有限元理论方法
计算电磁学中的有限元方法
计算电磁学中的有限元方法随着计算机技术的不断发展和应用，计算电磁学研究的范围和深度不断提高，其应用领域也越来越广泛。
有限元方法是计算电磁学研究中重要的数值分析方法之一，其可模拟复杂电磁场问题，有着广泛的应用。
本文将简要介绍计算电磁学中的有限元方法的一些基本原理和应用。
一、有限元法基本理论有限元方法是数值分析中一种重要的数学工具，其基本思想是将整个计算区域分割成若干个简单的单元，然后在每个单元内选取一个适当的基函数，通过求解基函数系数来表示数值解。
这种思想很容易扩展到计算电磁场问题上，因为电磁场分布可以被视为由一些小电磁场单元组成。
有限元方法的基本过程包括建立有限元模型、离散化、求解以及后处理。
其中建模是有限元方法中最重要的一个环节。
在建模过程中，首先需要选取合适的计算区域，并将其离散化为若干个小单元（如三角形、四边形等）。
然后，我们需要选取适当的基函数，并确定它们所对应的系数的初始值。
一旦有限元模型被建立，我们就可以进行求解了。
具体来说，有限元法的求解过程需要求解一个大规模的稀疏矩阵方程，其中系数矩阵和右侧向量都与电磁场有关。
这个过程需要借助计算机的优势，通过矩阵解法算法完成求解。
最后，我们通过后处理来获得我们需要的电磁场信息或工程参数，例如电势、磁场强度、感应电动势等。
二、有限元法应用领域有限元法在计算电磁学中广泛应用。
其应用范围涉及电机、变压器、电力电子、雷达、电磁兼容等多个领域。
有限元法可用于仿真复杂的电磁场分布问题，例如在电机设计中，有限元法可用于电机磁场分析、电机振动分析以及谐波分析等。
在电力电子领域中，有限元法可用于设计电感元件和变压器等。
另外，有限元法在雷达技术中也有着广泛的应用，可用于雷达天线设计和仿真。
三、有限元法的优缺点有限元法作为一种数值分析方法，具有一定优缺点。
有限元法的主要优点在于它具有很强的适应性和通用性，可用于模拟各种复杂的材料和几何形状。
此外，有限元法允许我们针对不同的模型选择不同的元素类型和元素尺寸，因此可以根据实际需求自由选择不同的模型。
有限元的理论基础
有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。
对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。
已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。
(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。
若计算问题具有对称性，应充分利用它。
显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。
按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。
其中伽辽金法的精度最高。
2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。
有限元法的理论和要点
有限元法的理论和要点(1)有限元法的理论正规想学有限元的理论的人请选专门的参考书学习。
这里粗略说明一下有限元法的理论概要。
说明是简短的，而使用的是专门术语。
现在有不理解的地方，以后再学。
每积累一点经验，都会加深一点理解的。
有限元法有位移法、应力法、混合法。
以下举最普通的位移法说明一下。
(2)看不见的有限元的内容●有限元法一个黑箱分析系统[图 1 有限元法的模型]把作为对象的物体分割成小部分（称这部分为单元）再输入边界条件（约束、载荷）。
把各个小部分的结构特性用公式近似。
把这些小的部分组合起来就可得到全部力的平衡方程式。
使用给出的边界条件解出平衡方程式。
从结果求得单元内部的应力、应变、位移等。
有限元法的困难的理论和公式作为黑箱。
用户可以把 CAE 系统作为黑箱子来使用。
最重要的是准备适当的输入数据。
输入数据决定结果。
即输入数据的制作方法左右着结果。
●黑箱的内容是什么？有限单元法的理论是一种 Rayleigh-Ritz 法和 Galerkin 法。
以结构分析的情况为例，是一种用能量原理把未知数的位移，以近似解求出的数值分析法。
●有限单元法的结果正确吗？用数学公式表示单元内部的位移场（称这为位移函数）。
单元的位移函数满足完全性和合适性条件，有限单元法的近似解是收敛于严密解的，这可以用数学来证明。
所谓完全性就是位移函数可以表示刚体位移和常应变状态。
合适条件是在单元内部及单元的边界它的位移是连续的。
(2)要点：有限元分析法对于结构分析是非常有效的手段。
但是，想改变认识，由有限单元分析得到的结果，可以说要超过你所制成的输入数据以上的东西是没有的。
即使使用多么好的程序，输入的数据精度差的话，结果也差的。
