠将其代入抛物线方程整理得：0)84(422222=++-kp k xkx p p ，且θtan =k设A,B 两点的坐标为),(),,(2211y x y x 则：kk xx p p 22212+=+，4221p xx =)(sin )(2212224211||θpAB x x x x k=-+=+当2πθ=时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径 而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。
现在我们来探讨这个问题。
(2)已知：抛物线的方程为)0(22>=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：设A,B 的坐标为),(),,(2211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2,0(p ，故AB 的方程为kx py =-2，将其代入抛物线的方程整理得： ,0222=--pxpkx 从而px x x x pk 22121,2-==+，弦长为：)(cos )(2212224211||θpAB x x x x k=-+=+p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。
而px y 22-=与（1）的结果一样，py x 22-=与（2）的结果一样，但是（1）与（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。
过抛物线焦点弦的最小值问题
高三数学总复习资料过抛物线焦点弦的最小值问题例题：已知抛物线)0(22>=p px y ,过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦|AB|的最小值。
解法一：当斜率k 存在时,设直线AB 为y=k(x-2p ) ⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(2 得 04)2(22222=++-k p x p p k x k 即：4221p x x = ， 过焦点弦|AB|=p x x ++21 由题意可知,0,021>>x x 21212x x x x ≥+由于积是定值，当且仅当21x x =时即为2p 时能取等号,所以当斜率k 不存在, 此时这条直线就垂直于x 轴，过焦点的弦|AB|最小即通径最小。
最小值为2p.解法二：设直线的倾斜角为θ，斜率存在时,则直线为 y= tan θ(x-2p ) ⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2θ 得 0tan 4)2tan (tan 22222=++-θθθp x p p x θθ2221tan 2tan p p x x +=+代入 过焦点弦|AB|=p x x ++21 =2p(1+θ2tan 1) = θ2sin 2p 当sin θ2=1时，|AB|有最小值即2p,此时斜率不存在,倾斜角2πθ=，即线段AB 为通径。
评价：解法一是用不等式思想求最值方法，当然用两根这积是也可以解法到求两根之积。
这种是确定动直线的位置关系来求最值的情况的。
解法二是建立函数关系式，用函数思想求最值。
这是两种不同方法来分析最值问题的。
这种方法是建立函数关系式来求最值问题。
在这方面题型有两种分析思想：一是能否确定动的位置关系来判断取最值的问题。
（如解法一型），二是所求与已知建立一个函数关系式，用函数求最值或范围的方法。
这是我们解决中学数学问题时常用的解题思想。
抛物线焦点弦
抛物线焦点弦
抛物线的焦点弦是：焦点弦长就是两个焦半径长之和。
焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。
由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。
相关简介：
在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。
若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α。
y²=2px或y²=-2px时，x1x2=p²/4,y1y2=-p²。
x²=2py或x²=-2py 时，y1y2=p²/4,x1x2=-p²。
焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦，是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。
而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示。
抛物线的焦点弦问题
探究1：抛物线焦点弦的性质
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹 角为θ的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准 线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1，如图 方向1：坐标关系. 若A(x1,y1)、 B(x2,y2)、C(x0, y0)…… 方向2：长度关系. |AA1|、|AF|、 |AB|、|CC1|……
C1
B1
O
F B
A、O、B1共线
以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切
抛物线的 简单几何性质
复习回顾1:定义与标准方程
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距 离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点; 定直线l叫做抛物线准线. 抛物线方程的四种形式： 图 y 形 方 程 焦 点 准 线
p F ( ,0 ) 2 p F ( ,0) 2 p F ( 0, ) 2
•常规思路：设出直线方程，联 立方程，韦达定理……
A1 C1 O B1 B F C
A
•注意：讨论斜率不存在的情况
p 2 x1 x2 , y1 y2 p 4
2
焦点弦：长度关系研究
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ 的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准线l的垂线， 垂足分别为A1、B1、C1. A1
A
C
以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切 AC1平分A1 AF AC1 BC1 BC1平分B1 BF A1 AC1 AFC1 课本81页B7 B1 BC1 BFC1
C1F AB
C1 B1
O
F
B
A1F B1F
C1F C1 A1 C1 B1 以C1为圆心, A1 B1 为直径的圆与AB相切
抛物线焦点弦问题
抛物线焦点弦问题河北省武安市第一中学郅武强抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一．弦长问题：例斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交A .B两点，求线段AB 的长。
