周益春-材料固体力学习题解答习题三
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完整版材料⼒学性能课后习题答案整理材料⼒学性能课后习题答案第⼀章单向静拉伸⼒学性能1、解释下列名词。
1弹性⽐功:⾦属材料吸收弹性变形功的能⼒,⼀般⽤⾦属开始塑性变形前单位体积吸收的最⼤弹性变形功表⽰。
２、滞弹性:⾦属材料在弹性范围内快速加载或卸载后,随时间延长产⽣附加弹性应变的现象称为滞弹性,也就就是应变落后于应⼒的现象。
3、循环韧性:⾦属材料在交变载荷下吸收不可逆变形功的能⼒称为循环韧性。
4、包申格效应:⾦属材料经过预先加载产⽣少量塑性变形,卸载后再同向加载,规定残余伸长应⼒增加;反向加载,规定残余伸长应⼒降低的现象。
5、解理刻⾯:这种⼤致以晶粒⼤⼩为单位的解理⾯称为解理刻⾯。
６.塑性:⾦属材料断裂前发⽣不可逆永久(塑性)变形的能⼒。
脆性:指⾦属材料受⼒时没有发⽣塑性变形⽽直接断裂的能⼒韧性:指⾦属材料断裂前吸收塑性变形功与断裂功的能⼒。
7.解理台阶:当解理裂纹与螺型位错相遇时,便形成⼀个⾼度为b的台阶。
８.河流花样:解理台阶沿裂纹前端滑动⽽相互汇合,同号台阶相互汇合长⼤,当汇合台阶⾼度⾜够⼤时,便成为河流花样。
就是解理台阶的⼀种标志。
9.解理⾯:就是⾦属材料在⼀定条件下,当外加正应⼒达到⼀定数值后,以极快速率沿⼀定晶体学平⾯产⽣的穿晶断裂,因与⼤理⽯断裂类似,故称此种晶体学平⾯为解理⾯。
10、穿晶断裂:穿晶断裂的裂纹穿过晶内,可以就是韧性断裂,也可以就是脆性断裂。
沿晶断裂:裂纹沿晶界扩展,多数就是脆性断裂。
1１、韧脆转变:具有⼀定韧性的⾦属材料当低于某⼀温度点时,冲击吸收功明显下降,断裂⽅式由原来的韧性断裂变为脆性断裂,这种现象称为韧脆转变2、说明下列⼒学性能指标的意义。
答:E 弹性模量 G 切变模量 r σ规定残余伸长应⼒ 2.0σ屈服强度 gt δ⾦属材料拉伸时最⼤应⼒下的总伸长率 n 应变硬化指数P15 ３、⾦属的弹性模量主要取决于什么因素？为什么说它就是⼀个对组织不敏感的⼒学性能指标?答:主要决定于原⼦本性与晶格类型。
周益春-材料固体力学习题解答6-1
第六章 塑性平面应变问题和极限分析1. 设具有角形深切口的厚板，其滑移线场构造如图6.1(a)，试求此时该板所能承受的弯矩值。
的方向，应取负值，即4,,2πθσσ=-=-=k k t其应力状态和α线的方向如6.1（b ）所示。
由于厚板的上部ODB ∆也是均匀应力区，在OB 边上，0==n n τσ，k t 2±=σ，根据力矩M 的方向，应取正值，即γπθπγππγθσσ-=-=-+===4,42)4(,,2k k t其应力状态和α线方向如图6.1（c ）所示。
正方形'OECE 是均匀应力区，根据对称性知道沿着垂直截面将只作用有拉应力q ，其数值及应力间断点C 的位置由下列平衡方程求得：图6.1(c)图6.1(b)⎪⎭⎪⎬⎫=---=--0)(210)(2212111h h k qh M h h k qh 由此得出Mkh kMq khMh h -==-212,由于CEDB 是同一根β线，故B BC C k k θσθσ22+=+)21()4(2)4(2γππγπσ-+=---+=k k k k C取OC 边上的单元体进行分析，如图6.1（d ）所示得：4,0,πθτσ-===n n qk q k t t n 2,2-==-σσσ)2(21)(21k q q t n -+=+=σσσk q k C -=-+=)21(γπσMkh kMk q -=-+=22)21(γπγπγπ24)22(2-+-+=kh M 令2021kh M =则可得γπγπ24210-+-+=M M 图6.1（d ）2. 设两边有对称角形深切口的厚板，角形深切口处的高度为h ，试求在极限状态时，该板所能承受的弯矩值。
解：此题滑移线场与上一题（a ）图中上部的滑移线场一样，因此在极限状态下应力为)2()21(22=--+=hq M k q γπ故由此应力所承受的弯矩为22)21(2141h k qh M γπ-+==令2021kh M =则得γπ-+=210M M3.图6.2解：作滑移线场如图6.3(b)所示，由于对称，只考虑板条的一半。
材料固体力学答案1-6章
第一章习题1 证明δ-e 恒等式jtks kt js ist ijke e δδδδ-=[证明]()()()jtks kt js ktjs jtks jtks ktjs jtks kt js itjs jtis ki it ks ktis ji jtks kt js ii ktks ki jtjsjiitis ii ist ijk e e δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=-++--=-+---==33习题2 证明若jiij ji ijb b a a -==;，则0=ij ijb a[证明]jiij jiijbb aa-==; jiji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ijb a b a b a b a又因为所有的指标都是哑指标，ijij pq pqb a b a =，所以02=aijbij，即0=ij ijb a习题3 已知某一点的应力分量xxσ，yyσ，zzσ，xyσ不为零，而0==yzxzσσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。
