有限元虚功原理
有限元计算原理与方法
1.有限元计算原理与方法有限元是将一个连续体结构离散成有限个单元体,这些单元体在节点处相互铰结，把荷载简化到节点上,计算在外荷载作用下各节点的位移,进而计算各单元的应力和应变。
用离散体的解答近似代替原连续体解答，当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。
1.1. 有限元分析的基本理论有限元单元法的基本过程如下：1.1.1.连续体的离散化首先从几何上将分析的工程结构对象离散化为一系列有限个单元组成，相邻单元之间利用单元的节点相互连接而成为一个整体.单元可采用各种类型，对于三维有限元分析，可采用四面体单元、五西体单元和六面体单元等。
在Plaxis 3D Foundation程序中，土体和桩体主要采用包含6个高斯点的15节点二次楔形体单元，该单元由水平面为6节点的三角形单元和竖直面为四边形8节点组成的，其局部坐标下的节点和应力点分布见图3。
1，图3.1 15节点楔形体单元节点和应力点分布界面单元采用包含9个高斯点的8个成对节点四边形单元。
在可能出现应力集中或应力梯度较大的地方,应适当将单元划分得密集些；若连续体只在有限个点上被约束，则应把约束点也取为节点：若有面约束,则应把面约束简化到节点上去，以便对单元组合体施加位移边界条件，进行约束处理；若连续介质体受有集中力和分布荷载，除把集中力作用点取为节点外，应把分布荷载等效地移置到有关节点上去。
最后,还应建立一个适合所有单元的总体坐标系。
由此看来，有限单元法中的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。
因此，用有限元法计算获得的结果只是近似的，单元划分越细且又合理，计算结果精度就越高.与位移不同，应力和应变是在Gauss 积分点（或应力点）而不是在节点上计算的，而桩的内力则可通过对桩截面进行积分褥到。
1.1.2. 单元位移插值函数的选取在有限元法中，将连续体划分成许多单元，取每个单元的若干节点的位移作为未知量，即{}[u ,v ,w ,...]e T i i i δ=，单元体内任一点的位移为{}[,,]Tf u v w =。
有限元方法-05
Wext=Wint 虚位移原理所述的虚位移可以理解为位移 的变分
4.虚功原理-虚位移原理
虚位移
是假想加到弹性体上的微小位移，而且是约束所允许的满足 几何边界和位移连续条件的位移。而“微小”是指在发生虚 位移过程中，力系处于平衡状态，各力幅值不变，作用线不 变
虚功
在发生虚位移过程中，平衡力系中真实力所做的功，如主动 力做功而支点反力不做功，因为虚位移为零
刚体
应变恒为零，因此应力在虚应变上不做功
4.虚功原理-虚位移原理
虚位移原理推导
由平衡方程推导出虚位移原理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如果力系是平衡的，则它们虚位移上所做的 功总合为零 反之，如果力系在虚位移上所做之功的和为 零，则一定满足力系平衡。
4.虚功原理-虚位移原理
可以由虚位移原理得到弹性体在外力作用 下的平衡方程和力学边界条件 在推导虚位移原理过程中，没有涉及物理 方程（应力-应变关系），因此，它不但适 用于线形，也适用于非线形及塑性力学
2.里兹法
该方法假设一位移函数，只令其先满足位移 边界条件，然后通过
建立方程，求解方程组，得到的结果近似满 足力边界条件和平衡方程 具体过程如下
2.里兹法
若能找到的近似解，由一组线性无关的函数 的线性组合 表示 其中 为一族坐标函数序列，满足如下条件
2.里兹法
1958年W.Ritz提出了解y由一组带有待定参数的试探 函数来表示，则泛函由试探函数和待定参数表示泛函 若 是问题的解，则 ，泛函的变分为 0，相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分
4.虚功原理-虚应力原理
虚功原理资料
虚功原理
在物理学中，虚功原理是一个重要的概念，它在力学、电磁学等领域有着广泛的应用。
虚功原理是基于能量守恒和力学平衡的原理，通过考虑系统内部各部分之间的相互作用，从而得出系统达到平衡的条件。
1. 虚功原理的基本概念
在力学中，虚功原理可以简单地表述为：在一个平衡的力学系统中，作用在系统内所有部分的外力所作的虚功之和为零。
这意味着系统内各个部分之间的相互作用满足一个使得整个系统保持平衡的条件。
2. 虚功原理在力学中的应用
在力学中，虚功原理可以应用于弹簧系统、摩擦力系统等各种力学问题的分析中。
通过将系统分解为各个部分，并考虑各部分之间的相互作用，可以利用虚功原理来求解系统的平衡条件和运动规律。
3. 虚功原理在电磁学中的应用
在电磁学中，虚功原理同样具有重要的作用。
在电磁场中，电荷之间的相互作用可以通过虚功原理来描述，从而推导出麦克斯韦方程组等电磁学的基本规律。
4. 虚功原理的应用举例
以简单的弹簧振子系统为例，可以通过虚功原理来推导出系统的振动方程，并进一步分析系统的动力学行为。
类似地，可以将虚功原理应用于其他复杂系统的分析中，从而揭示系统的运动规律和平衡条件。
5. 结语