分析：利用弦长公式12d x =-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运根据抛物线的定义，11AF x =+同理 21BF x =+于是得122AB AF BF x x =+=++由题已知{214y x y x=-=消去y 得2610x x -+=故126x x += ∴628AB =+= 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：12AB x x p =++或12AB y y p=++。
二. 通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为22y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求AB 的最小值并求直线方程。
解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2px =2A B p =②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为(2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得22( 2y pxp y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2 04k p k x k p p x -++=若0k ≠ 则222440k p p ∆=+>1222px x p k +=+则1222222p p AB x x p p p p k k =++=++=+当k →∞时 AB最小即min 2AB p = 此时 2px =三．两个定值问题：例：过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2114p x y =，212y y p =-。
证明：①联立22( 2y px p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2 0(04k p k x k p p x k -++=≠2124p x x =同理消去y 可得 212y y p =-；②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；③斜率不存在时，2114p x y = ，212y y p =-同样是定值；从上所述：2114p x y =，212y y p =-四．一个特殊直角问题：过抛物线22(0 y px P =>的焦点F 的直线与抛物线交与A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线的准线上的射影分别是1A ，1B 求证：1190A FB ︒∠=。
抛物线焦点弦问题
抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一．弦长问题：例 斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交A .B 两点，求线段AB 的长。
分析：利用弦长公式12d x =-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运根据抛物线的定义，11AF x =+同理 21BF x =+于是得122AB AF BF x x =+=++由题已知{214y x y x=-=消去y 得2610x x -+=故126x x += ∴628AB =+= 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：12AB x x p=++或12AB y y p=++。
二.通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为22y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求AB 的最小值并求直线方程。
解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2px =2A B p =②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为()2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得22()2y pxp y k x ==-⎧⎨⎩ 消去y 得22222(2)04k p k x k p p x -++=若0k ≠ 则222440k p p ∆=+> 1222px x p k +=+则1222222p pAB x x p p p p k k =++=++=+当k →∞时 AB最小 即min 2AB p = 此时 2px =三．两个定值问题：例：过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2114p x y =，212y y p =-。
证明：①联立22()2y px p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2)0(0)4k p k x k p p x k -++=≠2124p x x =同理消去y 可得 212y y p =-；②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；③斜率不存在时，2114p x y = ，212y y p =-同样是定值； 从上所述：2114p x y =，212y y p =-四．一个特殊直角问题：过抛物线22(0)y px P =>的焦点F 的直线与抛物线交与A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线的准线上的射影分别是1A ，1B 求证：1190A FB ︒∠=。
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抛物线的焦半径
抛物线上一点P x0 , y0 与焦点的连线叫抛物
线的焦半径 .
(1) y2 2 px, (2) y2 2 px, (3)x2 2 py, (4)x2 2 py,
|
PF
|
x0
p; 2
p | PF | - x0 2
p | PF | y0 2
变题3 : 设M (a,0)是抛物线y2 2 px B
( p 0)的轴上的一个定点， 过M的
直线交抛物线于A(x1, y1)、B (x2, y2 )
两点,求证 : y1 y2与x1x2均为定值.
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,
与抛物线交于A, B两点,求线段AB的长. y
解法1: 直线AB的方程为y x 1,
A
代入双曲线方程得 : x2 6x 1 0
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ), 则x1 x2 6, x1 x2 1,
F
x
KO
| AB | 112 ( x1 x2 )2 4x1 x2 8
交抛物线于A, B两点, 通过点A
A
和 抛 物线顶点的直线交抛物 o
线的准线于点D ,求 证 :直线
F DB
x
DB平行于抛物线的对称轴.