[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，iji jσνσν=)(，可求得该面上的应力为ασασσνσνsin cos 11)(xyxxj j +== ασασσνσνsin cos 22)(yyyxjj +== 033==j j v σνσ)(由斜面正应力表达式ji ij nννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sinsin cos 2cosyyxyxxn++=剪应力为ασασσστ2cos 2sin )(2122)()(xyxx yynn n +-=-=-=σσσn习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。
固体物理学习题完全解析
ρ=
4* 4 3π( a3
2a 3 4
)
=
图 1.4 面心立方晶胞
图 1.5 六角晶胞
图 1.6 正四面体
-1-
Jones Hoo 胡光辉 整理
（4）对六角密积结构，任一个原子有 12 个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1。5 所示，中心在 1 的 原子与中心在 2，3，4 的原子相切，中心在 5 的原子与中心在 6，7，8 的原子相切，晶胞内的原子 O 与中 心在 1，3，4，5，7，8 处的原子相切，即 O 点与中心在 5，7，8 处的原子分布在正四面体的四个顶上， 因为四面体的高 h=
证：
ne s
v
* v0 =
(2π )3 v0
o Ho
整 理
1.6 如果基矢 a , b , c 构成简单正交系，证明晶面族 ( hkl ) 的面间距为 d = 1 指数低的晶面，其面密度较大，容易解理. 证：简单正交系 a ⊥ b ⊥ c
v v v
h k l ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 ；说明面 a b c
-5-
即
⎡ε 11 0 ε =⎢ ⎢ 0 ε 22 ⎢ ⎣ 0 ε 32
0⎤ 。 ε 31 ⎥ ⎥ ε 33 ⎥ ⎦
将上式代入
ε = A ' x εAx . 得
⎡ε 11 0 ⎢0 ε 22 ⎢ ⎢ 0 ε 32 ⎣
0⎤ ε 31 ⎥ ⎥ ε 33 ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ = ⎢− ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1 3 ε 11 + ε 22 4 4 3 3 ε 11 + ε 22 4 4 3 ε 32 − 2
v
v
v
v v v v v v a1 = ai , a2 = bj , a3 = ck v v v a3 × a1 b2 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3 v v v a1 × a2 b3 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3
周益春-材料固体力学习题解答习题三
--第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：zxyz xy zz yy xx zx zx yz xy zz yy xx yz zx yz xy zz yy xx xy zx yz xy zz yy xx zz zx yz xy zz yy xx yy zx yz xy zz yy xx xx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++= （a ）当0===zx yz xy τττ时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。
当0===zx yz xy γγγ时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。
在主应变方向上，剪应力分量为：zzyy xx zx zz yy xx yz zzyy xx xy c c c c c c c c c εεετεεετεεετ636261535251434241++=++=++= （b ） 若使0===zx yz xy τττ，则式中xx ε，yy ε，zz ε具有非零解的条件为0636261535251434241=c c c c c c c c c （c ） 上式即为x ，y ，z 轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。
如果材料性能对称于一个平面，如Oxy 平面，则04645363526251615========c c c c c c c c ，而且ji ij c c =，此时（c ）式恒等于零。
周益春-材料固体力学习题解答7
第七章 粘弹塑性本构关系1. 应用Kelvin 模型，求图所示组合的应力应变关系。
解：如图所示，总的应变是弹簧的应变和Kelvin 单元应变之和。
因此K s εεε+= (1)而 K K s E E εηεεσ +==21 (2) 对(1)式求导，有 K s εεε +=， 再由(2)式得1E s σε=，ηεσεKK E 2-= ，再结合(1)式，可以求出 σησεηε ++=+)(21121E E E E E 即为图示组合应力应变关系。
2. 如图所示一直杆，杆件材料服从如下本构关系：εησσ +=s (s σσ>),式中At P )(=σ，s σ为静态屈服极限。
