5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)
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高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
返回
求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个 重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行 运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性
质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一
定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．
返回
α＋β α－β π π π π 5．“已知－ ≤α≤ ，－ ≤β≤ ”，求 ， 的取值 2 2 2 2 2 2 范围．
返回
(5)如果a>b>0，那么an ＞ bn(n∈N，n≥2)．
＞ n b(n∈N，n≥2)． (6)如果a>b>0，那么 a 3．对上述不等式的理解
n
使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条
件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如： (1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同 乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得 同向不 等式；②c＝0时得 等式 ；③c<0时得 异向 不等式．
返回
返回
1．不等式的基本性质
返回
1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总 比左边的数 大 ． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 差a －b的符号 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的 差的符号 ．
π π 解：∵－ ≤α≤ ， 2 2 π π － ≤β≤ ， 2 2 π α＋β π ∴－π≤α＋β≤π.∴－ ≤ ≤ . 2 2 2 π π π π 又∵－ ≤α≤ ，－ ≤－β≤ ， 2 2 2 2 π α－β π ∴－π≤α－β≤π.∴－ ≤ ≤ . 2 2 2 α＋β α－β π π ∴ 、 的取值范围均为[－ ， ]． 2 2 2 2
5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)
24 2. 巳知x 0, 则6x 的最小值是____, x 此时x=_____.
3. 巳知x, y都是正数, x y 求证: 2. y x
4.证明
（1）lg x logx 10 2 ( x 1) 证：∵ x 1 于是 ∴ lg x 0
logx 10 0
lg x logx 10 2 lg x lg x 10 2
2、用极值定理求最值的三个必要条
件：一“正”、二“定”、三“相等”
a+b 由公式a +b 2ab, 2 可得以下结论：
2 2
ab
a b (1) 2( a、b同号)； b a a b （2） 2( a、b异号)。 b a
练习2
1.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小 值 是 _______,此时x=___,y= _____
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
注意:利用算术平均数和集合平均 数定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.
练习4
求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.
例5.
1、已知 求
a, b, x, y R 且
1 2 a 2
a
思考 1
当a 0, b 0, 在a b 2ab中
2 2
以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
a b 2 ab
基本不等式
定理２（均值定理）
如果 a , b 是正数，那么
ab
(当且仅当 a b 时取“ = ”号）．
ab 2
5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)
ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab 当
ab ab a b 2
ab ab 2
思考 3
ab a b 2ab 和 2
2 2
ab
成立的条件相同吗？
2 2
如：1) (5) 2 (1) (5)成立， ( (1) (5) 而 (1) (5) 不成立。
1 例3. 若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x x 1
有最小值，最小值为几？
解：∵
x 1
∴
x 1 0
1 0 x 1
1 1 1 1 2 ( x 1) 1 2 1 1 ∴x = x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 当且仅当 x 1 x x 1 即 x 0 时 x 1 有最小值1
（２）已知
a, b, c, d
都是正数，求证
(ab cd )(ac bd ) 4abcd
证明：由 a, b, c, d 都是正数，得
ac bd ab cd ac bd 0 ab cd 0 2 2 (ab cd )(ac bd ) abcd 4
即(ab cd )(ac bd ) 4abcd
练习1
1. 巳知a 0, b 0, 1 1 求证 : ( a b)( ) 4. a b
2. 巳知a, b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2
求证：（1）在所有周长相同的矩形 中，正方形的面积最大；（2）在所有面 积相同的矩形中，正方形的周长最短。
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
5.3证明不等式的基本方法(1) 课件(人教A版选修4-5)
2 2
2
ab b ) 0
2
即： 5 b 5 a 2 b 3 a 3 b 2 a 本题变形的方法— 因式分解法
例4
比较a
a
b 和 a
b
b
b 的
a