分析 我们用坐标法证明,即通 过建立抛物线及直线的方程, 借
图2.3 5
助方程研究直线DB与抛物线对
称轴之间的位置关系.
建立如图2.3 5所示的直角坐标系,只要证明 点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
这条抛物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,
求证 : y1 y2 p2.
y
联想2 :由于直线AB过点焦点F ( p ,0) 2
A
时有y1 y2 p2成立， 那么反之是否
也成立 ?
OFx
变题2 : 抛物线y2 2 px( p 0)上 B
两个动点A(x1, y1)、B (x2, y2 ), 若
由4、5得, DB // x轴,故DB 平行于抛物线的对称轴.
你还有其他证明方法吗?
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题1:求证 :| AB | x1 x2 p
B
解法2 :|
AB
|
( x1
p) 2
( x2
p) 2
x1 x2 p 6 2 8
抛物线的焦点弦
过抛物线焦点的弦叫焦点弦,设焦点弦端点
A x1, y1 , B x2 , y2 ,则
(1) y2 2 px,
| AB | x1 x2 p;
(2) y2 2 px, | AB | p x1 x2
求证 : y1 y2 p2.
y
联想4 : 对变题3进行逆向联想，
结论是否成立 ?
A
变题4 : 抛物线y2 2 px( p 0)上O F x
两动点A(x1, y1)、B (x2 , y2 )满足
B
y1 y2 k(k是常数),则直线AB恒
过定点.
例5 过抛物线焦点F 的直线 l y
(3)x2 2 py,
| AB | y1 y2 p
(4)x2 2 py, | AB | p y1 y2
例：过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2 ,
求证 : y1 y2 p2.
y
证法 :因直线AB过定点F且与x轴
联立2、3,可得D点的纵坐标为y p2 . 4
y0
因为点F的坐标是
p 2
,0 , 所以
ly A
直线AF的方程为 y y0
x
p 2
y02 2p
p 2
.
o F
DB
x
与 y2 2 px联立,可得B点的纵 图2.3 5
坐标为y p2 . 5
y0
求证 : y1 y2 p2.
y
联想 : 在同样的条件下， 注意到
y1y2 p2, 那么x1x2 ________?
变题1: 过抛物线y2 2 px( p 0)焦点O
F的直线， 交抛物线于点A(x1, y1)、
B(x2 , y2 ), 则有x1x2
p2 4
.
A
Fx B
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
|
PF
|
- y0
p 2
例1 :
(1)抛物线y2 x上一点P到焦点的
距离为2,则P点的坐标为__答_案__: P___74_,.
7
2
(2)抛物线y2 2x上两点A, B到焦点的距离
之和是5,则线段AB中点横坐标是 _答_案_:_2..
例2.斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点,
y1 y2 p2 ,则直线AB过抛物线 焦点F.
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,
求证 : y1 y2 p2.
联想3 :由于焦点比较特殊，
对于在抛物线的轴上的一
y A
般的点， 结论又会怎样呢?
OFx
解 : AB AF BF
( x1
p 2
)
(
x2
p) 2
x1 x2 p
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛
证明 如图2.3 5,以抛物线 对称轴为x轴,它的顶点为原
ly A
点, 建立直角坐标系.
o
F
x
设抛物线方程为y2 2 px, 1 D B
点A的坐标为
y02 2p
,
y0
,
则直
图2.3 5
线OA的方程为y 2 p x, 2
y0
抛物线的准线方程为x
p 2
.
3
不平行， 所以可设直线AB的方程:
x my p , 代入y2 2 px,得
O
2
y2 2 pmy p2 0.
y1、y
是上述方程的两个根，
2
则
y1 y2 p2.
A
Fx B
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条பைடு நூலகம்物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,