普通人有限元分析入门方法--理论学习篇
普通人有限元分析入门方法--理论学习篇展开全文（这文章写的时候估计会被喷，我已经做好心理准备的！）文章开始前，我要先说明：就像文章题目说的一样，本文只是从一个很普通的有限元分析工程人员的角度出发，既没有华丽的学历背景，也没有超一流的企业研发经验，更没有超高的智商，只是从一个普普通通的分析工程师角度和大家说说作为一个普通凡人如何去看待有限元分析学习的问题。
本人在网络上浸淫多年，有限元分析的学习也经历了整整10个年头，从一个无知小白到现在能够解决一些问题的工程人员，一路走来的心酸也是只有自己才知道。
回忆最初的起步，以及网络上看到很多新手学习的艰辛，想到写这样一篇文章，说说咱们这种普通人该如何去玩有限元分析。
我打算把文章分为理论学习篇、软件操作学习篇、实际应用学习篇和有限元分析行业市场分析篇四个部分，主要针对学习有限元分析5年以内的群体。
理论学习篇一说到有限元分析理论学习，我就觉得我上的那个是假大学，为啥随便来几个不是新手的人都是学过这么多课的，看过这么多书的，我上的大学不都是浪出来的么？我相信很多新手和我的感觉是一样一样的。
首先我以我目前的认知以及在网上很多人解答新手的问题来大致罗列下出镜率比较高的理论科目，并大致评估下学习需要的时间（假设我们从20岁开始为有限元分析打基础）。
大学本科四年掌握：高等数学、线性代数、材料力学、理论力学、概率统计，到这里24岁，这一阶段大多数的步调基本一致，接下来开始：1.弹性力学（1年）；2.数值方法（0.5年）；3.有限单元法（1年）；4.振动力学（1年）；5.损伤力学（1年）；6.张量分析（1年）；7.线性空间（1年）；8.软件应用（0.5年）。
把以上的内容相加，大概7年时间，WTF！这些学完已经30+了，这玩意我还是按照及其保守的时间，实际操作起来只会长不会短，有人说我可以一起学，有这种想法的人可以试试，或者去问问身边群里那些正在学习的人（这类人肯定不少，而且多数都是新手），听听他们学习之后的感受。
声学覆盖层的有限元计算基本理论
声学覆盖层的有限元计算基本理论声学覆盖层的有限元计算基本理论是指利用有限元方法对声学覆盖层进行数值计算的基本原理和理论框架。
有限元方法是一种常用的工程数值分析方法，通过将连续介质划分为有限个小单元，在每个小单元内建立适当的数学模型，通过求解这些小单元的方程组，得到整个连续介质的近似解。
下面将从有限元方法的基本原理、声学覆盖层的数学模型以及声学覆盖层的边界条件等方面进行介绍。
有限元方法的基本原理是将连续介质划分为有限个小单元，通过在每个小单元内建立适当的数学模型，通过求解这些小单元的方程组，得到整个连续介质的近似解。
有限元方法的基本步骤包括：1.建立连续介质的几何模型，即将连续介质进行离散化；2.在每个小单元内建立适当的数学模型，通常使用一些基函数来近似描述介质内的场量；3.将整个连续介质划分为小单元后，得到一个离散的数学模型，可以通过有限元法得到每个小单元内场量的近似解；4.将每个小单元的解组合起来，得到整个连续介质的近似解；5.进行误差估计和收敛性分析，以确保得到的近似解具有一定的准确性。
声学覆盖层的数学模型是建立在声学基本方程的基础上的。
声学基本方程包括声场方程、质量守恒方程和能量守恒方程。
在声学覆盖层中，通常采用声场方程和能量守恒方程来描述声波在声学覆盖层内的传播。
声场方程可以用来描述声波的传播特性，其可以通过有限元方法进行求解。
能量守恒方程可以用来描述声波在声学覆盖层中的能量转换和传播损耗。
通过对声学覆盖层的数学模型进行离散化，可以得到一个离散的数学模型，可以通过有限元法得到声波在覆盖层内的传播特性和能量转换的近似解。
声学覆盖层的边界条件是指在有限元方法中需要给定的边界条件，用于确定问题的完整解。
常用的边界条件有：自由边界条件、固定边界条件、声压边界条件和声辐射边界条件等。
自由边界条件是指在边界上声波不反射和不折射。
固定边界条件是指在边界上声波的速度为零。
声压边界条件是指在边界上给定声压或其导数。
有限元方法的数学理论
有限元方法的数学理论有限元方法是一种数值计算方法，用于求解常微分方程、偏微分方程和积分方程等数学问题。
它通过将求解区域分割成有限数量的简单形状（如三角形、四边形等）的小区域，将求解问题转化为在这些小区域上的近似解的求解问题。
在有限元方法的数学理论中，有以下几个重要概念：1. 有限元空间：有限元空间是定义在求解区域上的函数空间，它由离散化的形状函数（也称为有限元函数）和它们所对应的节点组成。
形状函数是一组基函数，它们用于近似描述在每个小区域上的解。
2. 变分问题和弱形式：有限元方法通过引入变分问题和弱形式来求解原始的偏微分方程问题。
变分问题是将原始问题转化为一个能够描述解的变分和测试函数的问题。
弱形式是变分问题的特定形式，它通过引入积分和部分积分来简化求解过程。