虚功原理作为力学和电磁学中的重要原理之一，对于系统的分析和理解具有重要意义。
通过应用虚功原理，可以更深入地理解自然界中的各种物理现象，为科学研究和工程应用提供有力的理论支持。
在今后的研究和应用中，虚功原理必将继续发挥重要作用，推动科学技术的发展和进步。
有限元方法及应用04_弹性力学
3. 以单元结点位移ae表示单元位移函数u，得到单元插值函数矩阵N。
u ΦA1ae Na
4. 以单元结点位移ae表示单元应变ε，并得到应变矩阵B
ε Lu Bae
sdustzhu
弹性力学问题有限元分析的执行步骤
(1)对结构进行离散。按问题的几何特点和精度等因素划分单元 并形成网格，即将对原来的连续体离散为在结点处相互联结的有限
➢ 虚应力原理
几何方程：
ij
Байду номын сангаас
1 2
ui, j u j,i
位移边界条件： ui ui
等效积分：V ij
ij
1 2
ui, j u j,i
dV
Su Ti ui ui dS 0
分部积分：
V ijij uiij, j dV S ijnjuidS Su Ti ui ui dS 0
分弱形式。
sdustzhu
➢ 虚位移原理
平衡方程：
ij, j fi 0
力的边界条件： ijnj Ti 0
(在V内) (在Sσ上)
等效积分： V ui (ij, j fi )dV S ui (ijnj Ti )dS 0
V uiij, jdV
V ( ui ij ), j dV
sdustzhu
线弹性力学的变分原理
➢ 最小位能原理
从虚位移原理出发，代入弹性力学的本构方程得：
V ij Dijklkl ui fi dV S uiTidS 0
利用单位体积应变能公式得：
ij
Di jkl kl
1 2
Dijkl ij kl
U
mn
在线弹性力学中，假定体积力和边界上面力的大小和 方向都是不变的，则有：
虚功原理概念
虚功原理概念
虚功原理是力学中的重要概念，主要运用于静力学和弹性力学的问题中。
该原理是通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力之间的差异，来推导出力学问题的解析解。
虚功原理的基本思想是，如果一个力系统处于平衡状态，则在任意虚位移下，系统所受到的合力必然为零。
这意味着在虚位移下，系统没有做任何实际的功。
因此，可以根据虚功原理来解决平衡问题。
虚功原理的应用主要涉及到两个方面：平衡条件和变形计算。
在平衡条件中，通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力，可以得出力的平衡条件。
在变形计算中，可以通过比较系统在实际变形和虚位移情况下的变形能量，来计算系统的位移和应变。
虚功原理的使用需要考虑以下几个要点：
1. 虚位移应满足几何约束条件，即虚位移必须满足系统的边界条件和约束条件。
2. 虚功原理可以应用于单个物体或整个力系统，这取决于具体的力学问题。
3. 虚功原理可以推广到三维空间中的力学问题，并且可以应用于弹性体和非弹性体。
4. 虚功原理还可以推广到动力学问题，即考虑物体的运动和加速度。
总之，虚功原理是力学中非常重要的概念，可以用于平衡条件
和变形计算。
通过应用虚功原理，可以简化力学问题的分析，得到解析解。
有限元第3章-杆件结构的有限元法_虚功原理
其中
K B EBdV B EB dV
(e) x T T V V
1 L EA 1 1 E 1 L 1 LAL 1 1 1 L L
将 Fx( e )
和F 的表达式合写在一起就是 F K
根据虚功原理 有
* x T
Win t Wext
T T
F B
(e) x V * x
EB x dV
两边消去 x*
(e) x V
F B
即
T
T
EB x dV B EBdV x
T V
F K
u1 u1 1 L 1 L B u 2 u 2
第五步：求应力—应变—节点位移间的关系
u1 u1 E EB E 1 L 1 L u 2 u 2
第六步：节点位移和节点力的关系 虚功原理：外力在虚位移上所做的功，等于内应 力在相应虚应变上所作的功。 外力在虚位移上所做的功为
(e) Fy1 0 0 v1 (e) 0 0 v 2 Fy 2
下面建立 x 方向位移的插值函数。 设杆件内任意一点沿 x 的位移向量为
x u 1 2 x
第三步：求单元内任意一点的位移与节点位移的 关系 由 x1 0, u u1 ; x2 L, u u2 可写出
0 0 0 0
小结： （1）本章从设置位移函数（也称为位移插值函 数或试探函数）出发，利用虚功原理导出了局 部坐标系下的杆单元的有限元计算格式，利用 前一章的坐标变换矩阵[T]，就可以将它转换到 整体坐标系下，然后将各单元的刚度矩阵按照 节点力平衡的原理，经过叠加，即可得到总体 刚度矩阵。 （2）本章的方法具有一般性。 （3）位移插值函数的选择与单元节点的数目有 关。一般不可能精确描述单元内各点真实的位 移情况。
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
虚功原理 有限元
虚功原理有限元虚功原理是力学中的一个基本原理，它是运用能量守恒原理和虚位移原理进行问题求解的一种方法。