若)(t P 为一个阶跃函数，当0=t 时，应力突然由零增至某一数值0σ(>s σ),且以后保持常数，试求此情况下杆件的应力应变关系。
解：由题意 εησσ =-s 0 (0>t) 图7.1图7.2即 )(10s σσηε-=对上式积分可得 C t s +-=)(10σσηε其中C 为积分常数。
若0=t 时已有应变0ε存在，则由上式可得0ε=C 。
从而有00)(1εσσηε+-=t s3. 假定介质的流动是缓慢的轴对称的定常流，即介质在管中没有转动，讨论粘塑性材料在圆管中的流动。
解：如图所示的圆柱坐标系z r ,,ϕ中，其径向和环向速度为零，即0==ϕυυr于是应变率分量为0====z r r ϕϕϕεεεεrzzrz zz ∂∂=∂∂=υευε, 如果我们假定材料是不可压缩的，则有0=z ε，从而有)(r z z υυ=。
若进一步假定应力分量可分解为塑性和粘性两部分，其塑性部分服从与Mises 屈服条件相关的流动法则，而粘性部分服从牛顿线性粘性定律，则不难得到0===z r σσσϕ0==z r ϕϕττ图7.3drd zs rz υηττ+-= (1) s τ为剪切屈服极限很显然，当,s rz ττ≥且0≤drd zυ时才有意义。
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第十章热应力习题及解习题1、如图10-1所不，将一圆锥体固定在两壁间，计算温度由77升高到门时所产生的压缩 热应力。
解：设圆锥体棒温度升高为0 = G 其线胀系数为&。
在自由膨胀时，其仲长为o 若假设壁给予的压缩力为P,而棒应缩短o 各截面的粗细不同，因此各截面产生的热应力 不同。
与左端距离x 的截面AB 处的直径为dx ,dx = d l +(d 2-d l )x/l 。
设AB 截面的面积为S x ,于是该截面上的压缩热应力为-4P故AB 处的应变为与AB 距离dx 微段的缩短了 g/x,因此整个棒缩短那么P = jcEoalyd^ I ,于是热应力为-Ead.d.O6 = -----------£ +仏F1I最大热应力发生在截面积最小的左端，为Umax =~Ed 2a0!=习题2、如图10-2所不，两根材料和长度都不相同的平行棒，它们的一端各自被固定，而另一 端连接在刚体板上可以一起轴向活动，通过弹簧受到另一壁的反作用,设两棒分别从最初的无应力-4P4Pdx4PIJiEd'd ?=ccOl状态下温度升高了「和T2,试计算两棒中的热应力。
解：假定N >几。
2 > a,,贝U棒1的自山膨胀量为厶,而棒2的自山膨胀量为a2T2L2。
棒2自由膨胀时伸长量大，故棒2除自由膨胀外，受到压缩而缩短，因压应力的缩短量为£2L2 = cr?厶2 / E?，其最终伸长量为a2T2L2 + cr?厶2 /丘2。
而棒1除自山膨胀外，还因相应拉应力的伸长刍厶=5厶/耳，其最终伸长量为+ b]厶 / E]其中bj, O'?中包含了应力符号。
因右端连接在冈！I体板上一起轴向活动，两棒的总伸长量应相等，即务片厶 + CF］厶 / 耳=a2T2L2 + cr2L2 / E2 = -Z（设弹簧的弹性常数为& ,则其压缩力为F = k s l ,故有CF]S] + c2S2 = P(b) 可求得S、E, （洛厶5並卜也严］V 厶 + S Q E Q L I砧S'E.—害吕-（也乙厶2 — ap］厶）-厶26 _—]_|_ V厶2 _(_ S]E]厶2S°E° S2E2L]讨论:⑴若k s =0,弹簧非常柔软的情况下，刚体板仅起连接作用，此时a = 一耳（&1冲厶一色笃厶2）/厶1 + S]E]厶2 / S Q E Q L、再假设厶二厶2，卩1 =笃=厂，贝I」_ _-EJ G1 —也）O 1 —O1 + S^/S2E2（2）若& = 8,弹簧不能伸缩，即为全约束下（即为上题情形），此时<7,=―耳內”对于CT?,以上讨论完全类似。
周益春-材料固体力学课后习题解答
第一章习题1 证明δ-e 恒等式jt ks kt js ist ijk e e δδδδ-= [证明] 习题20=ij ij b a[证明]ji ij ji ij b b a a -==; ji ji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ij b a b a b a b a 又因为所有的指标都是哑指标，ij ij pq pq b a b a =，所以02=aijbij ，即0=ij ij b a习题3 已知某一点的应力分量xx σ，yy σ，zz σ，xy σ不为零，而0==yz xz σσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。
[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，可求得该面上的应力为 由斜面正应力表达式j i ij n ννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sin sin cos 2cos yy xy xx n ++=剪应力为习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。
试写出其边界条件。
[解] 物体表面外表面法线的方向余弦为 带入应力边界条件，()3,2,1,,==j i n T j ij i σ，得习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为xx σ，yy σ，zz σ，xy σ，xz σ，yz σ，试求该点以柱坐标表示的应力分量。