例5.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半 时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以 速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙 两人谁先到达指定地点。
例2.已知 a , b , m 都是正数，并且 a b , 求证
证明：
a m b m a b
b ( a m ) a (b m ) b (b m )
a m b m
a b
m (b a ) b (b m )
∵ a , b , m 都是正数， 并且 a b ,
ab>0a>b，ab<0a<b，ab=0a=b
•
比较法是证明不等式的一种最基本、
最重要的一种方法，用比较法证明不等 式的步骤是： • 作差—变形—判断符号—下结论。 • 作商—变形—与1比较大小---下结论。 • 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行 恒等变形。
6.3 不等式的证明（1)--比较法 例1.求证： 3 3 x x
b ) b (a
2 3 3
(a
2
b )( a
b ) ( a b )( a b ) ( a
ab b )
2
都是正数， ∴ a b 0 , a 2 a b b 2 0 ∵ a,b 又∵ a b , ( a b ) 0
( a b )( a b ) ( a
2
ab b ) 0
2
即： 5 b 5 a 2 b 3 a 3 b 2 a 本题变形的方法— 因式分解法
例4
比较a
a
b 和 a
b
b
b 的
a
例5.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半 时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以 速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙 两人谁先到达指定地点。
例2.已知 a , b , m 都是正数，并且 a b , 求证
证明：
a m b m a b
b ( a m ) a (b m ) b (b m )
a m b m
a b
m (b a ) b (b m )
∵ a , b , m 都是正数， 并且 a b ,
ab>0a>b，ab<0a<b，ab=0a=b
•
比较法是证明不等式的一种最基本、
最重要的一种方法，用比较法证明不等 式的步骤是： • 作差—变形—判断符号—下结论。 • 作商—变形—与1比较大小---下结论。 • 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行 恒等变形。
6.3 不等式的证明（1)--比较法 例1.求证： 3 3 x x
b ) b (a
2 3 3
(a
2
b )( a
b ) ( a b )( a b ) ( a
ab b )
2
都是正数， ∴ a b 0 , a 2 a b b 2 0 ∵ a,b 又∵ a b , ( a b ) 0
( a b )( a b ) ( a
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
1
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)
ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab 当
ab ab a b 2
ab ab 2
思考 3
ab a b 2ab 和 2
2 2
ab
成立的条件相同吗？
2 2
如：1) (5) 2 (1) (5)成立， ( (1) (5) 而 (1) (5) 不成立。
2
∴
x y 2 P
∵上式当 x y 时取“=”
x ∴当
1 2 xy ∵上式当 x y 时取“=” ∴当 x y 时， 有最大值 4 S
S 2当 x y S (定值)时， xy 2
y 时， x y 有最小值2 P
1 2 ∴ xy S 4
注意：
1、最值的含义（“≥”取最小 值，“≤”取最大值）
b2 (2)已知:a, b R , 且a 2 1, 求a 1 b 2 的最大值. 2 1 1 (3)设 为锐角,求(sin )(cos )的最小值. sin cos
作业
课本作业；P1０
５、６
即(ab cd )(ac bd ) 4abcd
练习1
1. 巳知a 0, b 0, 1 1 求证 : ( a b)( ) 4. a b
2. 巳知a, b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2
求证：（1）在所有周长相同的矩形 中，正方形的面积最大；（2）在所有面 积相同的矩形中，正方形的周长最短。
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
注意:利用算术平均数和集合平均 数定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.
5.5.1利用平均不等式求最大(小)值 课件(人教A版选修4-5)
1 例2 求函数f ( x ) x (1 3 x ) , x [0, ] 的最大值. 3
2
1. 若n个正数的和是一个常数,那么当且 仅当这n个正数相等时,它们的积有最大值.
简称：和定积最大 2. 高次函数造和定
3 36 3 2 2 1.函数y 2 x ( x 0)的最小值为 ____ . x 16 2 2.函数y 4 x 2 的最小值是 ____ 8 2 ( x 1) 1 3 3.若a , b R 且a b, 则a 最小值为 __ (a - b)b 4 2 4.函数y x (2 x )(0 x 2)的最大值是 （ D） 32 16 A、0 B、1 C、 27 D、27
9 9 1 y 4 x 2 2 4 x 2 12 x x x
1. 若n个正数的积是一个常数,那么当且仅 当这n个正数相等时,它们的和有最小值. 简称：积定和最小
2. 应用定理时需注意 “一正二定三相等” 这三个条件缺一不可;不可直接利用定理时， 要善于转化; 分式函数造积定的策略:均分.
9 例1 求函数 y 4 x 2 ( x 0) 的最小值． x 9 解：由 x 0 知 x 0, 2 0 ，则 x
9 9 9 3 3 2x 2x y 4x 2 2x 2x 2 3 3 36 2 x x x 9 9 由2 x 2 及x 0, 得x 3 x 2
当x
3
9 3 时, ymin 3 36 . 2
9 例1 求函数 y 4 x 2 ( x 0) 的最小值． x
下面解法是否正确？为什么？
9 解法1：由 x 0 知 x 0, 2 0 ，则 x
9 9 9 y 4 x 2 x 3x 2 33 x 3x 2 9 x x x
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1 例3. 若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x x 1
有最小值，最小值为几？
解：∵
x 1
∴
x 1 0
1 0 x 1
