高数一总复习
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第一章 函 数1. 1预备知识一元二次函数、方程和不等式不等式： 1大于取两边，大于大的，小于小的； 2 小于取中间。
绝对值不等式：|x|>a(a>0) x>a 或x<-a|x|<a 等价于 -a<x<a一元二次方程的两个根分别为x1,x2则有韦达定理：x 1+x 2= b a - x 1*x 2= c a 2b a-为曲线对称轴 不等式：算术平均值大于等于几何平均值：2a b+≥ a=b 时才相等. 因式分解与乘法公式22222222332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2)n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 等差数列和等比数列()()()11111 22n n n n a a n d n a a n n n S S na d=+-+-==+1.等差数列 通项公式： 前项和公式或()()1100n n n GP a a qa q -=≠≠2.等比数列 通项公式，()()()11.1111n n n a q q S qna q ⎧-⎪≠=-⎨⎪=⎩前项和公式 求定义域：1:分式的分母不能为0 2:根号内的大于等于0 3:对数内的要大于0 （对数为分母时真数不等于1）y=sinx, 奇函数 y=cosx, 偶 定义域（-∞，+∞） 值域：-1 <= x <= 1y=tanx, 定义域{x | x ∈R, X ≠k π+2π} k 为整数 值域：（-∞，+∞）奇函数y=cotx 定义域{x | x ∈R, X ≠k π} k 为整数 值域：（-∞，+∞）奇函数判断奇偶性：f(-x)=f(x) 偶cosx,secx F(-x)=- f(x) 奇 sinx tanx cotx 等反函数：1先解出一个干净的Y ， 2 再把Y 写成X ，X 写成Y 就成了，复合函数要会看，谁是外衣，谁是内衣，P36页的公式要记住，初等函数的几个常见的图形要记住，初等数学基础知识 一、三角函数1．公式同角三角函数间的基本关系式：·平方关系： sin 2(α)+cos 2 (α)=1; tan 2 (α)+1=sec 2 (α); cot 2 (α)+1=csc^2(α) ·商的关系：tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα ·倒数关系：tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式：sin(2x)=2sinx·cosxcos(2x)=cos 2(x)-sin 2 (α)=2cos 2(x)-1=1-2sin 2 (x) tan(2x)=2tanx / [1-tan^2(x)] ·半角公式：sin 2 (α/2)=(1-cosα)/2 cos 2 (α/2)=(1+cosα)/2tan 2 (α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan 2 (α/2)] cosα=[1-tan 2 (α/2)]/[1+tan 2 (α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan 2 (α/2)] ·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]六边形记忆法：1：对角线上两个函数的乘积为12：阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点三角函数值的平方如：tan 2x+1= sec 2x 3:任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值和乘积。
高数大一必考知识点归纳
高数大一必考知识点归纳高数是大一必考的一门重要课程，全面掌握其中的知识点对于大家的学习和未来的学习生涯都至关重要。
为了帮助大家更好地备考高数，本文将对大一必考的高数知识点进行归纳总结，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质：函数的定义、函数的图像、函数的奇偶性、函数的周期性等。
1.2 极限的概念与性质：函数极限的定义、左极限和右极限、极限的四则运算性质等。
1.3 无穷大与无穷小：无穷小的定义、无穷小的性质、无穷大的定义、无穷大的性质等。
2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算方法：导数的定义、导数的基本公式、常见函数的导数、高阶导数等。
2.2 微分的概念与计算方法：微分的定义、微分的运算法则、微分中值定理等。
2.3 高阶导数与泰勒展开：高阶导数的概念、泰勒展开式的定义与应用等。
3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与计算方法：不定积分的定义、基本积分法、换元积分法等。
3.2 定积分的概念与计算方法：定积分的定义、定积分的性质、定积分的计算方法等。
3.3 微积分基本定理：微积分基本定理的概念、反导数与不定积分、定积分与面积计算等。
4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念：微分方程的定义、微分方程的阶、常微分方程与偏微分方程等。
4.2 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。
4.3 高阶线性微分方程：二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程等。
5. 多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质：多元函数的定义、多元函数的图像、多元函数的极限、多元函数的连续性等。
5.2 偏导数的概念与计算方法：偏导数的定义、偏导数的几何意义、偏导数的运算法则等。
5.3 高阶偏导数与全微分：高阶偏导数的概念、全微分的定义与计算方法等。
综上所述，以上列举的知识点是大一必考的高数知识点的主要内容。
大家在备考过程中可以根据这些知识点进行系统性的学习和复习，理解每个知识点的概念、性质和计算方法，并通过大量的练习题加深对知识点的理解和掌握。
高数期末必考知识点总结大一
高数期末必考知识点总结大一高数期末必考知识点总结高等数学是大一学生必须学习的一门重要课程，它在培养学生的数学思维、分析问题和解决问题的能力方面起着重要的作用。
期末考试是对学生整个学期所学知识的总结和检验，因此掌握必考的知识点至关重要。
本文将对高数期末必考的知识点进行总结和梳理，以帮助大家更好地备考。
一、函数与极限1. 函数的基本概念和性质：定义域、值域、奇偶性等。
2. 极限的定义与性质：极限存在准则、无穷大与无穷小、夹逼定理等。
3. 重要极限的求解方法：基本初等函数的极限、无穷小的比较、洛必达法则等。
二、导数与微分1. 导数的定义与性质：导数的几何意义、导数的四则运算、高阶导数等。
2. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3. 隐函数与反函数的导数：隐函数求导、反函数的导数等。
4. 微分的定义与性质：微分的几何意义、微分中值定理等。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的线性性质、换元积分法等。
2. 基本初等函数的不定积分：幂函数的不定积分、三角函数的不定积分等。
3. 定积分的定义与性质：定积分的几何意义、定积分的性质等。
4. 定积分的计算方法：换元法、分部积分法、定积分的性质等。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶数、解的概念等。
2. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程等。
3. 高阶线性微分方程：齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。
4. 常微分方程的初值问题：初值问题的存在唯一性、解的连续性。
五、级数1. 数项级数的概念与性质：数项级数的定义、级数的收敛与发散、级数的性质等。
2. 常见级数的判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
3. 幂级数：幂级数的收敛半径、收敛域的判定、幂级数的和函数等。
综上所述，高数期末必考的知识点主要包括函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及级数等。
在备考期末考试时，同学们要重点复习这些知识点，并通过大量的练习题来巩固和提高自己的理论水平和解题能力。
高数大一复习总结
高等数学（本科少学时类型）第一章 函数与极限第一节 函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）○邻域（去心邻域）（★）第二节 数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞=【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >，∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节 函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<，∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>，∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()A x f x =∞→lim第四节 无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ）1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；）2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节 极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110 则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<（特别地，当()()0limx x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →-- 【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()2333331limlim lim 9333x x x x x x x x x →→→--====-+-+其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()00233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【题型示例】求值：93lim23--→x x x 【求解示例】36x →=== 第六节 极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：1sin lim0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→xxx（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-） ○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x【求解示例】第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +-2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→【求解示例】第八节 函数的连续性○函数连续的定义（★）○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节 闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0f g C ξξ--=（10<<ξ）4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ第二章 导数与微分第一节 导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=bax e x f x 1 ，>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b 【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程（或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程）【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=|2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=-法线方程：()()()1y f a x a f a -=--'第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=±2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节 反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f 1-的导数 【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11f x f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】第四节 高阶导数○()()()()1n n f x f x -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n nnn d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★）【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ……第五节 隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程y e x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由y e x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1y y e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111 法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】()()t t dx dy ϕγ''=.