3. 有限元离散化：有限元方法利用离散化技术将求解区域划分成有限数量的小区域，称为单元。
每个单元上的解用形状函数近似表示，并通过求解线性方程组来得到近似解。
有限元离散化同时确定了单元之间的连接方式，以及解在相邻单元之间的边界条件。
4. 误差估计和收敛性分析：有限元方法通过误差估计和收敛性分析来评估数值解的精度。
误差估计是通过比较数值解和精确解之间的差异来确定数值解的误差大小。
收敛性分析则是研究如果将离散化细化，数值解是否趋向于精确解。
5. 稳定性和收敛阶：有限元方法的稳定性和收敛阶是评价该方法的两个重要性质。
稳定性指的是当离散化细化时，数值解的稳定性是否得到保持。
收敛阶指的是当离散化细化时，数值解的误差与离散化大小的关系。
以上是有限元方法的几个数学理论方面的介绍，了解这些理论可以帮助我们更好地理解有限元方法的原理和应用。
有限元理论
有限元理论
有限元理论（finite element theory）是一种数值分析方法，它的核心思想是将实体的几何形状分解为若干有限的元素，以及在这些元素上建立一系列的数学方程，从而确定这些元素的性质。
有限元理论主要用于分析复杂几何形状实体的力学、热力学等性质。
有限元理论的应用覆盖面很广，可用于分析各种结构物的变形、振动、强度和稳定性，还可以用于分析流体的流动特性，从而提高设计的效率和准确性。
在有限元理论中，实体的几何形状被划分为几何单元，比如点、线、面和体，每个单元又由若干个有限元素构成。
为了求解几何形状实体的变形、振动、强度和稳定性，需要建立若干个有限元素的数学方程，从而确定各有限元素的性质，从而求解实体的整体性能。
有限元理论可以使用计算机求解，其优点是准确、快速。
另外，有限元理论还可以用来分析复杂的材料性质，比如金属、塑料等，从而更好地了解这些材料的性能，提高设计的效率和准确性。
总之，有限元理论是一种有效的数值分析方法，它可以用来分析复杂的几何形状实体的力学、热力学等性质，并可以用于分析各种材料的性质，从而提高设计的效率和准确性，因此在工程设计中受到了广泛的应用。
弹性力学与有限元分析
m α 式中： = ∑i ， α1,α2 ,⋯ 2m 为待定系数。把位移函
i=1
n+1
数的这种描述形式称为广义坐标形式。 在确定二维多项式的项数时，需参照二维帕斯卡三 角形，即在二维多项式中，若包含帕斯卡三角形对称轴 一侧的任意一项，则必须同时包含它在对称轴另一侧的 对应项。
1 x x2 x3 x4 y xy y2 y3
1、结构的离散化——单元划分 2、假设单元的位移插值函数和形函数 3、计算单元刚度矩阵 4、载荷移置——把非节点载荷等效地移置 到节点上 5、计算结构刚度矩阵，形成结构刚度方程 6、引入位移边界条件，求解方程 7、计算应力与应变
三、两种平面问题
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两大类。 体力——指分布于物体体积内的外力，它作用于 物体内部的各个质点上，如重力、磁力 和运动时的惯性力等。 面力——指均布于物体表面上的外力，它作用于 物体表面的各个质点上，如物体间的接 触力和气体压力等。
f (x, y)，把位移函数的这种描述形式称为插值函数形
式。 形函数具有以下两个性质： 1、形函数 Ni在节点 处的值为0。 2、在单元中任意一点，3个形函数之和为1，即：
i处的值为1，而在其余两个节点
Ni (x, y) + N j (x, y) + Nm (x, y) = 1
六、计算单元刚度矩阵
U(x, y) Ni f (x, y) = = V(x, y) 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
Ui V i 0 U j Nm Vj Um Vm
其中 Ni , N j , Nm 称为单元位移的形状函数，简称形函 数，其值为：
1、用单元节点位移表示单元中任一点的应变，得
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关于有限元分析法及其应用举例摘要：本文主要介绍有限元分析法，作为现代设计理论与方法的一种，已经在众多领域普遍使用。
介绍了它的起源和国内外发展现状。
阐述了有限元法的基本思想和设计方法。
并从实际出发，例举了有限元法的一个简单应用———啤酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。
随着计算机的发展，基于有限元分析方法的软件开发越来越多。
本文也在其软件开发方面进行阐述，并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。
并就这一领域的未来发展趋势进行阐述。