[解] 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：由应力分量转换公式''''jn i m ij n m ββσσ=，求得 利用三角公式可将上面的式子改写为 习题6 一点的应力状态由应力张量()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σσσσσσσσσσc b c a b a ij 给定，式中，a ，b ，c 为常数，σ是某应力值，求常数a ，b ，c ，以使八面体面)e e e (n 321++=31上的应力张量为零[解] 由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：解得21-===c b a 习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力1σ，2σ，3σ必为实根 [证明]（1）设任意两个不同的主应力为k σ、l σ，对应的主方向为k n 、l n 。
3.7 位移解法
位移解法：
一、位移表示的平衡方程（Lame-Navier方程）的导出
以位移分量u i为基本未知量，导出位移表示的平衡方程，具体如下：
=,+,（且=,）
代逆本构关系（3.6节(3*)）式：
=,+,+,
代入3.6节(1)式
,+=,+,+,+=0(1) 注意：,=,和,=,
(2)式可写成：
,+(+),+=0(2) 或： ∇+(+),+=0
上式就是Lame-Navier方程（3个2阶椭圆方程）。
边界条件：
位移边界：=
力边界：=,+,+λ ,=
二、解L-N方程
1）无体力（=0）或常体力（=.）
Lame-Navier方程式(2)化为齐次方程：
,+(+),=0(3) 两边对求导（即求散度）：
,+(+),=0
,+(+),=(+2),=0
∇=0
说明e，Θ，，是调和函数。
对式(3)两边作调和：
∇+(+)(∇),=0
=0
∇=1(∇),+∇,=0
说明, ,是重调和函数。
调合函数：e，Θ，，
重调合函数：，，，e，Θ，，
注：（1）调和函数的各阶导数、及，,均为调和函数；
（2）调和函数、及，均为重调和函数。
书上指出：弹性力学的无/常体力问题在数学上归结为调和方程和重调和方程的边值问题。
（感觉应该是L-N齐次方程，即式(3)的边值问题？因为这几个调和方程是由式(3)导出来的性质，不能等价于L-N齐次方程。
）
2）变体力（外力场()随着位置不同而改变）
先找一个特解（不必满足边界），与上述齐次方程组(3)式的解叠加即可，再用边界条件定其中的系数。
周益春-材料固体力学课后习题解答
第一章习题1 证明δ-e 恒等式jt ks kt js ist ijk e e δδδδ-= [证明] 习题20=ij ij b a[证明]ji ij ji ij b b a a -==; ji ji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ij b a b a b a b a 又因为所有的指标都是哑指标，ij ij pq pq b a b a =，所以02=aijbij ，即0=ij ij b a习题3 已知某一点的应力分量xx σ，yy σ，zz σ，xy σ不为零，而0==yz xz σσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。
[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，可求得该面上的应力为 由斜面正应力表达式j i ij n ννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sin sin cos 2cos yy xy xx n ++=剪应力为习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。
试写出其边界条件。
[解] 物体表面外表面法线的方向余弦为 带入应力边界条件，()3,2,1,,==j i n T j ij i σ，得习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为xx σ，yy σ，zz σ，xy σ，xz σ，yz σ，试求该点以柱坐标表示的应力分量。
[解] 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：由应力分量转换公式''''jn i m ij n m ββσσ=，求得 利用三角公式可将上面的式子改写为 习题6 一点的应力状态由应力量()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σσσσσσσσσσc b c a b a ij 给定，式中，a ，b ，c 为常数，σ是某应力值，求常数a ，b ，c ，以使八面体面)e e e (n 321++=31上的应力量为零[解] 由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，知八面体面上应力量为零需满足如下方程组： 解得21-===c b a 习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力1σ，2σ，3σ必为实根 [证明]（1）设任意两个不同的主应力为k σ、l σ，对应的主方向为k n 、l n 。