()22dy d y dx dx t ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭='第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理○引理（费马引理）（★）○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，x e e x >⋅【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，x e e x >⋅【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立， 化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈，∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=，即证得：当1x >时，x e e x >⋅第二节 罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件， 则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭ 【求解示例】()()()()00002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim x x x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】⑸0∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan1limx x x→⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x=-+-的单调区间【求解示例】1．∵函数()f x在其定义域R上连续，且可导∴()261812f x x x'=-+2．令()()()6120f x x x'=--=，解得：121,2x x==3．（三行表）4．∴函数()f x的单调递增区间为(][),1,2,-∞+∞；单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x>时，1xe x>+【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10x x e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1x e x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩3．（四行表）4．⑴函数2313y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节 函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ； 令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=，解得：121,1x x =-=3．（三行表）4．又∵()()()12,12,318f f f -=-==-∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====-第六节 函数图形的描绘（不作要求）第七节 曲率（不作要求）第八节 方程的近似解（不作要求）第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念（★★）⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）第二节 换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★）（()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）【题型示例】求221dx a x+⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d Ca x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求 【求解示例】○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：：令t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctanxt a=，则原式可化为sec a t ； ⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：a令sin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsinxt a=，则原式可化为cos a t ； b令sec x a t =（02t π<<），于是arccosat x=，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求⎰（一次根式）【求解示例】2221tx tdx tdttdt dt t C Ct=-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求【求解示例】第三节分部积分法○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x=，()v g x=udv uv vdu=-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：幂、三、指”本步骤：积函数排序；⑵就近凑微分：（v dx dv'⋅=）⑶使用分部积分公式udv uv vdu=-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx'=⋅⎰⎰，判断a．若v u dx'⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b．若v u dx'⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C2xe x dx⋅⎰sinxe xdx⋅⎰()1sin sin cos2x xe xdx e x x C⋅=-+⎰第四节有理函数的不定积分○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式 ○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数na m=-则参数,b cp q a a==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为： 其中参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法） 【求解示例】第五节 积分表的使用（不作要求）第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念与性质○定积分的定义（★）（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰⑵()0aa f x dx =⎰⑶()()bba a kf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰ ⑷（线性性质）⑸（积分区间的可加性）⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0ba f x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求）第二节 微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x-→⎰【求解示例】第三节 定积分的换元法及分部积分法○定积分的换元法（★★★）⑴（第一换元法）【题型示例】求2121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足：a ．