关键词：有限元分析法软件啤酒瓶Abstract：This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a moderndesign theory and methods used widely in in most respects. And this paperintroduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinkingand approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simpleapplication of finite-element method———the analysis and optimized of an beerbottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .Ascomputers mature and based on the finite element analysis of the softwaredevelopment is growing. This article introduces its application in the softwaredevelopment aspects as well, and briefly states the development and scope of themainstream software. And it’s also prospect future development tendency in thisarea .Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle0 绪论有限元法(Finite Element Method，FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。
有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。
对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。
有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域；然后对单元(小区域)进行力学分析，最后再整体分析。
这种化整为零，集零为整的方法就是有限元的基本思路。
（1）就国外发展来说，20世纪50年代，有限元法作为处理固体力学问题的方法出现。
1943年，Courant第一次提出单元概念[1]。
1945～1955年，Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大进展⋯。
1956年，Turner、Clough等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平面问题⋯。
1960年，Clough首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法-D]，并描绘为“有限元法一Rayleigh Ritz 法+分片函数”。
FEM 理论研究的重大进展，引起了数学界的高度重视。
自2O世纪6O年代以来，人们加强了对FEM 数学基础的研究。
如大型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等。
FEM 理论研究成果为其应用奠定了基础，计算机技术的发展为其提供了条件。
20世纪70年代以来，相继出现了一些通用的有限元分析(FEA：Finite Element Analysis)系统，如SAP、ASKA、NASTRAN等，这些FEA 系统可进行航空航天领域的结构强度、刚度分析，从而推动了FEM 在工程中的实际应用。
20世纪80年代以来，随着工程工作站的出现和广泛应用，原来运行于大中型机上的FEA系统得以在其上运行，同时也出现了一批通用的FEA系统，如ANSYS—PC、NISA，SUPERSAP等[ 。
20世纪90年代以来，随着微机性能的显著提高，大批FEA系统纷纷向微机移植，出现了基于Windows的微机版FEA系统。
（2）就我国有限元法的发展，是从八十年代开始的。
在1981年ADINA飞线性结构分析程序的引进，一时间许多一直无法解决的工程难题都迎刃而解。
大家也都开始认识到有限元分析程序的确是工程师应用计算机进行分析计算的重要工具。
但是当时限于国内大中型计算机很少，大约只有杭州汽轮器厂的Siemens7738和沈阳鼓风机厂的IBM4310安装有上述程序，所以用户算题非常不方便，而且费用昂贵。
PC机的出现及其性能奇迹般的提高，为移植和发展PC版的有限元程序提高了必要的运行平台，可以说国内FEA软件的发展一直是围绕着PC平台做文章。