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--第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：zxyz xy zz yy xx zx zx yz xy zz yy xx yz zx yz xy zz yy xx xy zx yz xy zz yy xx zz zx yz xy zz yy xx yy zx yz xy zz yy xx xx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++= （a ）当0===zx yz xy τττ时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。
当0===zx yz xy γγγ时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。
在主应变方向上，剪应力分量为：zzyy xx zx zz yy xx yz zzyy xx xy c c c c c c c c c εεετεεετεεετ636261535251434241++=++=++= （b ） 若使0===zx yz xy τττ，则式中xx ε，yy ε，zz ε具有非零解的条件为0636261535251434241=c c c c c c c c c （c ） 上式即为x ，y ，z 轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。
如果材料性能对称于一个平面，如Oxy 平面，则04645363526251615========c c c c c c c c ，而且ji ij c c =，此时（c ）式恒等于零。
在此情况下，当存在以x ，y ，z 轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为0434241==++=zx yz zz yy xx xy c c c ττεεετ （d ）若应变分量之间满足0434241=++=zz yy xx xy c c c εεετ，则此点的应变主方向和应力主方向重合。
如果材料性能对称于Oxy ，Oyz ，Ozx 三个平面，则有056342414====c c c c ，此时（d ）式总是满足的。
由此可知，当x ，y ，z 轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。
但是，当应变主方向和正交轴不重合时，一般它与应力的主方向是不重合的。
对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主方向和应变主方向总是重合的。
习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。
且进一步证明：当其主应力的大小顺序为321σσσ≥≥时，其主应变的排列顺序为321εεε≥≥。
解：各向同性条件下的广义虎克定律为()[]()[]()[])3___(1)2___(1)1___(1yy xx zz zz zz xx yy yy zz yy xx xx EE E σσνσεσσνσεσσνσε+-=+-=+-=将上式中的（1）－（2），（2）－（3），（3）－（1）分别得：()()()xx zz xx zz zz yy zz yy yy xx yy xx E E Eσσνεεσσνεεσσνεε-+=--+=--+=-111 即 ()()()()()()xx zz xx zz xx zz zz yy zz yy zz yy yy xx yy xx yy xx G EG E G E εεεενσσεεεενσσεεεενσσ-=-+=--=-+=--=-+=-212121 证明：当其主应力的大小顺序为321σσσ≥≥时，其主应变的排列顺序为321εεε≥≥。
Θ0>G 且321σσσ≥≥，利用上述正应力之差和正应变之差的关系式有321εεε≥≥。
习题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力2/45.0mm N p =作用下，测得体积应变5106.3-⨯-=e ，若泊松比v =0.3，试求该物体的弹性模量E 。
解：设kk zz yy xx σσσσ=++=Θ为第一应力不变量，而p zz yy xx -===σσσ，pa mm N p zz yy xx 621035.1/35.13⨯-=-=-=++=Θσσσ据各向同性条件下的广义虎克定律为有：Θ-=Ee ν21，其中体积应变5106.3-⨯-=++=zz yy xx e εεε，故有()2421065/105.1/105.11035.1106.33.02121mm N m N e E ⨯=⨯=⨯-⨯-⨯-=Θ-=-ν 。
习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力p ，且横向变形完全被限制住（如图所示）。
试求应力与应变的比值（称为名义杨氏模量，以c E 表示）。
解：设柱体的轴线z 轴，p zz -=σ。
因为横向变形被限制， 所以0==yy xx εε。
据各向同性条件下的广义虎克定律()[]()[]()[]yy xx zz zz zz xx yy yy zz yy xx xx EE E σσνσεσσνσεσσνσε+-==+-==+-=10101得：()zz yy xx σσνσ+=，()zz xx yy σσνσ+=，将此两式相减得：()xx yy yy xx σσνσσ-=-，而泊松比v 的理论取值范围为2/11<<-v ，故ννσσσ-==1zzyy xx ，将其代入广义虎克定律得： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=νσνσνσσε121212zz zz xx zz zz E E从而()()()νννεσ2111-+-==E E zz zz c ，得解。