1 1 1 1 2 ( x 1) 1 2 1 1 ∴x = x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 当且仅当 x 1 x x 1 即 x 0 时 x 1 有最小值1
练习3
1 1、求函数y= x的最小值( x 3)； x-3 2 x 8 2、求函数y= 的值域. x 1 4 3、求证 a 7(其中a 3) a 3
已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大 值．
例4
12 1 若x 0, 求f ( x) 3x的最小值； x 12 (2)若x 0, f ( x) 3 x的最大值。 x
概念
ab 2
为ａ、ｂ
• 的算术平均数， ab 称为ａ、ｂ的几何平均数。
均值定理可以描述为：
两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 它们的几何平均数
均值定理的 几何意义
C
ab ab 2 2
OC CD
ab 2
ab ab
ab
A
a
.o
D
D
B
半径不小于半弦
E
思考 2
当且仅当
a b时
ab 2
ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab 当
ab ab a b 2
ab ab 2
思考 3
ab a b ？
2 2
如：1) (5) 2 (1) (5)成立， ( (1) (5) 而 (1) (5) 不成立。
a b c ab bc ca
2 2 2
1 a b c 2ab 2bc 2ca
2 2 2
3ab 3bc 3ca
1 ab bc ca 3
注意:本题条件a,b,c为实数
练习5
1 9 (1)已知:x, y R , 且 1, 求x y的最小值. x y
2、用极值定理求最值的三个必要条
件：一“正”、二“定”、三“相等”
a+b 由公式a +b 2ab, 2 可得以下结论：
2 2
ab
a b (1) 2( a、b同号)； b a a b （2） 2( a、b异号)。 b a
练习2
1.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小 值 是 _______,此时x=___,y= _____
≤ （2） x log x 10 ？ 2 (0 x 1) lg __ 解：∵ 0 x 1
lg x 0 logx 10 0
于是 ( lg x) ( logx 10) 2 从而 lg x logx 10 2
1 5、求函数y x 的值域. x 解: 1 1 (1)当x 0时, x 2 x 2 x x 1 (2)当x 0时, x, R , x 1 1 x 2 ( x) ( ) 2 x x 1 x 2 y (,2] [2,). x
24 2. 巳知x 0, 则6x 的最小值是____, x 此时x=_____.
3. 巳知x, y都是正数, x y 求证: 2. y x
4.证明
（1）lg x logx 10 2 ( x 1) 证：∵ x 1 于是 ∴ lg x 0
logx 10 0
lg x logx 10 2 lg x lg x 10 2
2
a，b R a b 2ab 成立的条件_______
2 2
ab 2
a，b R ab 成立的条件______
典例探讨
例1 求证：
（1）a b c ab bc ac
2 2 2
变式: 求证:2a +2b +2c 2ab 2bc 2ca
2 2 2
1 2 a 2
a
思考 1
当a 0, b 0, 在a b 2ab中
2 2
以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
a b 2 ab
基本不等式
定理２（均值定理）
如果 a , b 是正数，那么
ab
(当且仅当 a b 时取“ = ”号）．
ab 2
• 如果ａ、ｂ都是正数，我们就称
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
注意:利用算术平均数和集合平均 数定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.
练习4
求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.
例5.
1、已知 求
a, b, x, y R 且
2
∴
x y 2 P
∵上式当 x y 时取“=”
x ∴当
1 2 xy ∵上式当 x y 时取“=” ∴当 x y 时， 有最大值 4 S
S 2当 x y S (定值)时， xy 2
y 时， x y 有最小值2 P
1 2 ∴ xy S 4
注意：
1、最值的含义（“≥”取最小 值，“≤”取最大值）
变形.
已知
x, y 都是正数，求证：
1 如果积
xy
是定值 P, 那么当 x y 时,和 x y
有最小值 2 P 2 如果和 x y 是定值
S , 那么当 x y 时,积
xy
1 2 S 有最大值 4 证：∵ x, y R ∴ x y xy
x 1当 xy P （定值）时， y P 2
的最小值
x y
a b 1， x y
a b ay xb x 解： y ( x y) 1 ( x y)( ) a b x y x y
ay xb 2 ab2 ( a b) x y
ay xb 当且仅当 x y
即
x a 时 y b
2
x y取最小值( a b )
2、已知 : a b c 1
1 求证： ab bc ca 3
证明：
a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca
a b c 1 2 (a b c)
1 2 2 a b 2ab 2 2 b c 2bc c 2 a 2 2ca
（２）已知
a, b, c, d
都是正数，求证
(ab cd )(ac bd ) 4abcd
证明：由 a, b, c, d 都是正数，得
ac bd ab cd ac bd 0 ab cd 0 2 2 (ab cd )(ac bd ) abcd 4
ab ab 2
重要不等式
a, b R ，那么 2 2 a b 2ab （当且仅当 a b 时取“=”
定理１：如果 号）．
我们可以用比较法证明．
探究
• 你能从几何的角度解释定理１吗？ • 几何解释１－课本第五页．
几 何 解 释 ２
a 2 b2
b
a
动画
几何解释３
a
b
1 2 b 2
b2 (2)已知:a, b R , 且a 2 1, 求a 1 b 2 的最大值. 2 1 1 (3)设 为锐角,求(sin )(cos )的最小值. sin cos
作业
课本作业；P1０
５、６
即(ab cd )(ac bd ) 4abcd
练习1
1. 巳知a 0, b 0, 1 1 求证 : ( a b)( ) 4. a b
2. 巳知a, b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2
求证：（1）在所有周长相同的矩形 中，正方形的面积最大；（2）在所有面 积相同的矩形中，正方形的周长最短。