,αβ∃，使得()(),ab ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰【题型示例】求4⎰【求解示例】⑶（分部积分法）○偶倍奇零（★★）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立：⑴若()()f x f x -=，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，则()0a a f x dx -=⎰ 第四节 定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节 定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节 反常积分（不作要求）如：不定积分公式21arctan 1dx x C x=++⎰的证明。
高数(一) 复习题
高等数学复习题一、填空题：1、=-+∞→1632lim x x x2、=-→xx x 20)22(lim 3、如果⎩⎨⎧>+≤+==1ln 112)(1)(x x a x x x f x x f 处连续且在，则=a4、曲线32x y =在点（1，1）出的切线方程5、设 y xe y +=1，则=dxdy6、设 为参数）t y e x tt (3⎩⎨⎧==-，则=dx dy7、设)('2)(x f e y x f =存在且，则=dy 8、曲线x x y ln 2=的拐点是9、dx xx x⎰-sin cos 2cos =10、=+⎰dx x x 2111、=-+∞→x x x x 7833lim 32 12、=+∞→x x x2)21(lim13、如果⎩⎨⎧>+≤==πππx x a x x x f x x f 处连续且在cos )()(，则=a14、曲线x y sin =在点π=x 处的切线方程 15、设 xy e y x =+，则=dxdy16、函数221213)(xx x f --+=的全部原函数为17、x →=___________.18、函数3212--+=x x x y 的连续区间是 .19、曲线y =(1，1)处的切线方程 .20、设为参数）t tt y t t x (3232⎩⎨⎧-=-=，则=dx dy . 21、若)0(f '存在，且0)0(=f 则=∆∆→∆xx f x )2(lim 0. 22、函数()3x f x e =的全部原函数为： .23、若()ln 2f x dx x x C =+⎰，则()f x = .24、2tan xdx =⎰.25、若23ln tan )(++=x x x f ，则=')(x f 。
26、已知：)(x f 是奇函数，且30=')(x f 则=-')(0x f 。
27、函数x x y ln -=22在区间 是单调减少。
考研高数一复习计划基础
考研高数一复习计划基础复习计划一：1. 完整复习基础知识：高等数学一的基础知识是考研数学的重要基础，包括函数、极限、导数与微分、积分等内容。
建议先从教材中系统复习这些基础概念和公式。
2. 解题技巧强化：高等数学一的考点较多，因此需要掌握解题的技巧和方法。
可以通过做大量的习题，熟悉各类题型，并注意总结解题思路和方法。
3. 练习真题：考研高数一的真题是复习的重点。
每年都会有一些重复的考点和题型，熟悉真题可以对考试形式有更好的把握，建立信心。
4. 知识联结：高等数学一的知识点之间有一定的联系，比如导数和极限的关系，积分的应用等。
在复习过程中，要注意将知识点相互关联，形成知识体系。
5. 制定时间表：制定一个合理的复习时间表，将每天的学习时间分配给不同的模块，确保每个知识点都得到充分的复习。
同时，要合理安排休息时间，避免过度劳累。
6. 提取重点难点：根据教材和历年真题，提取出重点和难点知识点，重点攻克这些内容。
可以结合教材和参考书籍，寻找更多的例题和习题进行练习。
7. 制作复习资料：可以整理一些复习笔记、思维导图、公式总结等复习资料，方便日后查阅和复习。
8. 划定优先复习范围：由于高等数学一的内容较多，不可能面面俱到地进行复习。
可以根据历年真题和备考资料，划定优先复习的范围，集中精力进行复习。
9. 多维度练习：除了做高等数学一的试题，还可以尝试做一些相关的试题，比如工程数学、概率论等。
这样可以提高解题能力和对数学的理解。
10. 考前模拟冲刺：考研高数一的复习最后阶段，要进行模拟冲刺，做大量的模拟考试，熟悉考试形式和节奏，提高应试能力。
同时，要注意针对性地进行错题整理和巩固。
高数大一期中知识点
高数大一期中知识点（此处应该是“高数大一期中知识点”的内容，请根据题目自行判断并按照合适的格式写出文章。
以下是一个示范的高数大一期中知识点的文章。
）在大一期中考试中，高等数学是必考科目之一。
本文将对高数大一期中考试的重点知识点进行梳理和总结，供同学们复习备考之用。
一、极限与连续在极限与连续的章节中，重要的知识点有极限的定义、基本性质以及常见函数的极限计算方法。
在计算极限时，需要掌握使用代数运算、夹逼定理、洛必达法则等方法。
同时，连续函数与间断函数的判断也是重中之重。
二、导数与微分导数与微分是高等数学中的重要概念。
在导数与微分的章节中，需要熟悉导数的定义、基本性质、常见函数的导数计算方法以及高阶导数的求解。
此外，微分的定义和微分中值定理也需要掌握。
三、函数与曲线函数与曲线是高等数学的核心内容之一。
在函数与曲线的章节中，需要熟悉函数的性质、函数图像的绘制方法、函数的分类与变化规律等。
此外，掌握常见函数图像的特征和方程变换的方法也是必要的。
四、定积分与不定积分定积分与不定积分是高等数学的重点内容。
在定积分的章节中，需要掌握定积分的定义、性质、计算方法以及定积分的几何和物理应用。
同时，在不定积分的章节中，需要掌握不定积分的定义、基本性质、换元积分法和分部积分法等计算方法。
五、多元函数与偏导数多元函数与偏导数是高等数学的扩展内容。
在多元函数与偏导数的章节中，需要熟悉多元函数的定义、性质、偏导数的计算方法以及二元函数的极值判定方法。
此外，对累次积分的概念和计算方法也需要有一定的了解。
综上所述，以上列举了高数大一期中考试的重点知识点。
希望本文对同学们的复习备考有所帮助。
祝大家取得优异的成绩！。
高数总复习1
x 1 ctg x
1 x
( a>0 , a≠1 )
(7) lim(1+ ln sin )x x→ 2 x
π
1+3x − 1+ x (8) lim x→ 0 2x
tan x2 (9) lim x→ 0 x 1−cos 2
(ex −1 ctgx ) (10) lim x→ 0 cos x
在 （， 两 线 ） 7. 求曲线 xey + y =1 点 10 处 切 ，
法 的 程 线 方
x = cos(t2) 1 d2 y , cosudu,求 8. 设 , t2 2 dx y = tan x(t ) −∫ 2 u 1
9. 已知 y = f (x
x
[
1 2 x
)] , 其中f为可微正值函数,求 dy
15. 一、填空
定积分的几何意义
1 x
lim lim 1、设f(x)=cosx+ e ，则 x→0 f(x)= 0, x→0+ f(x)= +∞。 1 ⋅ sin x 的水平渐近线为 y = 0 ， 2、曲线y = x −1 垂直渐近线为 x =1。
−
n 3、已知 lim b 3 =A（A =A A ≠ 0 ，A A n→ n −(n −1 k ∞ )
ln cos x dx 2. ∫ 2 cos x 1 x dx 3. ∫ 2 1+ x
1 dx 4. ∫ 2 x(1+ ln x) 1 dx 5. ∫ 2 2 (1+ x )
6. ∫ 0 7.