习题5、在某点测得正应变的同时，也测得与它成60。
和90。
方向上的正应变，其值分别为6010100-⨯-=ε，6601050-⨯=ε，69010150-⨯=ε，试求该点的主应变、最大剪应变和主应力（25/101.2mmN E ⨯=，3.0=ν）。
解：设该点的x ，y 轴向的正应变分别为x ε，y ε，剪应变为xy γ。
任意方向α（α为与x 轴正向的夹角）上的正应变为：αγαεεεεεα2sin 22cos 22xyyx yx --++=，所以220yx yx εεεεε-++=，0060120sin 2120cos 22xyyx yx γεεεεε--++=，2290yx yx εεεεε--+=，解由此三式组成的方程组得该点的x ε，y ε和xy γ分别为：6906010150,10100--⨯==⨯-==εεεεy x ,66090010350343-⨯=-+=εεεγxy 。
（1）计算该点的主应变：图3-1由x ε、y ε 、xy γ和2221222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=⎭⎬⎫xy y x y x γεεεεεε得该点的主应变为： max 611029.157εε=⨯=-，min 621029.107εε=⨯-=-。
（2）该点的最大剪应变621max 1058.264-⨯=-=εεγ。
（3）计算该点的主应力： 现611029.157-⨯=ε、621029.107-⨯-=ε、03=ε，据向同性条件下的广义虎克定律得εI σG e 2+=λ，即()()ij ij kk ij Ee Eενδνννσ++-+=1211，所以 ()()11111211ενδνννσ++-+=Ee Ekk ()()22221211ενδνννσ++-+=Ee Ekk ()()33331211ενδνννσ++-+=Ee Ekk 将611029.157-⨯=ε、621029.107-⨯-=ε、03=ε、63211050-⨯=++=εεεkk e 及25/101.2mm N E ⨯=、3.0=ν代入上面三式得：21/46.31mm N =σ,22/27.11mm N -=σ,23/06.6mm N =σ。
习题6、根据弹性应变能理论的应变能公式ij ij W εσ21=，导出材料力学中杆件拉伸、弯曲及圆轴扭转的应变能公式分别为：()dx dx du EA dx EA x N U l l 20022121⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛==拉伸()dx dx d EI dx EI x M U ll⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0222022121ω弯曲()dz dz d GI dz GI z M U lP lP 20022121⎪⎭⎫⎝⎛==⎰⎰φ扭转。
解：（1）杆件拉伸的应变能公式推导：设杆件横截面积为A ，弹性模量为E ，如图建立坐标系。
杆件为单向拉伸，只存在轴向的伸长或缩短，轴向纤维间无剪切变形，即0===zx yz xy γγγ。
同时轴向纤维间无相互作用力，即0==zz yy σσ。
据弹性应变能理论的应变能公式xx xx ij ij W εσεσ2121==（其余分量产生的应变能为零）。
现在杆件上x 处取一微段dx ，其体积为Adx dV =，其应变能dUAdx WdV dU xx xx εσ21==,而EAx N E A x N xx xx xx )()(===σεσ， dx EAx N Adx EA x N A x N dU )(21)()(212=⋅⋅⋅=∴整个杆件的拉伸应变能为： dx EA x N dU U l L⎰⎰==002)(21拉伸而dxduEE dx du xx xx xx ===εσε,， 故 dx dx du EA Adx dx du E dx du Adx WdV dU xx xx 2212121⎪⎭⎫⎝⎛=⋅===εσ整个杆件的拉伸应变能为：dx EA x N dx dx du EA dU U lll⎰⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛==02002)(2121拉伸 （2）杆件弯曲的应变能公式的推导：在材料力学中杆件在)(x M 外力作用下发生纯弯曲，仅轴向纤维发生拉伸或压缩变形（其中中性层以内的纤维层受压缩，中兴层以外的纤维层伸长），而轴向纤维之间无相互作用的内力，即0===zx yz xy γγγ和0==zz yy σσ。
在杆件上沿轴向去取一微段dx ，在此微段的横截面上取一个微面dA ，在dA 上的应力可为相同的xx σ，而EIyx M E I y x M xx xx xx )(,)(===σεσ。
222)(212121y EI x M W xx xx ij ij ===∴εσεσ，Wdydzdx WdAdx WdV dU ===。
图3-2故dx dz dy y EI x M WdV dU U lb b h h ll⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===--0222222200)(21弯曲，其中)(x M 只与x 有关。