虚功原理的应用十分广泛，特别是在有限元方法中，它是解答复杂结构力学问题的一种常用手段。
虚功原理的基本原理是：在刚体或弹性体的力学问题中，力系对于结构的作用机理可以使用能量方法来描述，即外力对物体所做的功等于内力弹性势能的变化。
在有限元方法中，虚功原理的应用可以被概括为以下几个步骤：1. 确定系统的弹性势能表达式：根据材料力学性质和结构几何形状，建立并表达出结构的弹性势能。
2. 设定虚位移场：在结构的静力平衡方程中，引入一组满足边界条件的虚位移场，并将结构的位移表示为真实位移与虚位移的叠加。
虚位移场是一个理想化的假设，它用于引导计算的进行。
3. 计算虚功：将虚位移场代入弹性势能表达式中，得到每个单元的虚功。
4. 构造系统的刚度方程：根据虚功原理，对每一个虚位移方向进行变分，得到相应的虚功。
将这些虚功累加起来，并考虑结构边界条件和约束条件，得到整个系统的刚度方程。
5. 解刚度方程：使用适当的数值方法（如矩阵求解方法）求解刚度方程组，得到结构的位移响应。
6. 计算应力和应变分布：利用位移响应，通过一定的插值方法，计算出结构各点的应力和应变分布。
有限元方法利用虚功原理的优点在于，它可以解决复杂结构的力学问题，并且可以处理非线性材料、大变形和大变位等情况。
虚功原理的运用使得有限元方法成为求解工程结构问题的一种强大工具。
需要注意的是，在使用虚功原理时，应注意选择合适的虚位移场，并保证其满足结构的边界条件和约束条件；同时，还需要进行适当的数值技巧处理，如选择合适的数值积分方法和数值求解方法，以提高计算的精确性和效率。
总结来说，虚功原理是有限元方法求解问题的基础，它通过能量守恒原理和虚位移原理，将原问题转化为求解刚度方程的问题，从而得到结构的位移响应和应力应变分布。
虚功原理在结构力学中的应用是十分重要和广泛的，它为工程问题的解答提供了有效的途径。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
虚位移原理
虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱” 形式；虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，则它 们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为零。反之，如果 力系在虚位移（及虚应变）上所作的功的和等于零，则它 们一定满足平衡方程。所以，虚位移原理表述了力系平衡 的必要而充分条件。 一般而言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题，而且 可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。
但是否适用所有的问题呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
虚应力原理
虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱” 形式。虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的（即 在内部连续可导），则虚应力和虚边界约束反力在他们 上面所作的功的总和为零。反之，如果上述虚力系在他 们上面所作的功的和为零，则它们一定是满足协调的。 所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件。 虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的 力学问题。
3.3虚功原理（平衡方程和几何方程的等效积分 “弱”形式）
变形体的虚功原理：变形体中任意满足平衡的 力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚 功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之 和等于零。 虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称。 他们都可以认为是与某些控制方程相等效的积 分“弱”形式。
等效积分的“弱”形式
C T ( )D( )d E T ( ) F ( )d 0
通过适当提高对任意函数 和 的连续性要求，以 降低对微分方程场函数的u的连续性要求所建立 的等效积分形式称为微分方程的等效积分“弱” 形式。 从形式上看“弱”形式对函数u的连续性降低了， 但对实际物理问题却常常较原始的微分方程更逼 近真正解，原因在于微分方程往往对解提出了过 分平滑的要求。
但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原 理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于 小变形理论的，所以他们不能直接应用于基于大 变形理论的力学问题。