在国内开发比较成功并拥有较多用户的有限元分析系统有大连理工大学工程力学系的FIFEX95、北京大学力学与科学工程系的SAP84,中国农机科学研究院的MAS5.0和杭州自动化技术研究院的MFEP4.0等。
我们现在正处在学习和追赶世界发展水平的阶段。
1 有限元分析法的基本思想和设计方法1.1 有限元基本思想有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本思想是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
（1）物体离散化将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一部称作单元部分。
离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定。
用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。
如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。
（2）分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。
此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
（3）选择位移模式位移法：选择节点位移作为基本未知量称为位移法；力法：选择节点力作为基本未知量时称为力法；混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。
位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。
（4）计算等效节点力物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。
但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。
因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。
（5）单元组集利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程：KU=F式中：K是结构的总体刚度矩阵；U是节点位移列阵；F是载荷列阵。
确定总体刚度方程的方法有三种：1.直接利用总体刚度系数的定义在求出整体结构中各节点力和节点位移关系的基础上获得总体刚度矩阵。
此方法只在简单情况下才能采用。
2.集成法将整体坐标系的单元刚度矩阵按照节点编码顺序对号入座，迭加形成总体刚度矩阵。
3.利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵总体刚度矩阵对角线上的刚度系数Kij等于连接节点i和节点j之间几个单元的刚度系数之和。
（6）求解未知节点位移可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。
节点的支撑条件有两种：一种是节点沿某个方向的位移为零，另一种是节点沿某个方向的唯一为一给定值。
（7）计算单元内部应力和应变根据求解的节点位移，采用所选定的位移函数，计算单元内非节点处的应力和应变。
通过上述分析，可以看出，有限元法的基础思想是“一分一合”。
分是为了进行单元划分，合则是为了对整体结构进行综合分析。
1.2 设计方法（1）划分单元网格，并按照一定的规律对单元和结点编号（2）选定直角坐标系，按程序要求填写和输入有关信息。
（3）使用已经编好的程序进行上机计算。
计算程序中对输入的各种信息进行加工、运算。
（4）对计算成果进行整理、分析，用表格或图线示出所需的位移及应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。
理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。
为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
2 有限元分析法的应用优点有限元法的优点是解题能力强，可以比较精确地模拟各种复杂的曲线或曲面边界，网格的划分比较随意，可以统一处理多种边界条件，离散方程的形式规范，便于编制通用的计算机程序，在固体力学方程的数值计算方面取得巨大的成功。
但是在应用于流体流动和传热方程求解的过程中却遇到一些困难，其原因在于，按加权余量法推导出的有限元离散方程也只是对原微分方程的数学近似。
当处理流动和传热问题的守恒性、强对流、不可压缩条件等方面的要求时，有限元离散方程中的各项还无法给出合理的物理解释。