ln2
ex −1 dx
∫
π
2 0
xsin 2 xdx
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第一章函数及其图形例1：（）.A. {x | x>3}B. {x | x<-2}C. {x |-2< x ≤1}D. {x | x≤1}注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。
例2：函数的定义域为（）.解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。
由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。
例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。
B中的函数是相同的。
因为对一切实数x都成立，故应选B。
C中的两个函数是不同的。
因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。
D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。
例4：设解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。
例5：f(2)没有定义。
注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。
例6：函数是（）。
A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。
由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。
事实上，对任意的x，由，可得，从而有。
可见，对于任意的x，有。
因此，所给函数是有界的，即应选择B。
例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。
在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)为奇函数，故应选 A 。
例 8：函数的反函数是（）。
A．B．C．D．解：于是，是所给函数的反函数，即应选C。
例 9：下列函数能复合成一个函数的是（）。
A．B．C．D．解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)≤0，不在f (u)的定义域内，不能复合。
在(D)中，u=g(x)=3也不满足f(u)的定义域，也不能复合。
只有(C)中的定义域内，可以复合成一个函数，故应选C。
例 10：函数可以看成哪些简单函数复合而成：解：，三个简单函数复合而成第二章极限与连续例1：下列数列中，收敛的数列是（）A. B. C. D.解：（A）中数列为0，1，0，1，……其下标为奇数的项均为0，而下标为偶数的项均为1，即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。
由于，故（B）中数列发散。
由于正弦函数是一个周期为的周期函数，当时，并不能无限趋近于一个确定的值，因而（C）中数列也发散。
由于，故（D）中数列收敛。
例2：设，则a=( )A.0B.1C.3D.1/3解：假设=0，则所给极限为，其分子趋于∞，而分母趋于有限值3，所以极限为∞，不是1/5，因而≠0。
当≠0时，所给极限为，故应选C。
一般地，如果有理函数，其中、分别为n的k次、l次多项式，那么，当时，当k=l时，f (n)的极限为、的最高次项的系数之比；当k<l时，f (n)的极限为零；当k>l时，f (n)的极限为∞。
对于当x→∞（或+∞，－∞）时x的有理分式函数的极限，也有类似的结果。
例3.A. 0B. 1C. πD. n解利用重要极限，故应选C。
注：第一重要极限的本质是，这里的可以想象为一个空的筐子，里面可以填入任意以零为极限的表达式（三个填入的内容要相同）。
类似地，第二重要极限可以看作是，其中可以同时填入相同的任意趋于无穷大的表达式。
例4.求解法 1解法 2解法 3例5.A. 0B. 1C. 1/2D. 1/4解：由于,故应选D。
例6.解:注意本题属于“∞-∞”型，是个未定式，不能简单地认为它等于0或认为是∞，对于此类问题一般需要将函数进行通分，然后设法进行化简，进而求出其极限值。
例7. 当x→0时，的（）。
A. 同阶无穷小量B. 高阶无穷小量C. 低价无穷小量D. 较低阶的无穷小量解：由于可知是x的同阶无穷小量，所以应选A。
例8. 当等价的无穷小量是( )A. B. C. D.解：由于可知的高阶无穷小量，同时等价的无穷小量，所以选D。
例9. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是( )A. B.C. D.解：由于所以应选A.例10．要使函数在x=0处连续，f(0)应该补充定义的数值是( ) A.1/2 B.2 C.1 D.0解：要使函数f(x)在x=0处连续，必须有因此要令f(0)=1.故应选C。
例11．设求k，使f(x)连续。
解：由于函数f(x)在（-∞，0）和（0，+∞）两区间内均由初等函数表示，而且在这两个区间内均有定义，因此在这两个区间内是连续的。
函数是否连续取决于它在x=0处是否连续。
要让f(x)在x=0处连续，必须由于=又由可知例12．证明方程在区间（1，2）内必有一根。
证：令，由于f（x）是初等函数，它在区间（-∞，+∞）上连续，另外f（1）=-1<1 ，f（2）=13>0， f（x）在[1，2]上连续，故由零点存在定理知，存在在区间（1,2）内必有一个根第三章导数和微分例1：讨论函数例2：例3：分段函数处是否连续？是否可导？为什么？例4：例5：例6：例7：例8：例9：例10：例11：证明曲线xy=1 (x>0，y>0)上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是一个常数.例12：例13：第四章中值定理与导数应用例1：下列各函数中，在区间[-1，1]上满足罗尔定理所有条件的是( )例2：例3：例4：例5：例6：下列极限中能用罗必达法则的有( )例7：例8：列表即(-∞,-2)及(0,+∞)为递增区间，（-2，-1）及（-1，0）为递减区间；当x=-2时取极大值f(-2)=-4，当x=0时取极小值f(0)=0例9：讨论曲线 y=x4-2x3+1的凹向与拐点解：yˊ=4x3-6x2y″=12x2-12x=12x(x-1)当x=0,x=1时 y″=0x=0与x=1把定义域（-∞，+∞）分成三个区间，列表即(-∞,0)及(1,+∞)上凹；（0，1）下凹，两个拐点（0，1）和（1，0）例10：例11：例12：例13：某种商品需求函数为，求当P=4时的需求弹性。
例14：第五章积分例1：若h(x)是g(x)的一个原函数，则下列表达式中正确的一个是（）。
解：因为各备选答案中的右端均含有积分常数C，故只须验证各备选答案中右端的导数是否等于其左端积分的被积函数。
事实上，由于g(x)未必可导，故可知（A）、（D）不正确；由题意h(x)是g(x)的一个原函数，即h'(x)=g(x)，故（B）正确而（C）不正确，因此，应选（B）。
例2：例3：例4：例5：例6：例7：例8：例9：例10：例11：(图8-1) 例12：例13：例14：例15：例16：例17：例18：例19：例20：例21：例22：试判断下列广义积分的敛散性。
例23：试判断下列广义积分的敛散性。
例24：例25：例26：例27：例28：第六章无穷级数例1：例2：例3：例4：例5：例6：根据极限形式的比较审敛法，可知（B）中级数是收敛的；例7：例8：第一步，根据级数收敛必要性粗略观察是否有若有,则得出级数发散结论，否则进行下一步。
例9：判断交错级数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛。
例10：例11：例12：例13：例14：第七章多元函数微积分例1．下列平面方程中，过点（1，1，-1）的方程是（）（A） x+y+Z=0 （B）x+y+Z=1 （C）x+y-Z=1 （D）x+y-Z=0解：判断一个点是否在平面上，只需将点的坐标代入，看看是否满足相应的平面方程即可。
易见应选（B）。
例2．指出下列平面的特殊位置（1）x+2z=1；（2）x-2y=0；（3）x-2y+3z=0；（4）z-5=0.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0（1）方程中y的系数为B=0，故该平面平行于o y轴（垂直于zox平面）；（2）方程中z的系数C=0且D=0，故平面过oz轴；（3）方程中常数D=0，故该平面过原点；（4）方程中x的系数A=0 且y的系数B=0，故该平面垂直于oz轴（平行于xoy平面）。
例3．求过点（3，2，1）且平行于yoz平面的平面方程。
解：平行于yoz平面即垂直于ox轴，故可设所求平面方程为Ax+D=0，将已知点（3，2，1）的坐标代入上式，得D=-3A，从而所求方程为x-3=0。
注意：在求平面方程时，Ax+By+Cz+D=0中的四个待定常数不是完全独立的，计算时可用其中的一个表示其余的三个，然后通过化简得出所求结果。
例4．求点M（2，-3，1）分别关于xOy平面、Oy轴和原点的对称点。
解：点M关于xOy平面的对称点是第三个分量变号，即（2，-3，-1），关于Oy轴的对称点是第一，第三分量变号，即（-2，-3，-1），关于原点的对称点是三个分量都变号即（-2，3，-1）。
例5．求平面3x+2y-z-6=0分别在三条坐标轴上的截距。
解：将平面方程化为截距式方程，得因此该平面在Ox轴、Oy轴和Oz轴上的截距依次为2、3、和-6。
例6．求球面的球心坐标和半径。
解：对方程进行配方，化为一般形式的球面方程从而球心坐标为（3，-1，0），半径为。
例7．下列方程在空间直角坐标系中，表示施转抛物面的方程是（）（A）（B）（C）（D）解：只能x=y=z=0，它表示空间直角坐标系中的原点。
是一次方程，D=0表示过原点的一个平面。
即表示绕z轴旋转张口朝z轴负方向的旋转抛物面。
表示双曲抛物面（马鞍面）故应选（C）例8．函数的定义域是（）。
（A）（B）（C）（D）解:由函数的表达式知函数的定义域为即，故应选（C）。
例9．设（A）（B）（C）（D）解：由题设,故应选（A）。
例10．设在点处偏导数存在，则（A）（B）（C）（D）解：根据偏导数的定义，有故应选（C）。
例11．设证明证明：于是左注意，本例还可以利用二元函数隐函数来解偏导数：两边取对数代入左端即可得结论。
例12．设其中f为可微函数，则(A)(B) (C) (D)故应选（D）。
例13．设因此，例14．设例15．设z=z(x,y)是由方程确定的函数，求注意：在求隐函数的偏导数时，其结果中可以有变量度z的出现，结果表达式也常常不是惟一的，如本例用代入两个偏导还可以表示成例16．设（A）（B）（C）（D）解1：变量之间的关系图为故应选（A）注意：这里解法2经过代入后变成了一个一元函数求导问题，简洁明了。